2022-2023學(xué)年福建省泉州市高二下冊(cè)期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年福建省泉州市高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知為等差數(shù)列，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】利用基本量法可求公差和首項(xiàng)，從而可求.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，故，故，故選：A.2．一鐘表的秒針長(zhǎng)，經(jīng)過(guò)，秒針的端點(diǎn)所走的路線長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】計(jì)算出秒針走過(guò)的弧度數(shù)，結(jié)合扇形的弧長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.【詳解】經(jīng)過(guò)，秒針走過(guò)的弧度為，因此，秒針的端點(diǎn)所走的路線長(zhǎng)為.故選：C.3．的展開式中，的系數(shù)等于（

）A． B． C．10 D．45【答案】D【分析】由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式即可求出的系數(shù).【詳解】的通項(xiàng)為，令，解得，所以項(xiàng)的系數(shù)為：.故選：D4．已知等比數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可求出，然后對(duì)化簡(jiǎn)變形可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列滿足，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，故選：A5．已知函數(shù)，則（

）A．12 B．6 C．3 D．【答案】B【分析】先求導(dǎo)計(jì)算出，再由導(dǎo)數(shù)的定義得即可求解.【詳解】∵，∴，∴．故選：B．6．我國(guó)中醫(yī)藥選出的“三藥三方”對(duì)治療新冠肺炎均有顯著效果，功不可沒，“三藥”分別為金花清感顆粒、連花清瘟膠囊、血必清注射液；“三方”分別為清肺排毒湯、化敗毒方、宣肺敗毒方.若某醫(yī)生從“三藥三方”中隨機(jī)選出兩種，事件表示選出的兩種中至少有一藥，事件表示選出的兩種中有一方，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用古典概型的概率公式求出和，再利用條件概率公式計(jì)算作答.【詳解】依題意，，所以.故選：D7．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的圖象離原點(diǎn)最近的對(duì)稱軸為，若滿足||≤，則稱f(x)為“近軸函數(shù)”．若函數(shù)y＝2sin(2x－φ)是“近軸函數(shù)”，則φ的取值范圍是(

)A． B．C．∪ D．【答案】C【分析】根據(jù)題意求出y＝2sin（2x－φ）靠近原點(diǎn)的對(duì)稱軸，解不等式||≤即可得到φ的范圍﹒【詳解】靠近原點(diǎn)的對(duì)稱軸為，則，要為近軸函數(shù)，則，∵，∴，，或解得φ∈，故選：C．8．設(shè)偶函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，有，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】將變形為，從而可構(gòu)造函數(shù)，判斷其單調(diào)性以及奇偶性，由此代入數(shù)值，一一判斷各選項(xiàng)，即可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，有，即，令，則，即在上單調(diào)遞增，又為偶函數(shù)，則，即為偶函數(shù)，故，即，即，故A錯(cuò)誤，C正確；由，即，即，B錯(cuò)誤；而，故，則不一定成立，D錯(cuò)誤，故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于要能根據(jù)已知不等式的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)行變形，從而構(gòu)造出函數(shù)，進(jìn)而判斷其單調(diào)性，即可解決問(wèn)題.二、多選題9．每年4月23日為“世界讀書日”，樹人學(xué)校于四月份開展“書香潤(rùn)澤校園，閱讀提升思想”主題活動(dòng)，為檢驗(yàn)活動(dòng)效果，學(xué)校收集當(dāng)年二至六月的借閱數(shù)據(jù)如下表：月份二月三月四月五月六月月份代碼xl2345月借閱量y（百冊(cè)）4.95.15.55.75.8根據(jù)上表，可得y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則（

）A．B．借閱量4.9，5.1，5.5，5.7，5.8的上四分位數(shù)為5.7C．y與x的線性相關(guān)系數(shù)D．七月的借閱量一定不少于6.12萬(wàn)冊(cè)【答案】ABC【分析】對(duì)于A：根據(jù)回歸方程必過(guò)樣本中心點(diǎn)分析運(yùn)算；對(duì)于B：根據(jù)百分位的定義分析運(yùn)算；對(duì)于C：根據(jù)相關(guān)系數(shù)的概念分析理解；對(duì)于D：取，代入回歸直線分析運(yùn)算.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，，所以，得，所以A正確；對(duì)于B：因?yàn)?×75%=3.75，所以借閱量4.9，5.1，5.5，5.7，5.8的上四分位數(shù)為5.7，所以B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，所以y與x的線性相關(guān)系數(shù)，所以C正確；對(duì)于D：由選項(xiàng)A可知線性回歸方程為，當(dāng)，則，所以七月的借閱量約為6.12百冊(cè)，所以D錯(cuò)誤；故選：ABC.10．若滿足，，則可以是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】利用特殊角的三角函數(shù)值求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以或，因?yàn)椋曰?，所以或，或，因?yàn)榉秶欢ǎ?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，=，故選：AC11．設(shè)隨機(jī)變量的分布列如表：123…20202021…則下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)為等差數(shù)列時(shí)，B．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式可能為C．當(dāng)數(shù)列滿足時(shí)，D．當(dāng)數(shù)列滿足時(shí)，【答案】BD【分析】根據(jù)給定條件，利用分布列的性質(zhì)，結(jié)合數(shù)列的特性逐項(xiàng)分析判斷作答.【詳解】對(duì)于A，由為等差數(shù)列，得前2021項(xiàng)和，則有，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則前2021項(xiàng)和，B正確；對(duì)于C，依題意，數(shù)列前2021項(xiàng)和，則有，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，則，，因此當(dāng)時(shí)，，D正確.故選：BD12．定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)分別為，若，，則（

