高等代數(shù)第8章入矩陣習題課課件

第8章-矩陣習題課1-矩陣的概念2-矩陣在初等變換下的標準形3不變因子與行列式因子4矩陣相似的條件5初等因子6Jordan標準形的理論推導7矩陣的有理標準形第8章-矩陣習題課1-矩陣的概念11-矩陣的定義、秩、可逆性一.概念設P是一個數(shù)域,是一個文字,作多項式環(huán)P[].如果一個矩陣其元素是的多項式,即P[]的元素,就稱為-矩陣.常用A(),B()表示.數(shù)字矩陣:特殊情形.運算:與數(shù)字矩陣相同.1-矩陣的定義、秩、可逆性一.概念2-矩陣的行列式(1)-矩陣的行列式與數(shù)字矩陣的行列式有相同的性質.(2)-矩陣的行列式是關于文字的一個多項式。(3)可定義-矩陣行列式的子式、非零子式、-矩陣的秩等概念。零矩陣的秩規(guī)定為0.-矩陣的行列式(1)-矩陣的行列式與數(shù)字矩陣的行列式3三.-矩陣的逆矩陣

定義設A()是一個n×n的-矩陣,如果有一個n×n的-矩陣B()使

A()B()=B()A()=E則稱A()是可逆的,稱B()為A()的逆矩陣.注(1)這里E是n階單位矩陣;(2)這樣的矩陣B()是唯一的,記作A-1().三.-矩陣的逆矩陣

定義設A()是一個n×n的-4伴隨矩陣A*():同數(shù)字矩陣.定理一個n×n的-矩陣A()可逆的充分必要條件為行列式|A()|是一個非零的數(shù).伴隨矩陣A*():同數(shù)字矩陣.定理一個n×n的-矩52-矩陣在初等變換下的標準形一.初等變換與初等矩陣-矩陣的初等變換:指下面的三種變換(1)矩陣的兩行(列)互換位置;(2)矩陣的某一行(列)乘以非零的常數(shù)c;(3)矩陣的某一行(列)加另一行(列)的()倍,()是一個多項式.2-矩陣在初等變換下的標準形一.初等變換與初等矩陣6初等矩陣都是可逆的,并且有

P(i,j)-1=P(i,j),

P(i(c))-1=P(i(c-1)),P(i,j())-1=P(i,j(-)).-矩陣的初等矩陣:由單位矩陣經一次-矩陣的初等變換得到的-矩陣稱為初等-矩陣.

P(i,j);P(i(c));P(i,j())初等矩陣都是可逆的,并且有-矩陣的初等矩陣:7對一個sn的-矩陣A()作一次初等行變換就相當于在A()的左邊乘上相應的ss初等-矩陣;對A()作一次初等列變換就相當于在A()的右邊乘上相應的nn的初等-矩陣.對一個sn的-矩陣A()作一次初等行變換8定義

-矩陣A()稱為與B()等價,如果可以經過一系列初等變換將A()化為B().-矩陣之間的等價滿足如下三條;

(1)自反性:每個-矩陣與自己等價.

(2)對稱性:若A()與B()等價,則B()與

A()等價.(由于初等變換具有可逆性).

(3)傳遞性:若A()與B()等價,B()與C()等價,則A()與C()等價.定義-矩陣A()稱為與B()等價,9命題

矩陣A()與B()等價的充分必要條件為有一系列初等-矩陣P1,P2,…,Ps,Q1,Q2,…,Qt,使

A()=P1P2…PsB()Q1Q2…Qt

. 命題矩陣A()與B()等價的充分必要條件10定理

任意一個非零的sn的-矩陣A()都等價于下列形式的矩陣定理任意一個非零的sn的-矩陣A()11其中r1,di()(i=1,2,…,r)是首項系數(shù)為1的多項式,且

di()di+1()(i=1,2,…,r-1)。其中r1,di()(i=1,2,…,r)是首項系數(shù)為123不變因子一.行列式因子定義設-矩陣A()的秩為r,對于正整數(shù)k,1kr,A()中必有非零的k階子式.A()中全部k階子式的首項系數(shù)為1的最大公因式Dk()稱為A()的k級行列式因子.3不變因子一.行列式因子13由定義可知,對于秩為r的-矩陣,行列式因子一共有r個.行列式因子的意義就在于,它在初等變換下是不變的.定理等價的-矩陣具有相同的秩與相同的各階行列式因子。由定義可知,對于秩為r的-矩陣,定理等價的-矩陣具14二.標準形的唯一性定理

-矩陣的標準形是唯一的．

二.標準形的唯一性15三.不變因子定義標準形的主對角線上非零元素

d1()?d2(),…,dr()稱為-矩陣A()的不變因子.定理兩個sn的-矩陣等價的充分必要條件是它們有相同的行列式因子,或者說,有相同的不變因子.三.不變因子16注

由上可見,在-矩陣的行列式因子之間,有

Dk()∣Dk+1()(k=1,2,…,r-1).

