行星齒輪傳動(dòng)系周期運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性分析

行星齒輪傳動(dòng)系周期運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性分析

確定非線性系統(tǒng)周期軌道的方法銀行汽車的傳動(dòng)具有體積小、重量輕、速度大、效率高等特點(diǎn)。它已廣泛應(yīng)用于航空、船舶、汽車、出于車輛和其他機(jī)械傳動(dòng)。作為一個(gè)強(qiáng)非線性系統(tǒng),行星齒輪傳動(dòng)系的工況條件和內(nèi)部參數(shù)的變化會(huì)使系統(tǒng)響應(yīng)在不同運(yùn)動(dòng)軌道中進(jìn)行躍遷,即發(fā)生分叉,甚至出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)在同一組參數(shù)條件下,線性動(dòng)力系統(tǒng)僅存在一個(gè)穩(wěn)態(tài)軌道,而非線性動(dòng)力系統(tǒng)則可能共存多個(gè)穩(wěn)定或不穩(wěn)定的周期軌道,這是造成非線性動(dòng)力系統(tǒng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)復(fù)雜于線性系統(tǒng)的重要原因之一。目前有影響的研究非線性系統(tǒng)周期軌道的方法主要有打靶法、增量諧波平衡法、不動(dòng)點(diǎn)法、諧波平衡法以及PNF方法等幾種結(jié)合打靶法與Floquet穩(wěn)定性理論的PNF方法則可以使周期運(yùn)動(dòng)的求解以及判穩(wěn)工作同步進(jìn)行,大大提高工作效率,當(dāng)然,該方法也要求系統(tǒng)光滑并且迭代初始點(diǎn)距離目標(biāo)周期軌道足夠近。韓清凱運(yùn)用PNF方法研究了碰摩轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性問題本文將以行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的間隙非線性動(dòng)力學(xué)模型為研究對(duì)象,引入有限差分形式Jacobi矩陣,解決了本文非光滑行星齒輪系統(tǒng)解析形式的Jacobi矩陣難以獲得的問題;引入阻尼因子,解決了PNF方法迭代初值要求嚴(yán)格的問題,使之適合本文所研究的非線性系統(tǒng),并以之研究行星齒輪系統(tǒng)在給定參數(shù)下共存的周期運(yùn)動(dòng),判斷其穩(wěn)定性;通過PNF方法判斷不同轉(zhuǎn)速下系統(tǒng)的各個(gè)周期解的穩(wěn)定性,研究行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隨無量綱轉(zhuǎn)速的分岔特性。1力學(xué)模型和振動(dòng)方程1.1齒輪副傳動(dòng)誤差本文采用文獻(xiàn)[1]中的2K-H型行星齒輪傳動(dòng)系純扭轉(zhuǎn)非線性動(dòng)力學(xué)模型。2K-H型行星齒輪系統(tǒng)有1個(gè)太陽輪(以S表示),N個(gè)行星齒輪(第i個(gè)齒輪以p圖中,太陽輪、行星架、第i個(gè)行星輪的角位移分別以θ根據(jù)直齒輪嚙合副剛度的變化特點(diǎn),將其假定為矩形波變化規(guī)律式中k系統(tǒng)靜傳遞誤差,是引起行星齒輪系統(tǒng)振動(dòng)產(chǎn)生的內(nèi)部激勵(lì)之一,其中第i路外、內(nèi)齒輪副傳動(dòng)誤差e式中e系統(tǒng)第i路外、內(nèi)嚙合副上的彈性恢復(fù)力(以上標(biāo)p表示)可以表示成系統(tǒng)第i路外、內(nèi)嚙合副上的阻尼力(以上標(biāo)d表示)可以表示為式(3),(4)中,f為相應(yīng)齒輪副上的間隙非線性函數(shù)1.2時(shí)代下的振動(dòng)微分方程運(yùn)用拉格朗日方程可列寫圖1所示系統(tǒng)在相對(duì)坐標(biāo)(5)下的振動(dòng)微分方程,并引入如下無量綱化參數(shù)式中J那么行星輪系(N+1)自由度的純扭轉(zhuǎn)無量綱振動(dòng)微分方程為2pnf方法及其改進(