自考概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件（經(jīng)管類）

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1教材：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》（經(jīng)管類）課程代碼：4183柳金甫王義東主編武漢大學(xué)出版社教材：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》2本課程的重點(diǎn)章是第1、2、3、4、7、8章.（1）試題的難度可分為：易，中等偏易，中等偏難，難。它們所占分?jǐn)?shù)依次大致為：20分，40分，30分，10分。（2）試題的題型有：選擇題(10*2=20分)、填空題(15*2=30分)、計(jì)算題

(2*8=16分)、綜合題(2*12=24分)、應(yīng)用題(1*10=10分)。（3）在試題中，概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)內(nèi)容試題分?jǐn)?shù)的分布大致是75分和25分.本課程的重點(diǎn)章是第1、2、3、4、7、8章.（1）試題的難度3概率論是研究什么的？概率論——從數(shù)量上研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的科學(xué)。

序言數(shù)理統(tǒng)計(jì)——從應(yīng)用角度研究處理隨機(jī)性數(shù)據(jù)，建立有效的統(tǒng)計(jì)方法，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推理。

概率論是研究什么的？概率論——從數(shù)量上研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律4目錄第一章隨機(jī)事件與概率(重點(diǎn))第二章隨機(jī)變量及其概率分布(重點(diǎn))第三章多維隨機(jī)變量及其概率分布(重點(diǎn))第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征(重點(diǎn))第五章大數(shù)定律及中心極限定理第六章統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布第七章參數(shù)估計(jì)(重點(diǎn))第八章假設(shè)檢驗(yàn)(重點(diǎn))第九章回歸分析目錄第一章隨機(jī)事件與概率(重點(diǎn))5第一章隨機(jī)事件與概率§1.1隨機(jī)事件§1.2概率§1.3條件概率§1.4事件的獨(dú)立性

第一章隨機(jī)事件與概率§1.1隨機(jī)事件61.1.1隨機(jī)現(xiàn)象

現(xiàn)象按照必然性分為兩類：

一類是確定性現(xiàn)象；

一類是隨機(jī)現(xiàn)象。

在一定條件下，可能出現(xiàn)這樣的結(jié)果，也可能出現(xiàn)那樣的結(jié)果，我們預(yù)先無法斷言，這類現(xiàn)象成為隨機(jī)現(xiàn)象?！?.1

隨機(jī)事件1.1.1隨機(jī)現(xiàn)象§1.1隨機(jī)事件7§

1.1.2

隨機(jī)試驗(yàn)和樣本空間試驗(yàn)的例子E1:拋一枚硬幣，觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況；E2:

擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；E3:記錄110報(bào)警臺(tái)一天接到的報(bào)警次數(shù)；E4:在一批燈泡中任意抽取一個(gè)，測試它的壽命；E5:

記錄某物理量的測量誤差；E6:在區(qū)間上任取一點(diǎn)，記錄它的坐標(biāo)?！?.1.2隨機(jī)試驗(yàn)和樣本空間試驗(yàn)的例子E1:拋一枚硬8

上述試驗(yàn)的特點(diǎn)：1.試驗(yàn)的可重復(fù)性——可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；2.一次試驗(yàn)結(jié)果的隨機(jī)性——一次試驗(yàn)之前無法確定具體是哪種結(jié)果出現(xiàn)，但能確定所有的可能結(jié)果。3.全部試驗(yàn)結(jié)果的可知性——所有可能的結(jié)果是預(yù)先可知的。

在概率論中，將具有上述三個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)成為隨機(jī)試驗(yàn)，簡稱試驗(yàn)。隨機(jī)試驗(yàn)常用E表示。

上述試驗(yàn)的特點(diǎn)：9

1、樣本空間:試驗(yàn)的所有可能結(jié)果所組成的集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間,記為Ω.樣本空間2、樣本點(diǎn):試驗(yàn)的每一個(gè)可能出現(xiàn)的結(jié)果成為一個(gè)樣本點(diǎn),用字母ω表示.1、樣本空間:試驗(yàn)的所有可能結(jié)果所組成的集合稱為試驗(yàn)E的10下面分別寫出上述各試驗(yàn)所對應(yīng)的樣本空間下面分別寫出上述各試驗(yàn)所對應(yīng)的樣本空間11§1.1.3

隨機(jī)事件1.定義樣本空間的任意一個(gè)子集稱為隨機(jī)事件,簡稱“事件”.記作A、B、C等。例在試驗(yàn)E2中，令A(yù)表示“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，A就是一個(gè)隨機(jī)事件。A還可以用樣本點(diǎn)的集合形式表示，即A={1，3，5}.它是樣本空間Ω的一個(gè)子集。事件發(fā)生：例如，在試驗(yàn)E2中，無論擲得1點(diǎn)、3點(diǎn)還是5點(diǎn)，都稱這一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生了?；臼录簶颖究臻gΩ僅包含一個(gè)樣本點(diǎn)ω的單點(diǎn)子集{ω}。例，在試驗(yàn)E1中{H}表示“正面朝上”，就是個(gè)基本事件?！?.1.3隨機(jī)事件1.定義樣本空間的任意一個(gè)子集稱為12兩個(gè)特殊的事件必然事件：Ω；不可能事件：φ.

既然事件是一個(gè)集合，因此有關(guān)事件間的關(guān)系、運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則也就按集合間的關(guān)系、運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則來處理。

兩個(gè)特殊的事件必然事件：Ω；不可能事件：φ.13

1.包含關(guān)系與相等：“事件A發(fā)生必有事件B發(fā)生”

，記為AB。A＝BAB且BA.§1.1.4、事件之間的關(guān)系A(chǔ)

BABΩ1.包含關(guān)系與相等：“事件A發(fā)生必有事件B發(fā)142.和事件：

“事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生”，記作AB或A+B。推廣：n個(gè)事件A1,A2,…,An至少有一個(gè)發(fā)生，記作顯然：1.AAB，BAB；2.若AB，則AB=B。2.和事件：“事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生”，記作AB或153.積事件

:事件A與事件B同時(shí)發(fā)生，記作AB

或AB。推廣：n個(gè)事件A1,A2,…,An同時(shí)發(fā)生，記作A1A2…An顯然：1.ABA，ABB；2.若AB，則AB=A。3.積事件:事件A與事件B同時(shí)發(fā)生，記作AB推廣：164.差事件：A－B稱為A與B的差事件,表示事件

A發(fā)生而事件B不發(fā)生顯然：1.A-BA；2.若AB，則A-B=φ。4.差事件：A－B稱為A與B的差事件,表示事件175.互不相容事件（也稱互斥的事件）

即事件A與事件B不可能同時(shí)發(fā)生。AB＝。ABAB=Ω5.互不相容事件（也稱互斥的事件）即事件A與ABAB=186.對立事件

AB＝,且AB＝

6.對立事件AB＝,且AB＝19思考：事件A和事件B互不相容與事件A和事件B互為對立事件的區(qū)別.顯然有：思考：事件A和事件B互不相容與事件A和事件B互顯然有：20事件的運(yùn)算律1、交換律：AB＝BA，AB＝BA。2、結(jié)合律：(AB)C=A(BC)，

