模擬濾波器課件

第六章模擬濾波器內(nèi)容提要

信號(hào)無失真?zhèn)鬏敆l件濾波器的理想與實(shí)際特性濾波器設(shè)計(jì)方法巴特沃思濾波器設(shè)計(jì)切比雪夫?yàn)V波器設(shè)計(jì)返回目錄第六章模擬濾波器內(nèi)容提要返回目錄1§6-1濾波器原理概述1.濾波器概述在信號(hào)處理中，濾波器技術(shù)是用以從接收到的各種信號(hào)中提取所需要的信號(hào)，抑制或消除不必要的干擾信號(hào)。濾波器分模擬濾波器數(shù)字濾波器處理的信號(hào)均為模擬信號(hào)處理的信號(hào)均為數(shù)字信號(hào)下面以工業(yè)控制中常用的簡單RC無源低通濾波器說明其原理本章主要討論線性時(shí)不變模擬系統(tǒng)§6-1濾波器原理概述1.濾波器概述在信2濾波器原理如下圖示RC電路的低通濾波特性是由其頻率響應(yīng)特性決定的濾波器原理如下圖示RC電路的低通濾波特性是由其頻率響應(yīng)特性決3濾波器原理具體分析如下：上式兩邊進(jìn)行拉普拉斯變換，并求傳遞函數(shù)H(s),得令s=j代入上式得：其幅頻和相頻特性為濾波器原理具體分析如下：上式兩邊進(jìn)行拉普拉斯變換，并求傳遞函4濾波器原理

x(t)y(t)

y(t)=x(t)

y(t)

Y(s)=

[y(t)]=X(s)H(s)Y(

)=F

[y(t)]=X(

)H(

)h(t)經(jīng)典的模擬濾波器種類很多，一般按其功能分為：低通濾波器（LP），高通濾波器（HP），帶通濾波器（BP），帶阻濾波器（BS），全通濾波器（LP）。分別示于后。作為一個(gè)線性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)，模擬濾波器的傳輸特性分別在時(shí)域和頻域表示為單位沖激響應(yīng)h(t)和傳遞函數(shù)H(s)或頻率響應(yīng)H(

)。濾波器原理x(t)5濾波器原理低通系統(tǒng)帶通系統(tǒng)高通系統(tǒng)帶阻系統(tǒng)全通系統(tǒng)濾波器幅頻響應(yīng)分類濾波器原理低通系統(tǒng)帶通系統(tǒng)高通系統(tǒng)帶阻系統(tǒng)全通系統(tǒng)濾波器幅頻62.信號(hào)不失真?zhèn)鬏敆l件信號(hào)不失真條件：y(t)=Kx(t-t0)K為常數(shù)，表示輸入與輸出的波形無畸變。輸出波形只是在時(shí)間上有一定的滯后。2.信號(hào)不失真?zhèn)鬏敆l件信號(hào)不失真條件：y(t)=Kx(7信號(hào)不失真?zhèn)鬏敆l件對(duì)y(t)=Kx(t-t0

)

兩邊進(jìn)行FT有：上式為線性系統(tǒng)不失真?zhèn)鬏敆l件，即；幅頻特性|H(

)|為一常數(shù)K，相頻特性

()與成正比。如左圖示。信號(hào)不失真?zhèn)鬏敆l件對(duì)y(t)=Kx(t-t08信號(hào)不失真?zhèn)鬏敆l件若不滿足信號(hào)不失真?zhèn)鬏敆l件，線性系統(tǒng)中信號(hào)的傳輸會(huì)產(chǎn)生幅度失真和相位失真。幅度失真：相位失真：指系統(tǒng)對(duì)信號(hào)中各頻率分量產(chǎn)生不同程度的衰減，造成各頻率分量幅度的相對(duì)比例產(chǎn)生變化。指系統(tǒng)對(duì)各頻率分量產(chǎn)生的相移與頻率不成正比，造成各頻率分量在時(shí)間軸上的相對(duì)位置產(chǎn)生變化。如圖表示一含有基波和二次諧波的輸入信號(hào)x(t),通過不失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)后，輸出信號(hào)y(t)中基波和二次諧波分量的幅度關(guān)系保持不變，延遲時(shí)間也相同，均為t0，無失真。信號(hào)不失真?zhèn)鬏敆l件若不滿足信號(hào)不失真?zhèn)鬏敆l件9信號(hào)不失真?zhèn)鬏敆l件對(duì)上圖具體分析如下：設(shè)x(t)

