空間向量與立體幾何知識點(diǎn)總結(jié)文檔資料

.;..立體幾何與空間向量知識點(diǎn)歸納總結(jié)一、立體幾何知識點(diǎn)柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征

棱柱的定義：有兩個(gè)面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形，其余各面都是四邊形，且相鄰四邊形的公共邊都平行，由這些面圍成的幾何體叫棱柱。

棱柱的性質(zhì)：側(cè)面都是平行四邊形；側(cè)棱都平行，側(cè)棱長都相等。直棱柱：側(cè)棱垂直底面的棱柱叫直棱柱。正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱叫正棱柱。棱錐的定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形，由這些面圍成的幾何體叫棱錐。棱柱的性質(zhì)：平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面的距離與高的比。

（3）棱臺(tái)的定義：用平行于底面的平面截棱錐，截面與底面的部分叫棱臺(tái)。

棱臺(tái)的性質(zhì)：①上下底面平行且是相似的多邊形；②側(cè)面是梯形；③側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)。（4）圓柱的定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所圍成的幾何體叫圓柱。

圓柱的性質(zhì)：①底面是全等的圓；②母線與軸平行；③軸與底面圓的半徑垂直；④側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形。

（5）圓錐的定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所圍成的幾何體叫圓錐。圓錐的性質(zhì)：①底面是一個(gè)圓；②母線交于圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形。

（6）圓臺(tái)的定義：以直角梯形的垂直于底邊的腰為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所圍成的幾何體叫圓臺(tái)。

圓臺(tái)的性質(zhì)：①上下底面是兩個(gè)圓；②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面展開圖是一個(gè)扇環(huán)形。