(AB)C＝A(BC)。3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)，

(AB)C＝(AC)(BC)。4、對偶(DeMorgan)律：

事件的運(yùn)算律1、交換律：AB＝BA，AB＝BA。2、結(jié)合21例1-4、設(shè)A、B、C表示三個(gè)事件，試以A，B，C的運(yùn)算表示以下事件：（1）僅A發(fā)生；（2）A，B，C都發(fā)生；（3）A，B，C都不發(fā)生；（4）A，B，C不全發(fā)生；（5）A，B，C恰有一個(gè)發(fā)生。解例1-4、設(shè)A、B、C表示三個(gè)事件，試以A，B，C的運(yùn)算表示22例1-5

某射手向一目標(biāo)射擊3次,Ai表示“第i次射擊命中目標(biāo)”,

i=1,2,3.Bj表示“三次射擊恰命中目標(biāo)j次”,j=0,1,2,3.試用

A1,A2,A3的運(yùn)算表示Bj,j=0,1,2,3.解例1-5某射手向一目標(biāo)射擊3次,Ai表示“第i次射擊命中23例：甲、乙、丙三人各向目標(biāo)射擊一發(fā)子彈，以A、B、C分別表示甲、乙、丙命中目標(biāo)，試用A、B、C的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件：例：甲、乙、丙三人各向目標(biāo)射擊一發(fā)子彈，以A、B、C分24本節(jié)課主要講授：1.隨機(jī)現(xiàn)象；2.隨機(jī)試驗(yàn)和樣本空間；3.隨機(jī)事件的概念；4.隨機(jī)事件的關(guān)系和運(yùn)算（重點(diǎn)）。小結(jié)本節(jié)課主要講授：小結(jié)25§1.2概

率1.2.1頻率與概率§1.2概率1.2.1頻率與概率26頻率的性質(zhì)：試驗(yàn)者德.摩根204810610.5181蒲豐404020480.5069K.皮爾遜1200060190.5016K.皮爾遜24000120120.5005頻率的性質(zhì)：試驗(yàn)者德.摩根204810610.5181蒲豐427頻率是概率的近似值，概率P(A)也應(yīng)有類似特征：頻率是概率的近似值，概率P(A)也應(yīng)有類似特征：282.等可能性：每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同.1.2.2古典概型理論上,具有下面兩個(gè)特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型,稱為古典概型：1.有限性：基本事件的總數(shù)是有限的,換句話說樣本空間僅含有有限個(gè)樣本點(diǎn);2.等可能性：每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同.1.2.2古典29設(shè)事件A中所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為r

,樣本空間中樣本點(diǎn)總數(shù)為n,則有古典概型中的概率:設(shè)事件A中所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為r,樣本空間中30例1-7

擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,求出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)的概率。事件“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”用A表示,則A={1,3,5},所含樣本點(diǎn)數(shù)r=3,從而解：顯然樣本空間Ω={1,2,3,4,5,6},樣本點(diǎn)總數(shù)n=6,例1-7擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,求出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)的概率。事件“31解1:試出現(xiàn)正面用H表示,出現(xiàn)反面用T表示,則樣本空間

={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT},樣本點(diǎn)總數(shù)n=8.A={TTH，THT，HTT}，B={HHH}，C={HHH,THH,HTH,HHT,TTH,THT,HTT}所以A,B,C中樣本點(diǎn)數(shù)分別為rA=3,rB=1,rC=7,例1-8拋一枚均勻硬幣3次,設(shè)事件A為“恰有1次出現(xiàn)面”,B為“恰有2次出現(xiàn)正面”,C為“至少一次出現(xiàn)正面”,試求P(A),P(B),P(C).則P(A)=rA／n=3／8,

P(B)=rB／n=1／8,

P(C)=rC／n=7／8.解1:試出現(xiàn)正面用H表示,出現(xiàn)反面用T表示,則樣本空間A32例1-9

從0,1,2,…,9等10個(gè)數(shù)字中任意選出3個(gè)不同數(shù)字,試求3個(gè)數(shù)字中不含0和5的概率.解設(shè)A表示“3個(gè)數(shù)字中不含0和5”.從0,1,2,…,9中任意選3個(gè)不同的數(shù)字,共有種選法,

即基本事件總數(shù)n=.

3個(gè)數(shù)中不含0和5,是從1,2,3,4,6,7,8,9共8個(gè)數(shù)中取得,

選法有,即A包含的基本事件數(shù),則

如果把題中的“0和5”改成“0或5”,結(jié)果如何？例1-9從0,1,2,…,9等10個(gè)數(shù)字中任意選出3個(gè)不33例1-10

從1,2,…,9這9個(gè)數(shù)字中任意取一個(gè)數(shù),取后放回,而后再取一數(shù),試求取出的兩個(gè)數(shù)字不同的概率.

解

基本事件總數(shù)n=92,因?yàn)榈谝淮稳?shù)有9中可能取法,這時(shí)可重復(fù)排列問題.設(shè)A表示“取出的兩個(gè)數(shù)字不同”.A包含的基本事件數(shù)9*8因?yàn)榈谝淮稳?shù)有9中可能取法,為保證兩個(gè)數(shù)不同,第二次取數(shù)應(yīng)從另外的8個(gè)數(shù)中選取,有8中可能取法,r=9*8,

故P(A)=r∕n=9*8∕92=8∕9例1-10從1,2,…,9這9個(gè)數(shù)字中任意取一個(gè)數(shù),取后34例1-11

袋中有5個(gè)白球3個(gè)黑球,從中任取兩個(gè),試求取到的兩個(gè)球顏色相同的概率。解

從8個(gè)球中任意取兩個(gè),共有種取法,即基本事件總數(shù).記A表示“取到的兩個(gè)球顏色相同”,A包含兩種可能:

全是白球或全是黑球.

全是白球有種取法,全是黑球有種取法,由加法原理

知,A的取法共

中,

即A包含的基本事件數(shù)r=

故例1-11袋中有5個(gè)白球3個(gè)黑球,從中任取兩個(gè),試求取到的35(2)采取放回抽樣：第一次抽取共有100種取法，取后放回，第二次抽取仍有100種取法，即基本事件總數(shù)n=1002.在這種情況下，A中包含的基本事件數(shù)r仍為97*3，故例1-12

一批產(chǎn)品共有100件，其中3件次品，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中接連抽取兩次，每次抽取一件，考慮兩種情況：（1）不放回抽樣：第一次取一件不放回，第二次再抽取一件；（2）放回抽樣：第一次抽取意見檢查后放回，第二次再抽取一件.試分別針對上述兩種情況，求事件A“第一次取到正品，第二次取到次品的概率”。

解(1)采取不放回抽樣：由于要考慮2件產(chǎn)品取出的順序，接連兩次抽取共有種取法，即基本事件總數(shù).第一次取到正品共有97種取法，第二次取到次品共有3種取法，則A中包含的基本事件數(shù)是r=97*3，故(2)采取放回抽樣：第一次抽取共有100種取法36計(jì)算古典概型的概率還可以利用概率的性質(zhì)，后面將有這方面的例子：由古典概型中事件概率的計(jì)算公式易知概率具有下列性質(zhì)：

(3)當(dāng)A與B互不相容時(shí)，有P(AUB)=P(A)+P(B).