表達(dá)式為當(dāng)其通過一線性系統(tǒng)后，各諧波分量幅度均放大Ｋ倍，同時(shí)各頻率分量產(chǎn)生相同的相移，輸出信號(hào)y(t)為為使基波和二次諧波產(chǎn)生相同的延遲時(shí)間t0，應(yīng)有說明諧波的相移應(yīng)滿足以下關(guān)系信號(hào)不失真?zhèn)鬏敆l件對(duì)上圖具體分析如下：設(shè)x(t)表達(dá)式為10信號(hào)不失真?zhèn)鬏敆l件將以上關(guān)系推廣到高次諧波的情況，得出結(jié)論：為使信號(hào)傳輸時(shí)不產(chǎn)生相位失真，信號(hào)通過系統(tǒng)時(shí)各次諧波的相移必須與其頻率成正比。即而信號(hào)通過系統(tǒng)的延遲時(shí)間即為相頻特性的斜率，又稱群延遲。綜上所述，不失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的理想條件為：系統(tǒng)應(yīng)具有無限帶寬的恒定幅頻特性和線性相頻特性。實(shí)際系統(tǒng)的頻率特性無法滿足上述理想條件。一般只能要求在信號(hào)占有的有效頻帶范圍內(nèi)，系統(tǒng)的幅頻和相頻特性基本上滿足要求即可。信號(hào)不失真?zhèn)鬏敆l件將以上關(guān)系推廣到高次諧波的113.濾波器的理想特性與實(shí)際特性理想濾波器應(yīng)具備完全抑制無用的干擾信號(hào)，不失真?zhèn)鬏斢行盘?hào)的功能特性。從理想濾波器頻域范圍考慮在一般情況下有用信號(hào)和無用信號(hào)分別占有不同頻帶。因此理想濾波器只須在有用信號(hào)的頻帶內(nèi)保持幅值為一常數(shù)，相位為線性。而在該頻帶以外幅值應(yīng)下降為零，相位則無關(guān)緊要。故稱理想濾波器中使信號(hào)容易通過的頻帶為通頻帶，抑制信號(hào)通過的頻帶為阻帶。理想濾波器是一個(gè)非因果系統(tǒng)，因此是物理不可實(shí)現(xiàn)的，下面以一個(gè)例子加以說明。設(shè)一理想低通濾波器的頻率特性表示為其中：

c—理想低通濾波器通帶截止頻率；

td—延遲時(shí)間。以下通過理想低通濾波器的沖激響應(yīng)進(jìn)行分析，并設(shè)K=1；3.濾波器的理想特性與實(shí)際特性理想濾波器應(yīng)12濾波器的理想特性與實(shí)際特性h(t)

波形示于后面的圖中。從圖中可見在t=0瞬間輸入信號(hào)為一單位沖激激勵(lì)信號(hào)

(t)

，在延遲了t0

后響應(yīng)h(t)

波形才達(dá)到最大值。且當(dāng)t<0時(shí)，h(t)

0，說明當(dāng)t<0時(shí)也存在響應(yīng)，不符合因果系統(tǒng)條件，因此該理想濾波器物理上無法實(shí)現(xiàn)。濾波器的理想特性與實(shí)際特性h(t)波形示13濾波器的理想特性與實(shí)際特性因果性在時(shí)域中表現(xiàn)為響應(yīng)必須出現(xiàn)在激勵(lì)之后。因果系統(tǒng)的幅頻特性|H(

)|滿足：理想低通濾波器的沖激響應(yīng)且還應(yīng)滿足下面關(guān)系式：稱之為“佩利-維納”準(zhǔn)則不滿足因果性濾波器的理想特性與實(shí)際特性因果性在時(shí)域中表現(xiàn)為響應(yīng)必須出現(xiàn)在14濾波器的理想特性與實(shí)際特性可以看出，如果系統(tǒng)的幅頻特性|H(

