2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)從重點(diǎn)到壓軸（人教版）與幾何相關(guān)的應(yīng)用（壓軸題專項(xiàng)講練）（原卷版）

專題21.4與幾何相關(guān)的應(yīng)用【典例1】如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝∠D＝90°，BC＝16，CD＝12，AD＝21．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DA的方向以每秒2個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在線段CB上以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)D，C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)Q隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），當(dāng)t為何值時(shí)，以B，P，Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？【思路點(diǎn)撥】以B，P，Q為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形有三種情況：當(dāng)PB＝PQ時(shí)，當(dāng)PQ＝BQ時(shí)，當(dāng)BP＝BQ時(shí)，由等腰三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論．【解題過程】解：如圖1，當(dāng)PB＝PQ時(shí)，作PE⊥BC于E，∴EQ=12∵CQ＝t，∴BQ＝16﹣t，∴EQ＝8?12∴EC＝8?12t+t＝8+∴2t＝8+12解得：t=16如圖2，當(dāng)PQ＝BQ時(shí)，作QE⊥AD于E，∴∠PEQ＝∠DEQ＝90°，∵∠C＝∠D＝90°，∴∠C＝∠D＝∠DEQ＝90°，∴四邊形DEQC是矩形，∴DE＝QC＝t，∴PE＝t，QE＝CD＝12．在Rt△PEQ中，由勾股定理，得PQ=t16﹣t=t解得：t=7如圖3，當(dāng)BP＝BQ時(shí)，作PE⊥BC于E，∵CQ＝t，∴BP＝BQ＝BC﹣CQ＝16﹣t，∵PD＝2t，∴CE＝2t，∴BE＝16﹣2t，在Rt△BEP中，（16﹣2t）2+122＝（16﹣t）2，3t2﹣32t+144＝0，△＝（﹣32）2﹣4×3×144＝﹣704＜0，故方程無解．綜上所述，t=163或72時(shí)，以B，P1．（2021春?長興縣月考）把一個(gè)邊長為40cm的正方形硬紙板的四周按如圖所示的方式剪掉一些長方形，將剩余部分折成一個(gè)有蓋的長方體盒子，折成的一個(gè)長方體盒子的表面積為550cm2，則此時(shí)長方體盒子的體積為（）A．750cm3 B．1536cm3 C．2000cm3 D．2304cm32．（2021秋?江岸區(qū)校級(jí)月考）如圖，要設(shè)計(jì)一本書的封面，封面長27cm，寬21cm，正中央是一個(gè)與整個(gè)封面長寬比例相同的矩形，如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，則左右邊襯的寬度為（）cm．A．233 B．54?2734 C．3．（2022?隨縣一模）一個(gè)矩形內(nèi)放入兩個(gè)邊長分別為3cm和4cm的小正方形紙片，按照?qǐng)D①放置，矩形紙片沒有被兩個(gè)正方形紙片覆蓋的部分（黑色陰影部分）的面積為8cm2；按照?qǐng)D②放置，矩形紙片沒有被兩個(gè)正方形紙片覆蓋的部分的面積為11cm2，若把兩張正方形紙片按圖③放置時(shí)，矩形紙片沒有被兩個(gè)正方形紙片覆蓋的部分的面積為（）A．5cm2 B．6cm2 C．7cm2 D．8cm24．（2021?樂清市二模）如圖是清朝李潢撰寫的《九章算術(shù)細(xì)草圖說》中的“勾股圓方圖”，四邊形ABCD，四邊形EBGF，四邊形HNQD均為正方形，BG，NQ，BC是某個(gè)直角三角形的三邊，其中BC是斜邊，若HM：EM＝8：9，HD＝2，則AB的長為（）A．114 B．2910 C．3 5．（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）歐幾里得在《幾何原本》中，記載了用圖解法解方程x2+ax＝b2的方法，類似地我們可以用折紙的方法求方程x2+x﹣1＝0的一個(gè)正根．如圖，一張邊長為1的正方形的紙片ABCD，先折出AD，BC的中點(diǎn)E，F(xiàn)，再沿過點(diǎn)A的直線折疊使AD落在線段AF上，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，折痕為AG，點(diǎn)G在邊CD上，連接GH，GF，長度恰好是方程x2+x﹣1＝0的一個(gè)正根的線段為（）A．線段BF B．線段DG C．線段CG D．線段GF6．（2021春?平桂區(qū)期中）如圖，在長20米，寬12米的長方形ABCD空地中，修建4條寬度相等且都與長方形的各邊垂直的小路，4條路圍成的中間部分恰好是個(gè)正方形，且邊長是路寬的2倍，小路的總面積是36平方米，則小路的寬是米．7．（2021春?衢江區(qū)校級(jí)期末）如圖，B是AC上一點(diǎn)，且BC＝6cm，AB＝4cm，射線BD⊥AC，垂足為B，動(dòng)點(diǎn)M從A出發(fā)以2cm/s的速度沿著AC向C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從B出發(fā)以3cm/s的速度沿著射線BD向下運(yùn)動(dòng)，連接MN．當(dāng)△BMN的面積為32cm2，兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了t（s），則t的值為8．（2021春?任城區(qū)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，∠C＝30°．點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以每秒2個(gè)單位長的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)D．E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）．過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接DE、EF．則當(dāng)t＝時(shí)，四邊形AEFD的面積是△ABC面積的一半．9．（2022春?