隱函數(shù)存在定理課件

華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部108八月2023第16章隱函數(shù)存在定理函數(shù)相關(guān)《數(shù)學(xué)分析》（2）華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部104八月2023第16章隱函數(shù)存華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部208八月2023§16.1隱函數(shù)存在定理一、F(x,y)=0情形二、多變量情形三、方程組情形華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部204八月2023§16.1隱函數(shù)存華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部308八月2023

前面關(guān)于隱函數(shù)（組）的微分法都假定：隱函數(shù)存在，且它們的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)也存在。

本章討論隱函數(shù)存在性問(wèn)題及連續(xù)性、可微性。1、隱函數(shù)概念顯函數(shù)：因變量可由自變量的某一分析式來(lái)表示的函數(shù)稱為顯函數(shù)．例如：一、F(x,y)=0情形華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部304八月2023前面關(guān)于隱函數(shù)華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部408八月2023方程式所確定的函數(shù),通常稱為隱函數(shù)．例如：隱函數(shù)：自變量與因變量之間的關(guān)系是由某一個(gè)注2

不是任一方程都能確定隱函數(shù),例如顯然不能確定任何隱函數(shù)．注1

隱函數(shù)一般不易化為顯函數(shù)，也不一定需要化為顯函數(shù)．上面把隱函數(shù)仍記為，這與它能否用顯函數(shù)表示無(wú)關(guān)．華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部404八月2023方程式所確定的函數(shù),華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部508八月2023注3

一個(gè)方程能否確定隱函數(shù)還應(yīng)與所討論的點(diǎn)及其某鄰域有關(guān).(0,1)(0,-1)(-1,0)(1,0)華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部504八月2023注3一個(gè)方程能華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部608八月2023注4類似地可定義多元隱函數(shù)．例如:由方程確定的隱函數(shù)由方程確定的隱函數(shù)等等.條件時(shí)，由F(x,y)=0能確定隱函數(shù)y=f(x)并使要討論的問(wèn)題是：當(dāng)函數(shù)滿足怎樣一些該隱函數(shù)具有連續(xù)、可微等良好性質(zhì)?2、隱函數(shù)存在性條件分析華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部604八月2023注4類似地可定華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部708八月2023唯一確定隱函數(shù)

（1）連續(xù)

（1）連續(xù)曲線存在,使（2）可微（2）存在切線

交線2、隱函數(shù)存在性條件分析華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部704八月2023唯一確定隱華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部808八月2023曲面

在點(diǎn)有切平面且切平面的法線不平行于軸（即切平面不是平面）切平面的法向量為與不共線

（即

不能同時(shí)為零）交線存在切線，意味著一元函數(shù)的可微性，也要求華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部804八月2023曲面在點(diǎn)有切平面且華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部908八月2023xzyOΣ:

z=F(x,y)OΓ:

F(x,y)=0P0(x0,y0)圖1隱函數(shù)存在性條件分析示意圖

Γ:

y=f(x)F(x0,y0)=0y0=f(x0)F(x,f(x))=0(滿足一定條件或在某一局部)華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部904八月2023xzyOΣ:z華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部1008八月20233、隱函數(shù)存在定理定理1

(隱函數(shù)存在惟一性定理)

設(shè)方程F(x,y)=0中的函數(shù)滿足以下三個(gè)條件：(ii)(初始條件)；則有如下結(jié)論成立：(i)

在區(qū)域(iii)

F(x,y)=0惟一地確定了一個(gè)隱函數(shù)(i)存在某鄰域，在內(nèi)由方程華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部1004八月20233、隱函數(shù)存在定理華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部1108八月2023它滿足：,且當(dāng)時(shí),使得證

首先證明隱函數(shù)的存在與惟一性．

證明過(guò)程歸結(jié)起來(lái)有以下四個(gè)步驟(見圖2)：在上連續(xù)．(ii)(iii)華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部1104八月2023它滿足：華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部1208八月2023

(c)同號(hào)兩邊伸

＋＋＋＋－－－－(d)利用介值性

＋＋＋＋－－－－

(b)正、負(fù)上下分

＋＋＋

___+_0

(a)一點(diǎn)正,一片正

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++圖2隱函數(shù)存在性與惟一性分析示意圖

華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部1204八月2023(c)同號(hào)兩邊華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部1308八月2023(a)“一點(diǎn)正,一片正”由條件(iii)，不妨設(shè)因?yàn)檫B續(xù)，保號(hào)性，使得

