立體幾何經(jīng)典難題匯編

立體幾何經(jīng)典難題匯編立體幾何難題匯編11.在正方體的頂點(diǎn)中任意選擇4個(gè)頂點(diǎn)，對(duì)于由這4個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的各種幾何形體的以下判斷中，所有正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（）從正方體的頂點(diǎn)中任意選擇4個(gè)頂點(diǎn)，可以構(gòu)成各種不同的幾何形體。我們需要判斷哪些結(jié)論是正確的。根據(jù)題目，我們可以得到以下幾個(gè)結(jié)論：①能構(gòu)成矩形；②能構(gòu)成不是矩形的平行四邊形；③能構(gòu)成每個(gè)面都是等邊三角形的四面體；④能構(gòu)成每個(gè)面都是直角三角形的四面體；⑤能構(gòu)成三個(gè)面為全等的等腰直角三角形，一個(gè)面為等邊三角形的四面體。我們可以畫出正方體的圖形，分類討論出所有情況。根據(jù)分類討論的結(jié)果，我們可以得出只有①、③、④、⑤這四個(gè)結(jié)論是正確的，因此答案為4，選C。2.一個(gè)半徑為1的小球在一個(gè)棱長(zhǎng)為46的正四面體容器內(nèi)可向各個(gè)方向自由運(yùn)動(dòng)，則該小球永遠(yuǎn)不可能接觸到的容器內(nèi)壁的面積是____________。根據(jù)題目，我們需要求出小球永遠(yuǎn)不可能接觸到的容器內(nèi)壁的面積。我們可以先求出小球在正四面體內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡，即小球與正四面體的一個(gè)面相切時(shí)的情況。易知小球在面上最靠近邊的切點(diǎn)的軌跡仍為正三角形，正四面體的棱長(zhǎng)為46，因此小三角形的邊長(zhǎng)為26。接著，我們可以通過計(jì)算容器內(nèi)壁的面積減去小球可以接觸到的面積來求出小球永遠(yuǎn)不可能接觸到的容器內(nèi)壁的面積。容器內(nèi)壁的面積為4個(gè)面的面積之和，即46*46*4。小球可以接觸到的面積為小球與一個(gè)面相切時(shí)的面積，即26*26*√3。因此，小球永遠(yuǎn)不可能接觸到的容器內(nèi)壁的面積為46*46*4-26*26*√3*4=723。因此，答案為723?！?012?上?！咳鐖D，四面體ABCD中，AD與BC互相垂直，且BC=2。已知AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a（a、c為常數(shù)）。求四面體ABCD的體積最大值?！究键c(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積?！痉治觥孔鰾E⊥AD于E，連接CE。由題可知B、C都在以AD為焦距的橢圓上，且BE、CE垂直于焦距AD，BE=CE。取BC中點(diǎn)F，推導(dǎo)出四面體ABCD的體積最大值。當(dāng)△ABD為等腰直角三角形時(shí)，幾何體的體積最大。求解即可?！窘獯稹孔鰾E⊥AD于E，連接CE。則AD⊥平面BEC，因此CE⊥AD。由題設(shè)，B、C都在以AD為焦距的橢圓上，且BE、CE垂直于焦距AD。又因?yàn)锳B+BD=AC+CD=2a，所以△ABD≌△ACD，從而BE=CE。取BC中點(diǎn)F，連接EF，EF⊥BC，EF⊥AD。要求四面體ABCD的體積最大值，因?yàn)锳D是定值，只需使三角形EBC的面積最大。因?yàn)锽C是定值，所以只需EF最大即可。當(dāng)△ABD為等腰直角三角形時(shí)，幾何體的體積最大。因?yàn)锳B+BD=AC+CD=2a，所以AB=a，于是EB=a2-c2。由勾股定理得EF=√(a2-c2-1)。因此，幾何體的體積為：1/2*2a2-c2-1*2c/2=(2a2-c2-1)*c/(2c)=(2a2-c2-1)/2。所以四面體ABCD的體積最大值為(2a2-c2-1)/2。【點(diǎn)評(píng)】本題考查了棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積計(jì)算，空間想象能力，邏輯推理能力以及計(jì)算能力?！?012?上?！咳鐖D，直線l⊥平面α，垂足為O。在直角三角形ABC中，BC=1，AC=2，AB=5。該直角三角形在空間中進(jìn)行自由運(yùn)動(dòng)，滿足以下條件：（1）A∈l，（2）C∈α。求B、O兩點(diǎn)間的最大距離?！究键c(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算?！痉治觥繉⒃瓎栴}轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的最大距離問題解決。以O(shè)為原點(diǎn)，OA為y軸，OC為x軸建立直角坐標(biāo)系。求出B、O兩點(diǎn)間的距離表達(dá)式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值即可?！