長興縣期中）某牧場(chǎng)準(zhǔn)備利用現(xiàn)成的一堵“7”字形的墻面（粗線A﹣B﹣C表示墻面）建飼養(yǎng)場(chǎng)，已知AB⊥BC，AB＝3米，BC＝15米，現(xiàn)計(jì)劃用總長為38米的籬笆圍建一個(gè)“日”字形的飼養(yǎng)場(chǎng)BDEF，并在每個(gè)區(qū)域開一個(gè)寬2米的門，如圖（細(xì)線表示籬笆，飼養(yǎng)場(chǎng)中間用籬笆GH隔開），點(diǎn)F可能在線段BC上，也可能在線段BC的延長線上．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)F在線段BC上時(shí)，①設(shè)EF的長為x米，則DE＝米；（用含x的代數(shù)式表示）②若圍成的飼養(yǎng)場(chǎng)BDEF的面積為132平方米，求飼養(yǎng)場(chǎng)的寬EF的長；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在線段BC延長線上，所圍成的飼養(yǎng)場(chǎng)BDEF的面積能否為156平方米？如果能達(dá)到，求出EF的長；如果不能，請(qǐng)說明理由．10．（2021秋?南安市期中）用總長680cm的木板制作矩形置物架ABCD（如圖），已知該置物架上面部分為正方形ABFE，下面部分是兩個(gè)全等的矩形DGMN和矩形CNMH，中間部分為矩形EFHG．已知DG＝60cm，設(shè)正方形的邊長AB＝x（cm）．（1）當(dāng)x＝72時(shí)，EG的長為cm；（2）置物架ABCD的高AD的長為cm（用含x的代數(shù)式表示）；（3）為了便于置放物品，EG的高度不小于22cm，若矩形ABCD的面積為12000（cm2），求x的值．11．（2022?廣西模擬）如圖是一個(gè)五邊形的空地ABCDE，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∠A＝135°，已知AB＝4m，BC＝8m，CD＝10m，DE＝2m，準(zhǔn)備在五邊形ABCDE內(nèi)按如圖方式設(shè)計(jì)一個(gè)長方形FGCH鋪設(shè)木地板，剩下部分鋪設(shè)地磚．點(diǎn)F、G、H分別在邊AE、BC、CD上．（1）求五邊形ABCDE的面積；（2）若長方形FGCH的面積為35m2，求BG的長．（3）若鋪設(shè)木地板的成本為每平方米200元，鋪設(shè)地磚的成本為每平方米100元，投資7300元能否完成地面鋪設(shè)？通過計(jì)算說明．12．（2021春?嘉興期末）如圖1，將一塊形狀為矩形的空地ABCD修建成一個(gè)花圃，其中AB＝12米，BC＝20米．設(shè)計(jì)方案為：該花圃由一條寬度相等的環(huán)形小道（圖2中陰影）和花卉種植區(qū)域（圖2中矩形EFGH）組成．（1）若環(huán)形小道面積是花圃面積的14（2）若花卉種植區(qū)域分割成如圖3的形狀，點(diǎn)I，J，K分別在邊EH，EF，F(xiàn)G上，L為花圃內(nèi)一點(diǎn)，四邊形HIJL和四邊形GLJK均為平行四邊形．已知KG的長是小道寬度的2倍，且四邊形HIJL與四邊形GLJK的面積之和是花圃面積的2750013．（2021秋?東海縣期中）為了美化環(huán)境，學(xué)校準(zhǔn)備在如圖所示的矩形ABCD空地上進(jìn)行綠化，規(guī)劃在中間的一塊四邊形MNQP上種花，其余的四塊三角形上鋪設(shè)草坪，要求AM＝AN＝CP＝CQ．已知BC＝24米，AB＝40米．設(shè)AM＝x米．（1）當(dāng)種花的面積為440平方米時(shí)，求x的值；（2）種花的面積能否達(dá)到520平方米？說明理由；（3）設(shè)種花的面積為a平方米，當(dāng)x的值有且只有一個(gè)時(shí)，試求出a的取值范圍．14．（2021秋?泗陽縣期末）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿邊AB向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿邊BC向點(diǎn)C以4cm/s的速度移動(dòng)，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．（1）BP＝cm；BQ＝cm；（用t的代數(shù)式表示）（2）D是AC的中點(diǎn)，連接PD、QD，t為何值時(shí)△PDQ的面積為40cm2？15．（2022春?福山區(qū)期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以1cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC以2cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs．（1）若PQ＝42cm，求x的值．（2）若△DPQ的面積為31cm2，求x的值．16．（2021秋?順德區(qū)校級(jí)月考）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以2cm/s的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)以1cm/s的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．（1）運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，△CPQ為等腰三角形？（2）t為何值時(shí)，△CPQ的面積等于△ABC面積的18（3）在運(yùn)動(dòng)過程中，PQ的長度能否為1cm？試說明理由．17．（2022春?蕭山區(qū)期中）如圖，在長方形ABCD中，BC＝20cm，P、Q、M、N分別從A、B、C、D出發(fā)沿AD、BC、CB、DA方向在長方形的邊上同時(shí)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)有一個(gè)點(diǎn)先到達(dá)所在運(yùn)動(dòng)邊的另一個(gè)端點(diǎn)時(shí)即停止，已知在相同時(shí)間內(nèi)，若BQ＝xcm（x≠0），則AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm．（1）當(dāng)x為何值時(shí)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)停止？（2）點(diǎn)P與點(diǎn)N可能相遇嗎？點(diǎn)Q與點(diǎn)M呢？請(qǐng)通過計(jì)算說明理由．（3）當(dāng)x為何值時(shí)，以P、Q、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？18．（2022春?普陀區(qū)校級(jí)