相似三角形六大證明技巧

相似三角形六大證明技巧1.如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別在BC，AC，AB上，且滿足BD·CE·AF=CD·AE·BF，求證：△ABC∽△DEF2.如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別在BC，CA，AB上，且滿足BD·CE·AF=CD·AE·BF，若∠BAC=60°，求證：∠EDF=60°模塊一相似三角形證明方法之全等三角形的應(yīng)用模型六：全等三角形的應(yīng)用如圖，已知△ABC中，D，E，F(xiàn)分別在BC，CA，AB上，且滿足AD=BE，CD=BF，求證：△ABC≌△DEF，試一試寫出具體證明過程AEFBDC應(yīng)用練習(xí)：1.如圖，在△ABC中，AB=AC，D，E，F(xiàn)分別在BC，CA，AB上，且滿足AD=BE，CD=BF，求證：∠EDF=∠BAC2.如圖，在△ABC中，AB=AC，D，E，F(xiàn)分別在BC，CA，AB上，且滿足AD=BE，CD=BF，若∠EDF=60°，求證：∠BAC=60°首先，我們可以根據(jù)題目中給出的比例式BF/AB=BE/BC，得出BF/BE=AB/BC。注意到AD是BC的高，所以我們可以得到△ABD∽△ACD，進(jìn)而得到AD2=BD·CD。接下來，我們可以利用三點(diǎn)定型法證明△ABF∽△BCE：以A、F、C為三點(diǎn)，可以得到△ABF∽△ACD，進(jìn)而得到BF/AB=CD/AD。結(jié)合之前得到的BF/BE=AB/BC，我們可以得到BF/BE=CD/AD=BD/AD。根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，我們可以得到△ABF∽△BCE，進(jìn)而得到BF/CE=AB/BC，即證明了題目中給出的比例式。2.如圖，平行四邊形ABCD中，E是AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，DE交BC于F，要證明DCCF=AE/AD。在平行四邊形ABCD中，連接DE和AF。由于AB∥DC，所以∠ADE=∠DCF。又因?yàn)锳D平分∠BAC，所以∠DAE=∠CAF。因此，△ADE∽△DCF。根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得到DE/DC=AE/AD和DE/DC=CF/CC。因此，AE/AD=CF/CC，即DCCF=AE/AD，證畢。3.如圖，△ABC中，∠BAC=90°，M為BC的中點(diǎn)，DM⊥BC交CA的延長(zhǎng)線于D，交AB于E。要證明AM^2=MD×ME。在△ABC中，連接AM、MD、ME。由于M為BC的中點(diǎn)，所以BM=MC。又因?yàn)镈M⊥BC，所以△BDM∽△ABC。根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得到MD/BC=BD/AB和MD/BC=AM/AC。因此，MD×AB=AM×BC，即MD×(AB-AE)=AM×AE。又因?yàn)锳B=AM+MB，所以MD×MB=AM×AE。因此，AM^2=MD×ME，證畢?！纠?】如圖，在△ABC，AD平分∠BAC，AD的垂直平分線交AD于E，交BC的延長(zhǎng)線于F，要證明FD^2=FB×FC。在△ABC中，連接AF、DE和CF。由于AD平分∠BAC，所以∠DAE=∠CAF。又因?yàn)镈E是AD的垂直平分線，所以DE⊥AE。因此，△ADE∽△CAF。根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得到DE/AE=CF/CA和DE/AE=AF/AB。因此，CF/CA=AF/AB，即CF×AB=AF×CA。又因?yàn)锳B=AF+FB，所以CF×FB=FD^2，即FD^2=FB×FC，證畢?！纠?】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E在邊BA的延長(zhǎng)線上，CE交AD于F，要證明AC×BE=CE×AD。在四邊形ABCD中，連接CE和AF。由于AB∥CD，所以∠ECA=∠D.又因?yàn)锳D∥CE，所以∠CAF=∠A.因此，△ECA∽△DFA。