初二數(shù)學(xué)北京版基本作圖2

基本作圖（2）

初二年級(jí)數(shù)學(xué)北京市中小學(xué)空中課堂已知：∠AOB.求作：射線OC，使它平分∠AOB.思考探究已知：∠AOB.求作：射線OC，使它平分∠AOB.如何作圖？依據(jù)？思考探究∠COA=∠AOBOA是∠COB的平分線思考探究∠COA=∠AOBOA是∠COB的平分線∠COA=∠AOBOA是∠COB的平分線OA是怎么構(gòu)造出來(lái)的？思考探究思考探究OC=OEOC=OECD=EDOC=OEOD=ODCD=EDOC=OEOD=ODCD=ED△COD≌△EOD∠1=∠2△COD≌△EODOC=OEOD=ODCD=EDOA是∠COB的平分線∠1=∠2△COD≌△EODOC=OEOD=ODCD=EDOA是∠COB的平分線∠1=∠2△COD≌△EODOC=OEOD=ODCD=EDOC=OEOC=OECD=ED?OC=OECD=ED?OC=OECD=ED?OC=OECD=ED?OC=OECD=ED?OC=OECD=EDOD=ODOC=OECD=ED△COD≌△EODOD=ODOC=OECD=ED∠1=∠2△COD≌△EODOD=ODOC=OECD=ED∠1=∠2△COD≌△EODOD=ODOC=OECD=EDOA是∠COB的平分線∠1=∠2△COD≌△EODOD=ODOC=OECD=ED已知：∠AOB.求作：射線OC,使它平分∠AOB.基本作圖：作角的平分線收獲新知

作法：（1）以O(shè)點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交OA

于D，交OB于E；（2）分別以D，E為圓心，以大于的同樣長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)C；

作法：（1）以O(shè)點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交OA

于D，交OB于E；（3）作射線OC；則射線OC就是所求作的射線.（2）分別以D，E為圓心，以大于的同樣長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)C；

作法：（1）以O(shè)點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交OA

于D，交OB于E；

如圖所示，如果OC是∠AOB的平分線，P是OC上任意一點(diǎn)，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM與PN有什么數(shù)量關(guān)系？思考探究猜想：PM=PN思考探究

如圖所示，如果OC是∠AOB的平分線，P是OC上任意一點(diǎn)，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM與PN有什么數(shù)量關(guān)系？思考探究分析：OC平分∠AOB

如圖所示，如果OC是∠AOB的平分線，P是OC上任意一點(diǎn)，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM與PN有什么數(shù)量關(guān)系？思考探究分析：OC平分∠AOB∠1=∠2

如圖所示，如果OC是∠AOB的平分線，P是OC上任意一點(diǎn)，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM與PN有什么數(shù)量關(guān)系？思考探究分析：OC平分∠AOB∠1=∠2PM⊥OA

PN⊥OB

如圖所示，如果OC是∠AOB的平分線，P是OC上任意一點(diǎn)，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM與PN有什么數(shù)量關(guān)系？思考探究分析：OC平分∠AOB∠1=∠2PM⊥OA

PN⊥OB∠3=∠4=90°

如圖所示，如果OC是∠AOB的平分線，P是OC上任意一點(diǎn)，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM與PN有什么數(shù)量關(guān)系？思考探究分析：OC平分∠AOB∠1=∠2PM⊥OA

PN⊥OB∠3=∠4=90°OP=OP

如圖所示，如果OC是∠AOB的平分線，P是OC上任意一點(diǎn)，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM與PN有什么數(shù)量關(guān)系？思考探究分析：OC平分∠AOB∠1=∠2PM⊥OA

PN⊥OB∠3=∠4=90°OP=OP△MOP≌△NOP

如圖所示，如果OC是∠AOB的平分線，P是OC上任意一點(diǎn)，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM與PN有什么數(shù)量關(guān)系？思考探究分析：OC平分∠AOB∠1=∠2PM⊥OA

PN⊥OB∠3=∠4=90°OP=OP△MOP≌△NOPPM=PN

如圖所示，如果OC是∠AOB的平分線，P是OC上任意一點(diǎn)，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM與PN有什么數(shù)量關(guān)系？收獲新知角平分線的定理1

角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.∵OP平分∠AOB，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，∴PM=PN.收獲新知角平分線的定理1

角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.符號(hào)語(yǔ)言：

如圖所示，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)部一點(diǎn)，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，且PM=PN，點(diǎn)P在什么位置？

思考探究思考探究

如圖所示，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)部一點(diǎn)，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，且PM=PN，點(diǎn)P在什么位置？

思考探究△MOP和△NOP是直角三角形

如圖所示，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)部一點(diǎn)，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，且PM=PN，點(diǎn)P在什么位置？

PM=PNOP=OP思考探究△MOP和△NOP是直角三角形

如圖所示，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)部一點(diǎn)，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，且PM=PN，點(diǎn)P在什么位置？

