安徽省宿州市霸王中學(xué)高三數(shù)學(xué)文測試題含解析

安徽省宿州市霸王中學(xué)高三數(shù)學(xué)文測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.（5分）（2009?東城區(qū)模擬）函數(shù)y=f（x）的定義域是（﹣∞，+∞），若對于任意的正數(shù)a，函數(shù)g（x）=f（x+a）﹣f（x）都是其定義域上的增函數(shù)，則函數(shù)y=f（x）的圖象可能是（）A．B．C．D．參考答案：A考點：函數(shù)的圖象．專題：數(shù)形結(jié)合．分析：根據(jù)題意列出不等式，進而分析可得在自變量增大的過程中函數(shù)值增加的量要越來越大，分析選項可得答案．解答：解：根據(jù)增函數(shù)定義，設(shè)x1＞x2g（x1）﹣g（x2）＞0f（x1+a）﹣f（x1）＞f（x2+a）﹣f（x2）f（x1+a）﹣f（x2+a）＞f（x1）﹣f（x2）由此我們可知在自變量增大的過程中函數(shù)值增加的量要越來越大故有f′（x1）＞f′（x2）∴只有A圖象符合故選A．點評：本題考查了增函數(shù)列不等式的知識，注意巧妙求導(dǎo)的技巧．2.已知兩個單位向量，滿足，則的夾角為（

）A． B． C． D．參考答案：C∵，∴，∴，∴，∴．3.平面上動點滿足，，,則一定有（

）

參考答案：B4.設(shè)函數(shù)與函數(shù)的圖象恰有3個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C試題分析：易，在時，不合題意，因此只能有，注意的函數(shù)定義域是，由題意方程有三個不同的解，即有三個解，也可理解為直線與函數(shù)的三個交點．考慮函數(shù)，由知，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此在時，取得極大值也是最大值，而，因此當(dāng)和時，遞減，當(dāng)時，遞增，因此要使方程有三個解，則，即．故選C．考點：函數(shù)的零點．【名師點睛】解決由函數(shù)零點（方程根）的存在情況求參數(shù)的值或取值范圍問題，關(guān)鍵是利用函數(shù)方程思想或數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程或不等式求解．常見的方法和技巧有：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域問題加以解決．（3）數(shù)形結(jié)合：先對解析式變形，在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，然后觀察求解．此時需要根據(jù)零點個數(shù)命合理尋找“臨界”情況，特別注意邊界值的取舍．5.函數(shù)的圖像為

參考答案：A略6.已知，則（

）A. B.C. D.參考答案：C【分析】通過反例可否定；根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可確定正確.【詳解】若，A中，，，則，錯誤；B中，，，則，錯誤；C中，在上單調(diào)遞增

當(dāng)時，，正確；D中，，，則，錯誤.故選：【點睛】本題考查根據(jù)不等式的性質(zhì)比較大小的問題，涉及到對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7.已知集合A＝{20，17}，B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，則集合B中元素個數(shù)為(

)(A)1

(B)2

(C)3

(D)4參考答案：C8.已知，把數(shù)列的各項排列成如右圖所示的三角形狀，記表示第行的第個數(shù)，則=(

)A.

B.

ks5u

C.

D.參考答案：B略9.定義在R上的函數(shù)滿足當(dāng)，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A.B.

C.D.

參考答案：D略10..函數(shù)f（x）=的大數(shù)圖象為（）A. B.C. D.參考答案：A【分析】由函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，排除C、D項；再由當(dāng)時，函數(shù)值小于0，排除B，即可得到答案.【詳解】由題知，函數(shù)滿足，所以函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，排除C、D項；又由當(dāng)時，函數(shù)的值小于0，排除B，故選A.【點睛】本題主要考查了函數(shù)圖象的識別，其中解答中熟練應(yīng)用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的取值范圍，利用排除法求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.等腰的頂角，，以為圓心，為半徑作圓，為直徑，則的最大值為__________參考答案：

知識點：向量的內(nèi)積，解三角形

難度：412.已知平面向量、，||=1，||=，且|2+|=，則向量與向量+的夾角為

．參考答案：【考點】數(shù)量積表示兩個向量的夾角．【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；平面向量及應(yīng)用．【分析】由題意可得⊥，由平行四邊形法則結(jié)合圖象可得．【解答】解：∵||=1，||=，且|2+|=，∴|2+|2=7，∴4+4+=7，∴4×1+4+3=7，∴=0，∴⊥，設(shè)向量與向量+的夾角為θ結(jié)合平行四邊形法則可得tanθ=，∴θ=故答案為：【點評】本題考查數(shù)量積和向量的夾角，數(shù)形結(jié)合是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．13.已知，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，則的最大值為

