浙江省麗水地區(qū)四校 2108-2023年高二數學第二學期期末考試試題含解析

2022-2023高二下數學模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖所示，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同的染色方法種數是()A．420 B．210 C．70 D．352．如圖所示莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學生在一次英語聽力測試中的成績單位：分，已知甲組數據的中位數為17，乙組數據的平均數為，則x、y的值分別為A．7、8 B．5、7C．8、5 D．7、73．已知，，，則a，b，c的大小關系為A． B． C． D．4．在區(qū)間上任取兩個實數a，b，則函數無零點的概率為（）A． B． C． D．5．已知(為虛數單位)，則A． B． C． D．6．某學校有男、女學生各500名.為了解男女學生在學習興趣與業(yè)余愛好方面是否存在顯著差異，擬從全體學生中抽取100名學生進行調查，則宜采用的抽樣方法是（）A．抽簽法 B．隨機數法 C．系統(tǒng)抽樣法 D．分層抽樣法7．期末考試結束后，甲、乙、丙、丁四位同學預測數學成績甲：我不能及格.乙：丁肯定能及格.丙：我們四人都能及格.丁：要是我能及格，大家都能及格.成績公布后，四人中恰有一人的預測是錯誤的，則預測錯誤的同學是（）A．甲B．乙C．丙D．丁8．函數y=x2㏑x的單調遞減區(qū)間為A．（1,1] B．（0,1] C．[1，+∞） D．（0，+∞）9．下列說法中正確的個數是（）①命題：“、，若，則”，用反證法證明時應假設或；②若，則、中至少有一個大于；③若、、、、成等比數列，則；④命題：“，使得”的否定形式是：“，總有”.A． B． C． D．10．設i是虛數單位，復數a+i1+i為純虛數，則實數a的值為A．-1B．1C．-2D．211．組合數恒等于（）A． B． C． D．12．若定義域為的偶函數滿足，且當時，，則函數在上的最大值為（）A．1 B． C． D．－二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數且必過定點___．14．已知則_______．15．的展開式中的系數是.（用數字填寫答案）16．已知定義在R上的函數是奇函數且滿足，則_________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）環(huán)境問題是當今世界共同關注的問題，我國環(huán)保總局根據空氣污染指數PM2.5濃度，制定了空氣質量標準：空氣污染指數(0，50](50，100](100，150](150，200](200，300](300，＋∞)空氣質量等級優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染某市政府為了打造美麗城市，節(jié)能減排，從2010年開始考察了連續(xù)六年11月份的空氣污染指數，繪制了頻率分布直方圖，經過分析研究，決定從2016年11月1日起在空氣質量重度污染和嚴重污染的日子對機動車輛限號出行，即車牌尾號為單號的車輛單號出行，車牌尾號為雙號的車輛雙號出行(尾號是字母的，前13個視為單號，后13個視為雙號).王先生有一輛車，若11月份被限行的概率為0.05.(1)求頻率分布直方圖中m的值；(2)若按分層抽樣的方法，從空氣質量等級為良與中度污染的天氣中抽取6天，再從這6天中隨機抽取2天，求至少有一天空氣質量是中度污染的概率；(3)該市環(huán)保局為了調查汽車尾氣排放對空氣質量的影響，對限行兩年來的11月份共60天的空氣質量進行統(tǒng)計，其結果如下表：空氣質量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染天數112711731根據限行前6年180天與限行后60天的數據，計算并填寫2×2列聯表，并回答是否有90%的把握認為空氣質量的優(yōu)良與汽車尾氣的排放有關.空氣質量優(yōu)、良空氣質量污染總計限行前限行后總計參考數據：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參考公式：，其中.18．（12分）學校游園活動有這樣一個游戲項目:甲箱子里裝有3個白球、2個黑球,乙箱子里裝有1個白球、2個黑球,這些球除顏色外完全相同.每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出2個球,若摸出的白球不少于2個,則獲獎.(每次游戲結束后將球放回原箱)（1）求在1次游戲中,①摸出3個白球的概率;②獲獎的概率;（2）求在2次游戲中獲獎次數的分布列.19．（12分）環(huán)境監(jiān)測中心監(jiān)測我市空氣質量，每天都要記錄空氣質量指數(指數采取10分制，保留一位小數)，現隨機抽取20天的指數(見下表)，將指數不低于視為當天空氣質量優(yōu)良.天數12345678910空氣質量指數天數11121314151617181920空氣質量指數(1)求從這20天隨機抽取3天，至少有2天空氣質量為優(yōu)良的概率；(2)以這20天的數據估計我市總體空氣質量(天數很多)，若從我市總體空氣質量指數中隨機抽取3天的指數，用表示抽到空氣質量為優(yōu)良的天數，求的分布列及數學期望.20．（12分）已知數列中，，。（1）證明數列為等差數列，并求數列的通項公式；（2）求數列的前項和。21．（12分）某屆奧運會上，中國隊以26金18銀26銅的成績稱金牌榜第三、獎牌榜第二，某校體育愛好者在高三年級一班至六班進行了“本屆奧運會中國隊表現”的滿意度調查結果只有“滿意”和“不滿意”兩種，從被調查的學生中隨機抽取了50人，具體的調查結果如表：