根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得到EC/DF=CA/AF和EC/DF=AE/AD。因此，CA/AF=AE/AD，即AC×AD=AE×CF。又因?yàn)锳B=AE+EB，所以AE×EB=CE×AD，即AC×BE=CE×AD，證畢?！纠?】如圖，△ACB為等腰直角三角形，AB=AC，∠DAE=45°，要證明AB^2=BE×CD。在△ACB中，連接DE和BC。由于∠BAC=90°，所以∠BDE=45°。又因?yàn)椤鰽CB為等腰直角三角形，所以BC=AB。因此，△BDE∽△ABC。根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得到BD/AB=AB/BC和BD/AB=DE/AC。因此，AB^2=BD×BC=BD×AB=DE×AC=BE×CD，證畢。【例4】如圖，△ABC中，AB=AC，AD是中線，P是AD上一點(diǎn)，過C作CF∥AB，延長(zhǎng)BP交AC于E，交CF于F，要證明BP^2=PE×PF。在△ABC中，連接BP、PE、PF和CF。由于AB=AC，所以AD⊥BC。因此，△ABC為等腰三角形。又因?yàn)锳D是中線，所以BD=DC。因此，△BPD∽△FPC。根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得到BP/PC=PD/FC和BP/PC=PE/EC。因此，PD×EC=BP×PE=PC×BF=PC×(BC-BF)=PC×BD=PF×PC，即BP^2=PE×PF，證畢?！纠?】如圖，平行四邊形ABCD中，過B作直線AC、AD于O，E、交CD的延長(zhǎng)線于F，要證明OB^2=OE×OF。在平行四邊形ABCD中，連接OE、OF和BE。由于AB∥DC，所以∠OBE=∠ODC。又因?yàn)锽E是平行四邊形的對(duì)角線，所以BE平分∠ABC和∠CDA。因此，△OBE∽△DCF。根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得到OE/DC=BE/BC和OE/DC=OF/CF。因此，BE/BC=OF/CF，即OB^2=OE×OF，證畢?！纠?】如圖，在△ABC中，已知∠A=90°，AD⊥BC于D，E為直角邊AC的中點(diǎn)，過D、E作直線交AB的延長(zhǎng)線于F，要證明AB×AF=AC×DF。在△ABC中，連接AD、AE、AF、DF和DE。由于E為AC的中點(diǎn)，所以AE=EC。又因?yàn)椤螦=90°，所以△ADE∽△ABC。根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得到AD/AB=AB/AC和AD/AB=DE/BC。因此，AB^2=AD×AC=DE×AB=DF×AF+AE×AB=DF×AF+AB×EC=AB×AF+AB×EC=AB×(AF+EC)=AB×AC，即AB×AF=AC×DF，證畢?！纠?】如圖，在△ABC中（AB＞AC）的邊AB上取一點(diǎn)D，在邊AC上取一點(diǎn)E，使AD=AE，直線DE和BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，要證明BP×CE=CP×BD。在△ABC中，連接DE和BP。由于AD=AE，所以DE平分∠BAC。又因?yàn)锽P與DE交于點(diǎn)P，所以BP平分∠ABC。因此，△BPD∽△CPA。根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得到BP/PA=BD/AC和BP/PA=CP/AB。因此，BD×CP=BP×AC×AB=BP×CE×AB，即BP×CE=CP×BD，證畢。例8.（1）在△ABC中，DE∥BC，AQ交DE于點(diǎn)P，求證：$\frac{DP}{PE}=\frac{BQ}{PC}$。（2）在△ABC中，正方形DEFG的四個(gè)頂點(diǎn)在△ABC的邊上，連接AG，AF分別交DE于M，N兩點(diǎn)。①如圖2，若AB=AC=1，直接寫出MN的長(zhǎng)；②求證：$MN^2=DM\cdotEN$。例8：（1）在$\triangleABC$中，$DE\parallelBC$，$AQ$交$DE$于點(diǎn)$P$，要證明：$\frac{DP}{PE}=\frac{BQ}{PC}$。（2）在$\triangleABC$中，正方形$DEFG$的四個(gè)頂點(diǎn)在$\triangleABC$的邊上，連接$AG$，$AF$分別交$DE$于$M$，$N$兩點(diǎn)。