第23講：相關系數(shù)講義 高三藝考數(shù)學一輪復習

第23講：相關系數(shù)【課型】復習課【教學目標】1.了解相關系數(shù)的概念及范圍2.會用相關系數(shù)公式解決一些簡單問題【預習清單】【基礎知識梳理】1.相關系數(shù)：r=2..相關系數(shù)r范圍：3.當r>0時，表明兩個變量正相關；當r<0時，表明兩個變量負相關．r的絕對值越接近于1，表明兩個變量的線性相關性越強．r的絕對值越接近于0，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關關系。4.通常|r|大于0.75時，認為兩個變量有很強的線性相關性．【引導清單】考向一：相關系數(shù)及其應用例1：某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加．為調(diào)查該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，20)，其中xi和yi分別表示第i個樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動物的數(shù)量，并計算得eq\o(∑,\s\up6(20),\s\do4(i＝1))xi＝60，eq\o(∑,\s\up6(20),\s\do4(i＝1))yi＝1200，eq\o(∑,\s\up6(20),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝80，eq\o(∑,\s\up6(20),\s\do4(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2＝9000，eq\o(∑,\s\up6(20),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))·(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝800.(1)求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值(這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù))；(2)求樣本(xi，yi)(i＝1，2，…，20)的相關系數(shù)(精確到0.01)；(3)根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大．為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準確的估計，請給出一種你認為更合理的抽樣方法，并說明理由．【解】(1)由已知得樣本平均數(shù)eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,20)eq\o(∑,\s\up6(20),\s\do4(i＝1))yi＝60，從而該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值為60×200＝12000.(2)樣本(xi，yi)(i＝1，2，…，20)的相關系數(shù)r＝＝eq\f(800,\r(80×9000))＝eq\f(2\r(2),3)≈0.94.(3)分層抽樣：根據(jù)植物覆蓋面積的大小對地塊分層，再對200個地塊進行分層抽樣．【訓練清單】【變式訓練】隨著網(wǎng)絡的發(fā)展，網(wǎng)上購物越來越受到人們的喜愛，各大購物網(wǎng)站為增加收入，促銷策略越來越多樣化，促銷費用也不斷增加．下表是某購物網(wǎng)站2017年1～8月促銷費用x(萬元)和產(chǎn)品銷量y(萬件)的具體數(shù)據(jù)．月份12345678促銷費用x2361013211518產(chǎn)品銷量y11233.5544.5(1)根據(jù)數(shù)據(jù)繪制的散點圖能夠看出可用線性回歸模型擬合y與x的關系，請用相關系數(shù)r加以說明；(系數(shù)精確到0.001)(2)建立y關于x的回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))(系數(shù)精確到0.01)，如果該公司計劃在9月份實現(xiàn)產(chǎn)品銷量超6萬件，預測至少需投入促銷費用多少萬元．(結(jié)果精確到0.01)參考數(shù)據(jù)：（xi－11）（yi－3）＝74.5，（xi－11）2＝340，(yi－3)2＝16.5，eq\r(340)≈18.44，eq\r(16.5)≈4.06，其中xi，yi分別為第i個月的促銷費用和產(chǎn)品銷量，i＝1，2，3，…，8.參考公式：(i)樣本(xi，yi)(i＝1，2，…，n)的相關系數(shù)r＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)2\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yi－\x\to(y)2)).(ii)對于一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))的斜率和截距的最小二乘估計分別為eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up11(n),\s\do4(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(n),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).【解】(1)由題可知eq\o(x,\s\up6(－))＝11，eq\o(y,\s\up6(－))＝3，將數(shù)據(jù)代入r＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)2\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yi－\x\to(y)2))，得r≈eq\f(74.5,18.44×4.06)＝eq\f(74.5,74.8664)≈0.995.因為y與x的相關系數(shù)近似為0.995，說明y與x的線性相關性很強，從而可以用線性回歸模型擬合y與x的關系．(需要突出“很強”，“一般”或“較弱”不給分)(2)將數(shù)據(jù)代入eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up11(n),\s\do4(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(n),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)，得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(74.5,340)≈0.219，則eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))≈3－0.219×11≈0.59.因為0.219≈0.22，所以y關于x的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.22x＋0.59.由eq\o(y,\s\up6(^))＝0.22x＋0.59＞6，解得x＞24.59，即至少需要投入促銷費用24.59萬元．【鞏固清單】1．某商品的銷售量y(件)與銷售價格x(元/件)存在線性相關關系．根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－5x＋150，則下列結(jié)論正確的是()A．y與x具有正的線性相關關系B．若r表示y與x之間的線性相關系數(shù)，則r＝－5C．當銷售價格為10元時，銷售量為100件D．當銷售價格為10元時，銷售量為100件左右【解析】選D.由回歸直線方程知，y與x具有負的線性相關關系，A錯，若r表示y與x之間的線性相關系數(shù)，則|r|≤1，B錯．當銷售價格為10元時，eq\o(y,\s\up6(^))＝－5×10＋150＝100，即銷售量為100件左右，C錯.2．設兩個變量x和y之間具有線性相關關系，它們的相關系數(shù)為r，y關于x的回歸直線方程為y＝kx＋b，則()A．k與r的符號相同B．b與r的符號相同C．k與r的符號相反D．b與r的符號相反【解析】選A.因為相關系數(shù)r為正，表示正相關，回歸直線方程上升，r為負，表示負相關，回歸直線方程下降，所以k與r的符號相同．故選A.3．對兩個變量x，y進行線性回歸分析，計算得到相關系數(shù)r＝－0.9962，則下列說法中正確的是()A．x與y正相關B．x與y具有較強的線性相關關系C．x與y幾乎不具有線性相關關系D．x與y的線性相關關系還需進一步確定【解析】選B.因為相關系數(shù)r＝－0.9962，所以x與y負相關，因為|r|＝0.9962，非常接近1，所以相關性很強，故選B.4．在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點圖中，若所有樣本點(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直線y＝eq\f(1,2)x＋1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關系數(shù)為()A．－1B．0C.eq\f(1,2)D．1【解析】選D.所有點均在直線上，則樣本相關系數(shù)最大，即為1，故選D.5．基于移動互聯(lián)網(wǎng)技術的共享單車被稱為“新四大發(fā)明”之一，短時間內(nèi)就風靡全國，帶給人們新的出行體驗．某共享單車運營公司的市場研究人員為了解公司的經(jīng)營狀況，對該公司最近六個月內(nèi)的市場占有率進行了統(tǒng)計，結(jié)果如下表：月份2022.82022.92022.102022.112022.122023.1月份代碼x123456市場占有率y(%)111316152021(1)請在給出的坐標紙中作出散點圖，并用相關系數(shù)說明能否用線性回歸模型擬合市場占有率y與月份代碼x之間的關系；(2)求y關于x的線性回歸方程，并預測該公司2023年2月份的市場占有率．參考數(shù)據(jù)：eq\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝17.5，eq\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝35，eq\r(1330)≈36.5.參考公式：相關系數(shù)r＝；回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(n),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).【解】(1)作出散點圖如下．eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(11＋13＋16＋15＋20＋21,6)＝16，所以(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2＝76.所以r＝＝eq\f(35,\r(17.5×76))＝eq\f(35,\r(1330))≈eq\f(35,36.5)≈0.96.所以兩變量之間具有較強的線性相關關系，故可用線性回歸模型擬合市場占有率y與月份代碼x之間的關系．(2)b＝eq\f(\o(∑,\s\up6(6),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(6),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)＝eq\f(35