班號

一班

二班三班

四班

五班

六班

頻數

5

9

11

9

7

9

滿意人數

4

7

8

5

6

6（1）在高三年級全體學生中隨機抽取一名學生，由以上統(tǒng)計數據估計該生持滿意態(tài)度的概率；（2）若從一班至二班的調查對象中隨機選取4人進行追蹤調查，記選中的4人中對“本屆奧運會中國隊表現”不滿意的人數為，求隨機變量的分布列及數學期望．22．（10分）對某種書籍的成本費（元）與印刷冊數（千冊）的數據作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.表中.為了預測印刷20千冊時每冊的成本費，建立了兩個回歸模型：.（1）根據散點圖，擬認為選擇哪個模型預測更可靠?（只選出模型即可）（2）根據所給數據和（1）中的模型選擇，求關于的回歸方程，并預測印刷20千冊時每冊的成本費.附：對于一組數據，其回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

將不同的染色方案分為：相同和不同兩種情況，相加得到答案.【詳解】按照的順序：當相同時：染色方案為當不同時：染色方案為不同的染色方案為：種故答案為A【點睛】本題考查了加法原理和乘法原理，把染色方案分為相同和不同兩種情況是解題的關鍵.2、D【解析】

根據中位數和平均數的公式分別進行計算即可．【詳解】組數據的中位數為17，，乙組數據的平均數為，，得，則，故選D．【點睛】本題主要考查莖葉圖的應用，根據中位數和平均數的公式是解決本題的關鍵．中位數即最中間的數據，平均數即將所有數據加到一起，除以數據個數.3、D【解析】分析：由題意結合對數函數的性質整理計算即可求得最終結果.詳解：由題意結合對數函數的性質可知：，，，據此可得：.本題選擇D選項.點睛：對于指數冪的大小的比較，我們通常都是運用指數函數的單調性，但很多時候，因冪的底數或指數不相同，不能直接利用函數的單調性進行比較．這就必須掌握一些特殊方法．在進行指數冪的大小比較時，若底數不同，則首先考慮將其轉化成同底數，然后再根據指數函數的單調性進行判斷．對于不同底而同指數的指數冪的大小的比較，利用圖象法求解，既快捷，又準確．4、D【解析】

在區(qū)間上任取兩個實數a，b，其對應的數對構成的區(qū)域為正方形，所求事件構成的區(qū)域為梯形區(qū)域，利用面積比求得概率.【詳解】因為函數無零點，所以，因為，所以，則事件函數無零點構成的區(qū)域為梯形，在區(qū)間上任取兩個實數a，b所對應的點構成的區(qū)域為正方形，所以函數無零點的概率.【點睛】本題考查幾何概型計算概率，考查利用面積比求概率，注意所有基本事件構成的區(qū)域和事件所含基本事件構成的區(qū)域.5、B【解析】

由題得，再利用復數的除法計算得解.【詳解】由題得，故答案為：B【點睛】本題主要考查復數的運算，意在考查學生對該知識的掌握水平和分析推理計算能力.6、D【解析】試題分析：由于樣本中男生與女生在學習興趣與業(yè)余愛好方面存在差異性，因此所采用的抽樣方法是分層抽樣法，故選D.考點：抽樣方法.7、A【解析】分析：若甲預測正確，顯然導出矛盾．詳解：若甲預測正確，則乙，丙，丁都正確，乙：丁肯定能及格.丙：我們四人都能及格.丁：要是我能及格，大家都能及格.，即四人都及格顯然矛盾，故甲預測錯誤.故選A.點睛：本題考查推理與論證，根據已知分別假設得出矛盾進而得出是解題關鍵．8、B【解析】對函數求導，得（x>0）,令解得，因此函數的單調減區(qū)間為，故選B考點定位：本小題考查導數問題，意在考查考生利用導數求函數單調區(qū)間，注意函數本身隱含的定義域9、C【解析】

根據命題的否定形式可判斷出命題①的正誤；利用反證法可得出命題②的真假；設等比數列的公比為，利用等比數列的定義和等比中項的性質可判斷出命題③的正誤；利用特稱命題的否定可判斷出命題④的正誤.【詳解】對于命題①，由于可表示為且，該結論的否定為“或”，所以，命題①正確；對于命題②，假設且，由不等式的性質得，這與題設條件矛盾，假設不成立，故命題②正確；對于命題③，設等比數列、、、、的公比為，則，.由等比中項的性質得，則，命題③錯誤；對于命題④，由特稱命題的否定可知，命題④為真命題，故選：C.【點睛】本題考查命題真假的判斷，涉及反證法、等比中項以及特稱命題的否定，理解這些知識點是解題的關鍵，考查分析問題和解決問題的能力，屬于基礎題.10、A【解析】a+i1+i=(a+i)(1-i)11、D【解析】