這個(gè)性質(zhì)可以推廣：當(dāng)A1，A2，…Am互不相容時(shí)，有其中m是正整數(shù).當(dāng)A1，A2，…Am互不相容時(shí)，有計(jì)算古典概型的概率還可以利用概率的性質(zhì)，后面將有這方面的例子371.定義若對隨機(jī)試驗(yàn)E所對應(yīng)的樣本空間中的每一事件A，均賦予一實(shí)數(shù)P(A)，集合函數(shù)P(A)滿足條件：(1)P(A)≥0；(2)P()＝1； (3)可列可加性：設(shè)A1，A2，…,是一列兩兩互不相容的事件，即AiAj＝，(ij),i,j＝1,2,…,有

P(A1

A2

…

)＝P(A1)＋P(A2)+….

則稱P(A)為事件A的概率。1.2.3概率的定義與性質(zhì)1.定義若對隨機(jī)試驗(yàn)E所對應(yīng)的樣本空間中的每一事件A，均賦38概率的性質(zhì)性質(zhì)1-1性質(zhì)1-2

對于任意事件A,B有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB).特別地,當(dāng)A與B互不相容時(shí),P(AUB)=P(A)+P(B).性質(zhì)1-2可推廣：對于任意事件A,B,C有

P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC).當(dāng)A1,A2,…,An互不相容時(shí)：

P(A1UA2U…UAn)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).性質(zhì)1-3P(B-A)=P(B)-P(AB).特別地,當(dāng)AB時(shí),P(B-A)=P(B)-P(A),且P(A)P(B).性質(zhì)1-4P(A)＝1－P(A).概率的性質(zhì)性質(zhì)1-1性質(zhì)1-2對于任意事件A,B39性質(zhì)1-5：對任意兩事件A、B,有P(A)＝P(AB)＋P(AB),P(B)＝P(AB)＋P(AB)例1-13

已知12種產(chǎn)品中有2件次品,從中任意抽取4件產(chǎn)品,

求至少取得1件次品(記為A)的概率.解設(shè)B表示“為抽到次品”,則B=A,而由古典概型的概率

求法可得性質(zhì)1-5：對任意兩事件A、B,有例1-13已知1240例1-14

設(shè)A,B為兩個(gè)隨機(jī)事件,

P(A)=0.5,P(AUB)=0.8,

P(AB)=0.3,

求P(B).解由P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB),得

P(B)=P(AUB)-P(A)+P(AB)=0.8-0.5+0.3=0.6.解

由性質(zhì)1-5可知，例1-15

設(shè)A,B兩個(gè)隨機(jī)事件,P(A)=0.8,P(AB)=0.5,求P(AB).

P(AB)=P(A)-P(AB)=0.8-0.5=0.3例1-14設(shè)A,B為兩個(gè)隨機(jī)事件,P(A)=0.5,41例1-16

設(shè)A與B互不相容,P(A)=0.5,P(B)=0.3,求P(AB).解P(AB)=P()=1-P(AUB)=1-[P(A)+P(B)]=1-(0.5+0.3)=0.2

例1-16設(shè)A與B互不相容,P(A)=0.5,P(B42小結(jié)本節(jié)課的重點(diǎn)：（1）古典概型事件概率的計(jì)算；（2）概率的性質(zhì)及其應(yīng)用.小結(jié)本節(jié)課的重點(diǎn)：431.3.1條件概率與乘法公式例1-17

某工廠有職工400名,其中男女職工各占一半,男女職工中優(yōu)秀的分別為20人與40人.從中任選一名職工,試問：（1）該職工技術(shù)優(yōu)秀的概率是多少？（2）已知選出的是男職工,他技術(shù)優(yōu)秀的概率是多少？§1.3條件概率1

定義：已知事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率稱為A條件下B的條件概率,記作P(B|A).1.3.1條件概率與乘法公式例1-17某工廠有職工444定義1-2

設(shè)A,B是兩個(gè)事件,且P(B)>0,稱

為在事件B發(fā)生條件下事件A發(fā)生的概率.顯然，P(A)>0時(shí)，計(jì)算條件概率有兩個(gè)基本的方法：一、是用定義計(jì)算；二、是在古典概型中利用古典概型的計(jì)算方法直接計(jì)算.定義1-2設(shè)A,B是兩個(gè)事件,且P(B)>0,稱45例1-18

在全部產(chǎn)品中有4%是廢品,有72%為一等品.現(xiàn)從中任取一件為合格品,求它是一等品的概率.解設(shè)A表示“任取一件為合格品”,B表示“任取一件為一等品”,顯然BA,P(A)=96%,P(AB)=P(B)=72%,則所求概率為例1-18在全部產(chǎn)品中有4%是廢品,有72%為一等品.現(xiàn)46

例1-19盒中有黃白兩色的乒乓球,黃色球7個(gè),其中3個(gè)是新球;白色球5個(gè),其中4個(gè)是新球.現(xiàn)從中任取一球是新球,求它是白球的概率.解1

設(shè)A表示“任取一球?yàn)樾虑颉?B表示“任取一球?yàn)榘浊颉?由古典概型的等可能性可知,所求概率為解2

設(shè)A表示“任取一球?yàn)樾虑颉?B表示“任取一球?yàn)榘浊颉?由條件概率公式可得例1-19盒中有黃白兩色的乒乓球,黃色球7個(gè),其中3個(gè)47解

設(shè)A表示“第一次取球取出的是白球”,B表示“第二次取球取出的是黑球”,所求概率為P(B|A).由于第一次取球取出的是白球,所以第二次取球時(shí)盒中有5個(gè)黑球2個(gè)白球,由古典概型的概率計(jì)算方法得例1-20

盒中有5個(gè)黑球3個(gè)白球,連續(xù)不放回的從中取兩次球,每次取一個(gè),若已知第一次取出的是白球,求第二次取出的是黑球的概率.解設(shè)A表示“第一次取球取出的是白球”,B表示“第二次取48性質(zhì)2

若A與B互不相容，則性質(zhì)3

條件概率的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2若A與B互不相容，則性質(zhì)3條件概率的性質(zhì)49概率的乘法公式：(1)當(dāng)P(A)>0時(shí)，有P(AB)=P(A)P(B|A).(2)當(dāng)P(B)>0時(shí)，有P(AB)=P(B)P(A|B).乘法公式還可以推廣到n個(gè)事件的情況：(1)設(shè)P(AB)>0時(shí)，則P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).同理還有P(AC)>0，P(BC)>0之下的乘法公式.(2)設(shè)P(A1A2…An-1)>0,則P(A1A2…An-1)=P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An-1).概率的乘法公式：50例1-21

在10個(gè)產(chǎn)品中,有2件次品,不放回的抽取2次產(chǎn)品,每次取一個(gè),求取到的兩件產(chǎn)品都是次品的概率.解設(shè)A表示“第一次取產(chǎn)品取到次品”,B表示“第二次取產(chǎn)品取到次品”,則故例1-21在10個(gè)產(chǎn)品中,有2件次品,不放回的抽取2次產(chǎn)品51例1-22

盒中有5個(gè)白球2個(gè)黑球,連續(xù)不放回的在其中取3次球,求第三次才取到黑球的概率.解設(shè)Ai(i=1,2,3)表示“第i次取到黑球”,于是所求概率為例1-23

設(shè)P(A)=0.8,P(B)=0.4,P(B|A)=0.25,求P(A|B).解例1-22盒中有5個(gè)白球2個(gè)黑球,連續(xù)不放回的在其中取521.3.2

