高等數(shù)學-(上)課件

書名：高等數(shù)學（上）ISBN：978-7-111-30309-1作者：陶金瑞出版社：機械工業(yè)出版社本書配有電子課件高等數(shù)學（上）高職高專ppt課件書名：高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）高職高專ppt第二章導數(shù)與微分學習目標：1、理解導數(shù)與微分概念的意義；2、能熟練計算初等函數(shù)的導數(shù)與微分。高等數(shù)學高等數(shù)學（上）高職高專ppt課件第二章導數(shù)與微分學習目標：高等數(shù)學高等數(shù)學（上）高導數(shù)的概念求導法則和基本求導公式函數(shù)的微分隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定函數(shù)的導數(shù)高階導數(shù)主要內容高等數(shù)學（上）高職高專ppt課件導數(shù)的概念求導法則和基本求導公式函數(shù)的微分隱函數(shù)和由參數(shù)方程一、兩個實例

1．變速直線運動的瞬時速度

自由落體運動:

第一節(jié)

導數(shù)的概念

第二步：

求

第三步：

求第一步：求高等數(shù)學（上）高職高專ppt課件一、兩個實例

1．變速直線運動的瞬時速度

自由落體運動:

在曲線上任取不同于M0點的一點M，作割線M0M.當點M沿著曲線移動并趨于M0點時，割線就以點M0為軸轉動，割線M0M的極限位置M0T就叫做曲線在點M0處的切線，點M0叫做切點。

曲線切線的定義高等數(shù)學（上）高職高專ppt課件在曲線上任取不同于M0點的一點M，作割線M0M.當點M沿第一步：求

第二步：求第三步：求切線斜率的求法高等數(shù)學（上）高職高專ppt課件第一步：求第二步：求第三步：求切線斜率的求法高等數(shù)學（上

二、導數(shù)的定義

設函數(shù)在點及其近旁有定義，當自變量有增量時，函數(shù)有相應的增量當時，若的極限存在，則極限值就稱為函數(shù)在點的導數(shù)，并稱函數(shù)在點導數(shù)），記為 ，即也可記為或.可導（或有=或高等數(shù)學（上）高職高專ppt課件二、導數(shù)的定義

設函數(shù)在點及其近旁有定義，當自變量有增量

解（1）求函數(shù)改變量 （2）求（3）當時，求的極限：所以，0例1求在點處的導數(shù)高等數(shù)學（上）高職高專ppt課件 解（1）求函數(shù)改變量 （2）求（3）當時，求的極限注意:是函數(shù)（1）在區(qū)間或上的平均變化率；而則是函數(shù)在點的變化率，它反映了函數(shù)隨自變量變化的快慢程度.（2）如果極限不存在，則稱在點不可導；如果不可導的原因是當時所引起的，則稱函數(shù)在點的導數(shù)為無窮大.高等數(shù)學（上）高職高專ppt課件注意:是函數(shù)（1）在區(qū)間或上的平均變化率；而則是函數(shù)在三、函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關系

定理

注意：一個函數(shù)在某點連續(xù)，

但在該點函數(shù)不一定可導.

如果函數(shù)在點處可導,則它一定在點處連續(xù).高等數(shù)學（上）高職高專ppt課件三、函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關系

定理注意：一個函數(shù)在某四、函數(shù)在區(qū)間內可導的概念

如果函數(shù)在區(qū)間內的每一點都可導，則稱函數(shù)在區(qū)間內可導.這時，對于區(qū)間內的每一個確定的值，都有唯一的導數(shù)值 與之對應，即所以也是的函數(shù)，稱作在 導函數(shù)，記作或內的,.,說明在點的導數(shù)值就是導函數(shù)在點的函數(shù)值，即：四、函數(shù)在區(qū)間內可導的概念如果函數(shù)在區(qū)間內的每一點都可導，例2

=解：所以：導函數(shù)也簡稱導數(shù).