）A．是奇函數(shù)B．關(guān)于對(duì)稱C．周期為4D．【答案】ABD【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，利用已知條件，即得結(jié)果.對(duì)于選項(xiàng)B，由題意可推導(dǎo)出為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，所以，即即可證明；對(duì)于選項(xiàng)C，由關(guān)于對(duì)稱和關(guān)于對(duì)稱，即得結(jié)果.對(duì)于選項(xiàng)D，通過(guò)賦值，利用C中推導(dǎo)的結(jié)論和已知條件，由等差數(shù)列的前項(xiàng)和即得結(jié)果.【詳解】因?yàn)榭傻脼榕己瘮?shù)，所以，則為奇函數(shù)，故A正確；因?yàn)椋己瘮?shù)，時(shí)偶函數(shù)，所以為偶函數(shù)，所以關(guān)于對(duì)稱，因?yàn)椋瑸槠婧瘮?shù)，為奇函數(shù)，所以為奇函數(shù)，關(guān)于對(duì)稱，，則其中為常數(shù)，又故，有關(guān)于對(duì)稱，B正確；令等價(jià)于，，所以，因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱，所以，所以令等價(jià)于，所以，所以，故可看成數(shù)列，而因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱，所以，，故是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以沒有周期性，故C不正確；，所以，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查利用抽象函數(shù)關(guān)系式求解函數(shù)周期性、對(duì)稱性、奇偶性的問(wèn)題；對(duì)于與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的函數(shù)性質(zhì)，有如下結(jié)論：①若連續(xù)且可導(dǎo)，那么若為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)；若為偶函數(shù)，則為奇函數(shù)；②若連續(xù)且可導(dǎo)，那么若關(guān)于對(duì)稱，則關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；若關(guān)于對(duì)稱，則關(guān)于對(duì)稱.三、填空題13．已知向量為平面的法向量，點(diǎn)在內(nèi)，則點(diǎn)到平面的距離為.【答案】【分析】把點(diǎn)到平面距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積問(wèn)題求解．【詳解】解：，0，，點(diǎn)到平面的距離為．故答案為：.14．曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為.【答案】【分析】運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可.【詳解】由，所以，而，所以切線方程為：，令，得，令，得，所以三角形的面積為：，故答案為：15．中國(guó)救援力量在國(guó)際自然災(zāi)害中為拯救生命作出了重要貢獻(xiàn)，很好地展示了國(guó)際形象，增進(jìn)了國(guó)際友誼，多次為祖國(guó)贏得了榮譽(yù).現(xiàn)有支救援隊(duì)前往，，等個(gè)受災(zāi)點(diǎn)執(zhí)行救援任務(wù)，若每支救援隊(duì)只能去其中的一個(gè)受災(zāi)點(diǎn)，且每個(gè)受災(zāi)點(diǎn)至少安排支救援隊(duì)，其中甲救援隊(duì)只能去，兩個(gè)受災(zāi)點(diǎn)中的一個(gè)，則不同的安排方法數(shù)是.【答案】【分析】由題意可知，若甲去點(diǎn)，則剩余4個(gè)救援隊(duì)，可只去兩個(gè)點(diǎn)，也可分為3組去，，，個(gè)點(diǎn)，分別求出安排種法，相加即可得出甲去點(diǎn)的安排方法，同理，即可得出甲去點(diǎn)的安排方法，即可得出答案.【詳解】若甲去點(diǎn)，則剩余4個(gè)救援隊(duì)，可只去，兩個(gè)點(diǎn)，也可分為3組去，，，個(gè)點(diǎn).當(dāng)剩余4個(gè)救援隊(duì)只去，兩個(gè)點(diǎn)時(shí)，救援隊(duì)個(gè)數(shù)分配為，或，，此時(shí)的分配方法有；當(dāng)剩余4個(gè)救援隊(duì)分為3組去，，，個(gè)點(diǎn)時(shí)，先從4個(gè)救援隊(duì)中選出2個(gè)救援隊(duì)，即可分為3組，然后分配到3個(gè)小組即可，此時(shí)的分配方法有，綜上可得，甲去點(diǎn)，不同的安排方法數(shù)是.同理，甲去點(diǎn)，不同的安排方法數(shù)也是，所以不同的安排方法數(shù)是.故答案為：.四、雙空題16．有一批同規(guī)格的產(chǎn)品，由甲乙丙三家工廠生產(chǎn)，其中甲、乙、丙各廠分別生產(chǎn)2500件、3000件、4500件，而且各廠的次品率依次為6%、5%、5%，現(xiàn)從中任取一件，則取到次品的概率為，如果取得零件是次品，計(jì)算它是甲廠生產(chǎn)的概率．【答案】/0．0525【分析】設(shè)任取一件產(chǎn)品來(lái)自甲廠為事件、來(lái)自乙廠為事件、來(lái)自丙廠為事件，根據(jù)題意求出各自的概率，然后利用全概率公式可求出從中任取一件，取到次品的概率，利用條件概率公式可求出取得零件是次品，則它是甲廠生產(chǎn)的概率【詳解】設(shè)任取一件產(chǎn)品來(lái)自甲廠為事件、來(lái)自乙廠為事件、來(lái)自丙廠為事件，則彼此互斥，且,，，，設(shè)取一件產(chǎn)品，取到的是次品為事件，則如果取得零件是次品，那么實(shí)驗(yàn)它是甲廠生產(chǎn)的概率為,故答案為：，五、解答題17．設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)在上的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由題意結(jié)合三角恒等變換可得，再由三角函數(shù)最小正周期公式即可得解；（2）由三角恒等變換可得，再由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得解.【詳解】（1）由輔助角公式得，則，所以該函數(shù)的最小正周期;（2）由題意，，由可得，所以當(dāng)即時(shí)，函數(shù)取最大值.18．已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為，前項(xiàng)和為，且成等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前10項(xiàng)和.（表示不超過(guò)的最大整數(shù)）【答案】(1)；(2)3186.【分析】（1）根據(jù)，，成等差數(shù)列求得公比，再結(jié)合首項(xiàng)直接寫出通項(xiàng)公式即可；（2）根據(jù)的定義，求出，再并項(xiàng)求和即可求得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，所以，即，設(shè)的公比為，則，所以.（2）依題意，，則.19．如圖，在正三棱柱中，點(diǎn)在棱上，且.

