2023年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重要考點(diǎn)題精講精練(人教版) 二次函數(shù)專項(xiàng)訓(xùn)練（綜合類）（2）（7大題型）（答案版）

二次函數(shù)專項(xiàng)訓(xùn)練（綜合類）（2）（答案版）題型1：綜合-線段、周長、面積最值問題1、已知拋物線y=12x2+bx經(jīng)過點(diǎn)A(4?0)另有一點(diǎn)C(1?-3)若點(diǎn)D【答案】解：如圖連接AC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)D．∵y=12x2+bx經(jīng)過點(diǎn)A(4?0)∴0=8+4b∴b=-2∴拋物線的解析式為y=12x2-2x∵A(4?0)C(1?-3)∴直線AC【解析】【分析】連接AC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)D利用待定系數(shù)法將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求出二次函數(shù)解析式和直線AC的函數(shù)解析式然后求出點(diǎn)D的坐標(biāo)。2．如圖已知二次函數(shù)y=x2+4x（1）在圖1中作點(diǎn)A(-4,-5)；（2）已知A(-4,-5)在圖2中的對(duì)稱軸上作點(diǎn)P使CP-AP【答案】（1）解：如圖：點(diǎn)A是所作的點(diǎn)．（2）解：）點(diǎn)P是所作的點(diǎn)．【解析】【分析】（1）由題意可知y軸與二次函數(shù)圖象的交點(diǎn)和A(-4,-5)關(guān)于二次函數(shù)的對(duì)稱軸對(duì)稱已經(jīng)確定y軸與二次函數(shù)圖象的交點(diǎn)的位置作關(guān)于已知點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)；（2）當(dāng)C、A、P三點(diǎn)不在同一直線上時(shí)形成三角形根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊可知CP-AP<CA當(dāng)C、A、P三點(diǎn)在同一直線上時(shí)CP-3．如圖拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣10）與y軸交于點(diǎn)C（03）作直線BC．動(dòng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)過點(diǎn)P作PM⊥x軸交拋物線于點(diǎn)M交直線BC于點(diǎn)N設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．（Ⅰ）求拋物線的解析式和直線BC的解析式；（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)求線段MN的最大值；【答案】解：（Ⅰ）∵拋物線過A、C兩點(diǎn)∴代入拋物線解析式可得：-1-;b+c=0c=3解得：b=2c=3∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3令y=0可得﹣x2+2x+3=0解x1=﹣1x2=3∵B點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（30）設(shè)直線BC解析式為y=kx+s把B、C坐標(biāo)代入可得3k+s=0s=3解得k=-1s=3∴直線BC解析式為y=﹣x+3；（Ⅱ）∵PM⊥x軸點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m∴M（m﹣m2+2m+3）N（m﹣m+3）∵P在線段OB上運(yùn)動(dòng)∴M點(diǎn)在N點(diǎn)上方∴MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣32【解析】【分析】（1）把A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中列方程組可求得b,c的值令y=0解方程可得B點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求直線BC的解析式；（2）根據(jù)解析式表示出M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)其縱坐標(biāo)的差就是MN的長配方后求得最值即可；4．如圖拋物線與x軸交于A(-3,0),B(1,0)兩點(diǎn)、與y軸交于點(diǎn)(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)設(shè)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)t（-3<t<0）求ΔPAC的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式并說明t取何值時(shí)ΔPAC【答案】(1)設(shè)y=a（x+3）（x-1）代入C（0,3）可得a=-1∴即y=-x(2)由點(diǎn)AC求得AC的解析式為：y由題意點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t作PD⊥x軸于D交AC于E則點(diǎn)E的坐標(biāo)為∴PE∴S∵a∴當(dāng)t=-32時(shí)S的最大值為【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法（交點(diǎn)式）求出二次函數(shù)解析式即可；

（2）先求出直線AC的解析式y(tǒng)=x+3由點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t,-t2-2t+3)作PD⊥x軸于D交AC于E則點(diǎn)5.如圖已知二次函數(shù)y=ax2+bx-3的圖象與x軸交于點(diǎn)A（－10）B（30）直線AC與y軸交于點(diǎn)（1）求拋物線和直線AC的函數(shù)表達(dá)式；（2）若拋物線上的動(dòng)點(diǎn)E在直線AC的下方求△ACE面積的最大值并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；【答案】（1）解：把A（-10）B（30）代入y=得a-b-3=0∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=∵A(∴AB＝4設(shè)點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為h∵△ABD的面積為10∴12∴h＝5把h＝5代入y2=x-∴x1=4∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（45）設(shè)直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx＋b把A（-10）D（45）代入得-k+b=0∴直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y＝x＋1；（2）解：過點(diǎn)E作EF⊥AB交AB于點(diǎn)G交直線AC于點(diǎn)F過點(diǎn)C作CH⊥EF于點(diǎn)H．設(shè)點(diǎn)E(mm2-2m-3)∴EF=∵S=1=1=1=1=12∴S=-=-1∵-1∴S△ACE有最大值當(dāng)m=32時(shí)此時(shí)點(diǎn)E(【解析】【分析】（1）先將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入y=ax2+bx-3求出a、b的值再求出點(diǎn)D的坐標(biāo)最后利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式即可；

（2）過點(diǎn)E作EF⊥AB交AB于點(diǎn)G交直線AC于點(diǎn)F過點(diǎn)C作CH⊥EF于點(diǎn)H設(shè)點(diǎn)E(mm2-2m-3)則F（mm＋1）求出EF=m+1-(m2-2m-3)=-m2+3（1）求拋物線的解析式；（2）若拋物線的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)M使△AOM的周長最小求M點(diǎn)的坐標(biāo)；【答案】（1）解：∵△AOB的面積為3點(diǎn)A（13）∴12OB×3=∴B（－20）．∵拋物線過點(diǎn)AB∴3=解得：a=∴y（2）解：拋物線的對(duì)稱軸為x=-23∵點(diǎn)B與點(diǎn)O關(guān)于對(duì)稱軸x=-1對(duì)稱∴由題意得直線AB與對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是點(diǎn)M．設(shè)直線AB為：y=kx∵直線AB過A、B兩點(diǎn)∴3=解得：k=∴y=3當(dāng)x=-1時(shí)y∴M（-133【解析】【分析】（1）根據(jù)△AOB的面積及點(diǎn)A的坐標(biāo)就可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)再利用待定系數(shù)法將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式就可求出二次函數(shù)解析式。