球體的定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形圍成的幾何體叫球。球的性質(zhì)：①球的截面是圓；②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。2、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積（1）幾何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面積之和。（2）特殊幾何體表面積公式（c為底面周長，h為高，為斜高，l為母線）（3）柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式（4）球體的表面積和體積公式：V=；S=3、平面及基本性質(zhì)公理1公理2若,則且公理3不共線三點(diǎn)確定一個(gè)平面（推論1直線和直線外一點(diǎn),2兩相交直線,3兩平行直線）4、空間兩直線的位置關(guān)系共面直線：相交、平行（公理4）異面直線5、異面直線（1）對定義的理解：不存在平面，使得且（2）判定：反證法（否定相交和平行即共面）判定定理：★（3）求異面直線所成的角：①平移法即平移一條或兩條直線作出夾角，再解三角形.②向量法（注意異面直線所成角的范圍（4）證明異面直線垂直，①通常采用三垂線定理及逆定理或線面垂直關(guān)系來證明；②向量法（5）求異面直線間的距離：大綱僅要求掌握已給出公垂線或易找出公垂線的有關(guān)問題計(jì)算.6、直線與平面的位置關(guān)系1、直線與平面的位置關(guān)系2、直線與平面平行的判定（1）判定定理:(線線平行，則線面平行)（2）面面平行的性質(zhì)：(面面平行，則線面平行)3、直線與平面平行的性質(zhì)(線面平行，則線線平行)★4、直線與平面垂直的判定（1）直線與平面垂直的定義的逆用（2）判定定理：（線線垂直，則線面垂直）（3）（練習(xí)第6題）（4）面面垂直的性質(zhì)定理：（面面垂直，則線面垂直）（5）面面平行是性質(zhì)：5、射影長定理★6、三垂線定理及逆定理線垂影線垂斜7、兩個(gè)平面的位置關(guān)系：空間兩個(gè)平面的位置關(guān)系相交和平行8、兩個(gè)平面平行的判定（1）判定定理：（線線平行，則面面平行）（2）垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行（3）平行于同一平面的兩個(gè)平面平行（練習(xí)第2題）9、兩個(gè)平面平行的性質(zhì)（1）性質(zhì)1：（2）面面平行的性質(zhì)定理：（面面平行，則線線平行）（3）性質(zhì)2：10、兩個(gè)平面垂直的判定與性質(zhì)（1）判定定理：（線面垂直，則面面垂直）（2）性質(zhì)定理：面面垂直的性質(zhì)定理：（面面垂直，則線面垂直）12、空間角：異面直線所成角（9.1）；斜線與平面所成的角（1）求作法（即射影轉(zhuǎn)化法）：找出斜線在平面上的射影，關(guān)鍵是作垂線，找垂足.（2）向量法：設(shè)平面的法向量為，則直線與平面所成的角為，則（3）兩個(gè)重要結(jié)論最小角定理：，例4第6題13、空間距離：求距離的一般方法和步驟（1）找出或作出有關(guān)的距離；（2）證明它符合定義；（3）在平面圖形內(nèi)計(jì)算（通常是解三角形）求點(diǎn)到面的距離常用的兩種方法（1）等體積法——構(gòu)造恰當(dāng)?shù)娜忮F；（2）向量法——求平面的斜線段，在平面的法向量上的射影的長度：直線到平面的距離，兩個(gè)平行平面的距離通常都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離求解異面直線的距離定義：和兩異面直線都垂直相交且夾在異面直線間的部分（公垂線段）求法：法1找出兩異面直線的公垂線段并計(jì)算，法2轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離向量法（，分別為兩異面直線上任意一點(diǎn)，為垂直于兩異面直線的向量）注意理解應(yīng)用：二、空間向量知識點(diǎn)1、空間向量的加法和減法：求兩個(gè)向量差的運(yùn)算稱為向量的減法，它遵循三角形法則．即：在空間任取一點(diǎn)，作，，則．求兩個(gè)向量和的運(yùn)算稱為向量的加法：在空間以同一點(diǎn)為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量、為鄰邊作平行四邊形，則以起點(diǎn)的對角線就是與的和，這種求向量和的方法，稱為向量加法的平行四邊形法則．2、實(shí)數(shù)與空間向量的乘積是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算．當(dāng)時(shí)，與方向相同；當(dāng)時(shí)，與方向相反；當(dāng)時(shí)，為零向量，記為．的長度是的長度的倍．3、如果表示空間的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量稱為共線向量或平行向量，并規(guī)定零向量與任何向量都共線．4、向量共線充要條件：對于空間任意兩個(gè)向量，，的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使．5、平行于同一個(gè)平面的向量稱為共面向量．6、向量共面定理：空間一點(diǎn)位于平面內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，，使；或?qū)臻g任一定點(diǎn)，有；或若四點(diǎn)，，，共面，則．7、已知兩個(gè)非零向量和，在空間任取一點(diǎn)，作，，則稱為向量，的夾角，記作．兩個(gè)向量夾角的取值范圍是：．8、對于兩個(gè)非零向量和，若，則向量，互相垂直，記作．9、已知兩個(gè)非零向量和，則稱為，的數(shù)量積，記作．即．零向量與任何向量的數(shù)量積為．10、等于的長度與在的方向上的投影的乘積．11、若，為非零向量，為單位向量，則有；；，，；；．12、空間向量基本定理:若三個(gè)向量，，不共面，則對空間任一向量，存在實(shí)數(shù)組，使得．13、空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底．