湖南省衡陽市衡南第六中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理月考試卷含解析

湖南省衡陽市衡南第六中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.不等式的解集是A.

B.C.

D.參考答案：D略2.如圖陰影部分是由曲線y=2x2和x2+y2=3及x軸圍成的部分封閉圖形，則陰影部分的面積為（）A． B． C． D．參考答案：A【分析】首先求出曲線的交點(diǎn)，然后求直線y=x與y=2x2圍成的面積S1，利用扇形的面積公式，求得扇形AOB的面積S2，陰影部分的面積S=S2﹣S1=﹣．【解答】解：曲線y=2x2和圓x2+y2=3的在第一象限的交點(diǎn)為A（，），則直線OA的方程方程為：y=x，∴直線OA與拋物線y=2x2所圍成的面積S1=（x﹣2x2）dx=（x2﹣x3）=×﹣×=，則扇形AOB圓心角為α=，則扇形AOB的面積S2=αr2=××3=，∴陰影部分的面積S=S2﹣S1=﹣，故選A．3.命題“，”的否定是（

）A．不存在，使 B．，使C．，使 D．，使≤參考答案：C4.與直線和圓都相切的半徑最小的圓的方程是(

)A.

B.

C.

D.參考答案：C5.如圖，把橢圓的長軸分成等份，過每個(gè)分點(diǎn)作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個(gè)點(diǎn)，是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則等于-------(

)A．

B．

C．

D．

參考答案：D6.已知,且,則下列不等式成立的是A、

B、

C、

D、參考答案：D7.函數(shù)有

（

）A．極大值，極小值

B．極大值，極小值C．極大值，無極小值

D．極小值，無極大值參考答案：C8.以為圓心，且過點(diǎn)的圓的方程為（

）A． B．C． D．參考答案：D

9.已知集合A={1，a}，B={x|x2﹣5x+4＜0，x∈Z}，若A∩B≠?，則a等于（）A．2 B．3 C．2或4 D．2或3參考答案：D【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【分析】解不等式求出集合B，進(jìn)而根據(jù)A∩B≠?，可得b值．【解答】解：∵B={x|x2﹣5x+4＜0，x∈Z}={2，3}，集合A={1，a}，若A∩B≠?，則a=2或a=3，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是集合的交集及其運(yùn)算，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．10.已知函數(shù)對于滿足的任意，，給出下列結(jié)論：①；

②；③．

④其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有(

)

A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在正方體中，與對角線異面的棱有

條.參考答案：612.

.參考答案：13.已知矩陣A=，矩陣B=，計(jì)算：AB=

.參考答案：略14.已知甲、乙、丙三人將參加某項(xiàng)測試，他們能達(dá)標(biāo)的概率分別是、、，則三人中至少有一人達(dá)標(biāo)的概率是

▲

．參考答案：0.96略15.函數(shù)f（x）=，x∈的最大值為

．參考答案：考點(diǎn)：運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值；兩角和與差的正弦函數(shù)．專題：計(jì)算題；三角函數(shù)的求值．分析：由兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡可得f（x）=，設(shè)t=tanx+1，由x∈，則t=tanx+1∈，f（x）=，從而可求當(dāng)t=1時(shí)，f（x）min的值．解答： 解：∵f（x）===，設(shè)t=tanx+1，由x∈，則t=tanx+1∈，∴f（x）==+，∴當(dāng)t=1時(shí)，f（x）min==．故答案為：．點(diǎn)評：本題主要考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識的考查．16.（理）設(shè)，數(shù)列是以3為公比的等比數(shù)列，則的值是

