遼寧省沈陽(yáng)市第一七零中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．給出下列命題：①過(guò)圓心和圓上的兩點(diǎn)有且只有一個(gè)平面②若直線與平面平行，則與平面內(nèi)的任意一條直線都沒(méi)有公共點(diǎn)③若直線上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，則④如果兩條平行線中的一條與一個(gè)平面平行，那么另一條也與這個(gè)平面平行⑤垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行其中正確的命題的個(gè)數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．42．下列說(shuō)法正確的是（）A．命題“”的否定是“”B．命題“已知，若則或”是真命題C．命題“若則函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)”的逆命題為真命題D．“在上恒成立”在上恒成立3．甲、乙兩人進(jìn)行象棋比賽，已知甲勝乙的概率為0.5，乙勝甲的概率為0.3，甲乙兩人平局的概率為0.1．若甲乙兩人比賽兩局，且兩局比賽的結(jié)果互不影響，則乙至少贏甲一局的概率為（）A．0.36 B．0.49 C．0.51 D．0.754．函數(shù)零點(diǎn)所在的大致區(qū)間為（）A． B． C．和 D．5．已知某個(gè)幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：cm），可得這個(gè)幾何體的體積是A．B．C．D．6．在中，角的對(duì)邊分別是，若，則（）A．5 B． C．4 D．37．在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，其常數(shù)項(xiàng)是15.如下圖所示，陰影部分是由曲線和圓及軸圍成的封閉圖形，則封閉圖形的面積為（）A． B． C． D．8．曲線的參數(shù)方程是(是參數(shù),),它的普通方程是(

)A． B．C． D．9．“夫疊棋成立積，緣冪勢(shì)既同，則積不容異”是以我國(guó)哪位數(shù)學(xué)家命名的數(shù)學(xué)原理（）A．楊輝 B．劉微 C．祖暅 D．李淳風(fēng)10．已知雙曲線，兩條漸近線與圓相切，若雙曲線的離心率為，則的值為（）A． B． C． D．11．將偶函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的曲線的對(duì)稱中心為（）A． B．C． D．12．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的S值為()A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將圓的一組等分點(diǎn)分別涂上紅色或藍(lán)色，從任意一點(diǎn)開(kāi)始，按逆時(shí)針?lè)较蛞来斡涗泜€(gè)點(diǎn)的顏色，稱為該圓的一個(gè)“階色序”，當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)“階色序”對(duì)應(yīng)位置上的顏色至少有一個(gè)不相同時(shí)，稱為不同的“階色序”.若某圓的任意兩個(gè)“階色序”均不相同，則稱該圓為“階魅力圓”.“4階魅力圓”中最多可有的等分點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_________．14．高二（1）班有男生18人，女生12人，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該班的全體同學(xué)中抽取一個(gè)容量為5的樣本，則抽取的男生人數(shù)為_(kāi)___.15．展開(kāi)二項(xiàng)式，其常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)________.16．在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為底面上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)不等式表示的平面區(qū)別為．區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)到直線和直線的距離之積為1．記點(diǎn)的軌跡為曲線．過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于、兩點(diǎn)．（1）求曲線的方程；（1）若垂直于軸，為曲線上一點(diǎn)，求的取值范圍；（3）若以線段為直徑的圓與軸相切，求直線的斜率．18．（12分）已知曲線的極坐標(biāo)方程是，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)）.（1）寫出直線的一般方程與曲線的直角坐標(biāo)方程，并判斷它們的位置關(guān)系；（2）將曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線，設(shè)曲線經(jīng)過(guò)伸縮變換得到曲線，設(shè)曲線上任一點(diǎn)為，求的取值范圍.19．（12分）已知知x為正實(shí)數(shù)，n為正偶數(shù)，在的展開(kāi)式中，（1）若前3項(xiàng)的系數(shù)依次成等差數(shù)列，求n的值及展開(kāi)式中的有理項(xiàng)；（2）求奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，并比較它們的大小.20．（12分）己知數(shù)列的首項(xiàng)均為1,各項(xiàng)均為正數(shù)，對(duì)任意的不小于2的正整數(shù)n，總有，成立，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和分別為，求所有使得等式成立的正整數(shù)m,的值.21．（12分）已知直線的方程為，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．（1）求直線與圓的交點(diǎn)的極坐標(biāo)；（2）若為圓上的動(dòng)點(diǎn)，求到直線的距離的最大值．22．（10分）已知數(shù)列滿足，.（I）求，，的值；（Ⅱ）歸納猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

依照立體幾何相關(guān)知識(shí)，逐個(gè)判斷各命題的真假?！驹斀狻吭冖僦?，當(dāng)圓心和圓上兩點(diǎn)共線時(shí)，過(guò)圓心和圓上的兩點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)平面，故①錯(cuò)誤；在②中，若直線與平面平行，則與平面內(nèi)的任意一條直線平行或異面，都沒(méi)有公共點(diǎn)，故②正確；在③中，若直線上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，則與相交或平行，故③錯(cuò)誤；在④中，如果兩條平行線中的一條與一個(gè)平面平行，那么另一條也與這個(gè)平面平行或在這個(gè)平面內(nèi)，故④錯(cuò)誤；在⑤中，由線面垂直的性質(zhì)定理得垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，故⑤正確．故選．2、B【解析】