①如圖2，若$AB=AC=1$，直接求出$MN$的長(zhǎng)；②要證明：$MN^2=DM\cdotEN$。例9：在$\triangleABC$中，$\angleBAC=90^\circ$，$D$為$AC$中點(diǎn)，$AE\perpBD$，$E$為垂足，要證明：$\angleCBD=\angleECD$。例10：在$\triangleABC$中，$AD\perpBC$，$P$為$AD$中點(diǎn)，$MN\perpBC$，要證明$MN^2=AN\cdotNC$。例11：已知平行四邊形$ABCD$中，$E$、$F$分別在直線$AD$、$CD$上，$EF\parallelAC$，$BE$、$BF$分別交$AC$于$M$、$N$，要證明：$AM=CN$。例12：已知如圖$AB=AC$，$BD\parallelAC$，$AB\parallelCE$，過$A$點(diǎn)的直線分別交$BD$、$CE$于$D$、$E$，要證明：$AM=NC$，$MN\parallelDE$。例13：如圖，$\triangleABC$為等腰直角三角形，點(diǎn)$P$為$AB$上任意一點(diǎn)，$PF\perpBC$，$PE\perpAC$，$AF$交$PE$于$N$，$BE$交$PF$于$M$，要證明：$PM=PN$，$MN\parallelAB$。例14：如圖，正方形$BFDE$內(nèi)接于$\triangleABC$，$CE$與$DF$交于點(diǎn)$N$，$AF$交$ED$于點(diǎn)$M$，$CE$與$AF$交于點(diǎn)$P$。要證明：（1）$MN\parallelAC$；（2）$EM=DN$。例15：設(shè)$E$、$F$分別為$AC$、$AB$的中點(diǎn)，$D$為$BC$上一點(diǎn)，$P$在$BF$上，$DP\parallelCF$，$Q$在$CE$上，$DQ\parallelBE$，$PQ$交$BE$于$R$，交$CF$于$S$，要證明：$RS=PQ$?！纠?6】如圖，梯形ABCD的底邊AB上任取一點(diǎn)M，過M作MK//BD，MN//AC，分別交AD、BC于K、N，連KN，分別交對(duì)角線AC、BD于P、Q，求證：KP=QN.證明：由梯形ABCD可知，$\angleA=\angleB$，$\angleC=\angleD$，則$\angleA+\angleC=180^{\circ}$，即AC和BD相交于點(diǎn)O，且OP=OQ。又因?yàn)?\triangleAKN\sim\triangleCQM$，$\triangleBPK\sim\triangleDQN$，所以$\dfrac{KP}{PK}=\dfrac{QN}{NP}=\dfrac{AC}{BD}$，又因?yàn)镺P=OQ，所以KP=QN。證畢?！纠?7】如圖，在△ABC中，AC＞AB，AD是角平分線，AE是中線，BF⊥AD于G，交AC于點(diǎn)M，EG的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)H.（1）求證：AH=BH，（2）若∠BAC=60°，求FG的值.證明：（1）因?yàn)锳E是中線，所以AE=EC，又因?yàn)锳D是角平分線，所以$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}$，又因?yàn)锽F⊥AD，所以$\dfrac{BG}{GD}=\dfrac{AB}{AC}$，所以$\dfrac{BG}{GD}=\dfrac{BD}{DC}$，即BG//DC。又因?yàn)?\triangleAGB\sim\triangleDGC$，所以$\dfrac{AH}{BH}=\dfrac{AG}{BG}=\dfrac{GC}{DC}=\dfrac{1}{2}$，即AH=BH。證畢。（2）因?yàn)?\angleBAC=60^{\circ}$，所以$\angleBAG=\angleCAG=30^{\circ}$，又因?yàn)?\angleABD=\angleACD=30^{\circ}$，所以$\triangleABD\cong\triangleACD$，所以BD=CD，又因?yàn)锽F⊥AD，所以$\angleBFG=90^{\circ}-\angleBAG=60^{\circ}$，所以$\triangleBFG$是等邊三角形，所以FG=BF=BD/2=CD/2=AC/2-AB/2=2。答案為2?！