14、設(shè)，，為有公共起點(diǎn)的三個(gè)兩兩垂直的單位向量（稱它們?yōu)閱挝徽换祝?，以，，的公共起點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系．則對于空間任意一個(gè)向量，一定可以把它平移，使它的起點(diǎn)與原點(diǎn)重合，得到向量．存在有序?qū)崝?shù)組，使得．把，，稱作向量在單位正交基底，，下的坐標(biāo)，記作．此時(shí)，向量的坐標(biāo)是點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)．15、設(shè)，，則．．．．若、為非零向量，則．若，則．．．，，則．16、空間中平面的位置可以由內(nèi)的兩條相交直線來確定．設(shè)這兩條相交直線相交于點(diǎn)，它們的方向向量分別為，．為平面上任意一點(diǎn)，存在有序?qū)崝?shù)對使得，這樣點(diǎn)與向量，就確定了平面的位置．17、直線垂直，取直線的方向向量，則向量稱為平面的法向量．18、若空間不重合兩條直線，的方向向量分別為，，則，．19．，．20、若空間不重合的兩個(gè)平面，的法向量分別為，，則，．21、設(shè)異面直線，的夾角為，方向向量為，，其夾角為，則有．22、設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，與所成的角為，與的夾角為，則有．23、設(shè)，是二面角的兩個(gè)面，的法向量，則向量，的夾角（或其補(bǔ)角）就是二面角的平面角的大?。舳娼堑钠矫娼菫?，則．24、在直線上找一點(diǎn)，過定點(diǎn)且垂直于直線的向量為，則定點(diǎn)到直線的距離為．25、點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離可以轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)對應(yīng)向量的模計(jì)算．26、點(diǎn)是平面外一點(diǎn)，是平面內(nèi)的一定點(diǎn)，為平面的一個(gè)法向量，則點(diǎn)到平面的距離為PAGEPAGE1空間向量立體幾何知識點(diǎn)大匯總一、空間向量的加法和減法：求兩個(gè)向量差的運(yùn)算稱為向量的減法，它遵循三角形法則．即：在空間任取一點(diǎn)，作，，則．求兩個(gè)向量和的運(yùn)算稱為向量的加法：在空間以同一點(diǎn)為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量、為鄰邊作平行四邊形，則以起點(diǎn)的對角線就是與的和，這種求向量和的方法，稱為向量加法的平行四邊形法則．二、實(shí)數(shù)與空間向量的乘積是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算．當(dāng)時(shí)，與方向相同；當(dāng)時(shí)，與方向相反；當(dāng)時(shí)，為零向量，記為．的長度是的長度的倍．三、如果表示空間的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量稱為共線向量或平行向量，并規(guī)定零向量與任何向量都共線．四、向量共線充要條件：對于空間任意兩個(gè)向量，，的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使．五、平行于同一個(gè)平面的向量稱為共面向量．六、向量共面定理：空間一點(diǎn)位于平面內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，，使；或?qū)臻g任一定點(diǎn)，有；或若四點(diǎn)，，，共面，則．七、已知兩個(gè)非零向量和，在空間任取一點(diǎn)，作，，則稱為向量，的夾角，記作．兩個(gè)向量夾角的取值范圍是：．八、對于兩個(gè)非零向量和，若，則向量，互相垂直，記作．九、已知兩個(gè)非零向量和，則稱為，的數(shù)量積，記作．即．零向量與任何向量的數(shù)量積為．十、等于的長度與在的方向上的投影的乘積．十一、若，為非零向量，為單位向量，則有；；，，；；．十二、空間向量基本定理：若三個(gè)向量，，不共面，則對空間任一向量，存在實(shí)數(shù)組，使得．十三、若三個(gè)向量，，不共面，則所有空間向量組成的集合是．這個(gè)集合可看作是由向量，，生成的，稱為空間的一個(gè)基底，，，稱為基向量．空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底．十四、設(shè)，，為有公共起點(diǎn)的三個(gè)兩兩垂直的單位向量（稱它們?yōu)閱挝徽换祝?，以，，的公共起點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系．則對于空間任意一個(gè)向量，一定可以把它平移，使它的起點(diǎn)與原點(diǎn)重合，得到向量．存在有序?qū)崝?shù)組，使得．把，，稱作向量在單位正交基底，，下的坐標(biāo)，記作．此時(shí)，向量的坐標(biāo)是點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)．十五、設(shè)，，則．．．．若、為非零向量，則．若，則．．．，，則．十六、空間中任意一條直線的位置可以由上一個(gè)定點(diǎn)以及一個(gè)定方向確定．點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，向量表示直線的方向向量，則對于直線上的任意一點(diǎn)，有，這樣點(diǎn)和向量不僅可以確定直線的位置，還可以具體表示出直線上的任意一點(diǎn)．十七、空間中平面的位置可以由內(nèi)的兩條相交直線來確定．設(shè)這兩條相交直線相交于點(diǎn)，它們的方向向量分別為，．為平面上任意一點(diǎn)，存在有序?qū)崝?shù)對使得，這樣點(diǎn)與向量，就確定了平面的位置．十八、直線垂直，取直線的方向向量，則向量稱為平面的法向量．十九、若空間不重合兩條直線，的方向向量分別為，，則，．二十、若直線的方向向量為，平面的法向量為，且，則，．二十一、若空間不重合的兩個(gè)平面，的法向量分別為，，則，．