（2）利用（1）中的拋物線的解析式求出軸對(duì)稱利用二次函數(shù)的對(duì)稱性可得到點(diǎn)B與點(diǎn)O關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱因此直線AB與對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是點(diǎn)M利用點(diǎn)A、B的坐標(biāo)求出直線AB的函數(shù)解析式再算出當(dāng)x=-1時(shí)的y的值就可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)。7．在平面直角坐標(biāo)系中將二次函數(shù)y=ax2(a＞0)的圖象向右平移1個(gè)單位再向下平移2個(gè)單位得到如圖所示的拋物線該拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))OA=1經(jīng)過點(diǎn)A的一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象與y軸正半軸交于點(diǎn)C且與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為（1）求拋物線和一次函數(shù)的解析式；（2）拋物線上的動(dòng)點(diǎn)E在一次函數(shù)的圖象下方求△ACE面積的最大值并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；【答案】（1）解：將二次函數(shù)y=ax2(a>0)的圖象向右平移1個(gè)單位再向下平移2∵OA=1∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣10)代入拋物線的解析式得4a∴a=∴拋物線的解析式為y=12(x-令y=0解得x1∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(30)∴AB=OA+OB=4∵△ABD的面積為5∴S△∴yD代入拋物線解析式得52解得x1∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(452設(shè)直線AD的解析式為y=∴4k+b=5∴直線AD的解析式為y=1（2）解：過點(diǎn)E作EM∥y軸交AD于M交x軸于N如圖設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(a12a2-a-32)則點(diǎn)∴ME=∴S===-=-1∴當(dāng)a=32時(shí)△ACE的面積有最大值最大值是2516此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為(3【解析】【分析】(1)先寫出平移后的拋物線解析式經(jīng)過點(diǎn)A(-10)可求得a的值由△ABD的面積為5可求出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)代入拋物線解析式求出橫坐標(biāo)由A、D的坐標(biāo)可求出一次函數(shù)解析式；(2)作EM∥y軸交AD于M如圖利用三角形面積公式由S△ACE=S8．如圖拋物線y=ax2+bx(a≠0)的圖象過原點(diǎn)O和點(diǎn)A(13)且與x軸交于點(diǎn)B△AOB的面積為3。（1）求拋物線的解析式；（2）若拋物線的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)M使△AOM的周長最小求M點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)F是x軸上一動(dòng)點(diǎn)過F作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)E交拋物線于點(diǎn)P且PE=233直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)(寫出符合條件的兩個(gè)點(diǎn)即可【答案】（1）解：∵△AOB的面積為3點(diǎn)A（13）∴12OB×3=3∴OB=2∴B（－20）．∵拋物線過點(diǎn)AB∴3=a+（2）解：拋物線的對(duì)稱軸為x=-2332×33=-1．∵點(diǎn)B與點(diǎn)O關(guān)于對(duì)稱軸x=-1對(duì)稱∴由題意得直線AB與對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是點(diǎn)M．設(shè)直線AB為：y=kx+m．∵直線AB過A、B當(dāng)x=-1時(shí)y=-33+233=33（3）解：設(shè)F（x0）則E（x33x+233）P（x33x2+233x）則PE=|33x2+233x-(33x+233)|=233整理得：|x2+x-2|=2∴x2+x-2=-2或x2【解析】【分析】（1）因?yàn)閽佄锞€的解析式有兩個(gè)待定系數(shù)a、b需已知兩個(gè)點(diǎn)才能用待定系數(shù)法求解析式已知點(diǎn)A（13）△AOB的面積為3則三角形AOB的面積=12OB×3可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)那么解析式可求；

（2）要使△AOM的周長最小只需使AM+OM最短即可根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知：找出點(diǎn)O關(guān)于直線x=-1的對(duì)稱點(diǎn)連接這個(gè)對(duì)稱點(diǎn)和點(diǎn)A與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)M。由（1）中所求的解析式可得拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-1因?yàn)辄c(diǎn)M在對(duì)稱軸上所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為-1只須求出縱坐標(biāo)即可；而點(diǎn)M又在直線AB上所以根據(jù)A、B的坐標(biāo)可求得直線AB的解析式把x=-1代入解析式即可求得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)；

（3）根據(jù)題意可知點(diǎn)F、E、P三點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同點(diǎn)E在直線AB上點(diǎn)P在拋物線上則E、P的縱坐標(biāo)可表示出來根據(jù)PE=233可得關(guān)于9．如圖在矩形ABCD中AB＝10cmBC＝5cm點(diǎn)P點(diǎn)Q分別以2cm/s和1cm/s的速度從AB沿ABBC方向運(yùn)動(dòng).設(shè)t秒（t≤5）時(shí)△PBQ的面積為y.（1）試寫出y與t的函數(shù)關(guān)系式.（2）當(dāng)t為何值時(shí)S△PBQ＝6cm2？（3）在P、Q運(yùn)動(dòng)過程中四邊形APQC的面積是否有最小值？如果有直接寫出S四邊形APQC＝.【答案】（1）解：∵四邊形ABCD是矩形AB＝10cmBC＝5cm根據(jù)題意AP＝2tBQ＝t∴PB＝10﹣2t∵S△PBQ＝12∴y＝﹣t2+5t（2）解：把y＝6cm2代入解析式可得：6＝﹣t2+5t解得：t1＝2t2＝3答：當(dāng)t為2秒或3秒時(shí)S△PBQ＝6cm2（3）18.75cm2【解析】【解答】（3）∵y＝﹣t2+5t＝﹣（t﹣2.5）2+6.25∴當(dāng)t＝2.5時(shí)y有最大值最大值為6.25∴△PBQ的面積的最大值為6.25cm2所以四邊形APQC的面積此時(shí)最小S四邊形APQC＝12AB·故答案為：18.75cm2。【分析】（1）根據(jù)路程等于速度乘以時(shí)間得出AP＝2tBQ＝t故PB＝10﹣2t然后根據(jù)三角形的面積計(jì)算方法由S△PBQ＝12PB?QB即可建立出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）將y=6代入（1）所求的函數(shù)關(guān)系式即可算出對(duì)應(yīng)的自變量的值得出答案；

（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出（1）所得函數(shù)的最值根據(jù)S四邊形APQC＝12AB·BC-10．如圖已知拋物線y=ax2+bx與x軸分別交于原點(diǎn)O和點(diǎn)F(100)與對(duì)稱軸l交于點(diǎn)E(55).矩形ABCD的邊AB在x軸正半軸上且AB=1邊ADBC與拋物線分別交于點(diǎn)MN.當(dāng)矩形ABCD沿x軸正方向平移點(diǎn)MN位于對(duì)稱軸l的同側(cè)時(shí)連接MN此時(shí)四邊形ABNM的面積記為S；點(diǎn)MN位于對(duì)稱軸l的兩側(cè)時(shí)連接EMEN此時(shí)五邊形ABNEM的面積記為S.將點(diǎn)A與點(diǎn)O重合的位置作為矩形（1）求出這條拋物線的表達(dá)式；（2）當(dāng)t=0時(shí)求SΔOBN（3）當(dāng)矩形ABCD沿著x軸的正方向平移時(shí)求S關(guān)于t(0≤t≤5)的函數(shù)表達(dá)式并求出t為何值時(shí)S【答案】（1）解：將E（55）、F（100）代入y=ax2+bx25a+5b＝5∴拋物線的表達(dá)式為y=-15x2（2）解：當(dāng)t=0時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（10）點(diǎn)N的坐標(biāo)為（195）∴BN=95∴S△OBN=12BN?OB=（3）解：①當(dāng)0＜t≤4時(shí)（圖1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（t0）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（t+10）∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（t-15t2+2t）點(diǎn)N的坐標(biāo)為（t+1-15（t+1）2+2（t+1∴AM=-15t2+2tBN=-15（t+1）2+2（t+1∴S=12（AM+BN）?AB=12×1×[-15t2+2t-15（t+1）2+2=-15t2+95t+=-15（t-92）2+∵-15＜∴當(dāng)t=4時(shí)S取最大值最大值為4910②當(dāng)4＜t≤5時(shí)（圖2）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（t0）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（t+10）∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（t-15t2+2t）點(diǎn)N的坐標(biāo)為（t+1-15（t+1）2+2（t+1∴AM=-15t2+2tBN=-15（t+1）2+2（t+1∴S=12（5-t）（-15t2+2t+5）+12（t-4）[5-15（t+1）2+2=12（15t3-3t2+5t+25）+12（-15t3+125t2+2=-310t2+2710t-=-310（t-92）2+∵-310＜∴當(dāng)t=92時(shí)S取最大值最大值為19940∵4910=19640＜∴當(dāng)t=92時(shí)S有最大值最大值是【解析】【分析】（1）將EF兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax2+bx得出關(guān)于ab的二元一次方程組去接得出ab的值從而得出拋物線的解析式；

（2）當(dāng)t=0時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（10）點(diǎn)N的坐標(biāo)為（195）故可得出BNOB的長根據(jù)三角形的面積計(jì)算方法即可算出答案；