纠?8】如圖：正方形ABCD中，點(diǎn)E、點(diǎn)F、點(diǎn)G分別在邊BC、AB、CD上，∠1＝∠2＝∠3＝α。求證：（1）EF＋EG＝AE（2）求證：CE＋CG＝AF。證明：（1）連接AE，CG，EF，EG。因?yàn)椤?＝∠2＝∠3＝α，所以$\triangleAEF\sim\triangleCEG$，所以$\dfrac{EF}{CG}=\dfrac{AE}{CE}$，又因?yàn)?\triangleAEG$是等腰三角形，所以AE=EG，所以$\dfrac{EF}{CG}=\dfrac{AE}{CE}=1$，即EF＋EG＝AE。證畢。（2）連接AF，CE，BF，DG。因?yàn)椤?＝∠2＝∠3＝α，所以$\triangleBFG\sim\triangleDCG$，所以$\dfrac{BF}{DG}=\dfrac{CG}{CD}$，又因?yàn)?\triangleAEF\sim\triangleCEG$，所以$\dfrac{EF}{CG}=\dfrac{AE}{CE}$，又因?yàn)?\triangleAEG$是等腰三角形，所以AE=EG，所以$\dfrac{EF}{CG}=\dfrac{AE}{CE}$，所以$\dfrac{BF}{DG}+\dfrac{EF}{CG}=\dfrac{CG}{CD}+\dfrac{AE}{CE}$，即$\dfrac{BF}{DG}+\dfrac{EF}{CG}=\dfrac{AF}{CD}+\dfrac{CE}{CD}=1$，所以BF+EF＋CG=AF＋CE。證畢。4.在三角形ABC中，AB=BC=20cm，AC=30cm。點(diǎn)P從A出發(fā)，沿著AB邊以每秒4cm的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q從C出發(fā)，沿著CA邊以每秒3cm的速度向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，Q點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)。設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒。(1)當(dāng)x為多少時(shí)，PQ平行于BC？(2)△APQ與△CQB是否相似？如果是，求出AP的長(zhǎng)度；如果不是，請(qǐng)說明理由。5.在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm。點(diǎn)P沿著AB邊從A開始以2cm/s的速度向B點(diǎn)移動(dòng)，點(diǎn)Q沿著DA邊從D開始以1cm/s的速度向A點(diǎn)移動(dòng)。如果P和Q同時(shí)出發(fā)，用t（秒）表示移動(dòng)的時(shí)間（t<6）。(1)當(dāng)t為多少時(shí)，△QAP是等腰直角三角形？(2)當(dāng)t為多少時(shí)，以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？模型三：射影定理在△ABC中，CH⊥AB于H。已知∠ACB=90°。證明AC2=AH·AB，BC2=BH·BA，HC2=HA·HB。模型四：類射影已知AB2=AC·AD。證明BD/AB=BC/AC。模型五：一線三等角在△BEF和△CFD中，∠B=∠C=∠EDF。證明△BDE∽△CFD（AA）。2.以下為修改后的文章：△ABC中，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，以D為頂點(diǎn)作∠MDN=∠B。(1)如圖1，當(dāng)射線DN經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，DM交AC邊于點(diǎn)E，列出與△ADE相似的三角形：△ABE～△ACD，△ADE～△ABC。(2)如圖2，將∠MDN繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，DM，DN分別交線段AC，AB于E，F(xiàn)點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合），列出所有相似的三角形：△MDE～△ABC，△NDF～△ACB，△NDF～△MDE，證明如下：由于∠MDN=∠B，所以∠NDF=∠C，因此△NDF～△ACB。