)|在某一有限頻帶中為零，則|ln|H(

)||

,“佩利-維納”準(zhǔn)則式中的積分不再是有限值，而是趨于無窮大，系統(tǒng)不滿足因果性故在物理上不可實(shí)現(xiàn)。結(jié)論：理想濾波器都是物理上不可實(shí)現(xiàn)的。如果系統(tǒng)是物理可實(shí)現(xiàn)的，其幅頻特性只能在某些頻率點(diǎn)上為零，而不能在一個(gè)有限頻帶內(nèi)為零。

虛線表示：

理想濾波器實(shí)線表示：實(shí)際濾波器濾波器的理想特性與實(shí)際特性可以看出，如果系統(tǒng)15§6-2傳遞函數(shù)設(shè)計(jì)的一般方法1.

幅度平方函數(shù)及性質(zhì)

通過求

|H(jω)|2

尋找|H(s)|，從而求出

h(t)=

-1[H(s)]。由于|H(jω)|

具有共軛對(duì)稱性，即

得

令稱|H(jω)|2

為幅度平方函數(shù)上式說明幅度平方函數(shù)是以ω為變量的有理函數(shù)§6-2傳遞函數(shù)設(shè)計(jì)的一般方法1.幅度平方函數(shù)及性質(zhì)162.由幅度平方函數(shù)A(

2)求傳遞函數(shù)H(s)

按幅度平方函數(shù)和傳遞函數(shù)的關(guān)系，得比較以上兩式，得由上式可知，將幅度平方函數(shù)A(

2)中的

2用-s2代入即可求出A(-s2)，并求出其零極點(diǎn)再恰當(dāng)?shù)姆峙浣oH(s)和H(-s)，便可求出H(s)。但是如果要求H(s)為具有最小相位系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，H(s)

的零點(diǎn)亦應(yīng)選擇左半平面，則H(s)的選擇就是唯一的。為使濾波器系統(tǒng)穩(wěn)定，須將左半平面的極點(diǎn)分配給H(s)

，右半平面極點(diǎn)分配給H(-s)。零點(diǎn)選擇無此限制。2.由幅度平方函數(shù)A(2)求傳遞函數(shù)H(s)按幅度平方17§6-3巴特沃思濾波器1.巴特沃思濾波器的幅頻特性巴特沃思濾波器的幅度平方函數(shù)定義為：或式中：n為正整數(shù)，

c為截止角頻率?？梢奵對(duì)應(yīng)的|H(c)|，其衰減為(c)=-20lg|H(c)|=3dB,稱c是濾波器電壓-3dB點(diǎn)或半功率點(diǎn)。由巴特沃思濾波器特性曲線得出不同階次的濾波器幅頻特性有以下特點(diǎn)：§6-3巴特沃思濾波器1.巴特沃思濾波器的幅頻特性巴18巴特沃思濾波器的幅頻特性2.巴特沃思濾波器傳遞函數(shù)與極點(diǎn)分布關(guān)系在=0處|H(j)|的前(2n-1)階導(dǎo)數(shù)都為零，表明巴特沃思濾波器在=0附近的一段范圍內(nèi)是非常平直的。在=c處|H(jc)|=0.707，即幅頻特性曲線在c點(diǎn)下降3dB。隨著n的增加通帶下降愈陡峭接近理想，但總是通過-3dB點(diǎn)。當(dāng)>c時(shí)，幅頻特性以20ndB/dec速率下降。|H(j)|在通帶和阻帶上的單調(diào)性，說明該濾波器有較好的相頻特性。巴特沃思濾波器幅度平方函數(shù)|H(j)|2無零點(diǎn)分布，極點(diǎn)為2n個(gè)且成等角度分布在以|s|=

c為半徑的圓周上，稱為巴特沃思圓。具體分析如后：（1）最大平坦性（2）3dB不變性（3）通帶、阻帶下降單調(diào)性巴特沃思濾波器的幅頻特性2.巴特沃思濾波器傳遞函數(shù)與極點(diǎn)19巴特沃思濾波器傳遞函數(shù)與極點(diǎn)分布關(guān)系令j=s有為求出|H(s)|2的2n個(gè)極點(diǎn)，可由下面的推導(dǎo)得出；當(dāng)n為偶數(shù)，有當(dāng)n為奇數(shù)，有巴特沃思濾波器傳遞函數(shù)與極點(diǎn)分布關(guān)系令j=s有為求出|20巴特沃思濾波器傳遞函數(shù)與極點(diǎn)分布關(guān)系Sk即為|H(s)|2的極點(diǎn)，極點(diǎn)分布有以下特點(diǎn)：

|H(s)|2

的２n個(gè)極點(diǎn)以／n為間隔均勻分布在半徑|s|=c的圓周上，稱為巴特沃思圓。所有極點(diǎn)以虛軸為對(duì)稱軸分布，且虛軸上無極點(diǎn)。當(dāng)n