(a)一點(diǎn)正,一片正

D

P0+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

星星之火可以燎原所以根據(jù)連續(xù)函數(shù)的華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部1304八月2023(a)“一點(diǎn)正華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部1408八月2023(b)正、負(fù)上下分

＋＋＋

___+_0(b)“正、負(fù)上下分”因故把看作的函數(shù)，它在上嚴(yán)格增，且連續(xù)(據(jù)條件(i))．特別對(duì)于函數(shù)由條華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部1404八月2023(b)正、負(fù)上華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部1508八月2023因?yàn)殛P(guān)于連續(xù)，故由(b)的結(jié)論，根據(jù)保號(hào)性，使得

(c)同號(hào)兩邊伸

＋＋＋＋－－－－(c)“同號(hào)兩邊伸”(d)“利用介值性”因關(guān)于連續(xù),且嚴(yán)

格增，故由(c)的結(jié)論，依據(jù)介值性定理,存在惟華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部1504八月2023因?yàn)槿A北科技學(xué)院基礎(chǔ)部1608八月2023(d)利用介值性

＋＋＋＋－－－－滿足一的就證得存在惟一的隱函數(shù):由的任意性,這若記則定理結(jié)論得證．下面再來(lái)證明上述隱函數(shù)的連續(xù)性:欲證上述在連續(xù).華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部1604八月2023(d)利用介值性華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部1708八月2023類似于前面(c)，使得由對(duì)嚴(yán)格增，而推知如圖3所示,＋＋＋＋－－－－..圖3隱函數(shù)連續(xù)性示意圖小，使得華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部1704八月2023類似于前面(c)華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部1808八月2023在上處處連續(xù)．因此在連續(xù).由的任意性,便證得且當(dāng)時(shí)，有類似于前面(d)，由于隱函數(shù)惟一，故有最后再來(lái)證明y=f(x)可微性:華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部1804八月2023在華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部1908八月2023使用微分中值定理,使得設(shè)則由條件易知F可微，并有華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部1904八月2023使用微分中值定理,華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部2008八月2023顯然也是連續(xù)函數(shù)．因都是連續(xù)函數(shù),故時(shí)并有華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部2004八月2023顯然也是連續(xù)華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部2108八月2023華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部2104八月2023華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部2208八月2023注1

定理1的條件(i)～(iii)既是充分條件,又是一組十分重要的條件.例如：在點(diǎn)雖不滿足條件(iv)，但仍能確定惟一的隱函數(shù)②(雙紐線),在點(diǎn)同樣不滿足條件(iii);如圖4在該點(diǎn)無(wú)論多么小的鄰域內(nèi),確實(shí)不能圖4雙紐線圖像確定惟一的隱函數(shù).華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部2204八月2023注1定理1華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部2308八月2023注3必須注意,定理1是一個(gè)局部性的隱函數(shù)存在定理．例如從以上雙紐線圖形看出:除了(0,0),三點(diǎn)以外,曲線上其余各點(diǎn)處都存在注

2

條件(iii)在證明中的作用只是用來(lái)保證在鄰域內(nèi)關(guān)于為嚴(yán)格單調(diào)．局部隱函數(shù).注4在方程中,與的地位是平等的.當(dāng)條件(iii)改為(其它條件不變)時(shí)，將存在局部的連續(xù)隱函數(shù)華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部2304八月2023注3必須注意華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部2408八月2023例1．。

，在該鄰域內(nèi)可唯一確定可微的隱函數(shù)華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部2404八月2023例1．。，在該鄰華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部2508八月2023例2．方程內(nèi)確定隱函數(shù)或

？能否在原點(diǎn)的某鄰域解：

令則，他們都在全平面上連續(xù).故方程在點(diǎn)的鄰域內(nèi)可唯一地確定可微的隱函數(shù)由于

，據(jù)此無(wú)法斷定是否在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)存在。有隱函數(shù)華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部2504八月2023例2．方程內(nèi)確定隱華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部2608八月2023例3

試討論雙紐線方程所能確定的隱函數(shù)