（3）①當(dāng)0＜t≤4時(shí)（圖1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（t0）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（t+10）進(jìn)而根據(jù)拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)。和x軸平行的直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)表示出MN的坐標(biāo)AMBN的長根據(jù)梯形的面積建立出S與t的函數(shù)關(guān)系式根據(jù)所得函數(shù)的旋轉(zhuǎn)即可得出答案；②當(dāng)4＜t≤5時(shí)（圖2）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（t0）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（t+10）進(jìn)而根據(jù)拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)。和x軸平行的直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)表示出MN的坐標(biāo)AMBN的長根據(jù)梯形的面積公式建立函數(shù)關(guān)系式題型2：綜合-等腰三角形存在性問題1．如圖拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于AB兩點(diǎn)y與軸交于點(diǎn)C拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D．已知A（﹣10）C（03）．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)M使得MA+MC的值最小求此點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在P點(diǎn)使△PCD是等腰三角形如果存在求出點(diǎn)P的坐標(biāo)如果不存在請(qǐng)說明理由．【分析】（1）將A（﹣10）C（03）代入y＝﹣x2+bx+c求出b、c的值即可；（2）由對(duì)稱可知直線BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是點(diǎn)M求出直線BC的關(guān)系式進(jìn)而求出其與對(duì)稱軸的交點(diǎn)；（3）設(shè)P（1t）則PC2＝12+（t﹣3）2CD2＝32+12＝10PD2＝t2根據(jù)△PCD為等腰三角形分三種情況討論：當(dāng)PC＝CD時(shí)當(dāng)CD＝PD時(shí)當(dāng)PC＝PD時(shí)分別建立方程求解即可得出答案．【解答】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（﹣10）C（03）兩點(diǎn)∴解得：∴該拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；（2）由對(duì)稱性可知直線BC與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是點(diǎn)M拋物線y＝﹣x2+2x+3的對(duì)稱軸是直線x＝﹣＝1由于點(diǎn)A（﹣10）則點(diǎn)B（30）設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+d則解得∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3當(dāng)x＝1時(shí)y＝﹣1+3＝2∴點(diǎn)M（12）；（3）設(shè)P（1t）則PC2＝12+（t﹣3）2CD2＝32+12＝10PD2＝t2根據(jù)△PCD為等腰三角形分三種情況討論：當(dāng)PC＝CD時(shí)則12+（t﹣3）2＝10解得：t＝6或t＝0（此時(shí)點(diǎn)P與D重合舍去）∴P（16）；當(dāng)CD＝PD時(shí)則10＝t2解得：t＝±∴P1（1）P2（1﹣）；③當(dāng)PC＝PD時(shí)則12+（t﹣3）2＝t2解得：t＝P（1）；綜上所述點(diǎn)P的坐標(biāo)為（16）或（1）或（1﹣）或（1）．【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)的綜合題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及對(duì)稱最短距離等腰三角形性質(zhì)第（2）問運(yùn)用軸對(duì)稱距離最短是解題關(guān)鍵第（3）問在考慮構(gòu)建等腰三角形時(shí)運(yùn)用分類討論的思想解決問題是解題關(guān)鍵．2．如圖拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣10）點(diǎn)B（30）與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)Q使△ACQ的周長最小求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)點(diǎn)M是對(duì)稱軸左側(cè)拋物線上的一點(diǎn)當(dāng)△PMB是以PB為腰的等腰直角三角形時(shí)請(qǐng)直接寫出所有點(diǎn)M的坐標(biāo)．【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）連接CB交對(duì)稱軸于點(diǎn)Q當(dāng)C、B、Q三點(diǎn)共線時(shí)△ACQ的周長最小求出直線BC的解析式再求Q點(diǎn)坐標(biāo)即可；（3）分兩種情況討論：當(dāng)∠BPM＝90°時(shí)PM＝PBM點(diǎn)與A點(diǎn)重合則M（﹣10）；當(dāng)∠PBM＝90°時(shí)PB＝BM過點(diǎn)B作x軸的垂線GH過點(diǎn)P作PH⊥GH交于H過點(diǎn)M作MG⊥HG交于G可證明△BPH≌△MBG（AAS）設(shè)P（1t）則M（3﹣t﹣2）求出M點(diǎn)坐標(biāo)為（1﹣﹣2）；同理M（3+t2）可求M點(diǎn)坐標(biāo)為（1﹣2）．【解答】解：（1）將點(diǎn)A（﹣10）點(diǎn)B（30）代入y＝ax2+bx﹣3∴解得∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）連接CB交對(duì)稱軸于點(diǎn)Q∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1∵A、B關(guān)于對(duì)稱軸x＝1對(duì)稱∴AQ＝BQ∴AC+AQ+CQ＝AC+CQ+BQ≥AC+BC當(dāng)C、B、Q三點(diǎn)共線時(shí)△ACQ的周長最小∵C（0﹣3）B（30）設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b∴解得∴y＝x﹣3∴Q（1﹣2）；（3）當(dāng)∠BPM＝90°時(shí)PM＝PB∴M點(diǎn)與A點(diǎn)重合∴M（﹣10）；當(dāng)∠PBM＝90°時(shí)PB＝BM過點(diǎn)B作x軸的垂線GH過點(diǎn)P作PH⊥GH交于H過點(diǎn)M作MG⊥HG交于G∵∠PBM＝90°∴∠PBH+∠MBG＝90°∵∠PBH+∠BPH＝90°∴∠MBG＝∠BPH∵BP＝BM∴△BPH≌△MBG（AAS）∴BH＝MGPH＝BG＝2設(shè)P（1t）則M（3﹣t﹣2）∴﹣2＝（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3解得t＝2+或t＝2﹣∴M（1﹣﹣2）或（1+﹣2）∵M(jìn)點(diǎn)在對(duì)稱軸的左側(cè)∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（1﹣﹣2）；同理可得M（3+t2）∴2＝（3+t）2﹣2（3+t）﹣3解得t＝﹣2+（舍）或t＝﹣2﹣∴M（1﹣2）；綜上所述：M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1﹣﹣2）或（1﹣2）或（﹣10）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)等腰直角三角形的性質(zhì)軸對(duì)稱求最短距離分類討論數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．3．（提升）如圖已知拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（0﹣1）和點(diǎn)B（54）P是直線AB下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)PC∥y軸與AB交于點(diǎn)CPD⊥AB于點(diǎn)D連接PA．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）當(dāng)△PCD的周長取得最大值時(shí)求點(diǎn)P的坐標(biāo)和△PCD周長的最大值；（3）當(dāng)△PAC是等腰三角形時(shí)請(qǐng)直接給出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【分析】（1）利用特定系數(shù)解答即可求解；（2）先求出直線AB的表達(dá)式為y＝x﹣1可得△PCD是等直角三角形從而得到△PCD的周長為：PC+PD+CD＝（+1）PC設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（xx2﹣4x﹣1）則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（xx﹣1）利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（3）分三種情況討論即可求解．【解答】解：（1）由題意得：解得：則拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣4x﹣1；（2）設(shè)直線AB的表達(dá)式為：y＝kx+a（k≠0）∵A（0﹣1）B（54）∴解得：∴直線AB的表達(dá)式為：y＝x﹣1設(shè)直線AB交x軸于點(diǎn)M當(dāng)y＝0時(shí)x＝1∵OA＝OM＝1∵∠AOM＝90°∴∠OAB＝45°∵CP∥y軸∴∠DCP＝∠OAB＝45°∵PD⊥AB∴△PCD是等腰直角三角形即CD＝PD∴PC＝＝CD即CD＝PD＝PC∴△PCD的周長為：PC+PD+CD＝（+1）PC設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（xx2﹣4x﹣1）則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（xx﹣1）∴（+1）PC＝（+1）[（x﹣1）﹣（x2﹣4x﹣1）]＝﹣（+1）[（x﹣）2﹣]∵﹣（+1）＜0∴當(dāng)x＝時(shí)△PCD周長取得最大值最大值為（+1）此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣）；（3）如圖過點(diǎn)A作P1A⊥y軸交拋物線于點(diǎn)P1∵CP1∥y軸∴∠ACP1＝45°∴△ACP1是等腰直角三角形∴點(diǎn)A（0﹣1）∴點(diǎn)P1的縱坐標(biāo)為﹣1當(dāng)y＝﹣1時(shí)﹣1＝x2﹣4x﹣1解得：x1＝4x2＝0（舍去）此時(shí)點(diǎn)P1（4﹣1）；如圖當(dāng)P2A⊥AB時(shí)∵CP2∥y軸∴∠ACP2＝45°∴△ACP2是等腰直角三角形點(diǎn)CP2關(guān)于直線AP1對(duì)稱設(shè)點(diǎn)P2（mm2﹣4m﹣1）則點(diǎn)C（mm﹣1）∴[（m2﹣4m﹣1）+（m﹣）]＝﹣1解得：m1＝3m2＝0（舍去）此時(shí)點(diǎn)P2（3﹣4）；如圖若AC＝CP3作CE⊥y軸于點(diǎn)E．