全概率公式與貝葉斯(Bayes)公式定義1-3

設(shè)事件A1,A2,…,An滿足如下兩個(gè)條件：(1)A1,A2,…,An互不相容,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n;(2)A1∪A2∪…∪An=Ω,即A1,A2,…,An至少有一個(gè)發(fā)生,則稱A1,A2,…,An為樣本空間Ω的一個(gè)劃分.全概率公式

設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)對應(yīng)的樣本空間為Ω,設(shè)A1,A2,…,An是樣本空間Ω的一個(gè)劃分,B是任意一個(gè)事件,則注：全概率公式求的是無條件概率1.3.2全概率公式與貝葉斯(Bayes)公式定義1-353例1-24

盒中有5個(gè)白球3個(gè)黑球,連續(xù)不放回地從中取兩次球,每次取一個(gè),求第二次取球取到白球的概率.解

設(shè)A表示“第一次取球取到白球”,B表示“第二次取球取到白球”,則由全概率公式得例1-24盒中有5個(gè)白球3個(gè)黑球,連續(xù)不放回地從中取兩54例1-25

在某工廠中有甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)同一型號(hào)的產(chǎn)品,它們的產(chǎn)量各占30%,35%,35%,并且在各自的產(chǎn)品中廢品率分別為5%,4%,3%.

求從該廠的這種產(chǎn)品中任取一件是廢品的概率.解

設(shè)A1表示“從該廠的這種產(chǎn)品中任取一件產(chǎn)品為甲所生產(chǎn)”,A2表示“從該廠的這種產(chǎn)品中任取一件產(chǎn)品為乙所生產(chǎn)”,A3表示“從該廠的這種產(chǎn)品中任取一件產(chǎn)品為丙所生產(chǎn)”,B表示“從該廠的這種產(chǎn)品中任取一件為次品”,則P(A1)=30%，P(A2)=35%,P(A3)=35%,P(B|A1)=5%,P(B|A2)=4%,P(B|A3)=3%.由全概率公式得例1-25在某工廠中有甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)同一型號(hào)的55例1-26設(shè)在n(n>1)張彩票中有1張獎(jiǎng)券,甲、乙兩人依次摸一張彩票,分別求甲、乙兩人摸到獎(jiǎng)券的概率.解

設(shè)A表示“甲摸到獎(jiǎng)券”,B表示“乙摸到獎(jiǎng)券”.現(xiàn)在目的是求P(A),P(B),顯然P(A)=1/n.因?yàn)锳是否發(fā)生直接關(guān)系到B的概率,即于是由全概率公式得

這個(gè)例題說明,購買彩票時(shí),不論先買后買,中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)是均等的,這就是所謂的“抽簽公平性”.

例1-26設(shè)在n(n>1)張彩票中有1張獎(jiǎng)券,甲、乙兩人56貝葉斯(Bayes)公式設(shè)A1,A2,…,An是樣本空間的一個(gè)劃分,B是任一事件,且P(B)>0,則例1-27

在例1-24的條件下,若第二次取到白球,求第一次取到黑球的概率.解使用例1-24解中記號(hào),所求概率為,由貝葉斯公式注：Bayes公式求的是條件概率.貝葉斯(Bayes)公式設(shè)A1,A2,…,An是樣本空間57例1-27

在例1-25的假設(shè)下,若任取一件是廢品,分別求它是甲、乙、丙生產(chǎn)的概率.解由貝葉斯公式，例1-27在例1-25的假設(shè)下,若任取一件是廢品,分別求58例1-28

針對某種疾病進(jìn)行一種化驗(yàn),患該病的人中有90%呈陽性反應(yīng),而未患該病的人中5%呈陽性反應(yīng).設(shè)人群中有1%的人患這種病.若某人做這種化驗(yàn)呈陽性反應(yīng),則他換這種疾病的概率是多少?解

設(shè)A表示“某人患這種病”，B表示“化驗(yàn)呈陽性反應(yīng)”，則由全概率公式得再由貝葉斯公式得本題的結(jié)果表明，化驗(yàn)呈陽性反應(yīng)的人中，只有15%左右真正患有該病.例1-28針對某種疾病進(jìn)行一種化驗(yàn),患該病的人中有90%59例題

小明的父母親每月有且僅有一人給他寄錢,假設(shè)母親每月給他寄錢的概率是0.8.小明打算國慶假期去上?？词啦?huì)在母親給他寄錢的時(shí)候小明能去上海的概率是0.1,父親給他寄錢的時(shí)候小明能去上海的概率是0.9.求：(1)小明能去上?？词啦?huì)的概率是多少？(2)假如現(xiàn)在國慶假期已過,小明已經(jīng)去過上海,求他父母親給他寄錢的概率各是多少？例題小明的父母親每月有且僅有一人給他寄錢,假設(shè)母親每601、全概率公式及其應(yīng)用；(求無條件概率)小結(jié)2、貝葉斯公式及其應(yīng)用。(求條件概率)1、全概率公式及其應(yīng)用；(求無條件概率)小結(jié)2、貝葉斯61定義1-4

若P(AB)=P(A)P(B)

,則稱A與B相互獨(dú)立,簡稱A,B獨(dú)立.性質(zhì)1-6

若A與B相互獨(dú)立,則A與B,A與B,A與B都相互獨(dú)立.§1.4事件的獨(dú)立性1.4.1兩事件獨(dú)立性質(zhì)1-5

設(shè)P(A)>0,則A與B相互獨(dú)立的充分必要條件是P(B)=P(B|A).設(shè)P(B)>0,則A與B相互獨(dú)立的充分必要條件是P(A)=P(A|B).定義1-4若P(AB)=P(A)P(B),則稱A與B相62以下四件事等價(jià)：(1)事件A、B相互獨(dú)立；(2)事件A、B相互獨(dú)立；(3)事件A、B相互獨(dú)立；(4)事件A、B相互獨(dú)立。由性質(zhì)1-6知，以下四件事等價(jià)：由性質(zhì)1-6知，63例1-30

兩射手彼此獨(dú)立地向同一目標(biāo)射擊,設(shè)甲射中目標(biāo)的概率為0.9,乙射中目標(biāo)的概率為0.8,求目標(biāo)被擊中的概率.解設(shè)A表示“甲射中目標(biāo)”,B表示“乙射中目標(biāo)”,C表示“目標(biāo)被擊中”,則C=A∪B,A與B相互獨(dú)立,P(A)=0.9,P(B)=0.8，故P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.9+0.8-0.9*0.8=0.98.或利用對偶律亦可.注：A，B相互獨(dú)立時(shí),概率加法公式可以簡化,即當(dāng)A與B相互獨(dú)立時(shí)P(A∪B)=1-P(A)P(B)例1-30兩射手彼此獨(dú)立地向同一目標(biāo)射擊,設(shè)甲射中目標(biāo)的64例1-31

袋中有5個(gè)白球3個(gè)黑球,從中有放回地連續(xù)取兩次,每次取

一個(gè)球,求兩次取出的都是白球的概率.解

設(shè)A表示“第一次取球取到白球”,B表示“第二次取球取到白球”,由于是有放回抽取,A與B是相互獨(dú)立的,所求概率為例1-32

設(shè)A與B相互獨(dú)立,A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的

概率相等,且P(A)=1/3，求P(B).即解得解由題意，P(AB)=P(AB)，因?yàn)锳與B相互獨(dú)立，則A與B，A與B都相互獨(dú)立，故P(A)P(B)=P(A)P(B)，例1-31袋中有5個(gè)白球3個(gè)黑球,從中有放回地連續(xù)取兩次65二、多個(gè)事件的獨(dú)立定義1-5若三個(gè)事件A、B、C滿足：

