【壓軸必考】2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)壓軸題攻略（人教版）二次函數(shù)的三種實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題（解析版）

二次函數(shù)的三種實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題類型一、圖形運(yùn)動(dòng)問(wèn)題例1．如圖，矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)和同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)以每秒的速度沿的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)時(shí)停止，點(diǎn)以每秒的速度沿的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)時(shí)停止．設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（秒）時(shí)，的面積為，則關(guān)于的函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，用時(shí)2s，點(diǎn)F從點(diǎn)A到點(diǎn)B，用時(shí)2s，從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，用時(shí)1s，從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，用時(shí)2s，∴y與x的函數(shù)圖象分三段：①當(dāng)0≤x≤2時(shí)，AE＝2x，AF＝4x，∴y＝?2x?4x＝4x2，這一段函數(shù)圖象為拋物線，且開(kāi)口向上，由此可排除選項(xiàng)A和選項(xiàng)D；②當(dāng)2＜x≤3時(shí)，點(diǎn)F在線段BC上，AE＝4，此時(shí)y＝×4×8＝16，③當(dāng)3＜x≤5時(shí)，y＝×4×（4＋8＋4?4x）＝32?8x，由此可排除選項(xiàng)C．故選：B．【變式訓(xùn)練1】如圖，矩形中，，動(dòng)點(diǎn)P沿著的路徑勻速運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作，垂足為Q，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為x，以B，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形的面積為y，則y與x的大致函數(shù)圖象為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：∵由勾股定理得，分類討論如下：（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在上移動(dòng)時(shí)（四點(diǎn)圍圖為梯形），∴，，∴，∴，∴，∴，∴；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在上移動(dòng)時(shí)（四點(diǎn)圍圖為矩形），∵點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為x，∴PC=x-5，∵，∴；故依據(jù)函數(shù)解析式得圖象如圖3，故選：A．【變式訓(xùn)練2】如果△ABC和△DEF都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，他們的邊BC，EF在同一條直線l上，點(diǎn)C，E重合，現(xiàn)將△ABC沿著直線l向右移動(dòng)，直至點(diǎn)B與點(diǎn)F重合時(shí)停止移動(dòng)，在此過(guò)程中，設(shè)點(diǎn)B移動(dòng)的距離為x，兩個(gè)三角形重疊部分的面積為y，則y隨x變化的函數(shù)圖像大致為(

)