∵∠CAE＝45°∴△ACE是等腰直角三角形即AE＝CE∴P3C＝AC＝＝CE設(shè)點(diǎn)P3（mm2﹣4m﹣1）則點(diǎn)C（mm﹣1）∴（m﹣1）﹣（m2﹣4m﹣1）＝m解得：m1＝5﹣m2＝0（舍去）∴此時(shí)點(diǎn)p3（5﹣6﹣6）；綜上所述點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4﹣1）或（3﹣4）或（5﹣6﹣6）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等腰直角三角形的判定和性質(zhì)利用數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想解答本題的關(guān)鍵．4．如圖已知拋物線y＝mx2+4x+n與x軸交于A、B兩點(diǎn)與y軸交于點(diǎn)C．直線y＝x﹣3經(jīng)過BC兩點(diǎn)．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）拋物線的頂點(diǎn)為M在該拋物線的對(duì)稱軸l上是否存在點(diǎn)P使得以CMP為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說明理由．【分析】（1）求出B、C點(diǎn)坐標(biāo)再由待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）設(shè)P（2t）分別求出MP＝|t﹣1|MC＝2CP＝再分三種情況討論：①當(dāng)MP＝MC時(shí)②當(dāng)MP＝CP時(shí)|③當(dāng)MC＝CP時(shí)分別求出t的值即可求解．【解答】解：（1）y＝x﹣3中令x＝0則y＝﹣3∴C（0﹣3）令y＝0則x＝3∴B（30）將C（0﹣3）B（30）代入y＝mx2+4x+n中∴解得∴y＝﹣x2+4x﹣3；（2）存在點(diǎn)P使得以CMP為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形理由如下：∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1∴M（21）對(duì)稱軸為直線x＝2設(shè)P（2t）∴MP＝|t﹣1|MC＝2CP＝①當(dāng)MP＝MC時(shí)|t﹣1|＝2∴t＝2+1或t＝﹣2+1∴P（22+1）或（2﹣2+1）；②當(dāng)MP＝CP時(shí)|t﹣1|＝解得t＝﹣∴P（2﹣）；③當(dāng)MC＝CP時(shí)2＝解得t＝1（舍）或t＝﹣7∴P（27）；綜上所述：P點(diǎn)坐標(biāo)為（22+1）或（2﹣2+1）或（2﹣）或（27）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)等腰三角形的性質(zhì)分類討論是解題的關(guān)鍵．題型3：綜合-直角三角形存在性問題1．如圖1拋物線y＝ax2+bx﹣4（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣20）和B（40）與y軸交于點(diǎn)C連接BC．（1）求該拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是線段BC下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)BC重合）過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于M交x軸于N恰有線段MN＝2PM求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2連接CP在（2）的條件下在y軸上是否存在點(diǎn)Q使得△CPQ為直角三角形若存在直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說明理由．【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）求出直線BC的解析式設(shè)P（tt2﹣t﹣4）則M（tt﹣4）N（t0）由MN＝2PM可得4﹣t＝2（﹣t2+2t）求得t＝1即可求P（1﹣）；（3）設(shè)Q（0m）分別求出QP2＝1+（m+）2CP2＝CQ2＝（m+4）2分所求情況討論：當(dāng)∠QCP＝90°時(shí)由勾股定理可得m＝﹣4（舍）；當(dāng)∠CPQ＝90°時(shí)由勾股定理可求Q（0﹣）；當(dāng)∠CQP＝90°時(shí)由勾股定理可得解求Q（0﹣）．【解答】解：（1）將A（﹣20）和B（40）代入y＝ax2+bx﹣4∴解得∴y＝x2﹣x﹣4；（2）令x＝0則y＝﹣4∴C（0﹣4）設(shè)BC的解析式為y＝kx+b∴解得∴y＝x﹣4設(shè)P（tt2﹣t﹣4）則M（tt﹣4）N（t0）∴MN＝4﹣tPM＝t﹣4﹣（t2﹣t﹣4）＝﹣t2+2t∵M(jìn)N＝2PM∴4﹣t＝2（﹣t2+2t）解得t＝1或t＝4∵P是線段BC下方拋物線上∴0＜t＜4∴t＝1∴P（1﹣）；（3）存在點(diǎn)Q使得△CPQ為直角三角形理由如下：設(shè)Q（0m）∴QP2＝1+（m+）2CP2＝CQ2＝（m+4）2當(dāng)∠QCP＝90°時(shí)1+（m+）2＝+（m+4）2解得m＝﹣4（舍）；當(dāng)∠CPQ＝90°時(shí)1+（m+）2+＝（m+4）2解得m＝﹣∴Q（0﹣）；當(dāng)∠CQP＝90°時(shí)＝（m+4）2+1+（m+）2解得m＝﹣4（舍）或m＝﹣∴Q（0﹣）；綜上所述：Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0﹣）或（0﹣）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)直角三角形勾股定理分類討論是解題的關(guān)鍵．2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣10）和點(diǎn)B（30）直線y＝mx+n經(jīng)過點(diǎn)A與y軸交于點(diǎn)與拋物線交于點(diǎn)D點(diǎn)△ABD的面積為5．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線上一動(dòng)點(diǎn)E在直線y＝mx+n的圖象下方當(dāng)△ACE的面積最大時(shí)求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)在（2）的條件下當(dāng)△PAE為直角三角形時(shí)直接寫出PA的最大值．【分析】（1）利用待定系數(shù)法可得直線AC的解析式為y＝x+根據(jù)△ABD的面積為5可得D（4）再運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得拋物線解析式；（2）設(shè)E（tt2﹣t﹣）（﹣1＜t＜4）過點(diǎn)E作EF∥y軸交AC于點(diǎn)F如圖1則F（tt+）進(jìn)而可得S△ACE＝（t﹣）2+利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案；（3）設(shè)P（0y）如圖2設(shè)EF交x軸于點(diǎn)G過點(diǎn)E作EH⊥y軸于點(diǎn)H當(dāng)△PAE為直角三角形時(shí)AE為定值當(dāng)且僅當(dāng)PA為斜邊時(shí)PA最大AE⊥PE運(yùn)用勾股定理可得PA2＝PE2+AE2即可求得PA．【解答】解：（1）∵直線y＝mx+n經(jīng)過點(diǎn)A（﹣10）∴解得：∴直線AC的解析式為y＝x+∵AB＝3﹣（﹣1）＝4S△ABD＝AB?yD＝2yD＝5∴yD＝當(dāng)y＝時(shí)＝x+解得：x＝4∴D（4）∵拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）經(jīng)過點(diǎn)A（﹣10）、點(diǎn)B（30）和點(diǎn)D（4）∴解得：∴拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣；（2）設(shè)E（tt2﹣t﹣）（﹣1＜t＜4）過點(diǎn)E作EF∥y軸交AC于點(diǎn)F如圖1則F（tt+）∴EF＝x+﹣（t2﹣t﹣）＝﹣t2+t+2∴S△ACE＝EF?（xC﹣xA）＝×（﹣t2+t+2）×1＝（t﹣）2+∵﹣＜0﹣1＜t＜4∴當(dāng)t＝時(shí)S△ACE的最大值為此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣）；（3）設(shè)P（0y）由（2）知：E（﹣）A（﹣10）如圖2設(shè)EF交x軸于點(diǎn)G過點(diǎn)E作EH⊥y軸于點(diǎn)H則AG＝﹣（﹣1）＝EG＝EH＝PH＝|y﹣（﹣）|＝|y+|由勾股定理得：AE2＝AG2+EG2＝（）2+（）2＝PA2＝OA2+OP2＝1+y2PE2＝EH2+PH2＝（）2+|y+|2＝y(tǒng)2+y+當(dāng)△PAE為直角三角形時(shí)AE為定值當(dāng)且僅當(dāng)PA為斜邊時(shí)PA最大∴AE⊥PE由勾股定理得：PA2＝PE2+AE2∴1+y2＝y(tǒng)2+y++解得：y＝﹣∴PA＝＝＝∴當(dāng)△PAE為直角三角形時(shí)PA的最大值為．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于二次函數(shù)綜合題主要考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度從而求出線段之間的關(guān)系解決相關(guān)問題．3．如圖二次函數(shù)y＝﹣x2+4x+5的圖象與x軸交于AB兩點(diǎn)與y軸交于點(diǎn)CM為拋物線的頂點(diǎn)．（1）求M點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求△MBC的面積；（3）坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)N使得以BCN為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說明理由．