為奇數(shù)時(shí)，有兩個(gè)極點(diǎn)分布在s=c的實(shí)軸上；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，實(shí)軸上無極點(diǎn)，所有極點(diǎn)均以虛軸呈對(duì)稱分布。此圖給出了n=3,n=4|H(s)|2極點(diǎn)分布巴特沃思濾波器傳遞函數(shù)與極點(diǎn)分布關(guān)系Sk即為|H(s)|21巴特沃思濾波器傳遞函數(shù)與極點(diǎn)分布關(guān)系為得到穩(wěn)定的H(s)，取|H(s)|2的左半平面極點(diǎn)；即將分子、分母分別除

cn

，并令s

=s/

c

，s

稱為歸一化復(fù)頻率；得巴特沃思濾波器傳遞函數(shù)與極點(diǎn)分布關(guān)系為得到穩(wěn)定的H(s)，取22巴特沃思濾波器傳遞函數(shù)與極點(diǎn)分布關(guān)系將以上兩式的分母多項(xiàng)式制成相應(yīng)的表格6.3-1，稱該分母多項(xiàng)式為巴特沃思多項(xiàng)式（此處s

仍寫為s)。巴特沃思濾波器傳遞函數(shù)與極點(diǎn)分布關(guān)系將以上兩23表6.3-1巴特沃思濾波器傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式形式n

巴特沃思多項(xiàng)式Bn(s)1s+12s2+2s+13(s+1)(s2+s+1)4(s2+0.7654s+1)(s2+1.8478s+1)5(s+1)(s2+0.6180s+1)(s2+1.6180s+1)6(s2+0.5176s+1)(s2+1.412s+1)(s2+1.9319s+1)7(s+1)(s2+0.445s+1)(s2+1.247s+1)(s2+1.802s+1)8(s2+0.3902s+1)(s2+1.111s+1)(s2+1.1663s+1)(s2+1.9616s+1)設(shè)計(jì)者只需根據(jù)設(shè)計(jì)要求，選擇合適的濾波器，查索圖表即可得到符合要求的傳遞函數(shù)。表6.3-1巴特沃思濾波器傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式形式n24§6-4切比雪夫?yàn)V波器巴特沃思濾波器的幅頻特性隨的增加而單調(diào)衰減，若n較小，阻帶幅頻特性下降較慢。與理想濾波器的特性相差較大。如果要求阻帶特性迅速衰減，就需增加濾波器的階數(shù)，則濾波器實(shí)現(xiàn)的硬件結(jié)構(gòu)趨于復(fù)雜。而切比雪夫?yàn)V波器因其在通帶內(nèi)的等波紋幅度特性及在阻帶內(nèi)具有更大的衰減特性，也得到廣泛的應(yīng)用。

故又稱之為通帶等波紋濾波器6.4-1切比雪夫多項(xiàng)式切比雪夫多項(xiàng)式Tn(

)定義：其中：n為切比雪夫多項(xiàng)式階次若記x=arccos

，則可得|

|1時(shí)Tn(

)的各階多項(xiàng)式為：§6-4切比雪夫?yàn)V波器巴特沃思濾波器的幅25切比雪夫?yàn)V波器此式稱為三項(xiàng)遞推公式，利用它可求得|

|1時(shí)的任意階次的切比雪夫多項(xiàng)式切比雪夫?yàn)V波器此式稱為三項(xiàng)遞推公式，利用它可求26切比雪夫多項(xiàng)式nTn(