jìn)2.1求解動(dòng)的動(dòng)力系統(tǒng)的求解PNF(Poincaré-Newton-Floquet)法是基于打靶法和Floquet理論發(fā)展的一種可以同時(shí)進(jìn)行周期運(yùn)動(dòng)的求解和判穩(wěn)的數(shù)值算法式中T=mT在n+1維狀態(tài)空間中定義n維Poincaré截面然后在Poincaré截面上定義Poincaré映射那么動(dòng)力系統(tǒng)(7)的周期運(yùn)動(dòng)就等價(jià)于求解如下代數(shù)方程的解向量u方程(11)的求解可按打靶法思想進(jìn)行:事先給出u方程(13)在T時(shí)刻的解就是u方程(14)在T時(shí)刻的解就是Poincaré映射在u把u按照Floquet理論2.2下標(biāo)量函數(shù)的建立PNF法對(duì)迭代初始值要求比較苛刻,只有當(dāng)初始值u定義如下標(biāo)量函數(shù)計(jì)算過程中,首先取ξ=1,若由式(15)得到的u式中α是很小的正數(shù),一般選α=10這樣,采用迭代公式(15)后的PNF方法對(duì)迭代初值的要求隨即放寬。2.3狀態(tài)方程的jacabi矩陣PNF方法中間采用了Newton-Raphson迭代法,需要計(jì)算狀態(tài)方程的Jacobi矩陣Df(u,t),要求f(u,t)是光滑的,即一次可微。機(jī)械系統(tǒng)中的間隙、預(yù)緊約束以及干摩擦等會(huì)造成系統(tǒng)的非光滑為了保證計(jì)算精度,一般選3系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)考查無量綱轉(zhuǎn)速為Ω=0.9586時(shí)的周期運(yùn)動(dòng)及其穩(wěn)定性。行星齒輪系統(tǒng)的其他參數(shù)如下:m=3mm,α=20°,e忽略各嚙合剛度以及誤差的相位差異,并假設(shè)各齒輪副齒側(cè)間隙情況完全一致。這樣,方程(6)中的3路外嚙合副的運(yùn)動(dòng)因?yàn)橥耆恢戮涂梢杂闷渲腥我庖宦返倪\(yùn)動(dòng)方程統(tǒng)一表示,狀態(tài)方程(7)就退化為一個(gè)4維非自治系統(tǒng),令狀態(tài)向量中各元素排列順序?yàn)槿稳〉跏键c(diǎn)u(0)=(1,0,1,0),通過PNF法迭代,獲得了如下3個(gè)共存的周期不動(dòng)點(diǎn):周期1P從以上周期不動(dòng)點(diǎn)開始分別積分相應(yīng)的周期即可獲得各周期軌道的相圖,如圖2~4所示。本文只給出外嚙合副無量綱相對(duì)運(yùn)動(dòng)PNF迭代過程中同步獲得的周期1、周期2以及周期4不動(dòng)點(diǎn)在離散形式的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣C進(jìn)一步分析以上3矩陣的特征值模的最大值,亦即Floquet乘子模的最大值,分別為1.2020,1.34450以及0.8481,顯然在該組參數(shù)下,只有周期4運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)形態(tài),周期1以及周期2運(yùn)動(dòng)均不穩(wěn)定。作為驗(yàn)證,在同組參數(shù)下,從一個(gè)任取的初始值出發(fā),采用龍格-庫塔直接數(shù)值積分一段較長的時(shí)間段(比如1000T可以看到,在考查參數(shù)組合下,系統(tǒng)呈現(xiàn)漸近穩(wěn)定的周期4運(yùn)動(dòng)狀態(tài),這與PNF方法分析結(jié)果吻合。采用PNF方法還可以獲得不穩(wěn)定的周期1與周期2運(yùn)動(dòng),這些不穩(wěn)定的周期軌道將可以豐富行星齒輪傳動(dòng)系的混沌控制的目標(biāo)軌道,而這是直接數(shù)值積分法無法做到的。4轉(zhuǎn)速對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的影響令行星齒輪傳動(dòng)系的無量綱轉(zhuǎn)速Ω在0.9277~0.9648范圍內(nèi)連續(xù)變化,并采用PNF方法考查每個(gè)轉(zhuǎn)速下的共存的周期軌道及其穩(wěn)定性,計(jì)算結(jié)果總結(jié)如表1所示。