求一個函數(shù)的導數(shù)運算稱為微分法.說明例2=解：所以：導函數(shù)也簡稱導數(shù).說明五、求導數(shù)舉例

例3求常值函數(shù)的導數(shù).解：所以也就是說，常數(shù)的導數(shù)等于零，即五、求導數(shù)舉例

例3求常值函數(shù)的導數(shù).解：所以也就例4求冪函數(shù)的導數(shù).(過程略)冪函數(shù)求導舉例例4求冪函數(shù)的導數(shù).(過程略)冪函數(shù)求導舉例例5求正弦函數(shù)的導數(shù).解(1)計算函數(shù)增量(2)算比值（3）取極限由此可得同理例5求正弦函數(shù)的導數(shù).解(1)計算函數(shù)增量(2)例6求對數(shù)函數(shù) 的導數(shù).解由此得到

特別地例6求對數(shù)函數(shù) 的導數(shù).解由此得到特別地例7求指數(shù)函數(shù) 的導數(shù).解利用極限，得由此得到例7求指數(shù)函數(shù) 的導數(shù).解利用極限，得由此得到六、左導數(shù)和右導數(shù)

左導數(shù)：右導數(shù)：結論：六、左導數(shù)和右導數(shù)左導數(shù)：右導數(shù)：結論：解：例解：例七、導數(shù)的物理意義與幾何意義

曲線在某點處的切線斜率變速直線運動的瞬時速度幾何意義物理意義曲線在點則曲線在點 處的切線方程為：法線方程為的切線斜率七、導數(shù)的物理意義與幾何意義

曲線在某點處的切線斜率變速直線解：所以，該物體在任意時刻的速度在時的瞬時速度為解：所以，該物體在任意時刻的速度在時的瞬時速度為解是曲線上任意點處的切線斜率（1）在點處，因為

，所以切線斜率為根據(jù)直線方程的點斜式，得整理得切線方程為法線方程為整理得k=解是曲線上任意點處的切線斜率（1）在點處，因為 ，所以切第二節(jié)求導法則和基本求導公式

設1.2.3.一、函數(shù)四則運算的求導法則

都是的可導函數(shù)，則推論第二節(jié)求導法則和基本求導公式

設1.2.3.一、函數(shù)四則例1求下列函數(shù)的導數(shù)：

（1）（2）（3）（4）(1)解例1求下列函數(shù)的導數(shù)：

（1）（2）（3）（4）(1)解(3)(4)(2)(3)(4)(2)例2

設，求。解：所以例2設例3求下列函數(shù)的導數(shù)

因此因此解（1）例3求下列函數(shù)的導數(shù)因此因此解（1）

在求導時先對函數(shù)變形再求導，有時可簡化運算過程.

在求導時先對函數(shù)變形再求導，有時可簡化運算過程.例5：求曲線在點處的切線方程和法線方程。于是曲線在點的切線方程是即曲線在點的法線方程是即例5：求曲線在點二、復合函數(shù)求導法則

引例:注意：而是的復合函數(shù)。不是基本初等函數(shù)，分析?二、復合函數(shù)求導法則引例:注意：而是的復合函數(shù)。復合函數(shù)求導法則:

如果函數(shù)在點處可導，函數(shù)

點處也可導，則復合函數(shù)在點可

也可寫成或在對應導，且注:復合函數(shù)求導法又稱為鏈鎖法則，它可以推廣到多個函數(shù)復合的情形.

復合函數(shù)求導法則:如果函數(shù)在點處可導，函數(shù) 點例1利用復合函數(shù)求導法則求下列函數(shù)的導數(shù).

解

（1）函數(shù)由復合而成（2）（3）注:復合函數(shù)的復合層次多于兩層時，其計算方法完全一樣，只需逐層求導即可。例1利用復合函數(shù)求導法則求下列函數(shù)的導數(shù). 解例2求下列函數(shù)的導數(shù)

（1）

函數(shù)由與復合而成解：所以（2）設，則例2求下列函數(shù)的導數(shù) （1）函數(shù)由與復合而

例3

求的導數(shù).解

例4求下列函數(shù)的導數(shù)

(1)(2)(3) 例3求解

（1）有理化分母然后求導數(shù)，得（2）先用對數(shù)性質展開，得

然后求導數(shù)，得解 （1）有理化分母然后求導數(shù)，得（2）先用對數(shù)性質展開，（3）先化簡，得然后求導數(shù)，得（3）先化簡，得然后求導數(shù)，得1．基本初等函數(shù)的導數(shù)公式(見教材)

三、求導公式與求導法則匯總

2．函數(shù)四則運算的求導法則

（C為常數(shù)）. （C為常數(shù)）.(1)(2)(3)(4)(5)1．基本初等函數(shù)的導數(shù)公式(見教材)

三、求導公式與求導法則3．復合函數(shù)求導法則

設則復合函數(shù)

的導數(shù)為：或寫成或,.3．復合函數(shù)求導法則

設則復合函數(shù) 的導數(shù)為：或寫成或,.例1求下列函數(shù)的導數(shù)

