量子力學(xué)近似方法由非簡并微擾公式得能量一級(jí)修正課件

近似方法第七章Approximationmethod近似方法第七章Approximationmethod相關(guān)概念回顧完備集在量子力學(xué)中，按態(tài)疊加原理，任何一個(gè)量子態(tài)，可以看成抽象的Hilbert空間的一個(gè)“矢量”，而體系的任何一組力學(xué)量完全集F的共同本征態(tài)構(gòu)成此態(tài)空間的一組正交歸一完備的基矢，即。以為基矢的表象，成為F表象。體系任何一個(gè)量子態(tài)可以展開為其中。相關(guān)概念回顧完備集相關(guān)概念回顧二.量子力學(xué)的矩陣形式設(shè)力學(xué)量完全集F的本征值取離散值，以它們的本征態(tài)為基矢的表象中，力學(xué)量L表示成矩陣的形式其中。而任一量子態(tài)則表示成列矢其中相關(guān)概念回顧二.量子力學(xué)的矩陣形式一.引言二.定態(tài)非簡并微擾方法三.定態(tài)簡并微擾方法*四.變分法本章主要內(nèi)容一.引言本章主要內(nèi)容第一節(jié)引言前幾章介紹了量子力學(xué)的基本理論，使用這些理論解決了一些簡單問題。如：一維無限深勢阱問題；線性諧振子問題；勢壘貫穿問題；氫原子問題。這些問題都給出了問題的精確解析解。然而，對(duì)于大量的實(shí)際物理問題，薛定諤方程能有精確解的情況很少。通常體系的哈密頓量是比較復(fù)雜的，往往不能精確求解。因此，在處理復(fù)雜的實(shí)際問題時(shí)，量子力學(xué)求問題近似解的方法(簡稱近似方法)就顯得特別重要。一、近似方法的重要性第一節(jié)引言前幾章介紹了量子力學(xué)的基本理論，使用這些理論解決第一節(jié)引言近似方法通常是從簡單問題的精確解(解析解)出發(fā)，來求較復(fù)雜問題的近似(解析)解。二、近似方法的出發(fā)點(diǎn)體系哈密頓量不是時(shí)間的顯函數(shù)——定態(tài)問題定態(tài)微擾論；變分法。2.體系哈密頓量顯含時(shí)間——狀態(tài)之間的躍遷問題與時(shí)間t

有關(guān)的微擾理論；常微擾。三、近似解問題分為兩類第一節(jié)引言近似方法通常是從簡單問題的精確解(解析解)出發(fā)，第二節(jié)非簡并定態(tài)微擾理論本節(jié)主要內(nèi)容:

微擾體系方程態(tài)矢和能量的一級(jí)修正能量的二階修正微擾理論適用條件討論實(shí)例第二節(jié)非簡并定態(tài)微擾理論本節(jié)主要內(nèi)容:第二節(jié)非簡并定態(tài)微擾理論一.微擾體系方程

微擾法不是量子力學(xué)所特有的方法，在處理天體運(yùn)行的天體物理學(xué)中，計(jì)算行星運(yùn)行軌道時(shí)，就是使用微擾方法。計(jì)算中需要考慮其他行星影響的二級(jí)效應(yīng)。例如，地球受萬有引力作用繞太陽轉(zhuǎn)動(dòng)，可是由于其它行星的影響，其軌道需要予以修正。在這種情況下，計(jì)算所使用的方法是：首先把太陽和地球作為二體系統(tǒng)，求出其軌道，然后研究這個(gè)軌道受其它行星的影響而發(fā)生的變化?？删_求解的體系叫做未微擾體系，待求解的體系叫做微擾體系。假設(shè)體系Hamilton量不顯含時(shí)間，而且可分為兩部分：第二節(jié)非簡并定態(tài)微擾理論一.微擾體系方程第二節(jié)非簡并定態(tài)微擾理論可精確求解的體系叫做未微擾體系，待求解的體系叫做微擾體系。假設(shè)體系哈密頓量不顯含時(shí)間，而且可分為兩部分：

