STFT短時(shí)傅里葉變換課件

短時(shí)傅里葉變換

唐娜短時(shí)傅里葉變換1主要內(nèi)容1.短時(shí)傅里葉變換簡(jiǎn)介2.測(cè)不準(zhǔn)定理3.短時(shí)傅里葉變換缺陷主要內(nèi)容1.短時(shí)傅里葉變換簡(jiǎn)介2背景:傅里葉變換的缺陷1）不適用于非平穩(wěn)信號(hào)的處理2）沒(méi)有局域性3）時(shí)域與頻域的分割背景:3提出與基本思想鑒于傅里葉變換的缺陷提出了窗函數(shù)的概念，提出一個(gè)靈活可變的時(shí)間—頻率窗，使得在這個(gè)窗內(nèi)能夠體現(xiàn)頻率的信息，這種信號(hào)分析方法稱(chēng)為時(shí)間—頻率分析。而窗固定的時(shí)間—頻率分析方法即為短時(shí)傅里葉變換。短時(shí)傅里葉變換（STFT，short-timeFouriertransform）。其主要思想是將信號(hào)加窗，將加窗后的信號(hào)再進(jìn)行傅里葉變換，加窗后使得變換為時(shí)間r附近的很小時(shí)間上的局部譜，窗函數(shù)可以根據(jù)r的位置變化在整個(gè)時(shí)間軸上平移，利用窗函數(shù)可以得到任意位置附近的時(shí)間段頻譜實(shí)現(xiàn)時(shí)間局域化提出與基本思想4STFT定義1946年，Gabor就提出了STFT，給定一信號(hào)，其STFT定義為：

公式涵義：在時(shí)域用窗函數(shù)去截信號(hào)，對(duì)截下來(lái)的局部信號(hào)作傅立葉變換，即在t時(shí)刻得該段信號(hào)得傅立葉變換，不斷地移動(dòng)t，也即不斷地移動(dòng)窗函數(shù)的中心位置，即可得到不同時(shí)刻的傅立葉變換，這些傅立葉變換的集合，即是

STFT可以看成是用基函數(shù)來(lái)代替傅里葉變換中的基函數(shù)

窗函數(shù)（1.1）STFT定義窗函數(shù)（1.1）5STFT短時(shí)傅里葉變換ppt課件6（1.1）式內(nèi)積的結(jié)果即可實(shí)現(xiàn)對(duì)進(jìn)行時(shí)－頻定位的功能。對(duì)兩邊做傅里葉變換，有

式中和是等效的頻率變量

STFT短時(shí)傅里葉變換ppt課件7該式指出，對(duì)在時(shí)域加窗，引導(dǎo)出在頻域?qū)哟啊Ｋ孕盘?hào)譜窗譜所以信號(hào)譜窗譜8

窗函數(shù)的中心和半徑：

定義非平凡函數(shù)稱(chēng)為一個(gè)窗函數(shù)如果也是屬于的，一個(gè)窗函數(shù)的中心定義為：半徑定義為：窗函數(shù)的中心和半徑：9

