同濟六版高等數學第八章第四節(jié)課件

一、空間曲線的一般方程二、空間曲線的參數方程三、空間曲線在坐標面上的投影§8.4空間曲線及其方程

下頁鈴返回首頁一、空間曲線的一般方程二、空間曲線的參數方程三、空間曲線在坐一、空間曲線的一般方程

空間曲線可以看作兩個曲面的交線.

設曲線C是曲面S1與S2的交線,

因此,曲線C可以用上述方程組來表示.

上述方程組叫做空間曲線C的一般方程.則點P在曲線C上當且僅當點P的坐標滿足方程組S1

F(x,y,z)=0,

S2

G(x,y,z)=0,

而曲面的方程分別為一、空間曲線的一般方程空間曲線可以看作兩個曲

例1

方程組中第一個方程表示母線平行于z軸的圓柱面,其準線是xOy

面上的圓,圓心在原點O,半徑為1.下頁

方程組中第二個方程表示一個母線平行于y軸的柱面,由于它的準線是zOx面上的直線,因此它是一個平面.

方程組所表示的是上述平面與圓柱面的交線.

解例1方程組中第一

方程組中第一個方程表示球心在坐標原點O,半徑為2a的上半球面.

因此,方程組表示上述半球面與圓柱面的交線.首頁

解

方程組中第二個方程表示母線平行于z軸的圓柱面,它的準線是xOy面上的圓這圓的圓心在點(a0)

半徑為a

例2方程組中第一個方程表示球心在坐標原二、空間曲線的參數方程

空間曲線C的方程除了一般方程之外,也可以用參數形式表示,只要將C上動點的坐標x、y、z表示為參數t的函數:

當給定t=t1時,就得到C上的一個點(x1,y1,z1);隨著t的變動便得曲線C上的全部點.上述方程組叫做空間曲線的參數方程.下頁二、空間曲線的參數方程空間曲線C的方程除了一

例3

空間一動點M在圓柱面x2+y2=a2上以角速度w繞z軸旋轉,同時又以線速度v沿平行于z軸的正方向上升(其中w、v都是常數),試建立動點軌跡的參數方程.

設當t=0時,動點位于x軸上的一點A(a,0,0)處.經過時間t,動點由A運動到M(x,y,z).所以動點軌跡的參數方程為x=acoswt,y=asinwt,

取時間t為參數.

解

下頁z=vt,

因為例3空間一動點M在圓柱面x2+y2=a2上

動點軌跡的參數方程為

令q=wt,則參數方程又可寫為這種動點的軌跡叫做螺旋線.首頁

例3

空間一動點M在圓柱面x2+y2=a2上以角速度w繞z軸旋轉,同時又以線速度v沿平行于z軸的正方向上升(其中w、v都是常數),試建立動點軌跡的參數方程.

取時間t為參數.

解

動點軌跡的參數方程為令q=wt,則參例.將下列曲線化為參數方程表示:解:(1)根據第一方程引入參數,(2)將第二方程變形為故所求為得所求為例.將下列曲線化為參數方程表示:解:(1)根據第一方程引三、空間曲線在坐標面上的投影

投影柱面與xOy面的交線叫做曲線C在xOy面上的投影曲線,

或簡稱投影.

類似地可以定義曲線C在其它坐標面上的投影.投影柱面與投影(曲線)

下頁

以空間曲線C為準線、母線平行于z軸的柱面叫做曲線C關于xOy面的投影柱面.投影柱面投影曲線三、空間曲線在坐標面上的投影投影柱面與xOy投影(曲線)的確定

設空間曲線C的一般方程為

方程組中的兩個方程消去變量z后可得一個關于x,y的方程

H(x,y)=0,

曲線C在xOy面上的投影曲線的方程為

下頁三、空間曲線在坐標面上的投影這就是曲線C關于xOy面的投影柱面的方程.投影柱面投影曲線討論投影(曲線)的確定設空間曲線C的一般方程

例4

已知兩球面的方程為x2+y2+z2=1和x2+(y-1)2+(z-1)2=1,求它們的交線C在xOy面上的投影方程.

解

x2+y2+z2-2y-2z-1,

將x2+y2+z2=1代入得

1-2y-2z-1,即y+z=1.將z=1-y代入方程x2+y2+z2=1,得

x2+y2+(1-y)2=1,即x2+2y2-2y=0.方程x2+(y-1)2+(z-1)2=1化為

兩球面的交線C在xOy面上的投影方程為這就是交線C關于xOy面的投影柱面方程.

下頁例4已知兩球面的方程為解由兩個方程消去z得到

解

x2+y2=1.這是半球面與錐面的交線C關于xOy面的投影柱面.

因此,交線C在xOy面上的投影曲線為

所求立體在xOy面上的投影就是xOy面上圓x