P(AB)=P(A)P(B),

P(AC)=P(A)P(C),

P(BC)=P(B)P(C),則稱事件A、B、C兩兩相互獨(dú)立；若在此基礎(chǔ)上還滿足：P(ABC)＝P(A)P(B)P(C),則稱事件A、B、C相互獨(dú)立,簡稱A、B、C獨(dú)立.二、多個(gè)事件的獨(dú)立定義1-5若三個(gè)事件A、B、C滿足：66

一般地,設(shè)A1,A2,…,An是n個(gè)事件,如果對任意k(1kn),任意的1i1i2…

ik

n,具有等式

P(Ai1Ai2…Aik)＝P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik)則稱n個(gè)事件A1,A2,…,An相互獨(dú)立。思考：1.設(shè)事件A、B、C、D相互獨(dú)立，則2.三個(gè)事件相互獨(dú)立和兩兩獨(dú)立的關(guān)系.AUB與CD獨(dú)立嗎？一般地,設(shè)A1,A2,…,An是n個(gè)事件,如67例1-33

3人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼,他們能單獨(dú)譯出的概率分別為1/5,1/3,1/4.求此密碼被譯出的概率.解法1

設(shè)A,B,C分別表示3人能單獨(dú)譯出密碼，則所求概率為

P(A∪B∪C)，且A,B,C獨(dú)立，P(A)=1/5

，P(B)=1/3

，P(C)=1/4.于是例1-333人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼,他們能單獨(dú)譯出的概解法68解法2用解法1的記號(hào)，

比較起來,解法1要簡單一些,對于n個(gè)相互獨(dú)立事件A1,A2,…,An,其和事件A1∪A2∪…∪An的概率可以通過下式計(jì)算：解法2用解法1的記號(hào)，比較起來,解法69例1-34

3門高射炮同時(shí)對一架敵機(jī)各發(fā)一炮,它們的命中

率分別為0.1,

0.2,

0.3,求敵機(jī)恰中一彈的概率。解設(shè)Ai表示“第i門炮擊中敵機(jī)”,i=1,2,3,B表示“敵機(jī)恰中一彈”,則例1-343門高射炮同時(shí)對一架敵機(jī)各發(fā)一炮,它們的命中解70自考概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件（經(jīng)管類）71已知P(A)=1/2,P(B)=1/3,且A,B相互獨(dú)立,則P()=____.設(shè)隨機(jī)事件A與B相互獨(dú)立,P(A)=P(B)=0.5,則P(A∪B)=

.設(shè)隨機(jī)事件A與B相互獨(dú)立,P(A)=0.2,P(B)=0.8,則P(A|B)=_____

練習(xí)0.750.2設(shè)兩兩獨(dú)立的三個(gè)隨機(jī)事件A，B，C滿足ABC=φ，且P(A)=P(B)=P(C)=x，則當(dāng)x=

時(shí)，P(A∪B∪C)=.已知P(A)=1/2,P(B)=1/3,且A,B相互獨(dú)立,則72n重貝努利(Bernoulli)試驗(yàn)：

試驗(yàn)只要兩個(gè)結(jié)果A和A,而且P(A)=p,0<p<1.將試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行n次,則稱為n重貝努利試驗(yàn).此類試驗(yàn)的概率模型成為貝努利概型.定理1-1

在n重貝努利試驗(yàn)中,設(shè)每次試驗(yàn)中事件A的概率為p(0<p<1),事件A恰好發(fā)生k次的概率1.4.2

n重貝努利(Bernoulli)試驗(yàn)n重貝努利(Bernoulli)試驗(yàn)：定理1-1在n重貝努73例1-35

一射手對一目標(biāo)獨(dú)立射擊4次,每次射擊的命中率為0.8,求：（1）恰好命中兩次的概率；（2）至少命中一次的概率。解因每次射擊是相互獨(dú)立的,故此問題可看做4重貝努力試驗(yàn),p=0.8,(1)設(shè)事件A2表示“4次射擊恰好命中兩次”,則所求的概率為(2)設(shè)事件B表示“4次射擊中至少命中一次”,有A0表示“4次射擊都未命中”,則故所求的概率為例1-35一射手對一目標(biāo)獨(dú)立射擊4次,每次射擊的命中率為74例1-36

一車間有5臺(tái)同類型的且獨(dú)立工作的機(jī)器.假設(shè)在任一時(shí)刻t,每臺(tái)機(jī)器出故障的概率為0.1,問在同一時(shí)刻(1)沒有機(jī)器出故障的概率是多少?（0.59049）(2)至多有一臺(tái)機(jī)器出故障的概率是多少？（0.91854）例1-37

轉(zhuǎn)爐煉鋼,每一爐鋼的合格率為0.7.現(xiàn)有若干臺(tái)轉(zhuǎn)爐同時(shí)冶煉.若要求至少能夠煉出一爐合格鋼的把握為99%.問同時(shí)至少要有幾臺(tái)轉(zhuǎn)爐煉鋼？（4臺(tái)）例1-36一車間有5臺(tái)同類型的且獨(dú)立工作的機(jī)器.假設(shè)在任例75某氣象站天氣預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率0.8，且各次預(yù)報(bào)之間相互獨(dú)立.試求：（1）5次預(yù)報(bào)全部準(zhǔn)確的概率p1；（2）5次預(yù)報(bào)中至少有1次準(zhǔn)確的概率p2；（3）5次預(yù)報(bào)中至少有4次準(zhǔn)確的概率p3;（4）5次預(yù)報(bào)中至多有1次準(zhǔn)確的概率p4;（5）直到第5次才預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率p5.練習(xí)某氣象站天氣預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率0.8，且各次預(yù)報(bào)之76小結(jié)1、事件的獨(dú)立性；2、n重貝努利(Bernoulli)試驗(yàn).小結(jié)1、事件的獨(dú)立性；2、n重貝努利(Bernoulli)77第二章隨機(jī)變量隨機(jī)變量概念分布函數(shù)的概念和性質(zhì)離散型隨機(jī)變量及其分布律連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度函數(shù)隨機(jī)變量函數(shù)分布第二章隨機(jī)變量隨機(jī)變量概念782.1.1隨機(jī)變量的概念定義2.1設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，樣本空間為Ω，如果對每一個(gè)結(jié)果（樣本點(diǎn)）ω∈Ω，有一個(gè)實(shí)數(shù)X(ω)與之對應(yīng)，這樣就得到一個(gè)定義在Ω上的實(shí)值函數(shù)X=X(ω)稱為隨機(jī)變量.隨機(jī)變量常用X，Y，Z，...或X1，X2，X3，,...2.1.1隨機(jī)變量的概念定義2.1設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，樣本空79顧名思義，隨機(jī)變量就是“其值隨機(jī)會(huì)而定”的變量，正如隨機(jī)事件是“其發(fā)生與否隨機(jī)會(huì)而定”的事件．機(jī)會(huì)表現(xiàn)為試驗(yàn)結(jié)果，一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有許多可能的結(jié)果，到底出現(xiàn)哪一個(gè)要看機(jī)會(huì)，即有一定的概率．最簡單的例子如擲骰子，擲出的點(diǎn)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，它可以取1，…，6等6個(gè)值．到底是哪一個(gè)，要等擲了骰子以后才知道．因此又可以說，隨機(jī)變量就是試驗(yàn)結(jié)果的函數(shù)．從這一點(diǎn)看，它與通常的函數(shù)概念又沒有什么不同．把握這個(gè)概念的關(guān)鍵之點(diǎn)在于試驗(yàn)前后之分：在試驗(yàn)前我們不能預(yù)知它將取何值，這要憑機(jī)會(huì)，“隨機(jī)”的意思就在這里，一旦試驗(yàn)后，取值就確定了．比如你在星期一買了—張獎(jiǎng)券，到星期五開獎(jiǎng)．在開獎(jiǎng)之前，你這張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)的金額X是一個(gè)隨機(jī)變量，其值耍到星期五的“抽獎(jiǎng)試驗(yàn)”做過以后才能知道．

