湖北省荊門市鐘祥荊臺中學高二數(shù)學理月考試題含解析

湖北省荊門市鐘祥荊臺中學高二數(shù)學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.下列推理是歸納推理的是()A.A、B為定點，動點P滿足|PA|＋|PB|＝2a＞|AB|，得P的軌跡為橢圓B.由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列的前n項和Sn的表達式C.由圓x2＋y2＝r2的面積πr2，猜出橢圓＋＝1的面積S＝πabD.科學家利用魚的沉浮原理制造潛艇參考答案：B略2.給出以下一個算法的程序框圖（如圖所示）：

該程序框圖的功能是（

）A．求出a,b,c三數(shù)中的最大數(shù)

B．求出a,b,c三數(shù)中的最小數(shù)C．將a,b,c按從小到大排列

D．將a,b,c按從大到小排列參考答案：B3.如果直線在平面外，那么一定有（A）， （B），（C）， （D），參考答案：D4.極坐標方程表示的曲線是（

）A.兩條相交直線 B.兩條射線C.一條直線 D.一條射線參考答案：A【分析】先求出的值，即可得到極坐標方程表示的是兩條相交直線.【詳解】由題得，所以極坐標方程表示的是兩條相交直線.故答案為：A【點睛】(1)本題主要考查極坐標與直角坐標的互化，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理計算能力.(2)求點的極坐標一般用公式,求極角時要先定位后定量.把極坐標化成直角坐標，一般利用公式求解.5.執(zhí)行如右圖所示的程序框圖，則輸出S的值為(

)A．3

B．-6

C．10

D．-15

參考答案：C6.若直線與直線互相平行，則a的值為（

）A．

B．2

C．或2

D．不存在參考答案：A7.曲線在處的切線斜率為

參考答案：略8.在等比數(shù)列中，若，公比，則=（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D9.直線l1；x+ay+2=0和直線l2：（a﹣2）x+3y+6a=0，則“a=3”是“l(fā)1∥l2”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件參考答案：C【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合直線平行的等價條件進行判斷即可．【解答】解：若a=3，則兩直線方程分別為x+3y+2=0和x+3y+18=0，滿足兩直線平行，即充分性成立，若l1∥l2，當a=0時，兩直線分別為x+2=0和﹣2x+3y=0，此時兩直線不平行，不滿足條件．當a≠0時，若兩直線平行則≠，由得a2﹣2a=3，即a2﹣2a﹣3=0，解得a=3或a=﹣1，當a=﹣1時，=，不滿足條件．則a≠﹣1，即a=3，故“a=3”是“l(fā)1∥l2”的充要條件，故選：C10.在樣本的頻率分布直方圖中，共有11個小長方形，若中間一個小長方形的面積等于其他10個小長方形的面積的和的，且樣本容量為160，則中間一組的頻數(shù)為（

）A.40

B.0.2

C.32

D.0.25參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知點x，y滿足不等式組，若ax+y≤3恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是．參考答案：（﹣∞，3]【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】畫出不等式滿足的平面區(qū)域，由ax+y≤3恒成立，結(jié)合圖形確定出a的范圍即可．【解答】解：滿足不等式組的平面區(qū)域如右圖所示，由于對任意的實數(shù)x、y，不等式ax+y≤3恒成立，根據(jù)圖形，可得斜率﹣a≥0或﹣a＞kAB==﹣3，解得：a≤3，則實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，3]．故答案為：（﹣∞，3]．12.已知實數(shù)x，y滿足，則的最大值是__________．參考答案：13【分析】根據(jù)約束條件得到可行域，根據(jù)的幾何意義可知當過時，取最大值，代入求得結(jié)果.【詳解】實數(shù)滿足的可行域，如圖所示：其中目標函數(shù)的幾何意義是可行域內(nèi)的點到坐標原點距離的平方由圖形可知僅在點取得最大值