A．B．C． D．【答案】A【詳解】解：如圖1所示：當(dāng)0＜x≤2時(shí)，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥BF于H．∵△ABC和△DEF均為等邊三角形，∴△GEJ為等邊三角形．∴GE＝EJ＝GJ＝x，∠GEJ＝60°，∴GH＝CGsin60°＝EJ＝x，∴y＝EJ?GH＝x2，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝，且拋物線的開(kāi)口向上．如圖2所示：2＜x≤4時(shí)，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥BF于H．y＝FJ?GH＝（4﹣x）2，函數(shù)圖象為拋物線的一部分，且拋物線開(kāi)口向上．故選：A．類型二、拱橋問(wèn)題例1．2022年2月，在北京冬奧會(huì)跳臺(tái)滑雪中，中國(guó)選手谷愛(ài)凌、蘇翊鳴奪金，激起了人們對(duì)跳臺(tái)滑雪運(yùn)動(dòng)的極大熱情．某跳臺(tái)滑雪訓(xùn)練場(chǎng)的橫截面如圖所示，以某一位置的水平線為軸，過(guò)跳臺(tái)終點(diǎn)作水平線的垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．圖中的拋物線近似表示滑雪場(chǎng)地上的一座小山坡，某運(yùn)動(dòng)員從點(diǎn)正上方4米處的點(diǎn)滑出，滑出后沿拋物線運(yùn)動(dòng)．當(dāng)運(yùn)動(dòng)員從點(diǎn)滑出運(yùn)動(dòng)到離處的水平距離為4米時(shí)，距離水平線的高度恰好為8米．(1)求拋物線的解析式（不要求寫(xiě)自變量的取值范圍）；(2)運(yùn)動(dòng)員從點(diǎn)滑出后，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員距離點(diǎn)的水平距離為多少米時(shí)，運(yùn)動(dòng)員達(dá)到最大高度，此時(shí)，距離水平線的高度是多少米？(3)運(yùn)動(dòng)員從點(diǎn)滑出后，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員距離點(diǎn)的水平距離為多少米時(shí)，運(yùn)動(dòng)員與小山坡的豎直距離達(dá)到最大值，最大值是多少米？【答案】(1)；(2)當(dāng)運(yùn)動(dòng)員距離的水平距離為米時(shí)，運(yùn)動(dòng)員達(dá)到最大高度，高度為米；(3)當(dāng)運(yùn)動(dòng)員距離的水平距離為米時(shí)，運(yùn)動(dòng)員與小山坡的豎直距離達(dá)到最大值，最大值為米．【解析】(1)解：拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，解得．拋物線的解析式為：．(2)解：，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員距離的水平距離為米時(shí)，運(yùn)動(dòng)員達(dá)到最大高度，最大高度為米．(3)解：設(shè)運(yùn)動(dòng)員與小山坡的豎直距離為，則，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為．當(dāng)運(yùn)動(dòng)員距離的水平距離為米時(shí)，運(yùn)動(dòng)員與小山坡的豎直距離達(dá)到最大值，最大值為米．【變式訓(xùn)練1】鷹眼系統(tǒng)能夠追蹤、記錄和預(yù)測(cè)球的軌跡，如圖分別為足球比賽中某一時(shí)刻的鷹眼系統(tǒng)預(yù)測(cè)畫(huà)面（如圖1）和截面示意圖（如圖2），攻球員位于點(diǎn)O，守門員位于點(diǎn)A，OA的延長(zhǎng)線與球門線交于點(diǎn)B，且點(diǎn)A，B均在足球軌跡正下方，足球的飛行軌跡可看成拋物線．已知OB=28m，AB=8m，足球飛行的水平速度為15m/s，水平距離s（水平距離=水平速度×?xí)r間）與離地高度h的鷹眼數(shù)據(jù)如下表：s/m…912151821…h(huán)/m…4.24.854.84.2…(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)足球落地時(shí)，s=m；(2)求h關(guān)于s的函數(shù)解析式；(3)守門員在攻球員射門瞬間就作出防守反應(yīng)，當(dāng)守門員位于足球正下方時(shí)，足球離地高度不大于守門員的最大防守高度視為防守成功．已知守門員面對(duì)足球后退過(guò)程中速度為2.5m/s，最大防守高度為2.5m；背對(duì)足球向球門前進(jìn)過(guò)程中最大防守高度為1.8m．①若守門員選擇面對(duì)足球后退，能否成功防守？試計(jì)算加以說(shuō)明；②若守門員背對(duì)足球向球門前進(jìn)并成功防守，求此過(guò)程守門員的最小速度．