(1)(2)(3)(4)(5)例1求下列函數(shù)的導數(shù)(1)(2)(3)(4)(5)解(1)(2)（3）解(1)(2)（3）（4）（5）（4）（5）

第三節(jié)函數(shù)的微分一、微分的概念

圖2-4

0x

第三節(jié)函數(shù)的微分一、微分的概念圖2-4若用表示薄板的面積，表示邊長，則.于是面積的改變量為從上式可以看出，由兩項構成，和是次要部分.于是，當我們把忽略不記時，就是的近似值，即分析若用表示薄板的面積，表示邊長，則上式中的系數(shù)，就是函數(shù)在點的導數(shù)這就是說，函數(shù)的自變量在點的改變量時，函數(shù)的改變量約等于其在點的導數(shù)與 的乘積.于是上式又可表示為.有微小分析上式中的系數(shù)，就是函數(shù)設函數(shù)在點處可導，即 根據(jù)函數(shù)極限與無窮小的關系，有其中，由此得這表明，函數(shù)的改變量是由和兩項所組成.，設函數(shù)在點處可導，即 根據(jù)函數(shù)極限與無窮小的關系，有其中，由當時，由知：是 的同階無窮小，是較 高階的無窮小.當時，由知：是 的同階無窮小，是較 高階的無窮小.由此可見，當時，在函數(shù)的改變量中，起主要作用的是，它與的差是一個較高階的無窮小.因此，是的主要部分；又因為是的線性函數(shù)，所以通常稱為 的線性主要部分（簡稱線性主部）由此可見，當時，在函數(shù)的改變量中，起主要作用的是，它與的差是定義

設函數(shù)在點處可導，則稱為函數(shù)在點的微分記號：或此時稱函數(shù)在點可微.如果函數(shù)在區(qū)間內每一點可微，則稱函數(shù)在區(qū)間內可微.函數(shù)在任一點的微分，叫做函數(shù)的微分，一般或定義設函數(shù)在點處可導，則稱為函數(shù)在點的微分記號：或此時稱函特別地，即因此函數(shù)的導數(shù)等于函數(shù)的微分與自變量的微分的商.因 此，導數(shù)又稱微商.特別地，即因此函數(shù)的導數(shù)等于函數(shù)的微分與自變量的微分的商.解函數(shù)的微分當時的微分

函數(shù)的增量為結論:解函數(shù)的微分當時的微分 函數(shù)的增量為結論:例2求下列函數(shù)的微分

1.2.解：1.2.例2求下列函數(shù)的微分1.2.解：1.2.二、微分的幾何意義

二、微分的幾何意義由圖2-5可知：如圖2-5所示，過曲線上一點作曲線.當自變量在處取得改變量時，我們得到曲線上另一點的切線，切線的斜率由圖2-5可知：如圖2-5所示，過曲線上一點作曲線.當自變結論:函數(shù)在點的微分，等于曲線在點的切線上點的縱坐標對應于 的改變量. 這就是微分的幾何意義.結論:函數(shù)在點的微分，等于曲線在點的切線上點的縱1．微分的基本公式

三、微分的基本公式與運算法則

1．微分的基本公式三、微分的基本公式與運算法則高等數(shù)學-(上)ppt課件２．微分的四則運算法則

1).2).3).4).5).２．微分的四則運算法則

1).2).3).4).5).四微分形式不變性

是自變量時，函數(shù)如果則的微分為:因為,所以有結論：不論是自變量還是中間變量，函數(shù)的微分總保持同一形式.微分形式不變性四微分形式不變性是自變量時，函數(shù)如果則的微分為:因為,例1用兩種方法求下列函數(shù)的微分：

(1)(2)(3)例1用兩種方法求下列函數(shù)的微分：(1)(2)(3)解法1根據(jù)微分的定義

(1)(2)(3)解法1根據(jù)微分的定義(1)(2)(3)解法2根據(jù)微分的基本法則和微分形式不變性

(1)(2)(3)解法2根據(jù)微分的基本法則和微分形式不變性(1)(2)(3解：（1）因為所以 (C為任意常數(shù)).（2）同理（3）同理解：（1）因為所以 (C為任意常數(shù)).（2）同理例2在下列括號內填入適當?shù)暮瘮?shù),使等式成立.

(1)(2)(3)例2在下列括號內填入適當?shù)暮瘮?shù),使等式成立.