【分析】（1）由y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9即可求頂點(diǎn)M；（2）過點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E由S△MBC＝S四邊形MBOE﹣S△MCE﹣S△BOC求解即可；（3）分三種情況討論：①當(dāng)C為直角頂點(diǎn)時(shí)作CN1⊥BC交坐標(biāo)軸為N1OB＝ON1＝5則N1（﹣50）；②當(dāng)B為直角頂點(diǎn)時(shí)作BN2⊥BC交坐標(biāo)軸為N2OC＝ON2＝5則N1（0﹣5）；③當(dāng)N為直角頂點(diǎn)時(shí)點(diǎn)O與N3重合則N3（00）．【解答】解：（1）y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9∴M（29）；（2）令y＝0得﹣x2+4x+5＝0解得x＝﹣1或x＝5∴A（﹣10）B（50）令x＝0得y＝﹣x2+4x+5＝5∴C（05）過點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E∴S△MBC＝S四邊形MBOE﹣S△MCE﹣S△BOC＝＝15；（3）存在點(diǎn)N使得以BCN為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形理由如下：∵OB＝OC＝5∠COB＝90°∴∠OCB＝∠OBC＝45°∴△BOC是等腰直角三角形①當(dāng)C為直角頂點(diǎn)時(shí)作CN1⊥BC交坐標(biāo)軸為N1∠CN1B＝∠CBN1＝45°∴OB＝ON1＝5∴N1（﹣50）；②當(dāng)B為直角頂點(diǎn)時(shí)作BN2⊥BC交坐標(biāo)軸為N2∠CN2B＝∠BCN2＝45°∴OC＝ON2＝5∴N1（0﹣5）；③當(dāng)N為直角頂點(diǎn)時(shí)點(diǎn)O與N3重合∴N3（00）．綜上所述滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣50）或（0﹣5）或（00）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)直角三角形的性質(zhì)分類討論數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．題型4：綜合-平行四邊形存在性問題1．如圖拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（20）B（﹣60）兩點(diǎn)．（1）求該拋物線的解析式；（2）若拋物線交y軸于C點(diǎn)在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q使得△QAC的周長最小？若存在求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說明理由．（3）在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)P使得Q、B、A、P圍成的圖形是平行四邊形若存在直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說明理由．【分析】（1）用待定系數(shù)法可得拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣4x+12；（2）連接BC交對(duì)稱軸直線于Q由y＝﹣x2﹣4x+12＝﹣（x+2）2+16得拋物線對(duì)稱軸是直線x＝﹣2C（012）由AC＝2故當(dāng)CQ+AQ最小時(shí)△QAC的周長最小此時(shí)CQB共線CQ+BQ最小值即為CB的長度根據(jù)C（012）B（﹣60）得直線CB的解析式為y＝2x+12令x＝﹣2得Q（﹣28）；（3）設(shè)P（mn）又A（20）B（﹣60）Q（﹣28）分三種情況：①若PABQ是對(duì)角線則PABQ的中點(diǎn)重合有解得P（﹣108）；②若PBAQ為對(duì)角線有解得P（68）；③若PQAB為對(duì)角線有解得P（﹣2．﹣8）．【解答】解：（1）把A（20）B（﹣60）代入y＝﹣x2+bx+c得：解得∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣4x+12；（2）在該拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)Q使得△QAC的周長最小理由如下：連接BC交對(duì)稱軸直線于Q如圖：∵y＝﹣x2﹣4x+12＝﹣（x+2）2+16∴拋物線對(duì)稱軸是直線x＝﹣2在y＝﹣x2﹣4x+12中令x＝0得y＝12∴C（012）∴AC＝＝＝2∴當(dāng)CQ+AQ最小時(shí)△QAC的周長最小∵Q在拋物線對(duì)稱軸上∴AQ＝BQ∴CQ+BQ最小時(shí)△QAC的周長最小此時(shí)CQB共線CQ+BQ最小值即為CB的長度∵C（012）B（﹣60）∴CB＝＝＝6直線CB的解析式為y＝2x+12在y＝2x+12中令x＝﹣2得y＝8∴Q（﹣28）；（3）在坐標(biāo)平面內(nèi)存在一點(diǎn)P使得Q、B、A、P圍成的圖形是平行四邊形理由如下：設(shè)P（mn）又A（20）B（﹣60）Q（﹣28）①若PABQ是對(duì)角線則PABQ的中點(diǎn)重合∴解得∴P（﹣108）；②若PBAQ為對(duì)角線則PBAQ的中點(diǎn)重合∴解得∴P（68）；③若PQAB為對(duì)角線則PQAB的中點(diǎn)重合∴解得∴P（﹣2．﹣8）綜上所述P的坐標(biāo)為（﹣108）或（68）或（﹣2﹣8）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用涉及待定系數(shù)法三角形周長平行四邊形等知識(shí)解題的關(guān)鍵是利用平行四邊形對(duì)角線互相平分列方程解決問題．2．如圖在平面直角坐標(biāo)系中拋物線y＝x2﹣2x+c與直線y＝x+1交于點(diǎn)A、C且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣10）．（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)P是直線AC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)求點(diǎn)P到直線AC距離的最大值；（3）若點(diǎn)E是拋物線上一點(diǎn)點(diǎn)F是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)是否存在點(diǎn)E使以ACEF為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說明理由．【分析】（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y＝x2﹣2x+c求出c的值聯(lián)立直線y＝x+1即可求解；（2）過點(diǎn)P作PM⊥x軸交AC于點(diǎn)M當(dāng)S△ACP最大時(shí)點(diǎn)P到直線AC的距離最大運(yùn)用待定系數(shù)法求直線AC解析式為y＝x+5設(shè)P（mm2﹣2m﹣3）（﹣1＜m＜5）則M（mm+1）求得PM再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得S△ACP的最大值根據(jù)勾股定理求出AC利用三角形的面積公式求解即可；（3）分三種情況討論：①當(dāng)AC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)②當(dāng)AF為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)③當(dāng)AE為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)分別求解即可．【解答】解：（1）∵點(diǎn)A（﹣10）在拋物線y＝x2﹣2x+c的圖象上∴0＝1+2+c∴c＝﹣3∴拋物線為y＝x2﹣2x﹣3聯(lián)立直線y＝x+1得解得或∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（45）；（2）過點(diǎn)P作PM⊥x軸交AC于點(diǎn)M如圖：設(shè)P（mm2﹣2m﹣3）（﹣1＜m＜5）則M（mm+1）∴PM＝m+1﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m+4∴S△ACP＝×5（﹣m2+3m+4）＝﹣（m﹣）+∴當(dāng)m＝時(shí)S△ACP最大為∵點(diǎn)A（﹣10）點(diǎn)C（45）∴AC＝＝5設(shè)點(diǎn)P到直線AC的距離為h∴S△ACP＝×5×h＝∴h＝∴點(diǎn)P到直線AC距離的最大值為；（3）存在理由如下：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1n）點(diǎn)E的坐標(biāo)為（xx2﹣2x﹣3）分三種情況：①當(dāng)AC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)﹣1+4＝1+x解得x＝2∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2﹣3）；②當(dāng)AF為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)﹣1+1＝x+4解得x＝﹣4∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣421）；③當(dāng)AE為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)﹣1+x＝4+1解得x＝6∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（621）；綜上點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2﹣3）或（﹣421）或（621）．【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征三角形的面積二次函數(shù)的性質(zhì)勾股定理平行四邊形的判定與性質(zhì)．熟知幾何圖形的性質(zhì)利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．3．拋物線y＝ax2﹣ax+b交x軸于AB兩點(diǎn)（A在B的左邊）交y軸于C直線y＝﹣x+4經(jīng)過BC兩點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖①點(diǎn)M在拋物線上點(diǎn)N在拋物線的對(duì)稱軸上以點(diǎn)A、C、M、N為頂點(diǎn)AC為邊的四邊形是平行四邊形請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)．