在計算-矩陣的行列式因子時,常常是先計算最高階的行列式因子.這樣就大致有了低階行列式因子的范圍了.注由上可見,在-矩陣的行列式17特別地,當B()=E時,就得到如下結果

定理

-矩陣A()可逆的充分必要條件是:A()的標準形為單位矩陣E.定理-矩陣A()可逆的充分必要條件是:A()能表成一些初等矩陣的乘積. 特別地,當B()=E時,就得到如下結果

定理-矩陣18定理兩個sn的-矩陣A()與B()等價的充分必要條件是:存在可逆的s階-矩陣P()與可逆的n階-矩陣Q(),使得

B()=P()A()Q(). 高等代數(shù)第8章入矩陣習題課ppt課件194矩陣相似的條件定理設A,B是數(shù)域P上兩個nn矩陣.則A與B相似當且僅當E-A和E-B等價.4矩陣相似的條件定理設A,B是數(shù)域P上兩個nn矩205初等因子一.初等因子的概念定義把方陣A(或線性變換A)的每個次數(shù)大于零的不變因子分解成互不相同的一次因式方冪的乘積,所有這些一次因式方冪(相同的必須按出現(xiàn)的次數(shù)計算)稱為矩陣A(或線性變換A)的初等因子.5初等因子一.初等因子的概念21二.不變因子與初等因子的關系命題

n階矩陣A的不變因子與初等因子是互相確定的.二.不變因子與初等因子的關系22命題兩個同階方陣有相同的初等因子當且僅當它們有相同的不變因子.定理兩個同階方陣相似當且僅當它們有相同的初等因子.高等代數(shù)第8章入矩陣習題課ppt課件23三.初等因子的求法定理按初等變換化A的特征矩陣E-A為對角形,將主對角線上的元素分解成互不相同的一次因式方冪的乘積,則所有這些一次因式的方冪(相同的按出現(xiàn)的次數(shù)計算)就是A的全部初等因子.三.初等因子的求法定理按初等變換化A的特征矩陣E-24推論

設A()是一個準對角矩陣則A1(),A2(),…,As()的全部初等因子合起來就是A()的全部初等因子.推論設A()是一個準對角矩陣256Jordan標準形的理論推導一.Jordan標準形的初等因子Jordan塊的初等因子是(-0)n.Jordan形矩陣6Jordan標準形的理論推導一.Jordan標準形的26的全部初等因子是

其中是Ji的初等因子.的全部初等因子是27定理每一個n階的復數(shù)矩陣A都與一個Jordan形矩陣相似,這個Jordan形矩陣除去其中Jordan塊的排列次序外是被矩陣A唯一決定的,它稱為A的Jordan標準形。（這里的Jordan塊是由A的初等因子決定的）定理每一個n階的復數(shù)矩陣A都與一個28定理復矩陣A相似于對角陣，當且僅當A的初等因子都是一次的。定理復矩陣A相似于對角陣，29推論復矩陣A相似于對角陣，當且僅當A的不變因子都沒有重根。引理

n階矩陣A的最小多項式就是A的最后一個不變因子dn()。推論復矩陣A相似于對角陣，307矩陣的有理標準形本節(jié)將在任意數(shù)域中討論一.伴侶矩陣定義對數(shù)域上的一個多項式

d()=n+a1n-1++an稱矩陣為多項式d()的伴侶矩陣.7矩陣的有理標準形本節(jié)將在任意數(shù)域中討論31d()的伴侶矩陣A的不變因子是1,1,…,1,d()證因為d()的伴侶矩陣A的不變因子是1,1,…,1,d()32二.有理標準形定義下列準對角矩陣其中Ai分別是數(shù)域P上的某些多項式di()的伴侶矩陣.且滿足d1()d2(