(1)(2解（1）因為所以 (C為任意常數(shù)).（2）同理（3）同理解（1）因為所以 (C為任意常數(shù)).（2）同理五、微分在近似計算中的應用

當很小時，亦即 將上式移項得此式常用來計算函數(shù)在點 附近的函數(shù)值的近似值.(2)(1)五、微分在近似計算中的應用當很小時，亦即 將上式移項得例1半徑為10的球充氣后半徑增加了0.02,求球

的體積大約增加了多少?

解設球的體積為，半徑為，則由已知，設球的體積的增加量為因為很小，所以可以用微分來近似代替而于是即球的體積大約增加了,..例1半徑為10的球充氣后半徑增加了0.02,求球例2計算的近似值 解由于所求的是余弦函數(shù)值,故選取函數(shù)于是因為所以取 (此時很小),代入上式得即例2計算的近似值在公式（2）中,當時,得（3）當很小時，可用公式（3）求函數(shù)在附近函數(shù)值的近似值.在公式（2）中,當當 很小時，可得工程上常用的近似公式(1)(6)(5)(3)(4)(2)當 很小時，可得工程上常用的近似公式(1)(6)(5)(3)一隱函數(shù)及其求導法

第四節(jié)隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定函數(shù)的導數(shù)

形如的函數(shù)，叫做顯函數(shù),如：由方程所確定的與叫做隱函數(shù).例如圓的方程以及等等因變量與自變量的關系是由一個的方程所確定的.之間的函數(shù)關系含有一隱函數(shù)及其求導法第四節(jié)隱函數(shù)和由參數(shù)方程形如顯函數(shù)有時很容易化成隱函數(shù).（1）在給定的方程兩邊分別對求導數(shù)，遇到 （2）從（1）所得式中解出（或）即可.隱函數(shù)求導方法: 時看成的函數(shù)，的函數(shù)看成的復合函數(shù)；顯函數(shù)有時很容易化成隱函數(shù).（1）在給定的方程兩邊分別對例1求由方程所確定的函數(shù)的導數(shù). 解：將方程兩邊對求導數(shù)，得所以說明：將此函數(shù)化為顯函數(shù)再求導，可得同樣結果.例1求由方程例2求由下列方程所確定的函數(shù)的導數(shù)：

(1)(2)解：(1)方程兩邊對求導數(shù)，得解出，得 （2）方程兩邊對求導數(shù)，得解得例2求由下列方程所確定的函數(shù)的導數(shù)：(1)(2)解：(

例3求圓在點的切線方程.解方程兩邊對求導數(shù)，得解出，得把點的坐標代入，得切線的斜率由直線方程的點斜式，得整理得切線方程為 例3求圓在點含多次積、商、冪的函數(shù)對數(shù)求導法例4求下列函數(shù)的導數(shù)：

(1)(2)形如的函數(shù)含多次積、商、冪的函數(shù)對數(shù)求導法例4求下列函數(shù)的導數(shù)： 解：（1）此函數(shù)是冪指函數(shù)，兩邊取自然對數(shù)解出，即得所給函數(shù)的導數(shù)為:化為隱函數(shù)，得:上式兩邊對求導數(shù)，得 解：（1）此函數(shù)是冪指函數(shù)，兩邊取自然對數(shù)解出（2）兩邊取對數(shù)并根據(jù)對數(shù)的運算法則，得

上式兩邊對求導數(shù)，得解出，即得原函數(shù)的導數(shù)為:（2）兩邊取對數(shù)并根據(jù)對數(shù)的運算法則，得上式兩邊對求導數(shù)，二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)

一般地，參數(shù)方程可以確定與 函數(shù)關系.這種關系，有時可以用顯函數(shù)表示出來.例如消去參數(shù)可得（稱為普通方程），由此可求出之間的，二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)一般地，參數(shù)方程可以確定根據(jù)導數(shù)又稱微商這一結論，在中同除以，得：即這就是參數(shù)方程所確定的與 方法，其結果一般仍為關于參數(shù)的解析式.的分子和分母之間的函數(shù)的求導但對于有些參數(shù)方程，它所確定的關于的函數(shù)關系，很難化為普通方程.根據(jù)導數(shù)又稱微商這一結論，在中同除以，得：即這就是參數(shù)方程所例1已知參數(shù)方程，求解根據(jù)參數(shù)方程的求導公式因為所以例1已知參數(shù)方程，求解根據(jù)參數(shù)方程的求導公式解:因為所以，所求切線的斜率為將代入所給參數(shù)方程中，得切點所以，切線的方程為整理得解:因為所以，所求切線的斜率為將代入所給參數(shù)方程中，得切解因為所以于是所求切線的斜率為解因為所以于是所求切線的斜率為一、

高階導