根據組合數的公式得到和，再比較選項得到答案.【詳解】．，可知故選：D．【點睛】本題考查組合數的計算公式，意在考查基本公式，屬于基礎題型.12、A【解析】

根據已知的偶函數以及f（2﹣x）＝﹣f（x）可以求得函數f（x）在[﹣2，2]上的解析式，進而得到g（x）在[﹣2，2]上的解析式，對g（x）進行求導可知g（x）的增減性，通過增減性求得最大值【詳解】根據,得函數關于點(1,0)對稱,且當時,,則時，，所以當時，;又函數為偶函數,所以當時，則,可知當，故在[-2，0)上單調遞增,時，在[0,2]上單調遞減,故.故選：A【點睛】本題考查函數的基本性質：對稱性，奇偶性，周期性．同時利用導函數的性質研究了函數在給定區(qū)間內的最值問題，是中檔題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

令x﹣2＝0求得f（2）＝a0+2＝3，可得定點的坐標．【詳解】令x﹣2＝0，即x＝2，可得f（2）＝a0+2＝3，可得函數的圖象經過點（2，3），故答案為：（2，3）．【點睛】本題主要考查指數函數的圖象和特殊點，屬于基礎題．14、【解析】

x用x+1代入二項式，可得，只需求二項式展開式的第3項，即可求。【詳解】x用x+1代，可得，由第3項公式，得，填8.【點睛】二項式定理的應用(1)求二項式定理中有關系數的和通常用“賦值法”．(2)二項式展開式的通項公式Tr＋1＝Can－rbr是展開式的第r＋1項，而不是第r項．15、【解析】由題意，二項式展開的通項，令，得，則的系數是.考點：1.二項式定理的展開式應用.16、0【解析】

根據奇函數的性質可知，由可求得周期和，利用周期化簡所求式子可求得結果.【詳解】為定義在上的奇函數，.由得：，是周期為的周期函數，令得：..故答案為：.【點睛】本題考查利用函數的奇偶性和周期性求解函數值的問題，關鍵是能夠根據抽象函數關系式推導得到函數的周期.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)0.003；(2)；(3)有.【解析】

(1)因為限行分單雙號，王先生的車被限行的概率為0.05，再利用概率和為1解得答案.(2)利用分層抽樣得到空氣質量良的天氣被抽取的有4天，空氣中度污染的天氣被抽取的有2天，利用排列組合公式的到沒有中度污染的概率，用1減得到答案.(3)補全列聯表，計算，跟臨界值表作比較得到答案.【詳解】(1)因為限行分單雙號，王先生的車被限行的概率為0.05，所以空氣重度污染和嚴重污染的概率應為0.05×2＝0.1，由頻率分布直方圖可知(0.004＋0.006＋0.005＋m)×50＋0.1＝1，解得m＝0.003.(2)因為空氣質量良好與中度污染的天氣的概率之比為0.3∶0.15＝2∶1，按分層抽樣的方法從中抽取6天，則空氣質量良的天氣被抽取的有4天，空氣中度污染的天氣被抽取的有2天.記事件A為“至少有一天空氣質量是中度污染”.則(3)2×2列聯表如下：空氣質量優(yōu)、良空氣質量污染總計限行前9090180限行后382260總計128112240由表中數據可得，，所以有90%的把握認為空氣質量的優(yōu)良與汽車尾氣的排放有關.【點睛】本題考查了概率的計算，分層抽樣，列聯表，意在考查學生的綜合應用能力和計算能力.18、（I）（i）；（ii）（II）X的分布列見解析，數學期望【解析】解：(1)①設“在一次游戲中摸出i個白球”為事件Ai(i＝0,1,2,3)，則P(A3)＝·＝.②設“在一次游戲中獲獎”為事件B，則B＝A2∪A3，又P(A2)＝＋·＝，且A2，A3互斥，所以P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝＋＝.(2)由題意可知X的所有可能取值為0,1,2，P(X＝0)＝2＝，P(X＝1)＝C21·＝，P(X＝2)＝2＝，所以X的分布列是X

0

1

2

P

X的數學期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.19、（1）；（2）見解析.【解析】試題分析：（1）根據組合數公式計算所有可能的情況種數，得出答案；

（2）根據二項分布的概率計算公式得出分布列，再計算數學期望．試題解析：(1)解：由表中數據可知，空氣質量指數不低于的天數是12天，即空氣質量為優(yōu)良的天數是12天.記“至少有2天空氣質量為優(yōu)良”為事件，方法1：；方法2：.(2)20天中優(yōu)良天數的概率為.于是估計我市總體空氣質量優(yōu)良天數的概率為，因此服從參數為，的二項分布.即.所有可能取值為0，1，2，3.所以，，，.故的分布列為：0123所以的數學期望為：.20、(1)見證明；(2)【解析】

（1）由題設條件，化簡得到，即可證得數列為首項為，公差為的等差數列，進而求得通項公式．（2）由（1）可得，利用求和公式即可得出．【詳解】（1）因為，且，所以數列為首項為，公差為的等差數列.所以，即.（2）因為，所以.【點睛】本題主要考查了數列遞推關系、等差數列與等比數列的通項公式求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．21、（1）；（2）見解析【解析】分析：（1）因為在被抽取的50人中，持滿意態(tài)度的學生共16人，即可得出持滿意態(tài)度的頻率．

（2）ξ的所有可能取