又因?yàn)椤螹DE=∠ABC，所以△MDE～△ABC。根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得到△NDF～△MDE。(3)在圖2中，若AB=AC=10，BC=12，當(dāng)△DEF的面積等于△ABC的面積時(shí)，求線段EF的長(zhǎng)。由于△ABC是等腰三角形，所以它的面積為(1/2)×10×8=40。設(shè)EF=x，則△DEF的面積為(1/2)×x×6=3x。因?yàn)椤鱀EF與△ABC相似，所以(DF/BC)2=△DEF/△ABC=3x/40。由于DF=BC-BD=6，所以(6/12)2=3x/40，解得x=5。因此，線段EF的長(zhǎng)為5。3.如圖，點(diǎn)P在線段AB上。(1)求證：AP/PB=DP/PC。(2)若AP=2，PB=3，DP=4，線段CD的長(zhǎng)度為5，且直線EPF平行于AB，交CD于F，求EF的長(zhǎng)度。(1)連接DP、CP，由相似三角形可得：△DPC～△APB，因此AP/PB=DP/PC。(2)由平行線性質(zhì)可得∠EPF=∠B，所以△EPF～△APB。因此，EP/PB=EF/AB，即EF=(EP/PB)×AB。又因?yàn)锳P/PB=DP/PC，所以EP/PB=DP/PC×(EP/AP)。代入已知條件，可得：EF=(4/5)×(2+3)=4。因此，EF的長(zhǎng)度為4。例8.（1）在三角形ABC中，點(diǎn)D、E、Q分別在邊AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于點(diǎn)P，要證明DP/PE=BQ/PC。證明過程如下：連接BP、CQ，由平行線分線段成比例可知PE/PC=DE/BQ，DP/PC=AE/AQ，因此DP/PE=AE/DE×BQ/PC，又因?yàn)锳E/DE=AP/DP，BQ/PC=BQ/BG×CG/PC=AP/DP，所以DP/PE=AP/DP×AP/DP=（AP/DP）2，即DP/PE=BQ/PC。（2）在直角三角形ABC中，正方形DEFG的四個(gè)頂點(diǎn)在三角形ABC的邊上，連接AG、AF分別交DE于M、N兩點(diǎn)。要證明AB2=AM×AN。證明過程如下：由勾股定理可知AB2=AC2-BC2=(AC-BC)×(AC+BC)=2AC×BC×sin∠BAC/2。又因?yàn)椤螪AG=∠BAC/2，∠DGA=45°，所以△DAG是一個(gè)45-45-90的等腰直角三角形，所以AD=AG=AC/√2，同理，△CAN是一個(gè)45-45-90的等腰直角三角形，AN=AC/√2。因此AM=AD-DM=AC/√2-BC/√2=(AC-BC)/√2，AN=AC/√2，所以AB2=2AC×BC×sin∠BAC/2=2(AM+BC/√2)×BC/√2×sin∠BAC/2=2AM×BC/√2×sin∠BAC/2+BC2/2=AM×AN+BC2/2=AM×AN+AD2/2=AM×AN+DM2/2=AM×AN+EN2/2=AM×AN。因此，原命題得證。求證：DE⊥BC.證明：首先，連接DE并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F，如圖所示：則由中線定理可得，AE=EC，又由角平分線定理可得，BD/DC=AB/AC，即BD=AB/AB+AC×BC，DC=AC/AB+AC×BC，代入AE=EC可得AE=AB+AC/2，EF=AC/2-AB/2=BC/2，由勾股定理可得DE2=AD2-AE2=BD×DC-EF2=AB×AC×BC/(AB+AC)2-BC2/4，又因?yàn)锳C＞AB，所以DE2＞0，故DE⊥BC.在圖中，連接BF、DE、CG、AH，易知△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=BC=4，AC=4√2，EG∥AC，F(xiàn)G∥BC，則FG/BC=EG/AC=1/2，故FG=2，DH=3，因?yàn)锳H⊥BC，所以AH=AB-BH，又因?yàn)锳B=BC，所以AH=BH，證畢。由△AFC∽△BEC，得AE/CE=AF/BE=AC/BC=√2，所以AE=3√2，CE=2√2，EF=AE-AF=√2，EG=1/2*AC=2√2，CG=CE-EG=2，EF+EG=2+√2=AE，證畢。因?yàn)锳D=AB，所以BD=4-AD，DE/BE=BD/AB，即DE/2=(4-AD)/4，所以DE=2-AD/2，又