【分析】（1）求出B、C點(diǎn)坐標(biāo)再由待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）設(shè)M（t﹣t2+t+4）N（n）分兩種情況討論：①當(dāng)AN為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)N（）；②當(dāng)AM為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)N（﹣）；（3）設(shè)P（t﹣t2+t+4）則D（t﹣t+4）則PD＝﹣t2+t連接AD延長PD交x軸于G由等積法求出DE＝t則m＝﹣（t﹣）2+當(dāng)t＝時(shí)m有最大值．【解答】解：（1）令x＝0則y＝4∴C（04）令y＝0則x＝4∴B（40）將C（04）B（40）代入y＝ax2﹣ax+b∴解得∴y＝﹣x2+x+4；（2）∵y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣）2+∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝設(shè)M（t﹣t2+t+4）N（n）令y＝0則﹣x2+x+4＝0解得x＝4或x＝﹣3∴A（﹣30）①當(dāng)AN為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)解得∴N（）；②當(dāng)AM為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)解得∴N（﹣）；綜上所述：N點(diǎn)坐標(biāo)為（）或（﹣）；【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)平行四邊形的性質(zhì)分類討論是解題的關(guān)鍵．4．如圖在平面直角坐標(biāo)系中拋物線y＝ax2+2ax+4與x軸交于點(diǎn)A（﹣40）B（x20）與y軸交于點(diǎn)C．經(jīng)過點(diǎn)B的直線y＝kx+b與y軸交于點(diǎn)D（02）與拋物線交于點(diǎn)E．（1）求拋物線的表達(dá)式及BC兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)當(dāng)△AEP的周長最小時(shí)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)M是直線BE上的動(dòng)點(diǎn)過M作MN∥y軸交拋物線于點(diǎn)N判斷是否存在點(diǎn)M使以點(diǎn)MNCD為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說明理由．【分析】（1）先利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式再求出點(diǎn)B、C坐標(biāo)；（2）利用待定系數(shù)法可求出一次函數(shù)解析式由A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱則BE與拋物線對(duì)稱軸交點(diǎn)即為△AEP的周長最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）由MN∥CD可知MN為平行四邊形的邊設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m﹣m+2）則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m）利用MN＝CD可得到關(guān)于m的方程從而求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵點(diǎn)A（﹣40）在拋物線y＝ax2+2ax+4上∴0＝16a﹣8a+4∴a＝∴y＝．令y＝0得＝0解得：x1＝﹣4x2＝2∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（20）令x＝0則y＝4∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（04）；（2）如圖由y＝可得對(duì)稱軸為：∵△AEP的邊AE是定長∴當(dāng)PE+PA的值最小時(shí)△AEP的周長最?。c(diǎn)A關(guān)于x＝﹣1的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B∴當(dāng)點(diǎn)P是BE與直線x＝﹣1的交點(diǎn)時(shí)PE+PA的值最?。咧本€BE經(jīng)過點(diǎn)B（20）D（02）∴解得∴直線BE：y＝﹣x+2令x＝﹣1得y＝3∴當(dāng)△AEP的周長最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣13）；（3）存在點(diǎn)M使以點(diǎn)MNCD為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．∵M(jìn)N∥CD∴要使以點(diǎn)MNCD為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形則MN＝CD即可∵CD＝4﹣2＝2∴MN＝CD＝2∵點(diǎn)M在直線y＝﹣x+2上∴可設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m﹣m+2）則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m）∴即當(dāng)時(shí)解得此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（）或（）當(dāng)時(shí)解得m＝0（舍去）綜上所述存在點(diǎn)M使以點(diǎn)MNCD為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（）或（）．【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合題考查了待定系數(shù)法、軸對(duì)稱的應(yīng)用、平行四邊形的性質(zhì)、方程思想、分類討論等知識(shí)點(diǎn)．（1）中注意函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸交點(diǎn)求法（2）確定點(diǎn)P位置是解題關(guān)鍵（3）利用平行四邊形的性質(zhì)得到關(guān)于M點(diǎn)坐標(biāo)方程是關(guān)鍵．題型5：綜合-菱形存在性問題1．如圖拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊）與y軸交于點(diǎn)C．直線y＝x﹣2經(jīng)過B、C兩點(diǎn)點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)P在BC下方運(yùn)動(dòng)時(shí)求△BCP面積的最大值．（3）連接OP把△OCP沿著y軸翻折使點(diǎn)P落在P'的位置四邊形CPOP'能否構(gòu)成菱形若能求出點(diǎn)P的坐標(biāo)如不能請(qǐng)說明理由；（4）把拋物線y＝x2+bx+c向上平移1.5個(gè)單位再向左平移m個(gè)單位使頂點(diǎn)落在△ABC內(nèi)部求直接寫出點(diǎn)m的取值范圍．【分析】（1）先求出點(diǎn)BC坐標(biāo)再代入拋物線解析式中即可得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)P作PG∥y軸交BC于點(diǎn)G設(shè)P（tt2﹣t﹣2則G（tt﹣2）則PG＝﹣t2+2tS△BCP＝﹣（t﹣2）2+4再求解即可；（3）由翻折得點(diǎn)P、P'關(guān)于y軸對(duì)稱可得OC垂直平分PP′當(dāng)PP′垂直平分OC時(shí)四邊形CPOP'能構(gòu)成菱形則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為﹣1代入y＝x2﹣x﹣2求出x的值即可求解；（4）平移后拋物線的解析式為y＝（x﹣+m）2﹣+1.5然后求得直線AC的解析式為y＝﹣2x﹣2由拋物線的頂點(diǎn)在△ABC的內(nèi)部即可求得m的取值范圍．【解答】解：（1）對(duì)于直線y＝x﹣2令x＝0則y＝﹣2∴C（0﹣2）令y＝0則0＝x﹣2∴x＝4∴B（40）將點(diǎn)BC坐標(biāo)代入拋物線y＝x2+bx+c中得∴∴拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣2；（2）過點(diǎn)P作PG∥y軸交BC于點(diǎn)G設(shè)P（tt2﹣t﹣2則G（tt﹣2）∴PG＝t﹣2﹣t2+t+2＝﹣t2+2t∴S△BCP＝×4（﹣t2+2t）＝﹣（t﹣2）2+4∴當(dāng)t＝2時(shí)S△BCP的值最大最大值為4；（3）如圖由翻折得點(diǎn)P、P'關(guān)于y軸對(duì)稱∴OC垂直平分PP′當(dāng)PP′垂直平分OC時(shí)四邊形CPOP'能構(gòu)成菱形∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為﹣1當(dāng)y＝﹣1時(shí)﹣1＝x2﹣x﹣2∴x＝∴四邊形CPOP'能構(gòu)成菱形點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1）或（﹣1）；（4）∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣∴平移后拋物線的解析式為y＝（x﹣+m）2﹣+1.5＝（x﹣+m）2﹣∴平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣m﹣）y＝x2﹣x﹣2當(dāng)y＝0時(shí)x2﹣x﹣2＝0∴x＝4或﹣1∴A（﹣10）C（0﹣2）∵設(shè)直線AC的解析式y(tǒng)＝kx﹣2∴﹣k﹣2＝0解得k＝﹣2∴直線AC的解析式為y＝﹣2x﹣2當(dāng)y＝﹣時(shí)﹣2x﹣2＝﹣∴x＝﹣∴﹣m＞﹣∴m＜；∵直線BC的解析式為y＝x﹣2當(dāng)y＝﹣時(shí)x﹣2＝﹣∴x＝∴﹣m＜∴m＞；綜上所述m的取值范圍為＜m＜．【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、平移變換、翻折變換菱形的判定和性質(zhì)等知識(shí)解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題學(xué)會(huì)用數(shù)形結(jié)合的思想思考問題屬于中考?jí)狠S題．2．綜合與探究如圖二次函數(shù)y＝ax2+bx+4的圖象與x軸分別交于點(diǎn)A（﹣20）B（40）點(diǎn)E是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)過點(diǎn)E作直線PE⊥x軸交拋物線于點(diǎn)P交直線BC于點(diǎn)F．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式．