Rt△MOP≌Rt△NOPPM=PNOP=OP思考探究△MOP和△NOP是直角三角形

如圖所示，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)部一點(diǎn)，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，且PM=PN，點(diǎn)P在什么位置？

∠1=∠2PM=PNOP=OP思考探究△MOP和△NOP是直角三角形Rt△MOP≌Rt△NOP

如圖所示，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)部一點(diǎn)，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，且PM=PN，點(diǎn)P在什么位置？

P點(diǎn)在∠AOB的平分線上PM=PNOP=OP思考探究△MOP和△NOP是直角三角形∠1=∠2Rt△MOP≌Rt△NOP

如圖所示，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)部一點(diǎn)，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，且PM=PN，點(diǎn)P在什么位置？

收獲新知角平分線的定理2

角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.收獲新知∵P在∠AOB內(nèi)部，

PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，且PM=PN，∴OP平分∠AOB.符號(hào)語(yǔ)言：角平分線的定理2

角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.例

已知：如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AD平分∠BAC，

DE⊥AB于E.求證：DC=BE.例題解析例

已知：如圖，Rt△ABC中，∠C=

90°，CA=CB，AD平分∠BAC，

DE⊥AB于E.求證：DC=BE.分析：例

已知：如圖，Rt△ABC中，∠C=

90°，CA=CB，AD平分∠BAC，

DE⊥AB于E.求證：DC=BE.∠C=

90°

CA=CB分析：例

已知：如圖，Rt△ABC中，∠C=

90°，CA=CB，AD平分∠BAC，

DE⊥AB于E.求證：DC=BE.∠C=

90°

CA=CB分析：∠B=

45°

∠C=

90°

CA=CB分析：DE⊥AB

∠B=

45°

例

已知：如圖，Rt△ABC中，∠C=

90°，CA=CB，AD平分∠BAC，

DE⊥AB于E.求證：DC=BE.∠C=

90°

CA=CBDE=BE分析：DE⊥AB

∠B=

45°

例

已知：如圖，Rt△ABC中，∠C=

90°，CA=CB，AD平分∠BAC，

DE⊥AB于E.求證：DC=BE.∠C=

90°

CA=CBDE=BEAD平分∠BACCD⊥AC

分析：DE⊥AB

∠B=

45°

例

已知：如圖，Rt△ABC中，∠C=

90°，CA=CB，AD平分∠BAC，

DE⊥AB于E.求證：DC=BE.∠C=

90°

CA=CBDE=BEAD平分∠BACCD⊥ACDC=DE分析：DE⊥AB∠B=

45°

例

已知：如圖，Rt△ABC中，∠C=

90°，CA=CB，AD平分∠BAC，

DE⊥AB于E.求證：DC=BE.∠C=

90°

CA=CBDE=BEAD平分∠BACCD⊥ACDC=DEDC=BE分析：DE⊥AB∠B=

45°

例

已知：如圖，Rt△ABC中，∠C=

90°，CA=CB，AD平分∠BAC，

DE⊥AB于E.求證：DC=BE.證明：∵∠C=

90°，

CA=CB，

∴∠B=∠BAC=45°.∵∠DEB=90°，

∴DE=BE∵AD平分∠BAC，

DC⊥AC，DE⊥AB，

∴DC=DE∴DC=BE.(角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等).∴∠EDB=90°-∠B=45°∴∠EDB=∠B.

(直角三角形的兩個(gè)銳角互余).(等角對(duì)等邊).思考探究思考探究OD=OE思考探究OD=OEOC平分∠AOBOC垂直平分DE思考探究P是線段DE的中點(diǎn)思考探究CF經(jīng)過(guò)線段DE的中點(diǎn)PCF⊥DEP是線段DE的中點(diǎn)思考探究直線CF是線段DE的垂直平分線CF經(jīng)過(guò)線段DE的中點(diǎn)PCF⊥DEP是線段DE的中點(diǎn)思考探究直線CF是線段DE的垂直平分線怎么作一條線段的垂直平分線呢？CF經(jīng)過(guò)線段DE的中點(diǎn)PCF⊥DEP是線段DE的中點(diǎn)思考探究思考探究作法的依據(jù)是什么呢？探索依據(jù)AC=BCAD=BD探索依據(jù)AC=BCAD=BDCD=CD探索依據(jù)AC=BCAD=BDCD=CD探索依據(jù)△ACD≌△BCDAC=BCAD=BDCD=CD∠1=∠2探索依據(jù)△ACD≌△BCDAC=BCAD=BDCD=CD∠1=∠2△ACB是等腰三角形探索依據(jù)△ACD≌△BCDAC=BCAD=BDCD=CD∠1=∠2△ACB是等腰三角形CD是AB的垂直平分線探索依據(jù)△ACD≌△BCD已知：線段AB.求作：線段AB的垂直平分線.收獲新知基本作圖：作線段的垂直平分線

作法：（1）分別以A，B為圓心，大于的同樣長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧分別交于點(diǎn)C，D；

作法：（1）分別以A，B為圓心，大于的同樣長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧分別交于點(diǎn)C，D；（2）作直線CD.