參考答案：8117.定義在R上的函數(shù)滿足：，且對于任意的,都有，則不等式的解集為__________________參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（17分）已知圓C：x2+y2﹣2x﹣7=0．（1）過點(diǎn)P（3，4）且被圓C截得的弦長為4的弦所在的直線方程（2）是否存在斜率為1的直線l，使l被圓C截得的弦AB的中點(diǎn)D到原點(diǎn)O的距離恰好等于圓C的半徑，若存在求出直線l的方程，若不存在說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【專題】計(jì)算題；分類討論；綜合法；直線與圓．【分析】（1）由圓的方程求出圓心的坐標(biāo)及半徑，由直線被圓截得的弦長，利用垂徑定理得到弦的一半，弦心距及圓的半徑構(gòu)成直角三角形，再根據(jù)勾股定理求出弦心距，分兩種情況考慮：若此弦所在直線方程的斜率不存在；若斜率存在，設(shè)出斜率為k，由直線過P點(diǎn)，由P的坐標(biāo)及設(shè)出的k表示出直線的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到所設(shè)直線的距離d，讓d等于求出的弦心距列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，進(jìn)而得到所求直線的方程．（2）求出CD的方程，可得D的坐標(biāo)，利用D到原點(diǎn)O的距離恰好等于圓C的半徑，求出b，再利用b的范圍，即可求出直線l的方程．【解答】解：（1）由x2+y2﹣2x﹣7=0得：（x﹣1）2+y2=8…當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y﹣4=k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k+4=0∴弦心距，解得∴直線方程為y﹣4=（x﹣3），即3x﹣4y+7=0…當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線方程為x=3，符合題意．綜上得：所求的直線方程為3x﹣4y+7=0或x=3…（2）設(shè)直線l方程為y=x+b，即x﹣y+b=0∵在圓C中，D為弦AB的中點(diǎn)，∴CD⊥AB，∴kCD=﹣1，∴CD：y=﹣x+1由，得D的坐標(biāo)為…∵D到原點(diǎn)O的距離恰好等于圓C的半徑，∴=2，解得…（14分）∵直線l與圓C相交于A、B，∴C到直線l的距離，∴﹣5＜b＜3…（16分）∴b=﹣，則直線l的方程為x﹣y﹣=0…（17分）【點(diǎn)評】此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識有垂徑定理，勾股定理，點(diǎn)到直線的距離公式，以及直線的斜截式方程，利用了分類討論的思想，當(dāng)直線與圓相交時(shí)，常常由弦心距，弦的一半及圓的半徑構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來解決問題，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．19.（本小題滿分13分）在直角坐標(biāo)系內(nèi)，直線的參數(shù)方程（為參數(shù)），以為極軸建立極坐標(biāo)系，圓的極坐標(biāo)方程為．（１）求直線的普通方程和圓的直角坐標(biāo)方程；（２）確定直線和圓的位置關(guān)系．參考答案：（１）由，消去參數(shù)，得直線的普通方程為，由，即，（２）由（１）得圓心，半徑，∴到的距離，所以，直線與圓相交．20.（本題滿分16分）已知奇函數(shù)定義域是，當(dāng)時(shí)，.

(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)的值域；(3)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.參考答案：解:(1)函數(shù)的解析式為;…………5分

(2)函數(shù)的值域?yàn)?

…………12分(3)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.…………16分21.隨著科技的發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)已逐漸融入了人們的生活．網(wǎng)購是非常方便的購物方式，為了了解網(wǎng)購在我市的普及情況，某調(diào)查機(jī)構(gòu)進(jìn)行了有關(guān)網(wǎng)購的調(diào)查問卷，并從參與調(diào)查的市民中隨機(jī)抽取了男女各100人進(jìn)行分析，從而得到表（單位：人）

經(jīng)常網(wǎng)購偶爾或不用網(wǎng)購合計(jì)男性50

100女性70

100合計(jì)

（1）完成上表，并根據(jù)以上數(shù)據(jù)判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為我市市民網(wǎng)購與性別有關(guān)？（2）①現(xiàn)從所抽取的女市民中利用分層抽樣的方法抽取10人，再從這10人中隨機(jī)選取3人贈送優(yōu)惠券，求選取的3人中至少有2人經(jīng)常網(wǎng)購的概率；②將頻率視為概率，從我市所有參與調(diào)查的市民中隨機(jī)抽取10人贈送禮品，記其中經(jīng)常網(wǎng)購的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望和方差．參考公式：0.150.100.050.0250.01000050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

參考答案：（1）詳見解析；（2）①；②數(shù)學(xué)期望為6，方差為2.4.【分析】（1）完成列聯(lián)表，由列聯(lián)表，得，由此能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為我市市民網(wǎng)購與性別有關(guān)．（2）①由題意所抽取的10名女市民中，經(jīng)常網(wǎng)購的有人，偶爾或不用網(wǎng)購的有人，由此能選取的3人中至少有2人經(jīng)常網(wǎng)購的概率．②由列聯(lián)表可知，抽到經(jīng)常網(wǎng)購的市民的頻率為：，由題意，由此能求出隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差．【詳解】解：（1）完成列聯(lián)表（單位：人）：

經(jīng)常網(wǎng)購偶爾或不用網(wǎng)購合計(jì)男性5050100女性7030100合計(jì)12080200

由列聯(lián)表，得：，∴能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為我市市民網(wǎng)購與性別有關(guān)．（2）①由題意所抽取的10名女市民中，經(jīng)常網(wǎng)購的有人，偶爾或不用網(wǎng)購的有人，∴選取的3人中至少有2人經(jīng)常網(wǎng)購的概率為：．②由列聯(lián)表可知，抽到經(jīng)常網(wǎng)購的市民的頻率為：，將頻率視為概率，∴從我市市民中任意抽取一人，恰好抽到經(jīng)常網(wǎng)購市民的概率為0.6，由題意，∴隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，方差D（X）=．【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查概率、離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、方差的求法，考查古典概型、二項(xiàng)分布等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．22.設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大??；（Ⅱ）若，c=5，求b．