8.6.3平面與平面垂直++講義 高一下學期數(shù)學人教A版（2019）必修第二冊

.6.3平面與平面垂直第1課時平面與平面垂直的判定一、知識要點問題1：平面幾何中的“角”是如何定義的？角的范圍？問題2：立體幾何中，“異面直線所成角”是怎樣定義的？角的范圍？問題3：立體幾何中，“直線和平面所成角”又是怎樣定義的？角的范圍？★二面角：隨手打開一本書,發(fā)現(xiàn)每兩頁書之間所在的平面都形成一個角度;修水壩時,為了使水壩堅固耐用,必須使水壩面與水平面成適當?shù)慕嵌?問題1:根據(jù)上述問題,你發(fā)現(xiàn)兩平面形成的角有何特點?答案可以是銳角、鈍角、直角、平角.問題2:兩平面所成角θ的范圍是什么?答案0°≤θ≤180°.問題3:二面角的平面角的大小,是否與角的頂點在棱上的位置有關(guān)?答案無關(guān).如圖,根據(jù)等角定理可知,∠AOB=∠A'O'B',即二面角的平面角的大小與角的頂點的位置無關(guān),只與二面角的大小有關(guān).1、二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面.二面角的記法：二面角的記法:二面角或或或P-AB-Q.二面角的畫法：二面角的平面角：我們規(guī)定：在二面角α?l?β的棱上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB

叫做二面角的平面角。注意：①平面角是直角的二面角叫做直二面角；②二面角的平面角取值范圍是0°≤θ≤180°基礎鞏固：1、下列命題中：①兩個相交平面組成的圖形叫做二面角；②異面直線a，b分別和一個二面角的兩個面垂直，則a，b所成的角與這個二面角的平面角相等或互補；③二面角的平面角是從棱上一點出發(fā)，分別在兩個面內(nèi)作射線所成的角；④二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置沒有關(guān)系.其中正確的是()A.①③B.②④C.③④D.①②2、若一個二面角的兩個半平面分別垂直于另一個二面角的兩個半平面，那么這兩個二面角()A.相等B.互補C.相等或互補D.關(guān)系無法確定例1.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BC－A1的平面角等于________．例2.如圖，四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.(1)求二面角A－PD－C的平面角的大??；(2)求二面角B－PA－C的平面角的大小．總結(jié)：關(guān)鍵：作二面角的關(guān)鍵是“垂線”,即從一個半平面上一點作另一個半平面的垂線,或者先證明已有的直線與另一個半平面垂直,再作平面角.步驟：“一作二證三求”提醒：找二面角的平面角可以從與二面角的棱垂直的邊入手[練習1]如圖，在四面體PABC中，△ABC與△PBC是邊長為2的正三角形，PA＝3，D為PA的中點，求二面角D－BC－A的大小．★任務2:面面垂直的判定定義：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.建筑工地上,泥水匠砌墻時,為了保證墻面與地面垂直,泥水匠常常在較高處固定一條端點系有鉛錘的線,再沿著該線砌墻,如圖,這樣就能保證墻面與地面垂直..問題1:由上述可知,當直線與平面垂直時,過此直線可作無數(shù)個平面,那么這些平面與已知平面有何關(guān)系?問題2:若要判斷兩個平面是否垂直,根據(jù)上述問題能否得出一個方法?答案可以,只需在一個平面內(nèi)找一條直線垂直于另一個平面即可.歸納面面垂直的判定定理文字語言：如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直。符號語言：簡記為：線面垂直?面面垂直例1(鏈接教材第158頁例7、例8)如圖所示，在四面體A--BCS中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.求證：平面ABC⊥平面SBC.例2:如圖，在正方體ABCD?A′B′C′D′中，求證:平面A’BD⊥平面ACC′A′例3:如圖所示，AB是?O的直徑，PA垂直于?O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的任意一點.求證：平面PAC⊥平面PBC.總結(jié)：面面垂直證明的步驟與關(guān)鍵關(guān)鍵：在利用線面垂直證明面面垂直時,關(guān)鍵是確定“線”,即在其中一個平面內(nèi)找一條直線與另一個平面垂直.一方面要分析圖形中已有的垂直關(guān)系,另一方面要注意積累常見的線面垂直關(guān)系模型,能夠直觀進行判斷選擇.鞏固練習1：如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面是邊長為a的菱形,∠BCD=120°,平面PCD⊥平面ABCD,PC=a,PD=2a,E為PA的中點.求證:平面EDB⊥平面ABCD.鞏固練習2：如圖所示,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,側(cè)面SAB⊥底面ABCD,BC=3,AD=1,M是棱SB上靠近點S的一個三等分點.求證:平面SBC⊥平面SAB;第2課時平面與平面垂直的性質(zhì)面面角→面面垂直定義→面面垂直的判定→面面垂直的性質(zhì)如果兩個平面互相垂直，根據(jù)已有的研究經(jīng)驗，我們可以先研究其中一個平面內(nèi)的直線與另一個平面具有什么位置關(guān)系.探究如圖，設平面α⊥平面β，α∩β=a，則β內(nèi)任意一條直線b與a是什么位置關(guān)系？相應地，b與α是什么位置關(guān)系？為什么？由此我們得到平面與平面垂直的性質(zhì)定理:定理：兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個平面交線，那么這條直線與另一個平面垂直.簡記為：面面垂直?線面垂直解釋：裝修房子時，要在墻壁上畫出與地面垂直的直線，只需在墻面上畫出地面與墻面的交線的垂線即可.例1求證:如果兩個平面互相垂直,那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)的一點垂直于第二個平面的直線,在第一個的平面內(nèi).對于兩個平面互相垂直的性質(zhì)，我們探究了一個平面內(nèi)的直線與另一個平面的特殊位置關(guān)系.如果直線不在兩個平面內(nèi)，或者把直線換成平面，你又能得到哪些結(jié)論?例2如圖，已知平面∝⊥平面β，直線a滿足a⊥β，a?，試判斷直線a與平面∝的位置關(guān)系.鞏固練習：1、已知m，n表示直線，α，β，γ表示平面，給出下列三個命題：(1)若α∩β＝m，n?α，n⊥m，則n⊥β；(2)若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，則n⊥m；(3)若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β.其中正確的命題為()A.(1)(2)B.(3)C.(2)(3) D.(1)(2)(3)鞏固練習：2、若m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，則下列命題中正確的是()A.若m?β，α⊥β，則m⊥αB.若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，則α∥βC.若m⊥β，m∥α，則α⊥βD.若α⊥γ，α⊥β，則β⊥γ例3如圖，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．求證：BC⊥平面PAB．變式1如圖，AB是⊙O的直徑，點C是圓上異于A，B的任意一點，PA⊥平面ABC，AF⊥PC于F.求證：AF⊥平面PBC.變式2如圖，在矩形ABCD中，AB=2BC，P、Q分別為線段AB、CD的中點