A．注意修改量詞并否定結(jié)論，由此判斷真假；B．寫出逆否命題并判斷真假，根據(jù)互為逆否命題同真假進(jìn)行判斷；C．寫出逆命題，并分析真假，由此進(jìn)行判斷；D．根據(jù)對(duì)恒成立問(wèn)題的理解，由此判斷真假.【詳解】A．“”的否定為“”，故錯(cuò)誤；B．原命題的逆否命題為“若且，則”，是真命題，所以原命題是真命題，故正確；C．原命題的逆命題為“若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，則”，因?yàn)闀r(shí)，，此時(shí)也僅有一個(gè)零點(diǎn)，所以逆命題是假命題，故錯(cuò)誤；D．“在上恒成立”“在上恒成立”，故錯(cuò)誤.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，涉及到函數(shù)零點(diǎn)、含一個(gè)量詞的命題的真假判斷、不等式恒成立問(wèn)題的理解等內(nèi)容，難度一般.注意互為逆否命題的兩個(gè)命題真假性相同.3、C【解析】

乙至少贏甲一局的對(duì)立事件為甲兩局不輸，由此能求出乙至少贏甲一局的概率．【詳解】乙至少贏甲—局的概率為.故選C【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．4、B【解析】

判斷函數(shù)單調(diào)遞增，計(jì)算，得到答案.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，故函數(shù)在有唯一零點(diǎn).故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了零點(diǎn)存在定理，確定函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.5、B【解析】試題分析：如圖，幾何體是四棱錐，一個(gè)側(cè)面PBC⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形,且邊長(zhǎng)為20，那么利用體積公式可知,故選B.考點(diǎn)：本題主要考查三視圖、椎體的體積，考查簡(jiǎn)單幾何體的三視圖的運(yùn)用．培養(yǎng)同學(xué)們的空間想象能力和基本的運(yùn)算能力．點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是由三視圖可知，幾何體是四棱錐，一個(gè)側(cè)面垂直底面，底面是正方形，根據(jù)數(shù)據(jù)計(jì)算其體積．6、D【解析】

已知兩邊及夾角，可利用余弦定理求出．【詳解】由余弦定理可得：，解得.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用正余弦定理解三角形，注意根據(jù)條件選用合適的定理解決．7、B【解析】

用二項(xiàng)式定理得到中間項(xiàng)系數(shù)，解得a，然后利用定積分求陰影部分的面積．【詳解】（x1+）6展開(kāi)式中，由通項(xiàng)公式可得,令11﹣3r＝0，可得r＝4,即常數(shù)項(xiàng)為，可得＝15，解得a＝1．曲線y＝x1和圓x1+y1＝1的在第一象限的交點(diǎn)為（1，1）所以陰影部分的面積為．故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．8、B【解析】

將曲線的參數(shù)方程利用代入法消去參數(shù)，即可得到它的普通方程.【詳解】由,得,故,又,,故,因此所求的普通方程為，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程和普通方程的轉(zhuǎn)化，屬于簡(jiǎn)單題.消去參數(shù)方程中的參數(shù)，就可把參數(shù)方程化為普通方程，消去參數(shù)的常用方法有：①代入消元法；②加減消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法.9、C【解析】

由題意可得求不規(guī)則幾何體的體積的求法，即運(yùn)用祖暅原理.【詳解】“夫疊棋成立積，緣冪勢(shì)既同，則積不容異”的意思是“夾在兩平行平面之間的兩個(gè)幾何體被平行于這兩個(gè)平行平面的任意平面所截，如果兩個(gè)截面面積仍然相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等”，這就是以我國(guó)數(shù)學(xué)家祖暅命名的數(shù)學(xué)原理，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查祖暅原理的理解，考查空間幾何體體積的求法，考查對(duì)概念的理解，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

先由離心率確定雙曲線的漸近線方程，再由漸近線與圓相切，列出方程，求解，即可得出結(jié)果.【詳解】漸近線方程為：，又因?yàn)殡p曲線的離心率為，，所以，故漸近線方程為，因?yàn)閮蓷l漸近線與圓相切，得：，解得；故選A。【點(diǎn)睛】本題主要考查由直線與圓的位置關(guān)系求出參數(shù)，以及由雙曲線的離心率求漸近線方程，熟記雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，以及直線與圓的位置關(guān)系即可，屬于常考題型.11、D【解析】

根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)求出函數(shù)解析式，根據(jù)余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求對(duì)稱軸即可.【詳解】∵為偶函數(shù)，∴，∴．令，得．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了誘導(dǎo)公式和余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.12、D【解析】