所描寫的體系是可以精確求解的，其本征值,本征矢滿足如下本征方程：另一部分是很小的(很小的物理意義將在下面討論)可以看作加于上的微小擾動(dòng)?，F(xiàn)在的問題是如何求解微擾后總哈密頓量的本征值和本征矢，即如何求解整個(gè)體系的薛定諤方程：第二節(jié)非簡并定態(tài)微擾理論可精確求解的體系叫做未微擾體系，待第二節(jié)非簡并定態(tài)微擾理論不難看出,當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)，引入微擾，使體系能級(jí)發(fā)生移動(dòng)，狀態(tài)由，能量由，為了明顯表示出微擾的微小程度，將其寫為:其中λ是很小的實(shí)數(shù)，表征微擾程度的參量。第二節(jié)非簡并定態(tài)微擾理論不難看出,當(dāng)?shù)诙?jié)非簡并定態(tài)微擾理論因?yàn)?/p>

都與微擾有關(guān)，可以把它們看成是λ的函數(shù)而將其展開成λ的冪級(jí)數(shù)：其中

分別是能量的零級(jí)近似,能量的一級(jí)修正和二級(jí)修正等;而分別是狀態(tài)矢量零級(jí)近似，一級(jí)修正和二級(jí)修正等。代入薛定諤方程得：第二節(jié)非簡并定態(tài)微擾理論因?yàn)槎嫉诙?jié)非簡并定態(tài)微擾理論上式對(duì)任意的λ都成立，故λ的同次冪系數(shù)相等.乘開可得：整理后可得：——H(0)的本征方程——滿足的方程——滿足的方程第二節(jié)非簡并定態(tài)微擾理論上式對(duì)任意的λ都成立，故λ的同次冪第二節(jié)非簡并定態(tài)微擾理論二.態(tài)矢和能量的一級(jí)修正現(xiàn)在我們借助于未微擾體系的態(tài)矢

和本征能量

來導(dǎo)出擾動(dòng)后的態(tài)矢

和能量

的表達(dá)式。1.能量一級(jí)修正用左乘上式,并作空間積分得注意到第二節(jié)非簡并定態(tài)微擾理論二.態(tài)矢和能量的一級(jí)修正1.能第二節(jié)非簡并定態(tài)微擾理論能量一級(jí)修正能量的一級(jí)修正等于微擾哈密頓量在零級(jí)近似波函數(shù)中的平均值.根據(jù)力學(xué)量本征矢的完備性假定，

的本征矢

是完備的，任何態(tài)矢量都可按其展開，也不例外。因此我們可以將態(tài)矢的一級(jí)修正展開為：2.波函數(shù)的一級(jí)修正其中準(zhǔn)確到一階微擾的體系能量：第二節(jié)非簡并定態(tài)微擾理論能量一級(jí)修正能量的一級(jí)修正等于微擾第二節(jié)非簡并定態(tài)微擾理論若滿足方程：則也滿足方程：b為任意數(shù)所以可以選擇一階修正的體系波函數(shù)為：第二節(jié)非簡并定態(tài)微擾理論若滿足方程：則第二節(jié)非簡并定態(tài)微擾理論左乘(m≠n)并積分：(m≠n)第二節(jié)非簡并定態(tài)微擾理論左乘(m≠n)第二節(jié)非簡并定態(tài)微擾理論若滿足方程：則也滿足方程：b為任意數(shù)所以可以選擇一階修正的體系波函數(shù)為：第二節(jié)非簡并定態(tài)微擾理論若滿足方程：則第二節(jié)非簡并定態(tài)微擾理論3.能量的二級(jí)修正用左乘上式,并作空間積分得其中——能量二級(jí)修正第二節(jié)非簡并定態(tài)微擾理論3.能量的二級(jí)修正用第二節(jié)非簡并定態(tài)微擾理論準(zhǔn)確到二階微擾的體系能量：準(zhǔn)確到一階微擾的體系波函數(shù)：欲使二式有意義，則要求二級(jí)數(shù)收斂。由于不知道級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)，無法判斷級(jí)數(shù)的收斂性，我們只能要求級(jí)數(shù)已知項(xiàng)中，后項(xiàng)遠(yuǎn)小于前項(xiàng)。由此我們得到微擾理論適用條件是：三.微擾適用條件第二節(jié)非簡并定態(tài)微擾理論準(zhǔn)確到二階微擾的體系能量：微擾適用條件表明：(2)要大，即能級(jí)間距要寬。例如：在庫侖場中，體系能量（能級(jí)）與量子數(shù)n2成反比，即由上式可見，當(dāng)n大時(shí)，能級(jí)間距變小，因此微擾理論不適用于計(jì)算高能級(jí)(n大)的修正，而只適用于計(jì)算低能級(jí)(n小)的修正。(1)要小，即微擾矩陣元要??；第二節(jié)非簡并定態(tài)微擾理論微擾適用條件表明：(2)2.展開系數(shù)