.參考答案：14.的展開式中，含的項的系數(shù)為______.（用數(shù)字填寫答案）.參考答案：70【分析】求得二項展開式的通項為，令，代入即可求解，得到答案．【詳解】由題意，二項式的展開式的通項為，令時，，即的項的系數(shù)為．

15.某校1000名學(xué)生參加了一次數(shù)學(xué)考試，這次考試考生的分?jǐn)?shù)服從正態(tài)分布N（90，σ2），若分?jǐn)?shù)在（70，110]內(nèi)的概率為0.7，估計這次考試分?jǐn)?shù)不超過70分的人數(shù)為人．參考答案：325【考點】正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義．【分析】利用正態(tài)分布曲線的對稱性結(jié)合已知求得P（X≤70），乘以1000得答案．【解答】解：由X服從正態(tài)分布N（90，σ2）（σ＞0），且P（70≤X≤110）=0.35，得P（X≤70）=（1﹣0.35）=．∴估計這次考試分?jǐn)?shù)不超過70分的人數(shù)為1000×=325．故答案為：325．16.已知雙曲線的一條漸近線方程是，它的一個焦點在拋物線的準(zhǔn)線上，則該雙曲線的方程為

．參考答案：略17.某中學(xué)高一、高二、高三的學(xué)生人數(shù)之比為4:4:5，現(xiàn)用分層抽樣法從該校的高中三個年級的學(xué)生中抽取容量為65的樣本，則應(yīng)從高一年級抽取的學(xué)生人數(shù)為

▲

名．參考答案：20略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在平面直角坐標(biāo)，直線l：y=x﹣3經(jīng)過橢圓E：（a＞b＞0）的一個焦點，且點（0，b）到直線l的距離為2．（1）求橢圓E的方程；（2）A、B、C是橢圓上的三個動點A與B關(guān)于原點對稱，且|AC|=|CB|．問△ABC的面積是否存在最小值？若存在，求此時點C的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．參考答案：【考點】KH：直線與圓錐曲線的綜合問題．【分析】（1）先求出c，再利用點（0，b）到直線l的距離為2，求出b，從而可求a，即可得出橢圓E的方程；（2）分類討論，直線AB的斜率存在且不為0時，設(shè)AB：y=kx，代入橢圓方程，求出A的坐標(biāo)，同理求出C的坐標(biāo)，表示出面積，利用基本不等式，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）對于直線l：y=x﹣3，令y=0，可得x=，∴焦點為（，0），∴c=，∵點（0，b）到直線l的距離為2，∴=2，∵b＞0，∴b=1，∴a=2，∴橢圓E的方程；（2）①當(dāng)AB為長軸（或短軸）時，由題意，C是橢圓的上下頂點（或左右頂點），；②當(dāng)直線AB的斜率存在且不為0時，設(shè)AB：y=kx，代入橢圓方程，可得，∵|AC|=|CB|，O為AB的中點，∴OC⊥AB，∴直線OC的方程為y=﹣，同理可得，∴，，∴S△ABC=2S△OAC=|OA||OC|=≥=，當(dāng)且僅當(dāng)1+4k2=4+k2，即k=±1時取等號，∴k=±1時，△ABC的面積最小值，此時，C（，±）或C（﹣，±）．19.（本小題滿分10分）選修4－5：不等式選修在，的前提下，求a的一個值，是它成為的一個充分但不必要條件。參考答案：略20.在四棱錐P﹣ABCD中，∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點．（1）求證：平面PAC⊥平面PCD；（2）求證：CE∥平面PAB．參考答案：【考點】平面與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定．【分析】（1）由線面垂直得PA⊥CD，由直角性質(zhì)得CD⊥AC，由此能證明平面PAC⊥平面PCD．（2）法一：取AD中點M，連EM，CM，則EM∥PA．從而得到EM∥平面PAB．再由MC∥AB，得到MC∥平面PAB，由此證明平面EMC∥平面PAB，從而EC∥平面PAB．（2）法二：延長DC，AB交于點N，連PN．由已知條件推地出EC∥PN．由此能證明EC∥平面PAB．【解答】證明：（1）因為PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD，…又∠ACD=90°，則CD⊥AC，而PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC，因為CD?平面ACD，…所以，平面PAC⊥平面PCD．…（2）證法一：取AD中點M，連EM，CM，則EM∥PA．因為EM?平面PAB，PA?平面PAB，所以EM∥平面PAB．…在Rt△ACD中，AM=CM，所以∠CAD=∠ACM，又∠BAC=∠CAD，所以∠BAC=∠ACM，則MC∥AB．因為MC?平面PAB，AB?平面PAB，所以MC∥平面PAB．…而EM∩MC=M，所以平面EMC∥平面PAB．由于EC?平面EMC，從而EC∥平面PAB．