圖4雙紐線圖像解令它有連續(xù)的求解

分別得到華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部2604八月2023例3試討論雙紐華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部2708八月2023所以，除這三點(diǎn)外，曲線上在其他圖4雙紐線圖像在其他所有點(diǎn)處都存在局部的可微隱函數(shù)所有點(diǎn)處都存在局部的可微隱函數(shù)同理，除這五點(diǎn)外，曲線上華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部2704八月2023所以，除華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部2808八月2023二、多變量情形定理2

設(shè)函數(shù)F(x1,x2,…,xn

;y)滿足以下條件則有如下結(jié)論成立：(i)

在區(qū)域(iii)

(i)

上具有對(duì)一切變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).方程F(x1,x2,…,xn

;y)=0惟一確定一個(gè)函數(shù)(ii)(初始條件)；y=f(x1,x2,…,xn

)華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部2804八月2023二、多變量情形定理華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部2908八月2023(ii)y=f(x1,x2,…,xn

)在Δ內(nèi)連續(xù)；(iii)

y=f(x1,x2,…,xn

)在Δ內(nèi)對(duì)各變量有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部2904八月2023(ii)y華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部3008八月2023例4

設(shè),問(wèn)方程是否在原點(diǎn)地確定可微函數(shù)

，其中屬于某個(gè)鄰域，使得的某鄰域唯一點(diǎn)的解：令.顯然的偏導(dǎo)數(shù)，且,由，知，存在，使得在有唯一的可微函數(shù)，滿足：在全平面有連續(xù)華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部3004八月2023例4設(shè),問(wèn)方華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部3108八月2023設(shè)有一組方程則稱由(1)確定了隱函數(shù)組之對(duì)應(yīng),能使其中定義在若存在使得對(duì)于任給的有惟一的三、方程組情形華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部3104八月2023設(shè)有一組方程華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部3208八月2023并有關(guān)于隱函數(shù)組的一般情形(含有m+n個(gè)變量的m個(gè)方程所確定的n

元隱函數(shù))，與此同理.華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部3204八月2023并有華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部3308八月2023定理

3

(隱函數(shù)組定理)設(shè)方程組(1)中的函數(shù)F與G滿足下列條件：(i)

在以點(diǎn)為內(nèi)點(diǎn)的某區(qū)域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)；(ii)(初始條件);

(iii)則有如下結(jié)論成立：(i)在P0點(diǎn)的某一鄰域Δ

內(nèi)，方程F=0;G=0

華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部3304八月2023定理3(華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部3408八月2023確定惟一一組隱函數(shù)它們被定義在(x0,y0)的某個(gè)鄰域U

內(nèi)，且滿足及(ii)在U內(nèi)連續(xù)；華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部3404八月2023確定惟一一組隱函數(shù)華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部3508八月2023且有本定理的詳細(xì)證明從略，下面只作一粗略的解釋:在內(nèi)存在一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，(iii)①由方程組(1)的第一式確定隱函數(shù)華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部3504八月2023且有華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部3608八月2023②將代入方程組(1)的第二式,得③再由此方程確定隱函數(shù)并代回至這樣就得到了一組隱函數(shù)通過(guò)詳細(xì)計(jì)算,又可得出如下一些結(jié)果:華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部3604八月2023②將華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部3708八月2023華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部3704八月2023華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部3808八月2023例5

設(shè)有方程組試討論在點(diǎn)的近旁能確定怎樣的隱函數(shù)組？并計(jì)算各隱函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).解

易知點(diǎn)滿足以上方程組.設(shè)華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部3804八月2023例5設(shè)有方程華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部3908八月2023它們?cè)谏嫌羞B續(xù)的各階偏導(dǎo)數(shù).再考察在點(diǎn)關(guān)于所有變量的雅可比矩陣由于華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部3904八月2023它們?cè)谏嫌羞B華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部4008八月2023因此由隱函數(shù)組定理可知,在點(diǎn)近旁可以惟一地確定隱函數(shù)組:但不能肯定y,z可否作為x的兩個(gè)隱函數(shù).華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部4004八月2023因此由隱函數(shù)組定理華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部4108八月2023運(yùn)用定理3的結(jié)論,可求得隱函數(shù)在點(diǎn)P0

處的導(dǎo)數(shù)值:華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部4104八月2023運(yùn)用定理3的結(jié)華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部4208八月2023且解：例6

華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部4204八月2023且解：例6華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部4308八