作法：（1）分別以A，B為圓心，大于的同樣長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧分別交于點(diǎn)C，D；（2）作直線CD.則直線CD就是所求作的直線.

如圖，CD是線段AB的垂直平分線，P是CD上任意一點(diǎn)，連接PA，PB，PA和PB有什么樣的數(shù)量關(guān)系？思考探究猜想：PA=PB思考探究

如圖，CD是線段AB的垂直平分線，P是CD上任意一點(diǎn)，連接PA，PB，PA和PB有什么樣的數(shù)量關(guān)系？證明：∵CD是線段AB的垂直平分線，思考探究

如圖，CD是線段AB的垂直平分線，P是CD上任意一點(diǎn)，連接PA，PB，PA和PB有什么樣的數(shù)量關(guān)系？∴∠1=∠2=

90°，OA=OB.思考探究

如圖，CD是線段AB的垂直平分線，P是CD上任意一點(diǎn)，連接PA，PB，PA和PB有什么樣的數(shù)量關(guān)系？證明：∵CD是線段AB的垂直平分線，∴∠1=∠2=

90°，OA=OB.思考探究

如圖，CD是線段AB的垂直平分線，P是CD上任意一點(diǎn)，連接PA，PB，PA和PB有什么樣的數(shù)量關(guān)系？證明：∵CD是線段AB的垂直平分線，∵OP=OP，∴∠1=∠2=

90°，OA=OB.思考探究

如圖，CD是線段AB的垂直平分線，P是CD上任意一點(diǎn)，連接PA，PB，PA和PB有什么樣的數(shù)量關(guān)系？證明：∵CD是線段AB的垂直平分線，∵OP=OP，∴△POA≌△POB.∴∠1=∠2=

90°，OA=OB.思考探究

如圖，CD是線段AB的垂直平分線，P是CD上任意一點(diǎn)，連接PA，PB，PA和PB有什么樣的數(shù)量關(guān)系？證明：∵CD是線段AB的垂直平分線，∵OP=OP，∴△POA≌△POB.∴PA=PB.線段垂直平分線的定理1收獲新知線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.線段垂直平分線的定理1收獲新知∵CD是線段AB的垂直平分線，P為CD上一點(diǎn)，∴PA=PB.符號(hào)語(yǔ)言：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.如圖，PA=PB，P點(diǎn)落在什么位置呢？思考探究如圖，PA=PB，P點(diǎn)落在什么位置呢？思考探究△PAB是等腰三角形如圖，PA=PB，P點(diǎn)落在什么位置呢？思考探究△PAB是等腰三角形如圖，PA=PB，P點(diǎn)落在什么位置呢？思考探究分析：如圖，PA=PB，P點(diǎn)落在什么位置呢？思考探究分析：PA=PBPC⊥ABPC平分AB如圖，PA=PB，P點(diǎn)落在什么位置呢？思考探究分析：PA=PBPC⊥ABPC平分ABP點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上線段垂直平分線的定理2收獲新知到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.線段垂直平分線的定理2收獲新知∵PA=PB，∴P點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上.符號(hào)語(yǔ)言到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.例

已知：如圖，AC=AD，BC=BD，E是AB上任意一點(diǎn).求證：EC=ED.例題解析例題解析分析：例

已知：如圖，AC=AD，BC=BD，E是AB上任意一點(diǎn).求證：EC=ED.例題解析分析：AC=AD例

已知：如圖，AC=AD，BC=BD，E是AB上任意一點(diǎn).求證：EC=ED.例題解析分析：AC=ADA點(diǎn)在線段CD的垂直平分線上例

已知：如圖，AC=AD，BC=BD，E是AB上任意一點(diǎn).求證：EC=ED.例題解析分析：AC=ADA點(diǎn)在線段CD的垂直平分線上BC=BD例

已知：如圖，AC=AD，BC=BD，E是AB上任意一點(diǎn).求證：EC=ED.例題解析分析：AC=ADA點(diǎn)在線段CD的垂直平分線上BC=BDB點(diǎn)在線段CD的垂直平分線上例

已知：如圖，AC=AD，BC=BD，E是AB上任意一點(diǎn).求證：EC=ED.例題解析分析：AC=ADA點(diǎn)在線段CD的垂直平分線上BC=BDB點(diǎn)在線段CD的垂直平分線上AB是線段CD的垂直平分線例

已知：如圖，AC=AD，BC=BD，E是AB上任意一點(diǎn).求證：EC=ED.例題解析分