微專題 全等型手拉手模型（學(xué)案）

第頁微專題全等型手拉手模型【典例精析】小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個規(guī)律：兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來則形成一組全等的三角形，小明把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若△ABC和△ADE均是頂角為40°的等腰三角形，BC、DE分別是底邊，求證：BD＝CE；（2）拓展探究：如圖2，若△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A、D、E在同一條直線上，連接BE，則∠AEB的度數(shù)為；線段BE與AD之間的數(shù)量關(guān)系是；（3）解決問題：如圖3，若△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A、D、E在同一條直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．

【模型建立】兩個具有公共頂點(diǎn)的相似多邊形，在繞著公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中，產(chǎn)生伴隨的全等三角形，這樣的圖形稱作共點(diǎn)旋轉(zhuǎn)模型；為了更加直觀，我們形象的稱其為“手拉手”模型?！笆掷帧蹦Ｐ驮趲缀晤}中是非常常見的一種考題模型。手拉手的一般形式：兩個頂角相等并且共頂角頂點(diǎn)的等腰三角形已知：，均為等腰三角形，，，結(jié)論：手拉手的特殊形式：兩個共直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形已知：，均為等腰直角三角形，，，結(jié)論：

兩個共頂點(diǎn)的等邊三角形已知：，均為等邊三角形結(jié)論：兩個共頂點(diǎn)的正方形已知：四邊形和四邊形均為正方形結(jié)論：

【模型應(yīng)用】題型一手拉手的一般形式例1兩個等腰三角形和中，，，，連接、，則和的數(shù)量關(guān)系是______．變式訓(xùn)練1如圖，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE，AD、BE交于點(diǎn)H，連CH．求證：CH平分∠AHE

題型二手拉手的特殊形式例2如圖，在等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝90°，連接BD，CE，兩線交于點(diǎn)P，請證明BD和CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．變式訓(xùn)練2如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，連接BD，CE，當(dāng)點(diǎn)B，D，E在同一條直線上時，請判斷線段BD和CE的關(guān)系，并說明理由．

例3如圖，和是等邊三角形，連接，交于點(diǎn)O，連接，則=．變式訓(xùn)練3如圖，C為線段AE上一動點(diǎn)（不與A、E重合），在AE同側(cè)分別作等邊△ABC和等邊△CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連接PQ，以下五個結(jié)論：①AD＝BE；②PQ∥AE；③CP＝CQ；④∠AOB＝60°，恒成立的結(jié)論有．全等型手拉手模型總結(jié)：全等型手拉手模型總結(jié)：三角形全等手拉手模型有3種形式：（1）兩個頂角相等共頂點(diǎn)的等腰三角形；（2）兩個共頂點(diǎn)的等腰直角三角形；（3）兩個共頂點(diǎn)的等邊三角形。三種手拉手模型都是在旋轉(zhuǎn)過程中會產(chǎn)生伴隨全等三角形?？偠灾?，即但凡遇到手拉手模型，則要迅速看出他們的伴隨全等三角形，然后加以利用。

【鞏固練習(xí)】如圖，△ABC和△AED是等邊三角形，連接BD，EC交于點(diǎn)O，連接AO，下列結(jié)論：①BD=EC；②∠BOC=60°；③∠AOE=60°；④EO=CO，其中正確的有．（將所有正確的序號填在橫線上）．如圖，若△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A、D、E在同一條直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

如圖，已知點(diǎn)E在ABC外，并且與點(diǎn)B位于線段AC的異側(cè)，連接BE、CE．若∠BEC＝60°，猜測線段BE、AE、CE三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．在四邊形中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，求的