窘獯稹繉⒃瓎栴}轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的最大距離問題解決。以O(shè)為原點(diǎn)，OA為y軸，OC為x軸建立直角坐標(biāo)系，如圖。設(shè)∠ACO=θ，B（x，y），則有：x=ACcosθ+BCsinθ=2cosθ+sinθ，y=BCcosθ=cosθ?！郆、O兩點(diǎn)間的距離為d=√(x2+y2)=√(2cos2θ+2sinθcosθ+1)。d2=2cos2θ+2sinθcosθ+1=cos2θ+(cosθ+sinθ)2+1/2。因此，d2的最大值為3/2，當(dāng)θ=π/4時(shí)取得。即B、O兩點(diǎn)間的最大距離為√(3/2)?！军c(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算，以及轉(zhuǎn)化思想。2.當(dāng)$sin(2\theta+\frac{4\pi}{2})=1$時(shí)，$x^2+y^2$最大，為$\frac{3}{4}$。因此，點(diǎn)$B$和點(diǎn)$O$之間的最大距離為$\sqrt{1+\frac{3}{4}}=\sqrt{\frac{7}{4}}$，即$1+\frac{2}{\sqrt{7}}$。5.如圖，直線$l$垂直于平面$\alpha$，垂足為$O$，正四面體$ABCD$的棱長(zhǎng)為$4$，其中$C$在平面$\alpha$內(nèi)，$B$是直線$l$上的動(dòng)點(diǎn)。求當(dāng)$O$到$AD$的距離最大時(shí)，正四面體在平面$\alpha$上的射影面積。解：由題意，直線$BC$與動(dòng)點(diǎn)$O$的空間關(guān)系為：點(diǎn)$O$是以$BC$為直徑的球面上的點(diǎn)，因此$O$到$AD$的距離為四面體上以$BC$為直徑的球面上的點(diǎn)到$AD$的距離，最大距離為$AD$到球心的距離（即$BC$與$AD$的公垂線）加上半徑，即$2+\sqrt{2}$?？紤]取得最大距離時(shí)四面體的投影情況，此時(shí)我們注意到$AD$垂直于平面$OBC$，且平行于平面$\alpha$，因此其投影是以$AD$為底，$O$到$AD$的距離投影，即$(2+\sqrt{2})cos45°$為高的等腰三角形，其面積為$\frac{1}{2}\times4\times(2+\sqrt{2})=4+\sqrt{8}$。因此，答案為A。6.設(shè)$l_1$，$l_2$，$l_3$為空間中三條互相平行且兩兩間的距離分別為$4$，$5$，$6$的直線。給出下列三個(gè)結(jié)論：①$\existsA_i\inl_i$（$i=1,2,3$），使得$\triangleA_1A_2A_3$是直角三角形；②$\existsA_i\inl_i$（$i=1,2,3$），使得$\triangleA_1A_2A_3$是等邊三角形；③三條直線上存在四點(diǎn)$A_i$（$i=1,2,3,4$），使得四面體$A_1A_2A_3A_4$為在一個(gè)頂點(diǎn)處的三條棱兩兩互相垂直的四面體。其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）。解：結(jié)論①和③成立，結(jié)論②不成立。對(duì)于結(jié)論①，我們可以將三條直線分別取在$x$，$y$，$z$軸上，此時(shí)可以取$A_1=(0,0,0)$，$A_2=(4,0,0)$，$A_3=(0,5,0)$，則$\triangleA_1A_2A_3$是直角三角形。對(duì)于結(jié)論②，我們可以將三條直線分別取在$x$，$y$，$z$軸上，此時(shí)可以取$A_1=(0,0,0)$，$A_2=(4,0,0)$，$A_3=(0,5,0)$，則$\triangleA_1A_2A_3$不是等邊三角形。對(duì)于結(jié)論③，我們可以將三條直線分別取在$x$，$y$，$z$軸上，此時(shí)可以取$A_1=(0,0,0)$，$A_2=(4,0,0)$，$A_3=(0,5,0)$，$A_4=(0,0,6)$，則四面體$A_1A_2A_3A_4$在$A_1$處的三條棱兩兩互相垂直。因此，正確結(jié)論的序號(hào)為$\boxed{\text{C．}\1,3}$。首先，我們按照如圖所示的方式放置三個(gè)點(diǎn)A、B、C。很容易看出此時(shí)BC＜AB=AC。接著，我們將A和B向上移動(dòng)，并保持AB=AC（只要A、B的速度滿足一定關(guān)系即可）。當(dāng)A、B移動(dòng)到很高的位置時(shí)，可以想象△ABC將會(huì)變得很扁，也就是會(huì)變成頂角A“非常鈍”的等腰鈍角三角形。因此，在移動(dòng)過程中，總有一刻，使△ABC成為等邊三角形，另一刻則使其成為直角等腰三角形。這樣，就得到了正確的①和②。對(duì)于③，可以通過反證法來說明。我們將三條垂直的棱所共的頂點(diǎn)稱為?。假設(shè)A是?，則由AD⊥AB和AD⊥AC可知L3⊥△ABC，從而△ABC三邊的長(zhǎng)就是三條直線的距離4、5、6，這與AB⊥AC矛