【答案】(1)30；(2)；(3)①守門員不能成功防守；說(shuō)明見(jiàn)解析；②守門員的最小速度為m/s【解析】(1)解：由函數(shù)圖象信息可得：頂點(diǎn)坐標(biāo)為：所以預(yù)測(cè)足球落地時(shí)，故答案為：30(2)解：由數(shù)據(jù)表得拋物線頂點(diǎn)（15，5），故設(shè)解析式為，把（12，4.8）代入得所以解析式為．(3)解：設(shè)守門員到達(dá)足球正下方的時(shí)間為ts．①由題意得15t=20+2.5t，解得t=，即s=24m，把s=24代入解析式得，而，所以守門員不能成功防守．②當(dāng)h=1.8m且守門員剛好到達(dá)足球正下方時(shí)，此時(shí)速度最?。园裩=1.8代入解析式得：解得：s=27或s=3（不合題意舍去）所以足球飛行時(shí)間，守門員跑動(dòng)距離為（m），所以守門員速度為m/s．【變式訓(xùn)練2】圖，以一定的速度將小球沿與地面成一定角度的方向出擊時(shí)，小球的飛行路線將是一條拋物線．如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度（單位：）與飛行時(shí)間（單位：）之間具有二次函數(shù)關(guān)系．小明在一次擊球過(guò)程中測(cè)得一些數(shù)據(jù)，如下表所示．根據(jù)相關(guān)信息解答下列問(wèn)題．飛行時(shí)間012飛行高度01520(1)求小球的飛行高度（單位：）關(guān)于飛行時(shí)間（單位：）的二次函數(shù)關(guān)系式；(2)小球從飛出到落地要用多少時(shí)間？(3)小球的飛行高度能否達(dá)到？如果能，請(qǐng)求出相應(yīng)的飛行時(shí)間；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)；(3)不能，理由見(jiàn)解析【解析】(1)由題意可設(shè)關(guān)于的二次函數(shù)關(guān)系式為，因?yàn)楫?dāng)，2時(shí)，，20，∴，解得：．∴關(guān)于的二次函數(shù)關(guān)系式為．(2)當(dāng)，，解得：，．∴小球從飛出到落地所用的時(shí)間為．(3)小球的飛行高度不能達(dá)到．理由如下：當(dāng)時(shí)，，方程即為，∵，∴此方程無(wú)實(shí)數(shù)根．即小球飛行的高度不能達(dá)到．【變式訓(xùn)練3】如圖①是古代的一種遠(yuǎn)程投石機(jī)，其投出去的石塊運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線的一部分。據(jù)《范蠡兵法》記載：“飛石重二十斤，為機(jī)發(fā)，行三百步”，其原理蘊(yùn)含了物理中的“杠桿原理”．在如圖②所示的平面直角坐標(biāo)系中，將投石機(jī)置于斜坡OA的底部（原點(diǎn)O處），石塊從投石機(jī)豎直方向上的點(diǎn)C處被投出，在斜坡上的點(diǎn)A處建有垂直于水平面的城墻AB．已知，石塊運(yùn)動(dòng)軌跡所在拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，，，，．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明石塊能否飛越城墻AB；(3)分別求出和時(shí)，石塊與斜坡OA在豎直方向上的最大距離．【答案】(1)；(2)石塊不能飛越防御墻AB，見(jiàn)解析(3)時(shí)石塊與斜坡OA在豎直方向上的最大距離為米；時(shí)石塊與斜坡OA在豎直方向上的最大距離為米【解析】(1)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，，設(shè)石塊運(yùn)行的函數(shù)關(guān)系式為y＝a（x﹣50）2+25，將代入，得，解得，拋物線的表達(dá)式為；(2)，把x＝75代入，得，，．，∵21＞20，∴石塊不能飛越防御墻AB．(3)解：設(shè)直線OA的解析式為y＝kx（k≠0）．，，把（75，12）代入，得12＝75k，∴k＝．故直線OA的解析式為y＝x．設(shè)直線OA上方的拋物線上的一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，）．過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸，交OA于點(diǎn)Q，則Q（t，）．∴PQ＝-＝，∴當(dāng)t＝時(shí)，PQ取最大值，最大值為．在豎直方向上，石塊與斜坡OA在豎直方向上的最大距離是米．當(dāng)時(shí)，是對(duì)稱軸，時(shí)，石塊與斜坡OA在豎直方向上的最大距離是米．