表明第k個(gè)未擾動(dòng)態(tài)矢

對(duì)第n個(gè)擾動(dòng)態(tài)矢

的貢獻(xiàn)有多大。展開系數(shù)反比于擾動(dòng)前狀態(tài)間的能量間隔，所以能量最接近的態(tài)

混合的也越強(qiáng)。因此態(tài)矢一階修正無須計(jì)算無限多項(xiàng)。3.由

可知，擾動(dòng)后體系能量是由擾動(dòng)前第n態(tài)能量加上微擾哈密頓量H′在未微擾態(tài)

中的平均值組成。該值可能是正或負(fù),引起原來能級(jí)上移或下移。1.在一階近似下：第二節(jié)非簡并定態(tài)微擾理論四.討論表明擾動(dòng)態(tài)矢

可以看成是未擾動(dòng)態(tài)矢

的線性疊加。2.展開系數(shù)4.對(duì)滿足適用條件微擾的問題,通常只求一階微擾其精度就足夠了。如果一級(jí)能量修正就需要求二級(jí)修正，態(tài)矢求到一級(jí)修正即可。5.在推導(dǎo)微擾理論的過程中，我們引入了小量λ，令

只是為了便于將擾動(dòng)后的定態(tài)薛定諤方程能夠按λ的冪次分出各階修正態(tài)矢所滿足的方程，僅此而已。一旦得到了各階方程后，λ就可不用再明顯寫出，把

理解為

即可，因此在以后討論中，就不再明確寫出這一小量。第二節(jié)非簡并定態(tài)微擾理論四.討論4.對(duì)滿足適用條件微擾的問題,通常只求一階微擾其精度就足例1一電荷為e的線性諧振子，受恒定弱電場ε作用。電場沿x正向，用微擾法求體系的定態(tài)能量和波函數(shù)。解：(1)電諧振子哈密頓量將哈密頓

量分成

兩部分,在弱電場下，上式最后一項(xiàng)很小，可看成微擾。五.例題第二節(jié)非簡并定態(tài)微擾理論例1一電荷為e的線性諧振子，受恒定弱電場ε作用。電場沿x(2)寫出的本征值和本征函數(shù)(3)計(jì)算能量的一級(jí)修正五.例題第二節(jié)非簡并定態(tài)微擾理論(2)寫出的本征值和本征函數(shù)(3)計(jì)欲計(jì)算能量二級(jí)修正,首先應(yīng)計(jì)算矩陣元利用線性諧振子本征函數(shù)的遞推公式：第二節(jié)非簡并定態(tài)微擾理論(4)計(jì)算能量的二級(jí)修正五.例題欲計(jì)算能量二級(jí)修正,首先應(yīng)計(jì)算矩陣元利用線性諧振子本代入能量二級(jí)修正公式有：第二節(jié)非簡并定態(tài)微擾理論(4)計(jì)算能量的二級(jí)修正對(duì)諧振子有由此式可知，能級(jí)移動(dòng)與

n無關(guān)，即與擾動(dòng)前振子的狀態(tài)無關(guān).代入能量二級(jí)修正公式有：第二節(jié)非簡并定態(tài)微擾理論(4)第二節(jié)非簡并定態(tài)微擾理論五.例題(5)計(jì)算波函數(shù)的一級(jí)修正