執(zhí)行循環(huán)，根據(jù)判斷條件確定結(jié)束循環(huán)，輸出結(jié)果.【詳解】第1步：a＝7-2n＝5，a＞0成立，S＝S＋a＝5，n＝2；第2步：a＝7-2n＝3，a＞0成立，S＝S＋a＝8，n＝3；第3步：a＝7-2n＝1，a＞0成立，S＝S＋a＝1，n＝4；第4步：a＝7-2n＝－1，a＞0不成立，退出循環(huán)，輸出S＝1．選D.【點(diǎn)睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】分析：由題意可得，“4階色序”中，每個(gè)點(diǎn)的顏色有兩種選擇，故“4階色序”共有2×2×2×2=1種，從兩個(gè)方面進(jìn)行了論證，即可得到答案．詳解：“4階色序”中，每個(gè)點(diǎn)的顏色有兩種選擇，故“4階色序”共有2×2×2×2=1種，一方面，n個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)成n個(gè)“4階色序”，故“4階魅力圓”中的等分點(diǎn)的個(gè)數(shù)不多于1個(gè)；另一方面，若n=1，則必需包含全部共1個(gè)“4階色序”，不妨從（紅，紅，紅，紅）開(kāi)始按逆時(shí)針?lè)较虼_定其它各點(diǎn)顏色，顯然“紅，紅，紅，紅，藍(lán)，藍(lán)，藍(lán)，藍(lán)，紅，藍(lán)，藍(lán)，紅，紅，藍(lán)，紅，藍(lán)”符合條件．故“4階魅力圓”中最多可有1個(gè)等分點(diǎn)．故答案為：1．點(diǎn)睛：本題主要考查合情推理的問(wèn)題，解題的關(guān)鍵分清題目所包含的條件，讀懂已知條件.14、3【解析】

根據(jù)分層抽樣的比例求得.【詳解】由分層抽樣得抽取男生的人數(shù)為5×18故得解.【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

利用二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)，令的指數(shù)為零，求出參數(shù)的值，再代入通項(xiàng)可得出二項(xiàng)式展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng).【詳解】二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，得.所以，二項(xiàng)式展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)的計(jì)算，解題時(shí)要充分利用二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)，利用的指數(shù)來(lái)求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

畫出圖形,利用折疊與展開(kāi)法則使和在同一個(gè)平面,轉(zhuǎn)化折線段為直線段距離最小,即可求得的最小值．【詳解】當(dāng)?shù)淖钚≈?即到底面的距離的最小值與的最小值之和.為底面上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)是在底面上的射影,即是最小值.展開(kāi)三角形與三角形在同一個(gè)平面上,如圖:長(zhǎng)方體中，，長(zhǎng)方體體對(duì)角線長(zhǎng)為:在中:故故過(guò)點(diǎn)作,即為最小值.在,故答案為:.【點(diǎn)睛】解答折疊問(wèn)題的關(guān)鍵在于畫好折疊前后的平面圖形與立體圖形，并弄清折疊前后哪些條件發(fā)生了變化,哪些條件沒(méi)有發(fā)生變化.這些未變化的已知條件都是我們分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的依據(jù).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（1）；（3）【解析】

（1）根據(jù)“區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)到直線和直線的距離之積為”列方程，化簡(jiǎn)后求得曲線的方程.（1）求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算化簡(jiǎn)，由此求得的取值范圍.（3）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和曲線，寫出韋達(dá)定理.求得以為直徑的圓的圓心和直徑，根據(jù)圓與軸相切列方程，解方程求得直線的斜率.【詳解】（1）設(shè)，依題意①，因?yàn)闈M足不等式，所以①可化為.（1）將代入曲線的方程，解得.取，設(shè)，因?yàn)闉榍€上一點(diǎn)，故.則.即的取值范圍是.（3）設(shè)直線的方程是，.聯(lián)立，消去得，所以.設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，所以..因?yàn)橐跃€段為直徑的圓與軸相切，所以，即，化簡(jiǎn)得.所以直線的斜率為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式、點(diǎn)到直線距離公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題.18、(1)；；直線和曲線相切.(2).【解析】

（I）直線的一般方程為，曲線的直角坐標(biāo)方程為.因?yàn)椋灾本€和曲線相切.（II）曲線為.曲線經(jīng)過(guò)伸縮變換得到曲線的方程為，則點(diǎn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），所以，所以的取值范圍為.19、（1），有理項(xiàng)有三項(xiàng)，分別為：；（2）128,128,相等【解析】

（1）首先找出展開(kāi)式的前3項(xiàng)，然后利用等差數(shù)列的性質(zhì)即可列出等式，求出n，于是求出通項(xiàng)，再得到有理項(xiàng)；（2）分別計(jì)算偶數(shù)項(xiàng)和奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和，比較大小即可.【詳解】（1）二項(xiàng)展開(kāi)式的前三項(xiàng)的系數(shù)分別為：，而前三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，故，解得或（舍去）；所以，當(dāng)時(shí)，為有理項(xiàng)，又且，所以符合要求；故有理項(xiàng)有三項(xiàng)，分別為：；（2）奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為：，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為：，故奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)和，注意二項(xiàng)式系數(shù)和與系數(shù)和的區(qū)別，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和分析能力，難度中等.20、（1），；（2），.【解析】

(1)通過(guò)因