本題正確結(jié)果：13【點睛】本題考查線性規(guī)劃求解最值的問題，關(guān)鍵是明確平方和型目標函數(shù)的幾何意義，利用幾何意義求得最值.13.對任意實數(shù)組x1，x2，…，xn，記它們中最小的數(shù)為f(x1，x2，…，xn)，給出下述結(jié)論：①函數(shù)y＝f(4x，2－3x)的圖象為一條直線；②函數(shù)y＝f(x，2－x)的最大值等于1；③函數(shù)y＝f(x2＋2x，x2－2x)一定為偶函數(shù)；④對a>0，b>0，的最大值為.其中，正確命題的序號有______________．參考答案：②③④畫圖即知①是錯誤的；對②、③分別作出相應函數(shù)的圖象即知命題正確；對④，≤＝，當且僅當a＝b＝，即a＝b＝時取等號，故④也正確．14.中，若那么角=___________參考答案：15.如上圖是斯特林數(shù)三角陣表，表中第r行每一個數(shù)等于它右肩上的數(shù)的r－1倍再加上它左肩上的數(shù)，則此表中：（1）第6行的第二個數(shù)是_____________；（2）第n+1行的第二個數(shù)是__________．（用n表示）參考答案：略16.已知過拋物線y2＝4x的焦點F的直線交該拋物線于A、B兩點，|AF|＝4，則|BF|＝______.參考答案：

17.設命題命題若是的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍是

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.以直角坐標系的原點為極點，x軸的非負半軸為極軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單位．已知：直線l的參數(shù)方程為

（t為參數(shù)），曲線C的極坐標方程為（1+sin2θ）ρ2=2．（1）寫出直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程；（2）設直線l與曲線C相交于A，B兩點，若點P為（1，0），求+．參考答案：【考點】參數(shù)方程化成普通方程；簡單曲線的極坐標方程．【分析】（1）直線l的參數(shù)方程為

（t為參數(shù)），消去參數(shù)t得直線l的普通方程；曲線C的極坐標方程ρ2+ρ2sin2θ=2，化成直角坐標方程為x2+2y2=2；（2）將直線l的參數(shù)方程代入曲線C：x2+2y2=2，得7t2+4t﹣4=0，利用參數(shù)的幾何意義，即可求+．【解答】解：（1）直線l的參數(shù)方程為

（t為參數(shù)），消去參數(shù)t得直線l的普通方程為x﹣y﹣=0，曲線C的極坐標方程ρ2+ρ2sin2θ=2，化成直角坐標方程為x2+2y2=2，即+y2=1．（2）將直線l的參數(shù)方程代入曲線C：x2+2y2=2，得7t2+4t﹣4=0．設A，B兩點在直線l的參數(shù)方程中對應的參數(shù)分別為t1，t2，則t1+t2=﹣，t1t2=﹣，∴+=+==．19.（12分）已知雙曲線的方程為，離心率，頂點到漸近線的距離為。（1）求雙曲線的方程；（2）若直線與該雙曲線相交于兩點，且中點坐標為，求的取值范圍。參考答案：略20.設橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，上頂點為A，過點A與AF2垂直的直線交x軸負半軸于點Q，且=．（Ⅰ）求橢圓C的離心率；（Ⅱ）若過A，Q，F(xiàn)2三點的圓恰好與直線x﹣y++=0相切，求橢圓C的方程；（Ⅲ）過F2的直線L與（Ⅱ）中橢圓C交于不同的兩點M、N，則△F1MN的內(nèi)切圓的面積是否存