顧名思義，隨機(jī)變量就是“其值隨機(jī)會(huì)而定”的變量，正如隨機(jī)事件802.1.2離散型隨機(jī)變量及其分布律定義2-2

若隨機(jī)變量X只能取有限多個(gè)或可列無限多個(gè)值，則稱X為離散型隨機(jī)變量。定義2-3X為離散型隨機(jī)變量，可能取值為x1,x2,…,xn,…且

P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)則稱Pk為X的分布律或分布列，概率分布。X

x1 x2 …

xK … Pk p1 p2 … pk …分布律也可用表格形式表示2.1.2離散型隨機(jī)變量及其分布律定義2-2若隨機(jī)變量X812.2離散型隨機(jī)變量(P25)定義若隨機(jī)變量X取值x1,x2,…,xn,…且取這些值的概率依次為p1,p2,…,pn,…,則稱X為離散型隨機(jī)變量，而稱P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)

為X的分布律或概率分布。可表為

X～P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)，或…X

x1 x2 …

xK … Pk p1 p2 … pk …2.2離散型隨機(jī)變量(P25)定義若隨機(jī)變量X取值x1,82分布律{Pk}具有下列性質(zhì)：反之，若一個(gè)數(shù)列{Pk}具有以上兩條性質(zhì)，則它必可作為某離散型隨機(jī)變量的分布律。分布律{Pk}具有下列性質(zhì)：反之，若一個(gè)數(shù)列{Pk}具有以上83例2-1

設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為X012P0.2C0.3求常數(shù)C.例2-1設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為X084例2-2

投一枚質(zhì)地均勻的骰子，記X為出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求X的分布律。例2-2投一枚質(zhì)地均勻的骰子，記X為出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求X的分85例2-3

袋子里有5個(gè)同樣大小的球，編號(hào)為1，2，3，4，5.從中同時(shí)取出3個(gè)球，記X為取出球的最大編號(hào)，求X的分布律.例2-3袋子里有5個(gè)同樣大小的球，編號(hào)為1，2，3，4，86例2-4

已知一批零件共10個(gè)，其中有3個(gè)不合格.現(xiàn)任取一件使用，若取到不合格零件，則丟棄，再重新抽取一個(gè)，如此下去，試求取到合格零件之前取出的不合格零件個(gè)數(shù)X的分布律。例2-4已知一批零件共10個(gè)，其中有3個(gè)不合格.現(xiàn)任取一87例2-5

對某一目標(biāo)連續(xù)進(jìn)行射擊，直到擊中目標(biāo)為止.如果每次射擊的命中率為p，求射擊次數(shù)X的分布律.例2-5對某一目標(biāo)連續(xù)進(jìn)行射擊，直到擊中目標(biāo)為止.如果每882.1.30-1分布與二項(xiàng)分布定義2-4若隨機(jī)變量X只取兩個(gè)可能值0，1，且P{X=1}=p，P{X=0}=q，X01Pqp2.1.30-1分布與二項(xiàng)分布定義2-4若隨機(jī)變量X只89定義2-5若隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，...,n,而X的分布律為其中0<p<1,q=1-p,則稱X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布，簡記為X~B(n,p).定義2-5若隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，...,n90例2-6

某特效藥的臨床有效率為0.95.現(xiàn)有10人服用，問至少有8人治愈的概率是多少？例2-6某特效藥的臨床有效率為0.95.現(xiàn)有10人服用，91例2-7

設(shè)X~B(2,p)，Y~B(3,p).設(shè)P{X≥1}=5/9,設(shè)求P{Y≥1}.例2-7設(shè)X~B(2,p)，Y~B(3,p).設(shè)P{X922.1.4泊松分布定義2-6設(shè)隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,...,n,...,而X的分布律為其中，則稱X服從參數(shù)為的泊松分布，簡記為2.1.4泊松分布定義2-6設(shè)隨機(jī)變量X的可能取值為93例2-9

設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為5的泊松分布，求（1）P{X=10}；（2）P{X≤10}.例2-9設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為5的泊松分布，求94例2-10

設(shè)X服從泊松分布，且已知P{X=1}=P{X=2}，求P{X=4}.例2-10設(shè)X服從泊松分布，且已知P{X=1}=P{X=295小結(jié)本節(jié)課主要講授：1、隨機(jī)變量的概念；2、離散型隨機(jī)變量的概念及其分布律；3、三個(gè)重要分布:0-1分布、二項(xiàng)分布、泊松分布.小結(jié)本節(jié)課主要講授：962.2隨機(jī)變量的分布函數(shù)2.2.1分布函數(shù)的概念.定義2-7

設(shè)X為隨機(jī)變量，稱函數(shù)為X的分布函數(shù)。2.2隨機(jī)變量的分布函數(shù)2.2.1分布函數(shù)的概念.97當(dāng)X為離散型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)X的分布律為當(dāng)X為離散型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)X的分布律為98例2-11設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為X-1012P0.20.10.30.4求X的分布律。例2-11設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為99自考概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件（經(jīng)管類）100自考概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件（經(jīng)管類）101自考概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件（經(jīng)管類）1022.2.2分布函數(shù)的性質(zhì)分布函數(shù)有以下基本性質(zhì)：2.2.2分布函數(shù)的性質(zhì)分布函數(shù)有以下基本性質(zhì)：103自考概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件（經(jīng)管類）104例2-12例2-12105自考概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件（經(jīng)管類）106自考概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件（經(jīng)管類）107自考概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件（經(jīng)管類）108自考概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件（經(jīng)管類）109自考概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件（經(jīng)管類）110自考概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件（經(jīng)管類）111

2.3連續(xù)型隨機(jī)變量2.3.1

連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度2.3連續(xù)型隨機(jī)變量2.3.1連續(xù)型隨機(jī)變量及112注：連續(xù)型隨機(jī)變量X在某一指定點(diǎn)取值的概率為0.即因?yàn)?/p>

離散型隨機(jī)變量X在某一指定點(diǎn)取值的概率不一定為0.注：連續(xù)型隨機(jī)變量X在某一指定點(diǎn)取值的概率為0.即因?yàn)?13密度函數(shù)的性質(zhì)：這兩條性質(zhì)是判定一個(gè)函數(shù)是否為概率密度的充要條件0xf(x)面積為1密度函數(shù)的性質(zhì)：這兩條性質(zhì)是判定一個(gè)函數(shù)是否為概率密度的充114利用概率密度可確定隨機(jī)點(diǎn)落在某個(gè)范圍內(nèi)的概率0xf(x)ab利用概率密度可確0xf(x)ab115自考概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件（經(jīng)管類）116自考概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件（經(jīng)管類）117自考概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件（經(jīng)管類）118自考概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件（經(jīng)管類）119自考概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件（經(jīng)管類）120或者或者121自考概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件（經(jīng)管類）122自考概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件（經(jīng)管類）1232.3.2、均勻分布與指數(shù)分布