所以修正之后的能量與波函數(shù)分別為第二節(jié)非簡并定態(tài)微擾理論五.例題(5)計(jì)算波函數(shù)的第二節(jié)非簡并定態(tài)微擾理論五.例題可見，體系仍是一個(gè)線性諧振子。它的每一個(gè)能級(jí)都比無電場時(shí)的線性諧振子的相應(yīng)能級(jí)低,而平衡點(diǎn)向右移動(dòng)了.令所以(6)討論:電諧振子的精確解將體系哈密頓量作以下整理：第二節(jié)非簡并定態(tài)微擾理論五.例題可見，體系仍是一個(gè)線性諧例2設(shè)Hamilton量的矩陣形式為：(1)設(shè)c<<1，應(yīng)用微擾論求H本征值到二級(jí)近似；(2)求H的精確本征值；(3)在怎樣條件下，上面二結(jié)果一致。解：(1)c<<1，可取零級(jí)和微擾哈密頓

量分別為：五.例題第二節(jié)非簡并定態(tài)微擾理論H0是對(duì)角矩陣，是其在自身能量表象中的形式。所以能量的零級(jí)近似為：例2設(shè)Hamilton量的矩陣形式為：解：(1)c由非簡并微擾公式得能量一級(jí)修正：能量二級(jí)修正為：第二節(jié)非簡并定態(tài)微擾理論由非簡并微擾公式得能量一級(jí)修正：能量二級(jí)修正為：第二節(jié)非解得:(2)精確解：設(shè)H的本征值是E，由久期方程可解得第二節(jié)非簡并定態(tài)微擾理論準(zhǔn)確到二級(jí)近似的能量解得:(2)精確解：設(shè)H的本征值是E，由久期方程(3)將準(zhǔn)確解按c(<<1)展開：比較可知，微擾論二級(jí)近似結(jié)果與精確解展開式不計(jì)c4及以后高階項(xiàng)的結(jié)果相同。第二節(jié)非簡并定態(tài)微擾理論按c展開精確解微擾論結(jié)果(3)將準(zhǔn)確解按c(<<1)展開：比較可知，微擾第三節(jié)簡并微擾理論主要內(nèi)容:簡并微擾理論實(shí)例討論第三節(jié)簡并微擾理論主要內(nèi)容:假設(shè)

是簡并的，即屬于H(0)的本征值

有k個(gè)歸一化本征函數(shù)：第三節(jié)簡并微擾理論一.簡并微擾理論零級(jí)近似方程假設(shè)

非簡并的，即H(0)的本征值

只有一個(gè)本征函數(shù)與之對(duì)應(yīng),則可取作為波函數(shù)的零級(jí)近似.共軛方程于是我們就不知道在k個(gè)本征函數(shù)中究竟應(yīng)取哪一個(gè)作為微擾波函數(shù)的零級(jí)近似。所以在簡并情況下，首先要解決的問題是如何選取零級(jí)近似波函數(shù)的問題，然后才是求能量和波函數(shù)的各級(jí)修正。假設(shè)是簡并的，即屬于H(0)的本征值第三節(jié)簡并微擾理論級(jí)近似波函數(shù)肯定應(yīng)從這k個(gè)本征函數(shù)中挑選，而它應(yīng)滿足上節(jié)按λ冪次分類得到的方程：取的線性組合作為零級(jí)波函數(shù)代入上式可得第三節(jié)簡并微擾理論級(jí)近似波函數(shù)肯定應(yīng)從這k個(gè)本征函數(shù)第三節(jié)簡并微擾理論左乘,并積分可得可以看出所以第三節(jié)簡并微擾理論左乘,并積分可得可以看第三節(jié)簡并微擾理論關(guān)于系數(shù)的線性齊次方程組要使系數(shù)有非零解久期方程第三節(jié)簡并微擾理論關(guān)于系數(shù)的線性齊次方程組要使系數(shù)解此久期方程,可得能量的一級(jí)修正

的k個(gè)根：因?yàn)樗?若這k個(gè)根都不相等，那末一級(jí)微擾就可以將k度簡并完全消除；若

有幾個(gè)重根,則表明簡并只是部分消除,必須進(jìn)一步考慮二級(jí)修正才有可能使能級(jí)完全分裂開來。為了確定能量所對(duì)應(yīng)的零級(jí)近似波函數(shù),可以把