)1

22

2-134

3–3484-82+1516

5-203–5632

6-484+182–1764

7-1125+563-78128

8-2566+1604-322+192569-5767+4325-1203+910512

10-12808+11206-4004+50-1表6.4-1|

|1時(shí)切比雪夫多項(xiàng)式這里給出了1

10階的切比雪夫多項(xiàng)式切比雪夫多項(xiàng)式nTn()1222-1343–3427切比雪夫多項(xiàng)式曲線圖中分別畫出了|

|1及n=1,2,3,4時(shí)的切比雪夫多項(xiàng)式T1()T4()的曲線從切比雪夫多項(xiàng)式Tn()和上圖可以發(fā)現(xiàn)Tn()有如下特點(diǎn)：切比雪夫多項(xiàng)式曲線圖中分別畫出了|28切比雪夫多項(xiàng)式特點(diǎn)（1）|

|

1時(shí)，Tn()在1之間波動(dòng)；（2）

=1時(shí)，Tn(1)=1；（3）

=0時(shí)，若n為奇數(shù)，Tn(0)=0；若n為偶數(shù)，Tn(0)=1；（4）n為奇數(shù)，Tn()為奇函數(shù)；n為奇數(shù)，Tn()為偶函數(shù)；（5）|

|>1時(shí)，Tn()隨增加而單調(diào)增大，n越大Tn()增加的越迅速。Tn()特點(diǎn)切比雪夫多項(xiàng)式特點(diǎn)（1）||1時(shí)，Tn()在296.4-2切比雪夫?yàn)V波器的幅頻特性定義：其中：Tn(/c)

為切比雪夫多項(xiàng)式；n為濾波器階數(shù)；

c

為通帶截止角頻率，是被通帶所限制的最高角頻率，且

c

3dB

；0<<1

表示通帶內(nèi)幅度波動(dòng)程度；

越小，幅度波動(dòng)越小。切比雪夫幅度平方函數(shù)n=3n=4n=5右圖是按上面定義中的公式畫出的切比雪夫?yàn)V波器幅頻特性6.4-2切比雪夫?yàn)V波器的幅頻特性定義：其中：Tn(/30切比雪夫?yàn)V波器的幅頻特性下圖為

n=5時(shí)通帶內(nèi)幅頻特性曲線與Tn(/c)

的關(guān)系：此為歸一化形式的|H(j/c)|與T5(/c)之間關(guān)系曲線。切比雪夫?yàn)V波器的幅頻特性下圖為n=5時(shí)通帶內(nèi)幅頻特性31切比雪夫?yàn)V波器的幅頻特性由前面兩圖可以看出|H(j

)|有如下特性：在0

c1之間在1~(1+2)-?

范圍內(nèi)等幅波動(dòng)，

越小，波動(dòng)幅度越?。辉?0時(shí)，n為奇數(shù)，|H(0)|=(1+2)-?

；無論n為何值，當(dāng)=c時(shí)，|H(0)|=(1+2)-?

；當(dāng)>c時(shí)，曲線以20ndB/Dec呈單邊下降趨勢(shì)，n越大，曲線衰減越快；由于通帶內(nèi)的起伏性，因而使通帶內(nèi)相位特性也有相應(yīng)的起伏波動(dòng)狀態(tài)，即相位是非線性的，它對(duì)信號(hào)傳輸時(shí)帶來線性畸變，所以在要求群延時(shí)為常數(shù)時(shí)不宜采用該濾波器。切比雪夫?yàn)V波器的幅頻特性由前面兩圖可以看出|H(j)|有如326.4-3切比雪夫?yàn)V波器傳遞函數(shù)與極點(diǎn)分布利用切比雪夫幅度平方函數(shù)定義求其系統(tǒng)函數(shù)H(s)。將=-js代入中的定義式得；為求上式的極點(diǎn)分布需求解方程考慮到–js/是復(fù)變量，因此設(shè)6.4-3切比雪夫?yàn)V波器傳遞函數(shù)與極點(diǎn)分布利用切比雪夫幅33切比雪夫?yàn)V波器傳遞函數(shù)與極點(diǎn)分布將–js/=cos代入Tn(