（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與點(diǎn)OB重合）恰有線段PF＝EF求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）試探究：若點(diǎn)Q是y軸上一點(diǎn)在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中是否存在點(diǎn)Q使得以點(diǎn)CFPQ為頂點(diǎn)的四邊形為菱形若存在直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說明理由．【分析】（1）將A（﹣20）B（40）代入y＝ax2+bx+4即可求函數(shù)的解析式；（2）求出直線BC的解析式設(shè)P（t﹣t2+t+4）則F（t﹣t+4）E（t0）分別求出PF＝﹣t2+2tEF＝﹣t+4再由PF＝EF求出t＝1即可求P（1）；（3）設(shè)P（t﹣t2+t+4）則F（t﹣t+4）①當(dāng)P點(diǎn)在F點(diǎn)上方時(shí)當(dāng)四邊形CFPQ1為菱形時(shí)PF＝CQ1先求Q1（0﹣t2+2t+4）再由CQ1＝CF可得Q1（04）；當(dāng)四邊形CFPQ2為菱形時(shí)PF＝CQ2求出Q2（0t2﹣2t+4）再由Q2F＝CQ2可得Q2（02）；②當(dāng)P點(diǎn)在F點(diǎn)下方時(shí)PF＝t2﹣2t由PF＝CQ3可得Q3（0﹣t2+2t+4）再由CQ3＝CF可得Q3（0﹣4）．【解答】解：（1）將A（﹣20）B（40）代入y＝ax2+bx+4∴解得∴y＝﹣x2+x+4；（2）令x＝0則y＝4∴C（04）設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b∴解得∴y＝﹣x+4設(shè)P（t﹣t2+t+4）則F（t﹣t+4）E（t0）∴PF＝﹣t2+t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+2tEF＝﹣t+4∵PF＝EF∴﹣t2+2t＝（﹣t+4）解得t＝1或t＝4∵0＜t＜4∴t＝1∴P（1）；（3）存在點(diǎn)Q使得以點(diǎn)CFPQ為頂點(diǎn)的四邊形為菱形理由如下：設(shè)P（t﹣t2+t+4）則F（t﹣t+4）由（2）知C（04）①當(dāng)P點(diǎn)在F點(diǎn)上方時(shí)PF＝﹣t2+2t當(dāng)四邊形CFPQ1為菱形時(shí)PF＝CQ1∴Q1（0﹣t2+2t+4）∵CQ1＝CF∴﹣t2+2t＝t解得t＝0（舍）或t＝4﹣2∴Q1（04）；當(dāng)四邊形CFPQ2為菱形時(shí)PF＝CQ2∴Q2（0t2﹣2t+4）∵Q2F＝CQ2∴（﹣t2+2t）2＝t2+（t2﹣t）2解得t＝2∴Q2（02）；②當(dāng)P點(diǎn)在F點(diǎn)下方時(shí)PF＝﹣t+4﹣（﹣t2+t+4）＝t2﹣2t∵PF＝CQ3∴Q3（0﹣t2+2t+4）∵CQ3＝CF＝t2﹣2t＝t解得t＝0（舍）或t＝4+2∴Q3（0﹣4）；綜上所述：Q點(diǎn)坐標(biāo)為（04）或（0﹣4）或（02）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)菱形的性質(zhì)數(shù)形結(jié)合分類討論是解題的關(guān)鍵．3．如圖拋物線l的頂點(diǎn)C在y軸上點(diǎn)AB為拋物線上關(guān)于y軸對(duì)稱的兩點(diǎn)線段AB交y軸于點(diǎn)DAB＝4OC＝2OD＝4．（1）求拋物線l的函數(shù)表達(dá)式；（2）將拋物線l平移到拋物線l′設(shè)平移后點(diǎn)AB的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A'B'若點(diǎn)A落在直線x＝1上且以A、B、A'、B′為頂點(diǎn)的四邊形是菱形試確定平移后拋物線l'的表達(dá)式．【分析】（1）根據(jù)題意求出A、B、D三點(diǎn)的坐標(biāo)拋物線的對(duì)稱軸為y軸設(shè)出拋物線解析式用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)平移的性質(zhì)和以A、B、A'、B′為頂點(diǎn)的四邊形是菱形求出A′B′坐標(biāo)即可得出平移的方向和長度從而寫出平移后的拋物線解析式．【解答】解：（1）由圖知點(diǎn)C在y軸的正半軸且OC＝2∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（02）點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱且AB與y軸交于D點(diǎn)AB＝4OD＝4∴A、B、D三點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4DA＝DB＝2∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（04）∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)∴A（﹣24）B（24）設(shè)拋物線l的函數(shù)表達(dá)式為y＝ax2+c（a≠0）將A（﹣24）C（02）代入得：解得：．∴拋物線l的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2+2；（2）將拋物線l：y＝x2+2平移后點(diǎn)A落在直線x＝1上即點(diǎn)A'在x＝1上∴點(diǎn)A'的橫坐標(biāo)為1∵AB＝4∴平移后的A'B'＝AB＝4根據(jù)平移的性質(zhì)可知平移后的A′B′要么在直線y＝4上要么在與直線y＝4平行的平行線上即AB∥A'B'AB和A′B′不可能互為對(duì)角線∵AB＝A'B'AB∥A′B′∴以A、B、A'、B'為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形要滿足以A、B、A'、B'為頂點(diǎn)的四邊形是菱形則AB和A'B'為菱形的邊且A'B'＝AB＝A'A＝B'B＝4．∵xA′＝1∴xB′＝1+4＝5設(shè)A'（1y）則B′（5y）AA'2＝16＝（﹣2﹣1）2+（4﹣y）2即（4﹣y）2＝16﹣9＝7解得y＝4±①當(dāng)y＝4+時(shí)點(diǎn)A'坐標(biāo)為（14+）點(diǎn)B'的坐標(biāo)為（54+）相對(duì)于A（﹣24）B（24）∵1﹣（﹣2）＝34+﹣4＝∴拋物線l：y＝x2+2向右平移了3個(gè)單位長度向上平移了個(gè)單位長度則拋物線l'的解析式為：y＝（x﹣3）2+2+＝x2﹣3x++；②當(dāng)y＝4﹣時(shí)A'（14﹣）B'（54﹣）相對(duì)于A（﹣24）B（24）∵1﹣（﹣2）＝34﹣﹣4＝﹣∴拋物線l：y＝x2+2向右平移了3個(gè)單位向下平移了個(gè)單位則拋物線l′的解析式為：y＝（x﹣3）2+2﹣＝﹣3x+﹣．綜上所述平移后拋物線l'的表達(dá)式為y＝x2﹣3x++或y＝x2﹣3x+﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)的綜合題其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和菱形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合和分類討論等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用．題型6：綜合-矩形存在性問題1．如圖在平面直角坐標(biāo)系中拋物線y＝x2+bx+c與坐標(biāo)軸交于A（0﹣2）B（40）兩點(diǎn)直線BC：y＝﹣2x+8交y軸于點(diǎn)C．（1）求該拋物線的解析式；（2）在第二象限內(nèi)是否存在一點(diǎn)M使得四邊形ABCM為矩形？如果存在求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果不存在請(qǐng)說明理由．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）過點(diǎn)C作AB的平行線過點(diǎn)A作BC的平行線兩條直線相較于M根據(jù)點(diǎn)ABC的坐標(biāo)判斷三角形ABC為直角三角形再根據(jù)作圖可得四邊形ABCM為矩形根據(jù)直線平移的性質(zhì)可求得直線AM和直線CM的解析式再聯(lián)立方程組解方程組即可求得點(diǎn)M坐標(biāo)．【解答】解：（1）把A（0﹣2）B（40）代入拋物線y＝x2+bx+c得解得：∴該拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣2；（2）存在．過點(diǎn)C作AB的平行線過點(diǎn)A作BC的平行線兩條直線相較于M則M即為所求．在y＝﹣2x+8中令x＝0則y＝8∴C（08）∵A（0﹣2）B（40）∴AB2＝42+22＝20BC2＝42+82＝80AC2＝102＝100∴AC2＝AB2+BC2∴∠ABC＝90°∵CM∥ABAM∥BC∴四邊形ABCM是矩形設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+m則解得：∴直線AB的解析式為y＝x﹣2∵CM∥AB∴直線CM的解析式為y＝x+8∵AM∥BC∴直線BC的解析式為y＝﹣2x﹣2聯(lián)立方程組解得：∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（﹣46）．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于二次函數(shù)綜合題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)一次函數(shù)的性質(zhì)矩形的判定和性質(zhì)直角三角形的判定解題的關(guān)鍵是判斷∠ABC為直角．2．如圖在平面直角坐標(biāo)系中矩形OABC的兩邊OAOC分別在x軸和y軸上OA＝3OC＝4拋物線y＝ax2+bx+4經(jīng)過點(diǎn)B且與x軸交于點(diǎn)D（﹣10）和點(diǎn)E．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）若P是第一象限拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)連接CPPE當(dāng)四邊形OCPE的面積最大時(shí)求點(diǎn)P的坐標(biāo)此時(shí)四邊形OCPE的最大面積是多少；（3）若N是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)M使以點(diǎn)CDMN為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在說明理由．