三種重要的概率分布：均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布.2.3.2、均勻分布與指數(shù)分布三種重要的概率分12411125設(shè)即則例2-18

公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過，乘客在5分鐘內(nèi)任一時(shí)刻到達(dá)汽車站是等可能的，求乘客候車時(shí)間在1至3分鐘內(nèi)的概率。設(shè)即則例2-18公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過，乘客在126自考概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件（經(jīng)管類）127自考概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件（經(jīng)管類）128例2

某公共汽車站從上午7時(shí)起，每15分鐘來一班車，即

7:00，7:15，7:30,7:45

等時(shí)刻有汽車到達(dá)此站，如果乘客到達(dá)此站時(shí)間X

是7:00到7:30之間的均勻隨機(jī)變量,試求他候車時(shí)間少于5分鐘的概率.解依題意，

X

～U(0,30)以7:00為起點(diǎn)0，以分為單位例2某公共汽車站從上午7時(shí)起，每15分鐘來一班車，即129所求概率為：即乘客候車時(shí)間少于5分鐘的概率是1/3.

從上午7時(shí)起，每15分鐘來一班車，即

7:00，7:15，7:30等時(shí)刻有汽車到達(dá)汽車站。為使候車時(shí)間X少于5分鐘，乘客必須在7:10到7:15之間，或在7:25到7:30之間到達(dá)車站.所求概率為：即乘客候車時(shí)間少于5分鐘的概率是1/3.130自考概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件（經(jīng)管類）131指數(shù)分布的概率密度和分布函數(shù)圖像如下1指數(shù)分布的概率密度和分布函數(shù)圖像如下1132

服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量X通常可解釋為某種壽命,如果已知壽命長于S年,則再活t年的概率與年齡S無關(guān),亦稱指數(shù)分布具有“無記憶性”.服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量X通常可解釋為某種壽命,133

關(guān)于概率統(tǒng)計(jì)論中服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量X具有無記憶性。

具體來說：如果X是某一元件的壽命，已知元件已經(jīng)使用了S小時(shí)，它總共能使用至少S＋T小時(shí)的條件概率，與從開始使用時(shí)算起它至少能使用T小時(shí)的概率相等。這就是說，元件對它已使用過S小時(shí)沒有記憶。

人生中，很多時(shí)候我們總是對過去的失敗耿耿于懷。這種經(jīng)歷使我們不敢面對現(xiàn)實(shí)，如果我們能從指數(shù)分布受到啟發(fā)，運(yùn)用“無記憶性”原則，那么我們的今天和明天將會(huì)更加美好。因?yàn)榧词刮覀內(nèi)松械腟小時(shí)已經(jīng)失敗，但我們面前的成功仍然還有S+T，和我們S小時(shí)前的成功幾率一樣。

指數(shù)分布在人生中模式是：忘記過去，努力向前，向著標(biāo)桿勇往直前。關(guān)于概率統(tǒng)計(jì)論中服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量X具有134例.電子元件的壽命X(年）服從參數(shù)為3的指數(shù)分布(1)求該電子元件壽命超過2年的概率。(2)已知該電子元件已使用了1.5年，求它還能使用兩年的概率為多少？例.電子元件的壽命X(年）服從參數(shù)為3的指數(shù)分布135X的分布函數(shù)為解例

設(shè)某類日光燈管的使用壽命X服從參數(shù)為

λ=的指數(shù)分布(單位:小時(shí)).(1)任取一只這種燈管,求能正常使用1000小時(shí)以上的概率.(2)有一只這種燈管已經(jīng)正常使用了1000小時(shí)以上,求還能使用1000小時(shí)以上的概率.

X的分布函數(shù)為解例設(shè)某類日光燈管的使用壽命X136自考概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件（經(jīng)管類）137指數(shù)分布的重要性質(zhì):“無記憶性”.指數(shù)分布的重要性質(zhì):“無記憶性”.138設(shè)顧客在某銀行窗口等待服務(wù)的時(shí)間X(單位:分鐘)具有概率密度某顧客在窗口等待服務(wù),若超過9分鐘,他就離開.(1)求該顧客未等到服務(wù)而離開窗口的概率P{X>9}；(2)若該顧客一個(gè)月內(nèi)去銀行5次,以Y表示他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù),即事件

{X>9}在5次中發(fā)生的次數(shù)，試求P{Y=0}。練習(xí)設(shè)顧客在某銀行窗口等待服務(wù)的時(shí)間X(單位:分鐘)具有概率密度139練習(xí)

司機(jī)通過某高速路收費(fèi)站等候的時(shí)間X（單位：分鐘）服從參數(shù)為λ=的指數(shù)分布.（1）求某司機(jī)在此收費(fèi)站等候時(shí)間超過10分鐘的概率p；（2）若該司機(jī)一個(gè)月要經(jīng)過此收費(fèi)站兩次，用Y表示等候時(shí)間超過10分鐘的次數(shù)，寫出Y的分布律，并求P{Y≥1}.練習(xí)（1）求某司機(jī)在此收費(fèi)站等候時(shí)間超140

2.3.3正態(tài)分布定義2-11

2.3.3正態(tài)分布定義2-11141

習(xí)慣上,稱服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量為正態(tài)隨機(jī)變量,又稱為正態(tài)分布的概率密度曲線為正態(tài)分布曲線.正態(tài)分布曲線的性質(zhì)如下：習(xí)慣上,稱服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量為正態(tài)隨142自考概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件（經(jīng)管類）143自考概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件（經(jīng)管類）144標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布145自考概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件（經(jīng)管類）146設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x),且f(-x)=f(x),F(x)是X的分布函數(shù),則對任意的實(shí)數(shù)a,有（）A.F(-a)=1-

B.F(-a)=

C.F(-a)=F(a)D.F(-a)=2F(a)-1

設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x),且f(-x)=f(x),F147自考概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件（經(jīng)管類）148結(jié)論結(jié)論149自考概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件（經(jīng)管類）150自考概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件（經(jīng)管類）151自考概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件（經(jīng)管類）152由此看出：盡管正態(tài)分布取值范圍是,但它的值落在的概率為0.9973幾乎是肯定的,這個(gè)性質(zhì)被稱為正態(tài)分布的“規(guī)則”.由此看出：盡管正態(tài)分布取值范圍是153練習(xí)練習(xí)154某地抽樣調(diào)查結(jié)果表明,某次統(tǒng)考中,考生的數(shù)學(xué)成績(百分制)X服從正態(tài)分布N(72,σ2)，且96分以上的考生占考生總數(shù)的2.3%.試求考生的數(shù)學(xué)成績在60~84分之間的概率.某地抽樣調(diào)查結(jié)果表明,某次統(tǒng)考中,考生的數(shù)學(xué)成績(百分制)X155設(shè)測量距離時(shí)產(chǎn)生的隨機(jī)誤差X～N(0,102)(單位：m)，現(xiàn)作三次獨(dú)立測量，記Y為三次測量中誤差絕對值大于19.6的次數(shù)，已知Φ(1.96)=0.975.(1)求每次測量中誤差絕對值大于19.6的概率p;(2)問Y服從何種分布，并寫出其分布律；(3)求E(Y).設(shè)測量距離時(shí)產(chǎn)生的隨機(jī)誤差X～N(0,102)(單位：m)，156已知自動(dòng)車床生產(chǎn)的零件長度X(毫米)服從正態(tài)分布N(50,0.752),如果規(guī)定零件長度在之間為合格品，求生產(chǎn)的零件是合格品的概率.已知自動(dòng)車床生產(chǎn)的零件長度X(毫米)服從正態(tài)分布N(50,0157定義2-12定義2-12158常用的上側(cè)分位數(shù)以上這些值都是通過反查附表1得到.常用的上側(cè)分位數(shù)以上這些值都是通過反查附表1得到.1592.4.1離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律