這樣我們可以認(rèn)為函數(shù)集中定義在以為中心，為半徑長(zhǎng)為的區(qū)間上，取此區(qū)間為的有效區(qū)間是合適的。

對(duì)函數(shù)其中心為半徑為，對(duì)的Fourier變換設(shè)其中心為半徑為矩形，稱(chēng)為函數(shù)的時(shí)-頻窗。該窗的面積為×這樣我們可以認(rèn)為函數(shù)集中定義在以為中心101.短時(shí)傅里葉變換簡(jiǎn)介2.測(cè)不準(zhǔn)定理3.短時(shí)傅里葉變換缺陷1.短時(shí)傅里葉變換簡(jiǎn)介11以Gabor函數(shù)為例，令Gabor數(shù)函為窗函數(shù)，已知Gabor函數(shù)的表達(dá)式如下：以Gabor函數(shù)為窗函數(shù)的STFT稱(chēng)為Gabor變換，其定義為則Gabor函數(shù)的中心和半徑為：以Gabor函數(shù)為例，令Gabor數(shù)函12根據(jù)窗函數(shù)半徑公式，可知道Gabor窗函數(shù)的半徑為：因?yàn)榇暗拿娣e為，對(duì)于Gabor窗函數(shù)說(shuō)因?yàn)闉榈母道锶~變換，則對(duì)于Gabor函數(shù)就要求出g的傅里葉變換，再代入上式得出則經(jīng)計(jì)算得根據(jù)窗函數(shù)半徑公式，可知道Gabor窗函數(shù)的半徑為：13則有：可以證明，不論采用何種函數(shù)作為窗函數(shù)，其時(shí)間窗和頻率窗寬度的乘積的最小值都是2，這就是測(cè)不準(zhǔn)原理，此定理告訴我們，不可能在時(shí)間和頻率兩個(gè)空間同時(shí)以任意精度逼近被測(cè)信號(hào)，因此就必須在信號(hào)的分析上對(duì)時(shí)間或者頻率的精度做取舍。當(dāng)利用STFT時(shí)，若我們希望能得到好的時(shí)－頻分辨率，或好的時(shí)－頻定位，應(yīng)選取時(shí)寬、帶寬都比較窄的窗函數(shù)，遺憾的是，由于受不定原理的限制，我們無(wú)法做到使同時(shí)為最小。

則有：14當(dāng)我們對(duì)信號(hào)作時(shí)－頻分析時(shí)，一般，對(duì)快變的信號(hào)，我們希望它有好的時(shí)間分辨率以觀(guān)察其快變部分（如尖脈沖等），即觀(guān)察的時(shí)間寬度要小，受時(shí)寬－帶寬積的影響，這樣，對(duì)該信號(hào)頻域的分辨率必定要下降。由于快變信號(hào)對(duì)應(yīng)的是高頻信號(hào)，因此對(duì)這一類(lèi)信號(hào)，我們希望有好的時(shí)間分辨率，但同時(shí)就要降低高頻的分辨率。反之，對(duì)慢變信號(hào)，由于它對(duì)應(yīng)的是低頻信號(hào)，所以我們希望在低頻處有好的頻率分辨率，但不可避免的要降低時(shí)域的分辨率。

當(dāng)我們對(duì)信號(hào)作時(shí)－頻分析時(shí)，一般，對(duì)15主要內(nèi)容1.短時(shí)傅里葉變換簡(jiǎn)介2.測(cè)不準(zhǔn)定理3.短時(shí)傅里葉變換缺陷主要內(nèi)容1.短時(shí)傅里葉變換簡(jiǎn)介16STFT短時(shí)傅里葉變換ppt課件17

前面推導(dǎo)了測(cè)不準(zhǔn)定理，知道STFT不具備自動(dòng)調(diào)節(jié)能力窗函數(shù)選定形狀不會(huì)發(fā)生改變時(shí)頻窗在時(shí)間軸頻率軸方向上的寬度確定時(shí)頻分辨率確定不隨時(shí)間、頻率的變化而變化前面推導(dǎo)了測(cè)不準(zhǔn)定理，知道STFT不具備自動(dòng)調(diào)節(jié)能力18從上面的分析我知道，如果要改變分辨率，則需要重新選擇窗函數(shù)。因?yàn)槭艿讲淮_定準(zhǔn)則的限制，時(shí)頻窗的面積不小于2，故不能兼顧頻率與時(shí)間分辨率的需求，這也就從另一個(gè)側(cè)面說(shuō)明了短時(shí)傅里葉變換窗函數(shù)的時(shí)間與頻率分辨率不能同時(shí)達(dá)到最優(yōu)，我們對(duì)時(shí)間分辨率和頻率分辨率只能取一個(gè)折中，一個(gè)提高了，另一個(gè)就必然要降低，反之亦然。短時(shí)傅里葉變換用來(lái)分析分段平穩(wěn)信號(hào)或者近似平穩(wěn)信號(hào)猶可，但是對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)，對(duì)頻率分辨率和時(shí)間分辨率的要求是要按照一定的規(guī)律變化的，但短時(shí)傅里葉變換的函數(shù)一旦選定時(shí)頻分辨率是確定不隨時(shí)間、頻率的變化而變化。從上面的分析我知道，如果要改變分辨率，則需要重新19加窗實(shí)例頻譜頻譜加窗后頻譜產(chǎn)生失真正弦序列加窗實(shí)例頻譜頻譜加窗后頻譜產(chǎn)生失真正弦序列20

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