正則參數(shù)曲線課件

第二章曲線論§2.1正則參數(shù)曲線第二章曲線論§2.1正則參數(shù)曲線1(一）、參數(shù)曲線1.參數(shù)曲線：2.曲線的參數(shù)方程：

一、曲線的參數(shù)表示取定正交標(biāo)架

中的一條曲線

是一個(gè)連續(xù)映

稱為參數(shù)曲線.幾何上，參數(shù)曲線

是映射

的像.引例：從圓的方程到動(dòng)點(diǎn)軌跡.則曲線上的點(diǎn)其中

為曲線的參數(shù)，(1.1)稱為曲線的參數(shù)方程.(一）、參數(shù)曲線1.參數(shù)曲線：2.曲線的參數(shù)方程：一(二）、（向量）參數(shù)表示實(shí)例例1.開橢圓弧的參數(shù)表示：一、曲線的參數(shù)表示例2.圓柱螺線的參數(shù)表示：其中

是常數(shù)，例3.曲線與曲線同像不同長.(二）、（向量）參數(shù)表示實(shí)例例1.開橢圓弧的參數(shù)表示：一、曲(一）、切線方程由定義可知二、正則曲線導(dǎo)數(shù)的幾何意義：割線的極限位置就是曲線的切線.稱為該曲線的切向量.切線方程為：如果則

是該曲線在

處切線的方向向量，其中

是固定的，

是切線上點(diǎn)的參數(shù)，

是切線上點(diǎn)的位置向量.(一）、切線方程由定義可知二、正則曲線導(dǎo)數(shù)的幾何意義：割線的(二）、正則曲線二、正則曲線定義2.1.如果曲線的參數(shù)表示

是階連續(xù)可微的，則稱是類曲線.的點(diǎn)稱為的正則點(diǎn)，否則成為奇點(diǎn).無奇點(diǎn)的類曲線稱為正則(參數(shù))曲線.將參數(shù)增大的方向稱為曲線的正向.1.相關(guān)概念：

上述定義與

中直角坐標(biāo)系的選取無關(guān).注：正則(二）、正則曲線二、正則曲線定義2.1.如果曲線的參2.實(shí)例二、正則曲線例3.開橢圓弧是正則曲線，因例4.圓柱螺線是正則曲線，因例5.半三次曲線不是正則曲線圖2-3參數(shù)方程的連續(xù)可微性和曲線的正則性（光滑性）是不同的概念.2.實(shí)例二、正則曲線例3.開橢圓弧3.注記二、正則曲線注1.在一段曲線上則為常向量.反之，若在處則由的連續(xù)性，在附近，故奇點(diǎn)總是孤立的.注2.考察中

軸的兩種參數(shù)表示：顯然(1)是正則表示，(2)不是.只要有一種參數(shù)表示是正則的曲線必為正則曲線.3.注記二、正則曲線注1.在一段曲線上則三、容許的參數(shù)變換曲線的參數(shù)表示不是唯一的（如上例或圓周）.2.保定向的參數(shù)變換：可允許的參數(shù)變換在所有正則參數(shù)曲線之間建立了一種等價(jià)關(guān)系.等價(jià)的正則參數(shù)曲線看作是同一條曲線，稱為一條正則曲線.約定.只允許做保持定向參數(shù)變換的正則參數(shù)曲線的等價(jià)類被稱為是一條有向正則曲線.1.可容許的參數(shù)變換：三、容許的參數(shù)變換曲線的參數(shù)表示不是唯一的（如上例或圓周）.四、曲線的其他表示1.平面曲線的一般方程和隱式方程2.空間曲線的一般方程（必正則）和隱式方程這些方程可以化為參數(shù)方程.(習(xí)題4：正則曲線總可以用一般方程表示)梯度矩陣秩為2四、曲線的其他表示1.平面曲線