之值代入線性方程組從而解得一組ci(i=1,2,...,k)系數(shù)，將該組系數(shù)代回展開式就能夠得到相應(yīng)的零級(jí)近似波函數(shù)。第三節(jié)簡并微擾理論對(duì)應(yīng)修正的零級(jí)近似波函數(shù)改寫為解此久期方程,可得能量的一級(jí)修正的k個(gè)根：為了例1.氫原子一級(jí)Stark效應(yīng)(1)Stark效應(yīng):氫原子在外電場作用下產(chǎn)生譜線分裂現(xiàn)象我們知道電子在氫原子中受到球?qū)ΨQ庫侖場作用，造成第n個(gè)能級(jí)有n2度簡并。但是當(dāng)加入外電場后，由于勢場對(duì)稱性受到破壞，能級(jí)發(fā)生分裂，簡并部分被消除。Stark效應(yīng)可以用簡并情況下的微擾理論予以解釋。(2)外電場下氫原子哈密頓量取外電場沿

z正向。通常外電場強(qiáng)度比原子內(nèi)部電場強(qiáng)度小得多例如,強(qiáng)電場≈107伏/米,而原子內(nèi)部電場≈1011伏/米,二者相差4個(gè)量級(jí).所以我們可以把外電場的影響作為微擾處理.第三節(jié)簡并微擾理論二.例題例1.氫原子一級(jí)Stark效應(yīng)(1)Star(3)

H0

的本征值和本征函數(shù)下面我們只討論n=2的情況，這時(shí)簡并度n2=4。屬于該能級(jí)的4個(gè)簡并態(tài)是：第三節(jié)簡并微擾理論(3)H0的本征值和本征函數(shù)下面我們只討論n=2由簡并微擾理論知,求解久期方程,須先計(jì)算出微擾哈密頓量H′在以上各態(tài)的矩陣元。第三節(jié)簡并微擾理論(4)求H′

在各態(tài)中的矩陣元因?yàn)樗杂珊啿⑽_理論知,求解久期方程,須先計(jì)算出微擾哈密頓量由簡并微擾理論知,求解久期方程,須先計(jì)算出微擾哈密頓量H′在以上各態(tài)的矩陣元。第三節(jié)簡并微擾理論(4)求H′

在各態(tài)中的矩陣元因?yàn)橐驗(yàn)橐驗(yàn)橛珊啿⑽_理論知,求解久期方程,須先計(jì)算出微擾哈密頓量第三節(jié)簡并微擾理論第三節(jié)簡并微擾理論第三節(jié)簡并微擾理論(5)求一級(jí)修正能量：將H′的矩陣元代入久期方程:解得4個(gè)根:由此可見,在外場作用下，原來4度簡并的能級(jí)

在一級(jí)修正下，被分裂成3條能級(jí)，簡并部分消除。當(dāng)躍遷發(fā)生時(shí),原來的一條譜線就變成了3條譜線。其頻率一條與原來相同,另外兩條中一條稍高于一條稍低于原來頻率。第三節(jié)簡并微擾理論(5)求一級(jí)修正能量：將H′的矩陣元分別將

的4個(gè)值代入方程組：第三節(jié)簡并微擾理論(6)求零級(jí)近似波函數(shù):

代入上面方程，得：所以相應(yīng)于能級(jí)的零級(jí)近似波函數(shù)是：分別將的4個(gè)值代入方程組：第三節(jié)簡并微第三節(jié)簡并微擾理論

代入上面方程，得：所以相應(yīng)于能級(jí)的零級(jí)近似波函數(shù)是：

代入上面方程，得：第三節(jié)簡并微擾理論代入例2.有一粒子，其哈密頓量的矩陣形式為：，其中求能級(jí)的一級(jí)近似和波函數(shù)的零級(jí)近似。解：H0

的本征值問題是三重簡并的，這是一個(gè)簡并微擾問題。解得：(1)求本征能量由久期方程

得：第三節(jié)簡并微擾理論記為例2.有一粒子，其哈密頓量的矩陣形式為：(2)求解0級(jí)近似波函數(shù)由歸一化條件：則第三節(jié)簡并微擾理論將

代入方程，得：解得：(2)求解0級(jí)近似波函數(shù)由歸一化條件：則第三節(jié)簡并微(2)求解0級(jí)近似波函數(shù)第三節(jié)簡并微擾理論將

代入方程，得：解得：即所以：同理可得：(2)求解0級(jí)近似波函數(shù)第三節(jié)簡并微擾理論將（