最短路徑問題設計課件

最短路徑問題

伊旗第四中學王秀清數學專題最短路徑問題伊旗第四中學王秀清數學專1前言

求最短路徑問題是歷年數學中考的常見題型,在選擇、填空和解答題中均有體現,其考查形式靈活多變,且較易與其他知識融合.通常以求幾條線段之和最小值的形式出現,并以特殊三角形、特殊四邊形和函數圖象等初中數學中的核心知識為載體,以考查學生靈活運用轉化、化歸等數學思想方法為目的,通過操作探究、推理論證、靈活求解的方式來解決問題.此類問題的解決是以基本事實“兩點之間線段最短”、“垂線段最短”為依據,以探尋轉化方法為核心,實現對學生綜合運用數學知識解決問題能力的全面考查。此類題目充滿了探究性和思辨性,常常在中檔題和壓軸題中出現。前言求最短路徑問題是歷年數學中考的常見題型,在選2

常見類型兩點一線兩線一點兩點兩線三線一點

類型1

類型2

類型3

類型4常見類型兩點一線兩線一點兩點兩線三線一點3類型1兩點一線

代表題型：將軍飲馬問題類型1兩點一線代表題型：將軍飲馬問題4問題一位將軍從圖中的A

地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B

地．到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？類型1兩點一線—將軍飲馬問題如圖所示，點A、點B在直線l同側，在直線上找一點P，使PA+PB值最小.l問題一位將軍從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，5ABl點A、點B在直線l同側，在直線上找一點P，使PA+PB值最小.B′作法總結1.過點A或點B（定點）作對稱點2.動點所在直線一般就是對稱軸3.對稱點與另一定點連接4.交點就是所求點PP關鍵是要利用軸對稱性質實現定點的轉化ABl點A、點B在直線l同側，在直線上找一點P，使PA+PB6基本作法：利用軸對稱性質作出定點的對稱點，實現點的轉化解題依據：兩點之間，線段最短基本作法：解題依據：7類型2兩線一點型類型2兩線一點型8某班舉行晚會，桌子擺成兩直條（如圖AO、BO）,AO桌面上擺滿了桔子，OB桌面上擺滿了糖果，坐在C處的小明先拿桔子，再拿糖果，然后回到座位，請你幫助他設計一條行走的路線，使其所走的路程最短？類型2兩線一點某班舉行晚會，桌子擺成兩直條（如圖AO、BO）9C′C″MNOA坐在C處的小明先到OA，再到OB，然后回到點D，小明怎樣走路線最短？C′D′MN已知：如圖C是∠AOB內部任意一點，在∠AOB的兩邊OA,OB上各找出一點M,N，組成△CMN，使△CMN周長最小.找定點、作對稱、連對稱點C′C″MNOA坐在C處的小明先到OA，再到OB，然后C′D10類型3--兩點兩線代表題型：造橋選址問題類型3--兩點兩線代表題型：造橋選址問題11如圖，A,B兩地在一條河的兩岸，現要在河上建一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假設河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）類型3兩點兩線—造橋選址問題如圖，A,B兩地在一條河的兩岸，現要在河上建一座橋12基本作法：類型3兩點兩線—造橋選址問題2.連接平移后的點與另一定點；3.與河邊的交點就是橋的一端.1.將其中一定點沿垂直河的方向平移橋長的距離；基本作法：類型3兩點兩線—造橋選址問題2.連接平移后13類型4—三線一點代表題型：費馬點問題類型4—三線一點代表題型：費馬點問題1424.（本題滿分12分）（2018鄂爾多斯）（1）【操作發(fā)現】如圖①，將△ABC繞點A順時針旋轉60°得到△ADE，連接BD，則∠ABD=

度.（2）【類比探究】如圖②，在等邊三角形ABC內任取一點P，連接PA,PB,PC.求證：以PA,PB,PC的長為三邊必能組成三角形.（3）【解決問題】如圖，在邊長為的等邊三角形ABC內有一點P，∠APC=90°,∠BPC=120°.求△APC的面積.（4）【拓展應用】如圖是A,B,C三個村子位置的平面圖，經測量AC=4,BC=5,∠ACB=30°,P為△ABC內的一個動點，連接PA,PB,PC.求PA+PB+PC的最小值.一.為什么要研究費馬點？費馬問題24.（本題滿分12分）（2018鄂爾多斯）一.為什么要研究15結論1對于一個各角都不超過120°的三角形，費馬點就是到三角形各邊的張角都是120°的點；費馬點是到三角形的三個頂點的距離之和最小的點.二.什么是費馬點?結論1對于一個各角都費馬點是到三角形的三個頂點的距離之和最16費馬點是到三角形的三個頂點的距離之和最小的點.二.什么是費馬點?結論2對于有一個角超過120°的三角形，費馬點就是這個內角的頂點費馬點是到三角形的三個頂點的距離之和最小的點.二.什么是費馬17三.費馬問題

如何找到點P使它到△ABC三個頂點的距離之和PA+PB+PC最小，這就是費馬問題.讓學生在探索找點P的過程中體會轉換思想，建模思想，將所探究的結論進行運用、拓展.（4）【拓展應用】如圖是A,B,C三個村子位置的平面圖，經測量AC=4,BC=5,∠ACB=30°P為△ABC內的一個動點，連接PA,PB,PC.求PA+PB+PC的最小值.三.費馬問題如何找到點P使它到△ABC三個頂點的距離之和18線段和最小值對稱變換平移變換旋轉變換線段和對稱變換平移變換旋轉變換191.求最短路徑經常會利用轉化思想、構造思想、數形結合的思想，進而構造出“兩點之間，線段最短”模型，讓學生體會學習數學新知的一般過程：認知——論證——應用.2.我市自2017年起，中考最