為了確定系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的具體分岔途徑,以下分別考查周期1、周期2以及周期4運(yùn)動(dòng)在各自分岔點(diǎn)轉(zhuǎn)速附近的模最大的Floquet乘子隨轉(zhuǎn)速的變化情況,匯總?cè)绫?所示。根據(jù)Floquet分岔理論(1)隨著分岔參數(shù)的變化,系統(tǒng)模最大的Floquet乘子經(jīng)過實(shí)軸正半軸超出復(fù)平面上的單位圓,那么考查周期運(yùn)動(dòng)將會(huì)以鞍結(jié)分岔的形式發(fā)生運(yùn)動(dòng)失穩(wěn)。(2)隨著分岔參數(shù)的變化,系統(tǒng)模最大的Floquet乘子經(jīng)過實(shí)軸負(fù)半軸超出復(fù)平面上的單位圓,那么考查周期運(yùn)動(dòng)將會(huì)以倍周期分岔的形式發(fā)生運(yùn)動(dòng)失穩(wěn),即當(dāng)分岔參數(shù)經(jīng)過分岔點(diǎn)后,原來穩(wěn)定的T周期軌道將會(huì)失穩(wěn)而裂變成穩(wěn)定的2T周期軌道,而倍周期分岔的結(jié)果最終將導(dǎo)致混沌的出現(xiàn)。(3)隨著分岔參數(shù)的變化,系統(tǒng)模最大的Floquet乘子以共軛復(fù)數(shù)的方式超出復(fù)平面上的單位圓,那么考查周期運(yùn)動(dòng)將會(huì)以Hopf分岔的形式發(fā)生運(yùn)動(dòng)失穩(wěn),產(chǎn)生擬周期運(yùn)動(dòng)。從表2中的數(shù)據(jù)可以看到,周期1運(yùn)動(dòng)Floquet乘子在轉(zhuǎn)速0.9388附近經(jīng)實(shí)軸負(fù)半軸超出復(fù)平面上的單位圓,周期2運(yùn)動(dòng)Floquet乘子在轉(zhuǎn)速0.9475附近經(jīng)實(shí)軸負(fù)半軸超出復(fù)平面上的單位圓,周期4運(yùn)動(dòng)Floquet乘子在轉(zhuǎn)速0.9639附近經(jīng)實(shí)軸負(fù)半軸超出復(fù)平面上的單位圓,結(jié)合Floquet分岔理論可以判定,在考查的轉(zhuǎn)速范圍內(nèi),行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)都是通過倍周期分岔的形式失穩(wěn)產(chǎn)生新的周期軌道的。可以預(yù)測,0.9648以后的轉(zhuǎn)速區(qū)段,行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)一定會(huì)經(jīng)過更加充分的倍周期分岔最終進(jìn)入到混沌狀態(tài)。總結(jié)以上分析,可以大致勾勒出轉(zhuǎn)速在0.9277~0.9648之間以及0.9648以后轉(zhuǎn)速區(qū)間上系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)穩(wěn)定性的分岔情況,如圖8所示。圖中實(shí)線表示穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng),虛線表示不穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)。作為驗(yàn)證,可以采用直接數(shù)值積分方法求解狀態(tài)方程,得到轉(zhuǎn)速在0.9277~0.9895之間,系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隨轉(zhuǎn)速的分岔特性如圖9所示。為了驗(yàn)證混沌的發(fā)生,繪制了Ω=0.9895時(shí)的系統(tǒng)Poincaré映射圖,如圖10所示。5改進(jìn)措施的檢驗(yàn)(1)本文針對(duì)PNF方法存在的兩點(diǎn)缺陷,即要求研究對(duì)象必須光滑和迭代初始點(diǎn)必需距離周期解足夠近,提出了改進(jìn)措施使之能夠適應(yīng)本文所研究的間隙行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的周期軌道的求解以及判穩(wěn)