解直角三角形的應(yīng)用經(jīng)典題型

解直角三角形的應(yīng)用經(jīng)典題型1.如圖1，一架飛機在空中P處探測到某高山山頂D處的俯角為60°，此后飛機以300米/秒的速度沿平行于地面AB的方向勻速飛行，飛行10秒到山頂D的正上方C處，此時測得飛機距地平面的垂直高度為12千米。求這座山的高（精確到0.1千米）。解析：根據(jù)題意，我們可以列出以下三角函數(shù)關(guān)系式：tan60°=CD/DPCD=DP×tan60°又因為DP=vt，其中v是飛機的速度，t是時間，所以CD=vt×tan60°又因為三角形ACD為直角三角形，所以可以列出勾股定理：AC2=AD2+CD2代入已知條件，得到：AC2=(12+CD)2+(vt)2代入CD的表達式，得到：AC2=(12+vt×tan60°)2+(vt)2化簡后得到：AC2=144+24vt×tan60°+3v2t2又因為AC=vt，所以：v2t2-2vt×AC+AC2-144-24vt×tan60°=0代入已知條件，解得AC≈10.1千米，即這座山的高為10.1千米。2.如圖2，水壩的橫斷面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAD=60°，坡長AB=203m。為加強水壩強度，將壩底從A處向后水平延伸到F處，使新的背水坡的坡角∠F=45°。求AF的長度（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3≈1.732）。解析：首先，我們可以通過三角函數(shù)計算出AD的長度：tan60°=AD/ABAD=AB×tan60°代入已知條件，得到AD≈350.5米。由于∠F=45°，所以AF=AD/tan45°=AD≈350.5米。3.施工隊準備在一段斜坡上鋪上臺階方便通行。現(xiàn)測得斜坡上鉛垂的兩棵樹間水平距離AB=4米，斜面距離BC=4.25米，斜坡總長DE=85米。（1）求坡角∠D的度數(shù)（結(jié)果精確到1°）。解析：根據(jù)題意，我們可以列出以下三角函數(shù)關(guān)系式：sin∠D=AB/DE代入已知條件，得到sin∠D=4/85。解出∠D≈2.84°。（2）若這段斜坡用厚度為17cm的長方體臺階來鋪，需要鋪幾級臺階？解析：根據(jù)勾股定理，可以計算出斜坡的高度：AC2=AB2+BC2代入已知條件，得到AC≈5.25米。由于每級臺階的高度為17cm，所以需要鋪AC/0.17≈30.9級臺階，即需要鋪31級臺階。4.在東西方向的海岸線l上有一長為1km的碼頭MN（如圖），在碼頭西端M的正西19.5km處有一觀察站A。某時刻測得一艘勻速直線航行的輪船位于A的北偏西30°，且與A相距40km的B處；經(jīng)過1小時20分鐘，又測得該輪船位于A的北偏東60°，且與A相距83km的C處。（1）求該輪船航行的速度（保留精確結(jié)果）。解析：根據(jù)題意，我們可以列出以下三角函數(shù)關(guān)系式：tan30°=BM/AMtan60°=CM/AM代入已知條件，得到BM≈20.9km，CM≈72.2km。因為輪船是勻速直線航行，所以可以列出以下速度公式：v=s/t其中s是輪船行駛的距離，t是輪船行駛的時間。代入已知條件，得到輪船的速度為v≈56.4km/h。（2）如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行，那么輪船能否正好行至碼頭MN靠岸？請說明理由。解析：根據(jù)題意，我們可以畫出如下圖所示的示意圖：由于輪船是勻速直線航行，所以可以列出以下速度公式：v=s/t其中s是輪船行駛的距離，t是輪船行駛的時間。設(shè)輪船從B點出發(fā)，行駛到MN碼頭的距離為x，行駛時間為t1。則有：x=BM+MNt1=x/v設(shè)輪船從C點出發(fā)，行駛到MN碼頭的距離為y，行駛時間為t2。則有：y=CM+MNt2=y/v如果輪船能正好行至碼頭MN靠岸，則必須有t1+t2=1小時20分鐘=4/3小時。代入已知條件，得到：x/v+y/v=4/3代入x和y的表達式，得到：(BM+MN)/v+(CM+MN)/v=4/3化簡后得到：MN=(4/3-BM/v-CM/v)/(2/v)代入已知條件，得到MN≈3.6km。因為MN=1km，所以輪船不能正好行至碼頭MN靠岸。6.如圖，在海岸線PQ上，有A和B兩個島嶼。為了測量它們之間的距離，在點E處測得∠AEP＝74°，∠BEQ＝30°；在點F處測得∠AFP＝60°，∠BFQ＝60°，并且EF＝1km?，F(xiàn)在需要解決以下兩個問題：（1）判斷ABAE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）求兩個島嶼A和B之間的距離（結(jié)果精確到0.1km）。參考數(shù)據(jù)：3≈1.73，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24。7.圖1為已建設(shè)封頂?shù)?6層樓房和其塔吊圖，圖2為其示意圖。吊臂AB與地面EH平行，測得A點到樓頂D點的距離為5m，每層樓高3.5m，AE、BF、CH都垂直于地面，EF=16m。現(xiàn)在需要求出塔吊的高CH的長度。11.2009年首屆中國國際航空體育節(jié)在萊蕪舉辦，期間在市政府廣場進行了熱氣球飛行表演。如圖所示，熱氣球到達離地面高度為36米的A處時，儀器顯示正前方一高樓頂部B的仰角是37°，底部C的俯角是60°?，F(xiàn)在需要計算氣球至少還需要上升多少米才能安全飛越高樓（結(jié)果精確到0.1米）。參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73。12.摩天輪是嘉峪關(guān)市的標志性景觀之一。某校數(shù)學(xué)興趣小組要測量摩天輪的高度。如圖所示，他們在C處測得摩天輪的最高點A的仰角為45°，再往摩天輪的方向前進50m至D處，測得最高點A的仰角為60°?，F(xiàn)在需要求出該興趣小組測得的摩天輪的高度AB（3≈1.732，結(jié)果保留整數(shù)）。13.小明想知道西漢勝跡中心湖中兩個小亭A、B之間的距離。他在與小亭A、B位于同一水平面且東西走向的湖邊小道l上某一觀測點M處，測得亭A在點M的北偏東30°，亭B在點M的北偏東60°。當小明由點M沿小道l向東走60米時，到達點N處，此時測得亭A恰好位于點N的正北方向。繼續(xù)向東走30米時到達點Q處，此時亭B恰好位于點Q的正北方向。根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)，請你幫助小明計算湖中兩個小亭A、B之間的距離。小明家所在的居民樓與對面的大廈AB相距80米。為了測量它們之間的距離，小明從自己家的窗戶C處測得大廈頂部A的仰角為37°，大廈底部B的俯角為48°?，F(xiàn)在需要求出小明家所在的居民樓與大廈的距離CD的長度（結(jié)果保留整數(shù)）。參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6018，tan37°≈0.7536，sin48°≈0.743