在最大值？若存在，求出這個最大值及此時的直線方程；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）由題意可知：=（﹣3c，﹣b），=（c，﹣b），由⊥，即?=﹣3c2+b2=0，a2=4c2，e=；（Ⅱ）由=2c，解得c=1則a=2，b=，即可求得橢圓的標準方程；（Ⅲ）由要使△F1MN內(nèi)切圓的面積最大，只需R最大，此時也最大，設直線l的方程為x=my+1，代入橢圓方程，由韋達定理，弦長公式及三角形的面積公式可知=|y1﹣y2|=，t=，則t≥1，=（t≥1），由函數(shù)的單調(diào)性可知：當t=1時，=4R有最大值3，即可求得m的值，求得直線方程．【解答】解：（Ⅰ）依題意A（0，b），F(xiàn)1為QF2的中點．設F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），則Q（﹣3c，0），=（﹣3c，﹣b），=（c，﹣b），由⊥，即?=﹣3c2+b2=0，∴﹣3c2+（a2﹣c2）=0，即a2=4c2，∴e=．（Ⅱ）由題Rt△QAF2外接圓圓心為斜邊QF2的中點，F(xiàn)1（﹣c，0），半徑r=2c，∵由題Rt△QAF2外接圓與直線++=0相切，∴d=r，即=2c，解得c=1．∴a=2，c=1，b=．所求橢圓C的方程為：（Ⅲ）設M（x1，y1），N（x2，y2）由題知y1，y2異號，設△F1MN的內(nèi)切圓的半徑為R，則△F1MN的周長為4a=8，∴=（|MN|+|F1M|+|F1N|）R=4R，∴要使△F1MN內(nèi)切圓的面積最大，只需R最大，此時也最大．=|F1F2|．|y1﹣y2|=|y1﹣y2|，由題知，直線l的斜率不為零，可設直線l的方程為x=my+1，由，得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，由韋達定理，得y1+y2=，y1y2=，（△＞0?m∈R）=|y1﹣y2|==．令t=，則t≥1，=（t≥1），當t=1時，=4R有最大值3．此時，m=0，Rmax=．故△F1MN的內(nèi)切圓的面積最大值為此時直線l的方程為x=1．21.今年4月23日我市正式宣布實施“3+1+2”的高考新方案，“3”是指必考的語文、數(shù)學、外語三門學科，“1”是指在物理和歷史中必選一科，“2”是指在化學、生物、政治、地理四科中任選兩科．為了解我校高一學生在物理和歷史中的選科意愿情況，進行了一次模擬選科.已知我校高一參與物理和歷史選科的有1800名學生，其中男生1000人，女生800人.按分層抽樣的方法從中抽取了36個樣本，統(tǒng)計知其中有17個男生選物理，6個女生選歷史．（I）根據(jù)所抽取的樣本數(shù)據(jù)，填寫答題卷中的列聯(lián)表.并根據(jù)統(tǒng)計量判斷能否有90%的把握認為選擇物理還是歷史與性別有關(guān)？（II）在樣本里選歷史的人中任選4人，記選出4人中男生有X人，女生有Y人，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望．（的計算公式見下），臨界值表：0.250.150.100.050.0251.3232.0722.7063.8415.024

參考答案：（I）沒有90%的把握認為選擇物理還是歷史與性別有關(guān)；（II）見解析【分析】（I）由條件知，按分層抽樣法抽取的36個樣本數(shù)據(jù)中有20個男生，16個女生，根據(jù)題意列出列聯(lián)表，求得的值，即可得到結(jié)論．（II）由（I）知在樣本里選歷史的有9人.其中男生3人，女生6人，求得可能的取值有，進而求得相應的概率，列出隨機變量的分布列，利用公式求解期望．【詳解】（I）由條件知，按分層抽樣法抽取的36個樣本數(shù)據(jù)中有個男生，16個女生，結(jié)合題目數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表：

男生女生合計選物理17320選歷史10616合計279

得而，所以沒有90%的把握認為選擇物理還是歷史與性別有關(guān).（II）由（I）知在樣本里選歷史的有9人.其中男生3人，女生6人．所以可能的取值有.且，；，，所以的分布列為：20

所以的期望.【點睛】本題主要考查了獨立性檢驗的應用，以及離散型隨機變量的分布列與期望的計算，其中解答中認真審題，準確得出隨機變量的取值，準確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．22.如圖，在多面體ABCDM中，△BCD是等邊三角形，△CMD是等腰直角三角形，∠CMB=90°，平面CMD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，點O為CD的中點，連接OM．（1）求證：OM∥平面ABD；（2）若AB=BC=4，求三棱錐A﹣BDM的體積．參考答案：【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行的判定．【分析】（1）推導出OM⊥CD，從而OM⊥平面BCD，進而OM∥AB，由此能證明OM∥平面ABD．（2）由VA﹣BDM=VM﹣ABD=VO﹣ABD=VA﹣BD