2.4隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布設(shè)X一個(gè)隨機(jī)變量，分布律為X～P{X＝xk}＝pk,k＝1,2,…g(x)是一給定的連續(xù)函數(shù)，稱Y＝g(X)為隨機(jī)變量X的一個(gè)函數(shù)，顯然Y也是一個(gè)隨機(jī)變量.

本節(jié)將討論如何由已知的隨機(jī)變量X的概率分布去求函數(shù)Y＝g(X)的概率分布.2.4.1離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律2.4隨機(jī)變量函數(shù)160一般地XPkY=g(x)的可能取值為注意中可能有相等的情況.Y

P一般地XPkY=g(x)的可能取值為注意中可能有相等的情況.161例2-24設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為XP-10120.20.10.30.4求:(1)Y=X3的分布律.(2)Z=X2的分布律.解

(1)Y的可能取值為-1，0，1，8.由于例2-24設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為X-10162YP-10180.20.10.30.3從而Y的分布律為(2)Z的可能取值為0，1，4.從而Z的分布律為ZP0140.10.50.4Y-10180.2163例2-25設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為解

因?yàn)樗訷只能取值-1,0,1,而取這些值的概率為例2-25設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為解因?yàn)樗訷只能取164自考概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件（經(jīng)管類）165故Y的分布律為YP例2-26

故Y的分布律為Y例2-261661.已知隨機(jī)變量的分布律為且Y=X2,記隨機(jī)變量Y的分布函數(shù)為FY(y),FY(3)=__________.練習(xí)2.袋中裝有5只球，編號(hào)為1,2,3,4,5,現(xiàn)從袋中同時(shí)取出3只,以X

表示取出的3只球中的最大號(hào)碼,試求:

（1）X的概率分布;（2）X的分布函數(shù);

（3）Y=X2+1的概率分布。1.已知隨機(jī)變量的分布律為且Y=X2,記隨機(jī)變量Y的分布函數(shù)1672.4.2連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布2.4.2連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布168例2-27例2-27169自考概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件（經(jīng)管類）170自考概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件（經(jīng)管類）171例2-29解例2-29解172例2-30此分布稱為對數(shù)正態(tài)分布.例2-30此分布稱為對數(shù)正態(tài)分布.173

以上各例中求Y=g(X)的概率密度的方法都是應(yīng)用定理,故稱為“公式法”.需要注意的是,它僅適用于“單調(diào)型”隨機(jī)變量函數(shù),即要求y=g(x)為單調(diào)函數(shù).如果y=g(x)不是單調(diào)函數(shù),求Y=g(X)的概率密度較復(fù)雜.以上各例中求Y=g(X)的概率密度的方法都是174解則解則175

例2-31中求隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度的方法稱為“直接變換法”,它同樣適應(yīng)于非單調(diào)型隨機(jī)變量的情況.當(dāng)然例2-31也可以直接利用定理中的公式求解.例2-31中求隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度的方法176自考概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件（經(jīng)管類）177自考概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件（經(jīng)管類）1781.設(shè)隨機(jī)變量X～U(0，5)，且Y=2X，則當(dāng)0≤y≤10時(shí)，

Y的概率密度fY

(y)=________..2.設(shè)隨機(jī)變量X~N(1,4),Y=2X+1,則Y所服從的分布為()N(3,4)B.N(3,8)C.N(3,16)D.N(3,17)

練習(xí)1.設(shè)隨機(jī)變量X～U(0，5)，且Y=2X，則當(dāng)0≤y≤11793.設(shè)XU(-1,1),求Y=X2的分布函數(shù)與概率密度.4.設(shè)隨機(jī)變量X~U(0,2),求隨機(jī)變量Y=X2在(0,4)內(nèi)的概率密度函數(shù)fY(y).3.設(shè)XU(-1,1),求Y=X2的分布函數(shù)與概率密度.41805.

設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為3的指數(shù)分布.試求：5.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為3的指數(shù)分布.試求：181(1)求X的分布函數(shù)(2)求(3)令Y=2X,求Y的概率密度5.隨機(jī)變量X的概率密度為(1)求X的分布函數(shù)(2)求(3)令Y=2X,求Y的概率密度182第三章多維隨機(jī)變量及其概率3.1

二維隨機(jī)變量的概念3.1.1二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)第三章多維隨機(jī)變量及其概率3.1二維隨機(jī)變量的概念3.183自考概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件（經(jīng)管類）184邊緣分布函數(shù)：

(X,Y)的兩個(gè)分量X與Y各自的分布函數(shù)分別為二維隨機(jī)變量(X,Y)關(guān)于X與關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù),記為FX(x)與FY(y).邊緣分布函數(shù)可由聯(lián)合分布函數(shù)來確定.如下邊緣分布函數(shù)：(X,Y)的兩個(gè)分量X與Y各自的分185幾何意義：分布函數(shù)F(x,y)在(x,y)處的函數(shù)值就是隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在以(x,y)為頂點(diǎn)、位于該點(diǎn)左下方的無窮矩形D內(nèi)的概率,見下圖.yx(x,y)0D幾何意義：分布函數(shù)F(x,y)在(x,y)處的函數(shù)值就是隨機(jī)186

利用分布函數(shù)及其集合意義不難看出,隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在矩形域{x1<X≤

x2,y1<Y≤y2}內(nèi)(如下圖)的概率為：yxoy2y1x2x1(x1,y2)(x2,y2)(x1,y1)(x2,y1)利用分布函數(shù)及其集合意義不難看出,隨機(jī)點(diǎn)(X,187回憶:分布函數(shù)F(x)的性質(zhì).回憶:分布函數(shù)F(x)的性質(zhì).188自考概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件（經(jīng)管類）189例3-1解例3-1解1903.1.2二維離散型隨機(jī)變量定義3-3

若二維隨機(jī)變量(X,Y)只能取有限多對或可列無窮多對(Xi,Yj),(i,j=1,2,…)則稱(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量.

設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的所有可能取值為(Xi,Yj),(i,j=1,2,…),(X,Y)在各個(gè)可能取值的概率為：P{X=xi,Y=yj}=

pij

(i,j=1,2,…)稱P{X=xi,Y=yj}=

pij

(i,j=1,2,…)為(X,Y)的分布律.3.1.2二維離散型隨機(jī)變量定義3-3若二維隨機(jī)變量191(X,Y)的分布律還可以寫成如下列表形式：XYy1y2

…yj

…x1x2…xi…p11

p12…p1j

…p21

p22…p2j

…pi1

pi2…pij

…………………(X,Y)的分布律還可以寫成