利用基本不等式求最值的技巧

PAGE4-利用基本不等式求最值的技巧基本不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”與將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的功能，但一定要注意應(yīng)用的前提：“一正”、“二定”、“三相等”．所謂“一正”是指“正數(shù)”，“二定”指應(yīng)用定理求最值時(shí)，和或積為定值，“三相等”是指滿足等號(hào)成立的條件．在運(yùn)用基本不等式與或其變式解題時(shí),要注意如下技巧1：配系數(shù)【例1】已知，求的最大值.2:添加項(xiàng)【例2】已知，求的最小值.3:分拆項(xiàng)【例3】已知，求的最小值.4:巧用”1”代換【例4】已知正數(shù)滿足,求的最小值.一般地有,,其中都是正數(shù).這里巧妙地利用”1”作出了整體換元,從而使問題獲得巧解.【例5】已知正數(shù)滿足，求的最小值.5:換元【例6】已知,求的最小值.【例7】已知,求的最大值.思路點(diǎn)撥：先將左邊分解因式，找出兩根，然后就兩根的大小關(guān)系寫出解集。具體解答請(qǐng)同學(xué)們自己完成。二、含參數(shù)的分式不等式的解法：例2：解關(guān)于x的不等式分析：解此分式不等式先要等價(jià)轉(zhuǎn)化為整式不等式，再對(duì)ax－1中的a進(jìn)行分類討論求解，還需用到序軸標(biāo)根法。解：原不等式等價(jià)于當(dāng)=0時(shí)，原不等式等價(jià)于解得，此時(shí)原不等式得解集為{x|}；當(dāng)>0時(shí),原不等式等價(jià)于,則：當(dāng)原不等式的解集為；當(dāng)0<原不等式的解集為；當(dāng)原不等式的解集為；當(dāng)<0時(shí),原不等式等價(jià)于，則當(dāng)時(shí),原不等式的解集為；當(dāng)時(shí),原不等式的解集為；當(dāng)時(shí),原不等式的解集為；小結(jié)：⑴本題在分類討論中容易忽略=0的情況以及對(duì)，－1和2的大小進(jìn)行比較再結(jié)合系軸標(biāo)根法寫出各種情況下的解集。⑵解含參數(shù)不等式時(shí)，一要考慮參數(shù)總的取值范圍，二要用同一標(biāo)準(zhǔn)對(duì)參數(shù)進(jìn)行劃分，做到不重不漏，三要使劃分后的不等式的解集的表達(dá)式是確定的。⑶對(duì)任何分式不等式都是通過移項(xiàng)、通分等一系列手段，把不等號(hào)一邊化為0，再轉(zhuǎn)化為乘積不等式來解決。牛刀小試：解關(guān)于x的不等式思路點(diǎn)撥：將此不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式后需對(duì)參數(shù)分兩級(jí)討論：先按>1和<1分為兩類，再在<1的情況下，又要按兩根與2的大小關(guān)系分為三種情況。有很多同學(xué)找不到分類的依據(jù)，缺乏分類討論的意識(shí)，通過練習(xí)可能會(huì)有所啟示。具體解答請(qǐng)同學(xué)們自己完成。三、含參數(shù)的絕對(duì)值不等式的解法：例3：解關(guān)于x的不等式分析：解絕對(duì)值不等式的思路是去掉絕對(duì)值符號(hào)，本題要用到同解變形，首先將原不等式化為不含絕對(duì)值符號(hào)的不等式，然后就、兩個(gè)參數(shù)間的大小關(guān)系分類討論求解。解：當(dāng)時(shí)，此時(shí)原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，由，此時(shí)原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，此時(shí)此時(shí)原不等式的解集為；綜上所述，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為。小結(jié)：去掉絕對(duì)值符號(hào)的方法有①定義法：②平方法：③利用同解變形：；牛刀小試：（2004年遼寧省高考題）解關(guān)于x的不等式思路點(diǎn)撥：⑴將原不等式化為然后對(duì)