(1)求證：平面；(2)若正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，二面角的大小為，求直線到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)正三棱柱和得，即可得D是AB的中點(diǎn)，從而由中位線得，證明結(jié)論.（2）由二面角的大小為，解得平面的一個(gè)法向量，根據(jù)第一問(wèn)的平行和點(diǎn)到平面的距離公式得出答案.【詳解】（1）在正三棱柱中，是側(cè)棱，所以平面ABC，又平面ABC，所以.又，，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)?，所以D是AB的中點(diǎn).如圖，連接，交于點(diǎn)M，連接DM.因?yàn)镸是的中點(diǎn)，所以DM是的中位線，所以，又平面，平面，所以平面.

（2）取的中點(diǎn)，可知，所以平面ABC.以D為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)三棱柱的高為h，則，，，，，，，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，得.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，得.所以，解得，所以，由（1）知平面，所以直線到平面的距離即點(diǎn)A到平面的距離，因?yàn)椋灾本€到平面的距離為.

20．某景區(qū)的各景點(diǎn)從2009年取消門票實(shí)行免費(fèi)開放后，旅游的人數(shù)不斷地增加，不僅帶動(dòng)了該市淡季的旅游，而且優(yōu)化了旅游產(chǎn)業(yè)的結(jié)構(gòu)，促進(jìn)了該市旅游向“觀光、休閑、會(huì)展”三輪驅(qū)動(dòng)的理想結(jié)構(gòu)快速轉(zhuǎn)變．下表是從2009年至2018年，該景點(diǎn)的旅游人數(shù)（萬(wàn)人）與年份的數(shù)據(jù)：第年12345678910旅游人數(shù)（萬(wàn)人）300283321345372435486527622800該景點(diǎn)為了預(yù)測(cè)2021年的旅游人數(shù)，建立了與的兩個(gè)回歸模型：模型①：由最小二乘法公式求得與的線性回歸方程；模型②：由散點(diǎn)圖的樣本點(diǎn)分布，可以認(rèn)為樣本點(diǎn)集中在曲線的附近．（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求模型②的回歸方程．（精確到個(gè)位，精確到0．01）．（2）根據(jù)下列表中的數(shù)據(jù)，比較兩種模型的相關(guān)指數(shù)，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預(yù)測(cè)2021年該景區(qū)的旅游人數(shù)（單位：萬(wàn)人，精確到個(gè)位）．回歸方程①②3040714607參考公式、參考數(shù)據(jù)及說(shuō)明：①對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為．②刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)；③參考數(shù)據(jù)：，．5．54496．058341959．00表中．【答案】（1）；（2）回歸模型②的擬合效果更好，987【分析】（1）對(duì)取對(duì)數(shù)，得，設(shè)，，先建立關(guān)于的線性回歸方程.（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)計(jì)算，，即可判斷那種模型的擬合效果更優(yōu)，再代入數(shù)據(jù)計(jì)算可得.【詳解】解：（1）對(duì)取對(duì)數(shù)，得，設(shè)，，先建立關(guān)于的線性回歸方程.，，，模型②的回歸方程為.（2）由表格中的數(shù)據(jù)，有30407>14607，即，即，，模型①的相關(guān)指數(shù)小于模型②的，說(shuō)明回歸模型②的擬合效果更好.2021年時(shí)，，預(yù)測(cè)旅游人數(shù)為（萬(wàn)人）.【點(diǎn)睛】本題考查非線性回歸分析，以及相關(guān)程度檢驗(yàn)，屬于基礎(chǔ)題.21．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)求函數(shù)在上的最小值.