【分析】（1）利用矩形的性質(zhì)結(jié)合OAOC的長度可得出點(diǎn)ACB的坐標(biāo)再利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達(dá)式；（2）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m﹣m2+3m+4）（0＜m＜4）利用S四邊形OCPE＝S梯形OCPF+S△APE即可得出S四邊形OCPE關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出結(jié)論；（3）利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得出拋物線對(duì)稱軸為直線直線x＝利用待定系數(shù)法可求出直線CD的表達(dá)式分CD為邊及CD為對(duì)角線兩種情況考慮：①當(dāng)CD為邊時(shí)利用CN⊥CD或DN⊥CD可得出CN或DN的表達(dá)式利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)N的坐標(biāo)再利用矩形的性質(zhì)即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；②當(dāng)CD為對(duì)角線時(shí)設(shè)線段CD的中點(diǎn)為G過點(diǎn)G作GH⊥拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)H利用勾股定理可求出HN的長度進(jìn)而可得出點(diǎn)N的坐標(biāo)再利用矩形的性質(zhì)即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵四邊形OABC為矩形且OA＝3OC＝4∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（30）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（04）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（34）．將B（34）D（﹣10）代入y＝ax2+bx+4得：解得：∴拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+3x+4．（2）當(dāng)y＝0時(shí)﹣x2+3x+4＝0解得：x1＝﹣1x2＝4∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（40）∴OE＝4．過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F如圖1所示．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m﹣m2+3m+4）（0＜m＜4）則S四邊形OCPE＝S梯形OCPF+S△APE＝（OC+PF）?OF+FE?PF＝（4﹣m2+3m+4）?m+（4﹣m）?（﹣m2+3m+4）＝﹣2m2+8m+8＝﹣2（m﹣2）2+16∵﹣2＜0∴m＝2時(shí)S四邊形OCPE取得最大值最大值＝16此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（26）∴當(dāng)四邊形OCPE的面積最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（26）此時(shí)四邊形OCPE的最大面積是16．（3）∵拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+3x+4∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝．利用待定系數(shù)法可求出直線CD的表達(dá)式為y＝4x+4分CD為邊及CD為對(duì)角線兩種情況考慮：①當(dāng)CD為邊時(shí)若四邊形DCNM為矩形則直線CN的解析式為y＝﹣x+4∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（）∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣1+﹣00+﹣4）即（﹣）；若四邊形CDNM為矩形則直線DN的解析式為y＝﹣x﹣∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣）∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0+﹣（﹣1）4﹣﹣0）即（）；②當(dāng)CD為對(duì)角線時(shí)設(shè)線段CD的中點(diǎn)為G過點(diǎn)G作GH⊥拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)H如圖3所示．∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（04）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣10）∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（﹣2）∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為（2）∴GH＝﹣（﹣）＝2．又∵以點(diǎn)CDMN為頂點(diǎn)的四邊形是矩形即△OCN為直角三角形∴GN＝OC＝＝∴HN＝＝＝∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（）或（）．當(dāng)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（）時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣1+0﹣0+4﹣）即（﹣）；當(dāng)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（）時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣1+0﹣0+4﹣）即（﹣）．綜上所述在平面內(nèi)存在一點(diǎn)M使以點(diǎn)CDMN為頂點(diǎn)的四邊形是矩形點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣）或（）或（﹣）或（﹣）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)、待定系數(shù)法二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、三角形的面積、梯形的面積、二次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及勾股定理解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出拋物線的表達(dá)式；（2）利用分割圖形求面積法找出四邊形OCPE的面積關(guān)系m的函數(shù)關(guān)系式；（3）分CD為邊及CD為對(duì)角線兩種情況利用矩形的性質(zhì)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．題型7：綜合-正方形存在性問題1、綜合與探究如圖在平面直角坐標(biāo)系中直線y＝x+b與x軸交于點(diǎn)A（40）與y軸交于點(diǎn)B過AB兩點(diǎn)的拋物線交x軸于另一點(diǎn)C且OA＝20C點(diǎn)F是直線AB下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)連接FAFB．（1）求拋物線解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)F與拋物線的頂點(diǎn)重合時(shí)△ABF的面積為3；（3）求四邊形FAOB面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)．（4）在（3）的條件下點(diǎn)Q為平面內(nèi)y軸右側(cè)的一點(diǎn)是否存在點(diǎn)Q及平面內(nèi)另一點(diǎn)M使得以AFQM為頂點(diǎn)的四邊形是正方形？若存在直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在說明理由．【分析】（1）把（40）代入y＝x+b求出b的值從而求出點(diǎn)B坐標(biāo)然后根據(jù)OA＝2OC求出點(diǎn)C坐標(biāo)（﹣20）設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+2）（x﹣4）把B（0﹣4）代入即可求解；（2）將拋物線解析式化成頂點(diǎn)式得出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可得出點(diǎn)F坐標(biāo)再求出對(duì)稱軸與直線AB的交點(diǎn)坐標(biāo)即可求解；（3）過點(diǎn)F作FE∥y軸交AB于點(diǎn)E設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t則P（t）則E（tt﹣4）所以＝﹣t2+4t又因則S四邊形FAOB＝S△BFA+S△BOA＝﹣t2+4t+8＝﹣（t﹣2）2+12（0＜t＜4）根據(jù)二次函數(shù)最伯求解即可；（4）分兩種情況：①當(dāng)AF為正方形AFMQ的邊時(shí)②當(dāng)AF為正方形AFMQ的對(duì)角線時(shí)分別求出點(diǎn)Q坐標(biāo)即可．【解答】解：（1）把（40）代入y＝x+b得4+b＝0解得：b＝4∴y＝x﹣4當(dāng)x＝0時(shí)y＝0﹣4＝﹣4∴B（0﹣4）∴A（40）∴OA＝4∵OA＝2OC∴OC＝2∴C（﹣20）設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+2）（x﹣4）把B（0﹣4）代入得：﹣4＝a（0+2）（0﹣4）解得：a＝∴拋物線解析式為y＝（x+2）（x﹣4）＝﹣x﹣4；（2）y＝﹣x﹣4＝∵點(diǎn)F與拋物線的頂點(diǎn)重合∴F（1）設(shè)拋物線對(duì)稱軸與直線AB相交于E如圖∵A（40）B（04）∴直線AB解析式為：y＝x﹣4則當(dāng)x＝1時(shí)y＝1﹣4＝﹣3∴E（1﹣3）∴故答案為：3；（3）如圖過點(diǎn)F作FE∥x軸交AB于點(diǎn)E設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t則P（t）∵直線AB的解析式為y＝x﹣4∴E（tt﹣4）∴＝﹣t2+4t∵∴S四邊形FAOB＝S△BFA+S△BOA＝﹣t2+4t+8＝﹣（t﹣2）2+12（0＜t＜4）∴當(dāng)t＝2時(shí)S四邊形FAOB有最大值12∴此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2﹣4）．（4）過作FE⊥x軸于E∵A（40）F（2﹣4）∴AE＝2EF＝4AF＝2如圖①當(dāng)AF為正方形A