【變式訓(xùn)練4】如圖，籃球場(chǎng)上OF的長(zhǎng)為25米，籃球運(yùn)動(dòng)員小明站在左方的點(diǎn)O處向右拋球，球從離地面2米的A處拋出，球的運(yùn)動(dòng)軌跡可看作一條拋物線，在距O點(diǎn)4米的B處達(dá)到最高點(diǎn)，最高點(diǎn)C距離地面4米；籃球在點(diǎn)D處落地后彈起，彈起后在點(diǎn)E處落地，且彈起后的軌跡與拋出后的軌跡形狀相同，但高度減少為原來(lái)最大高度的一半．以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．(1)求拋物線ACD的函數(shù)表達(dá)式；(2)求籃球第二次落地點(diǎn)E與點(diǎn)O之間的距離；(3)若運(yùn)動(dòng)員小易在點(diǎn)E處拿球前進(jìn)到點(diǎn)G處起跳投籃，起跳后籃球在距離地面3米的地方出手，球出手后的運(yùn)動(dòng)軌跡與拋出后的軌跡形狀相同，高度相等，并且恰好投入離地面3米的籃筐中，求EG的長(zhǎng)？【答案】(1)；(2)17.7米；(3)1.7米【解析】(1)解：設(shè)籃球開(kāi)始飛出到第一次落地時(shí)拋物線的表達(dá)式為，∵，，∴，由已知：當(dāng)時(shí)，，即，∴，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；(2)解：令，則，解得：，（舍去），∴籃球第一次落地距O點(diǎn)約9.7米；如圖，第二次籃球彈出后的距離為DE，根據(jù)題意：，相當(dāng)于將拋物線ACND向下平移了2個(gè)單位，∴，解得：，，∴，∴（米），∴籃球第二次落地點(diǎn)E距O點(diǎn)的距離約為17.7米；(3)解：∵運(yùn)動(dòng)員小易在點(diǎn)E處拿球前進(jìn)到點(diǎn)G處起跳投籃，起跳后籃球在距離地面3米的地方出手，即此時(shí)，∴，解得，（舍去），∴米．類型三、銷售利潤(rùn)問(wèn)題例1．某服裝批發(fā)市場(chǎng)銷售一種襯衫，襯衫每件進(jìn)貨價(jià)為50元．規(guī)定每件售價(jià)不低于進(jìn)貨價(jià)，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，每月的銷售量y（件）與每件的售價(jià)x（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表：售價(jià)x（元/件）556575銷售量y（件）150013001100(1)求出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；（不需要求自變量x的取值范圍）(2)該批發(fā)市場(chǎng)每月想從這種襯衫銷售中獲利30000元，又想盡量給客戶實(shí)惠，該如何給這種襯衫定價(jià)？(3)物價(jià)部門規(guī)定，該襯衫的每件利潤(rùn)不允許高于進(jìn)貨價(jià)的50%，設(shè)銷售這種襯衫每月的總利潤(rùn)為w（元），求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，x為多少時(shí)，w有最大值，最大利潤(rùn)是多少？【答案】(1)y＝﹣20x+2600；(2)80元(3)w＝﹣20（x﹣90）2+32000；售價(jià)定為75元時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是27500元【解析】(1)解：設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為，則，解得，∴y與x之間的函數(shù)表達(dá)式是．(2)解：由題意知，，解得，∵盡量給客戶優(yōu)惠，∴這種襯衫定價(jià)為80元．(3)解：由題意可得，，∵該襯衫的每件利潤(rùn)不允許高于進(jìn)貨價(jià)的50%，每件售價(jià)不低于進(jìn)貨價(jià)，∴，解得，∵，拋物線開(kāi)口向下，∴當(dāng)x＝75時(shí)，w取得最大值，此時(shí)w＝27500元，∴售價(jià)定為75元時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是27500元．【變式訓(xùn)練1】端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗，市場(chǎng)上豆沙粽的進(jìn)價(jià)比肉粽的進(jìn)價(jià)每盒便宜10元，某商家用8000元購(gòu)進(jìn)的肉粽和用6000元購(gòu)進(jìn)的豆沙粽盒數(shù)相同．在銷售中，該商家發(fā)現(xiàn)肉粽每盒售價(jià)50元時(shí)，每天可售出100盒；每盒售價(jià)提高1元時(shí)，每天少售出2盒，設(shè)肉粽每盒售價(jià)x元，y表示該商家每天銷售肉棕的利潤(rùn)（單位：元）．