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求切線方程；（2）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，化簡(jiǎn)為，再討論和兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性，再求函數(shù)的最值.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，所以.所以曲線在處的切線方程為：.（2）.①當(dāng)時(shí)，.所以時(shí)，.所以在上是增函數(shù).所以.②當(dāng)時(shí)，令，解得（舍）1°當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，.所以在上是增函數(shù).所以.2°當(dāng)，即時(shí)，x-0+減函數(shù)極小值增函數(shù)所以.3°當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，.所以在上是減函數(shù).所以.綜上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.22．相關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，中國(guó)經(jīng)常參與體育鍛煉的人數(shù)比例為，城鄉(xiāng)居民達(dá)到《國(guó)民體質(zhì)測(cè)定標(biāo)準(zhǔn)》合格以上的人數(shù)比例達(dá)到以上.某健身連鎖機(jī)構(gòu)對(duì)其會(huì)員的年齡等級(jí)和一個(gè)月內(nèi)到健身房健身次數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，制作成如下兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖.圖1為會(huì)員年齡分布圖（年齡為整數(shù)），其中將會(huì)員按年齡分為“年輕人”（20歲—39歲）和“非年輕人”（19歲及以下或40歲及以上）兩類；圖2為會(huì)員一個(gè)月內(nèi)到健身房次數(shù)分布扇形圖，其中將一個(gè)月內(nèi)到健身房鍛煉16次及以上的會(huì)員稱為“健身達(dá)人”，15次及以下的會(huì)員稱為“健身愛好者”，且已知在“健身達(dá)人”中有是“年輕人”.

(1)現(xiàn)從該健身連鎖機(jī)構(gòu)會(huì)員中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為100的樣本，根據(jù)圖表數(shù)據(jù)，補(bǔ)全列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，是否可以認(rèn)為“健身達(dá)人”與年齡有關(guān)？年輕人非年輕人合計(jì)健身達(dá)人健身愛好者合計(jì)(2)該健身機(jī)構(gòu)在今年年底將針對(duì)全部的150名會(huì)員舉辦消費(fèi)返利活動(dòng)，預(yù)設(shè)有如下兩種方案.方案1：按分層抽樣從健身愛好者和健身達(dá)人中總共抽取20位“幸運(yùn)之星”給予獎(jiǎng)勵(lì).其中，健身愛好者和健身達(dá)人中的“幸運(yùn)之星”每人分別獎(jiǎng)勵(lì)500元和800元.方案2：每位會(huì)員均可參加摸獎(jiǎng)游戲，游戲規(guī)則如下：從一個(gè)裝有3個(gè)白球、2個(gè)紅球（球只有顏色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一個(gè)球.若摸到紅球的總數(shù)為2，則可獲得100元獎(jiǎng)勵(lì)金；若摸到紅球的總數(shù)為3，則可獲得300元獎(jiǎng)勵(lì)金；其他情況不給予獎(jiǎng)勵(lì).如果每位健身愛好者均可參加1次摸獎(jiǎng)游戲；每位健身達(dá)人均可參加3次摸獎(jiǎng)游戲（每次摸獎(jiǎng)的結(jié)果相互獨(dú)立）.以方案的獎(jiǎng)勵(lì)金的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)，請(qǐng)你預(yù)測(cè)哪一種方案投資較少？并說(shuō)明理由.附：.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)列聯(lián)表見解析，“