)中任一個(gè)，且令此式等于±j

-1，求解

、

得；得：解得滿足上式的

、

為；切比雪夫?yàn)V波器傳遞函數(shù)與極點(diǎn)分布將–js/=cos代34切比雪夫?yàn)V波器傳遞函數(shù)與極點(diǎn)分布將

、

代回求得極點(diǎn)值為；Sk

就是切比雪夫?yàn)V波器幅度平方函數(shù)H(s)H(-s)的極點(diǎn)，且實(shí)部和虛部分別為；切比雪夫?yàn)V波器傳遞函數(shù)與極點(diǎn)分布將、代回求得極點(diǎn)值為35切比雪夫?yàn)V波器傳遞函數(shù)與極點(diǎn)分布將

k

除以a，

k除以

b，再平方相加得上式是一個(gè)在S平面上的橢圓方程，其長軸和短軸分別位于實(shí)軸和虛軸上。H(s)·H(-s)

的極點(diǎn)分布在橢圓的圓周上。給定

，n及

c

即可由

k

、

k求出全部極點(diǎn)Sk，取左半平面的極點(diǎn)，可得出H(s)的表達(dá)式為令其中：Sk=

k+j

k。A為待求常數(shù)，按定義可得切比雪夫?yàn)V波器傳遞函數(shù)與極點(diǎn)分布將k除以a，k36切比雪夫?yàn)V波器傳遞函數(shù)與極點(diǎn)分布考慮到Tn(-js/

c)是-js/

c的多項(xiàng)式，最高階次系數(shù)為2n-1，因此常數(shù)A滿足則切比雪夫?yàn)V波器的傳遞函數(shù)H(s)表示為下面的圖畫出了n=3、n=4時(shí)切比雪夫?yàn)V波器的極點(diǎn)分布。極點(diǎn)所在的橢圓可以和半徑為a的圓與半徑為b的圓聯(lián)系起來，這兩個(gè)圓分別稱為巴特沃思小圓和巴特沃思大圓。切比雪夫?yàn)V波器傳遞函數(shù)與極點(diǎn)分布考慮到Tn(-js/c)37切比雪夫?yàn)V波器極點(diǎn)分布切比雪夫?yàn)V波器的截止角頻率

c不同于巴特沃思濾波器所規(guī)定的-3dB處角頻率，而是通帶邊緣的頻率。當(dāng)紋波參數(shù)

滿足切比雪夫?yàn)V波器極點(diǎn)分布可以求得-3dB處角頻率為切比雪夫?yàn)V波器極點(diǎn)分布切比雪夫?yàn)V波器的截止角頻率c不同于巴38歸一化切比雪夫?yàn)V波器傳遞函數(shù)和巴特沃思濾波器一樣，令s’=s/

c所表示的H(s’)是歸一化的切比雪夫?yàn)V波器傳遞函數(shù)。將H(s’)的分母多項(xiàng)式Bn(s)在不同的n時(shí)制成如下所示的表格，可供設(shè)計(jì)時(shí)參考。由于紋波參數(shù)

的不同，有大量的這種設(shè)計(jì)表格，此處只列出通帶起伏為1dB時(shí)H(s’)的分母多項(xiàng)式Bn(s)與n的關(guān)系。則歸一化切比雪夫I型低通原型濾波器傳遞函數(shù)為：Bn(s)(1dB波紋，

=0.508874)na0a1a2a3a4a5a611.965221.10251.099730.49131.23840.988340.27560.74261.45390.952850.12280.58050.97441.68880.936860.06890.30710.93931.20211.93080.928370.03070.21370.54861.35751.42882.17610.9231歸一化切比雪夫?yàn)V波器傳遞函數(shù)和巴特沃思濾波器一樣，令s’=39§6-4模擬濾波器的頻率變換在實(shí)際工程設(shè)計(jì)中，是利用低通原型濾波器設(shè)計(jì)高通、帶通、帶阻濾波器。主要采用頻率變換法設(shè)計(jì)流程如下：所謂頻率變換是指其他各類型濾波器的H(s)與“低通原型濾波器”的H(s)中的頻率自變量之間的變換關(guān)系。通過這種頻率變換關(guān)系，高通、帶通、帶阻等濾波器的綜合設(shè)計(jì)問題都可轉(zhuǎn)化為低通設(shè)計(jì)的問題。模擬濾波器設(shè)計(jì)流程圖轉(zhuǎn)換為