(1)肉粽和豆沙粽每盒的進(jìn)價(jià)分別為多少元(2)若每盒利潤(rùn)率不超過(guò)50%，問(wèn)肉粽價(jià)格為多少元時(shí)，商家每天獲利1350元？(3)若x滿足，求商家每天的最大利潤(rùn)．【答案】(1)肉粽每盒40元，豆沙粽每盒30元；(2)55元；(3)1600元【解析】(1)解：設(shè)肉粽每盒進(jìn)價(jià)a元，則豆沙粽每盒進(jìn)價(jià)元．則，解得，經(jīng)檢驗(yàn)是方程的解，．答：肉粽每盒40元，豆沙粽每盒30元；(2)解：∵肉粽進(jìn)價(jià)每盒40元，每盒利潤(rùn)率不超過(guò)50%，∴，由題意得，，整理得，，解得（舍去），．答：肉粽價(jià)格為55元時(shí)，商家每天獲利1350元；(3)解：設(shè)商家的利潤(rùn)為y元，則，配方得，，∵時(shí)，y隨x的增大而增大，，∴當(dāng)時(shí)，y取最大值，．答：最大利潤(rùn)為1600元．【變式訓(xùn)練2】某商店銷售一種商品，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該商品的周銷售量y（件）是售價(jià)x（元/件）的一次函數(shù)，其售價(jià)、周銷售量、周銷售利潤(rùn)w（元）的三組對(duì)應(yīng)值如表：售價(jià)x（元/件）607080周銷售量y（件）1008060周銷售利潤(rùn)w（元）200024002400(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)直接寫(xiě)出該商品的進(jìn)價(jià)，并求出該商品周銷售利潤(rùn)的最大值；(3)由于某種原因，該商品進(jìn)價(jià)提高了m元/件，物價(jià)部門規(guī)定該商品售價(jià)不得超過(guò)70元/件，該商品在今后的銷售中，周銷售量與售價(jià)仍然滿足（1）中的函數(shù)關(guān)系．若周銷售最大利潤(rùn)是2000元，求m的值．【答案】(1)；(2)進(jìn)價(jià)每件40元，當(dāng)時(shí)，w有最大值為元；(3)5【解析】(1)解：設(shè)，將，分別代入得解得：，∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為．(2)設(shè)進(jìn)價(jià)為z元，則100（60-z）=2000,解得z=40，故進(jìn)價(jià)為40元/件．，∴拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為直線，∴當(dāng)時(shí)，w有最大值為元；(3)，∴拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為直線，∴當(dāng)時(shí)，w隨x的增大而增大．又∵，∴當(dāng)時(shí)，w有最大值：．解得：．【變式訓(xùn)練3】冰墩墩和雪容融是2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)的吉祥物，據(jù)反饋冰墩墩、雪容融玩偶一經(jīng)上市，非常暢銷，小許選兩款玩偶各50個(gè)，決定在網(wǎng)店進(jìn)行銷售．售后統(tǒng)計(jì)，一個(gè)冰墩墩玩偶利潤(rùn)為30元/個(gè)，一個(gè)雪容融玩偶利潤(rùn)為5元/個(gè)，調(diào)研發(fā)現(xiàn)：冰墩墩的數(shù)量在50個(gè)的基礎(chǔ)上每增加3個(gè)，平均每個(gè)利潤(rùn)減少1元；而雪容融的利潤(rùn)始終不變；小許計(jì)劃第二次購(gòu)進(jìn)兩種玩偶共100個(gè)進(jìn)行售賣．設(shè)冰墩墩的數(shù)量比第一次增加個(gè)，第二次冰墩墩售完后的利潤(rùn)為元．(1)用含的代數(shù)式表示第二次冰墩墩售完后的的利潤(rùn)；(2)如何安排購(gòu)買方案，使得第二次售賣兩種玩偶的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？【答案】(1)(2)購(gòu)進(jìn)冰墩墩62個(gè)，雪容融38個(gè)或購(gòu)進(jìn)冰墩墩63個(gè)，雪容融37個(gè)時(shí)，第二次售賣兩種玩偶的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是1802元【解析】(1)由題意，第二次購(gòu)進(jìn)冰墩墩的數(shù)量為（50+x）個(gè)，平均每個(gè)的利潤(rùn)減少元，則第二次冰墩墩售完后的的利潤(rùn)；整理得：．(2)第二次購(gòu)進(jìn)冰墩墩的