…（2）證法二：延長DC，AB交于點N，連PN．因為∠NAC=∠DAC，AC⊥CD，所以C為ND的中點．而E為PD中點，所以EC∥PN．因為EC?平面PAB，PN?平面PAB，所以EC∥平面PAB．…21.（12分）已知之間的一組數(shù)據(jù)如下表：x13678y12345

（Ⅰ）從中各取一個數(shù)，求的概率；（Ⅱ）對于表中數(shù)據(jù)，甲．乙兩同學(xué)給出的擬合直線分別為與，試?yán)米钚《朔ㄅ袛嗄臈l直線擬合程度更好？參考答案：解析：（Ⅰ）從各取一個數(shù)組成數(shù)對共有25對，其中滿足的有（6，4）,（6，5），（7，3），（7，4），（7，5），（8，2），（8，3），（8，4），（8，5）共9對故所求的概率為，所以使的概率是（Ⅱ）用作為擬合直線時，所得值與y的實際值的差的平方和為用作為擬合直線時，所得值與y的實際值的差的平方和為∵，故用直線擬合程度更好22.已知函數(shù)f（x）=2（a+1）lnx﹣ax，g（x）=x2﹣x．（1）若函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；（2）證明：若﹣1＜a＜7，則對于任意x1、x2∈（1，+∞），x1≠x2，有＞﹣1．參考答案：考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．專題：計算題；證明題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（1）先求f（x）=2（a+1）lnx﹣ax的定義域，再求導(dǎo)f′（x）=2（a+1）﹣a=，從而由題意知f′（x）=≥0在（0，+∞）上恒成立，從而化為最值問題；（2）由二次函數(shù)的性質(zhì)易知g（x）=x2﹣x在（1，+∞）上是增函數(shù)，從而不妨設(shè)x1＞x2，從而可得g（x1）＞g（x2）；故＞﹣1可化為f（x1）﹣f（x2）＞﹣（g（x1）﹣g（x2）），即證f（x1）+g（x1）＞f（x2）+g（x2），令H（x）=f（x）+g（x）=2（a+1）lnx﹣ax+x2﹣x，從而利用導(dǎo)數(shù)證明H（x）=f（x）+g（x）=2（a+1）lnx﹣ax+x2﹣x在（1，+∞）上是增函數(shù)即可．解答： 解：（1）f（x）=2（a+1）lnx﹣ax的定義域為（0，+∞），f′（x）=2（a+1）﹣a=，∵f′（2）=1，又∵函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，∴f′（x）=≥0在（0，+∞）上恒成立，∴a（2﹣x）+2≥0在（0，+∞）上恒成立，即﹣ax+2a+2≥0在（0，+∞）上恒成立，故，解得，﹣1≤a≤0；（2）證明：∵g（x）=x2﹣x在（1，+∞）上是增函數(shù)，∴對于任意x1、x2∈（1，+∞），x1≠x2，不妨設(shè)x1＞x2，則g（x1）＞g（x2）；則＞﹣1可化為f（x1）﹣f（x2）＞﹣（g（x1）﹣g（x2）），即證f（x1）+g（x1）＞f（x2）+g（x2），令H（x）=f（x）+g（x）=2（a+1）lnx﹣ax+x2﹣x，H′（x）=2（a+1）﹣a+x﹣1=，令M（x）=x2﹣（a+1）x+2（a+1），①﹣1＜a≤1時，0＜a+1≤2，故M（x）=x2﹣（a+1）x+2（a+1）在（1，+∞）上是增函數(shù)，故M（x）＞M（1）=1﹣a﹣1