2023年中考數(shù)學(xué)試卷 匯編專題07 一元二次方程

專題07一元二次方程一、單選題1．（2021·山東菏澤市）關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（）A．且 B．且 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)方程有實(shí)數(shù)根，利用根的判別式來求的取值范圍即可．【詳解】解：(1)當(dāng)時(shí)，為一元二次方程?！哧P(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，∴，解得，且，(2)當(dāng)時(shí)，3x+1=0，為一元一次方程，該方程恒有解，故。綜上所述:則的取值范圍是,故選：D．2．（2021·湖南懷化市）對于一元二次方程，則它根的情況為（）A．沒有實(shí)數(shù)根B．兩根之和是3C．兩根之積是D．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根【答案】A【分析】先找出，再利用根的判別式判斷根的情況即可．【詳解】解：∵∴∴這個(gè)一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，故A正確、D錯(cuò)誤．∵，故C錯(cuò)誤．，故B錯(cuò)誤．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的情況、根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、熟練掌握<0，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根是關(guān)鍵．3．（2021·湖北武漢市）已知，是方程的兩根，則代數(shù)式的值是（）A．-25 B．-24 C．35 D．36【答案】D【分析】先根據(jù)已知可得，，a+b=3，然后再對變形，最后代入求解即可．【詳解】解：∵已知，是方程的兩根∴，，a+b=3∴=0+5+30+1=36．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的解、根與系數(shù)的關(guān)系以及整式的變形，根據(jù)需要對整式靈活變形成為解答本題的關(guān)鍵．4．（2021·四川廣安市）關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（）A．且 B． C．且 D．【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到a+2≠0且△≥0，然后求出兩不等式的公共部分即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，∴△≥0且a+2≠0，∴（-3）2-4（a+2）×1≥0且a+2≠0，解得：a≤且a≠-2，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．5．（2021·湖南邵陽市）在平面直角坐標(biāo)系中，若直線不經(jīng)過第一象限，則關(guān)于的方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．1或2個(gè)【答案】D【分析】直線不經(jīng)過第一象限，則m=0或m＜0，分這兩種情形判斷方程的根．【詳解】∵直線不經(jīng)過第一象限，∴m=0或m＜0，當(dāng)m＝0時(shí)，方程變形為x+1=0，是一元一次方程，故有一個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)m＜0時(shí)，方程是一元二次方程，且△=，∵m＜0，∴-4m＞0,∴1-4m＞1＞0,∴△＞0,故方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，綜上所述，方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根或兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖像的分布，一元一次方程的根，一元二次方程的根的判別式，準(zhǔn)確判斷圖像不過第一象限的條件，靈活運(yùn)用根的判別式是解題的關(guān)鍵．6．（2021·四川眉山市）已知一元二次方程的兩根為，，則的值為（）A． B． C．2 D．5【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程根的定義，得，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，得+=3，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵一元二次方程的兩根為，，∴，即：，+=3，∴=-2(+)=-1-2×3=-7．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根的定義以及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握（a≠0）的兩根為，，則+=，=，是解題的關(guān)鍵．7．（2021·浙江臺(tái)州市）關(guān)于x的方程x24x＋m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）A．m＞2 B．m＜2 C．m＞4 D．m＜4【答案】D【分析】根據(jù)方程x24x＋m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，可得，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程x24x＋m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得：m＜4，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式，熟練掌握ax2+bx＋c＝0（a≠0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則判別式大于零，是解題的關(guān)鍵．8．（2021·山東臨沂市）方程的根是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用因式分解法解方程即可得到正確選項(xiàng)．【詳解】解：∵，∴，∴，∴x+7=0，x-8=0，∴x1=-7，x2=8．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了．9．（2021·云南）若一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C．且 D．且【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到a≠0且△=22-4a＞0，然后求出兩不等式的公共部分即可．【詳解】解：根據(jù)題意得a≠0且△=22-4a＞0，解得a＜1且a≠0．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．10．（2021·山東泰安市）已知關(guān)于x的一元二次方程標(biāo)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A．B．C．且D．【答案】C【分析】由一元二次方程定義得出二次項(xiàng)系數(shù)k≠0；由方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得出“△>0”，解這兩個(gè)不等式即可得到k的取值范圍．【詳解】解：由題可得：,解得：且；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義和根的判別式，涉及到了解不等式等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是能讀懂題意并牢記一元二次方程的概念和根的判別式的內(nèi)容，能正確求出不等式（組）的解集等，本題對學(xué)生的計(jì)算能力有一定的要求．11．（2021·四川南充市）已知方程的兩根分別為，，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程解的定義及根與系數(shù)的關(guān)系可得，，再代入通分計(jì)算即可求解．【詳解】∵方程的兩根分別為，，∴，，∴，∴=====-1．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程解的定義及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練運(yùn)用一元二次方程解的定義及根與系數(shù)的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．12．（2021·四川涼山州）函數(shù)的圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程的根的情況是（）A．沒有實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D．無法確定【答案】C【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限找出k、b的正負(fù)，再結(jié)合根的判別式即可得出△＞0，由此即可得出結(jié)論．【詳解】解：觀察函數(shù)圖象可知：函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，∴k＜0，b＜0．在方程中，△=，∴一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式，根據(jù)一次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限找出k、b的正負(fù)是解題的關(guān)鍵．13．（2021·四川瀘州市）關(guān)于x的一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根，滿足，則的值是（）A．8 B．16 C．32 D．16或40【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，即韋達(dá)定理，先解得或，再分別代入一元二次方程中，利用完全平方公式變形解題即可．【詳解】解：一元二次方程,,或當(dāng)時(shí)，原一元二次方程為，，當(dāng)時(shí)，原一元二次方程為原方程無解，不符合題意，舍去，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，韋達(dá)定理等知識(shí)，涉及解一元二次方程，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．14．（2021·浙江麗水市）用配方法解方程時(shí)，配方結(jié)果正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，然后把方程左邊利用完全平方公式寫成平方形式即可．【詳解】解：，，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查利用配方法對一元二次方程求解，解題的關(guān)鍵是：熟練運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行配方．15．（2021·新疆）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解為（）A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3【答案】C【分析】利用因式分解法求出已知方程的解．【詳解】x2-4x+3=0，分解因式得：（x-1）（x-3）=0，解得：x1=1，x2=3，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．二、填空題1．（2021·湖北隨州市）已知關(guān)于的方程（）的兩實(shí)數(shù)根為，，若，則______．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可求出以及，然后根據(jù)條件變形代入求解即可．【詳解】由題意，，，∵，∴，即：，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟記基本公式，并靈活進(jìn)行變形是解題關(guān)鍵．2．（2021·湖北十堰市）對于任意實(shí)數(shù)a、b，定義一種運(yùn)算：，若，則x的值為________．【答案】或2【分析】根據(jù)新定義的運(yùn)算得到，整理并求解一元二次方程即可．【詳解】解：根據(jù)新定義內(nèi)容可得：，整理可得，解得，，故答案為：或2．【點(diǎn)睛】本題考查新定義運(yùn)算、解一元二次方程，根據(jù)題意理解新定義運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．3．（2021·湖南中考真題）關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則________．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程根與判別式的關(guān)系，列出關(guān)于m的方程，即可求解．【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得：，故答案是：．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根與判別式的關(guān)系，掌握一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則，是解題的關(guān)鍵．4．（2021·湖北黃岡市）若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的值可以是____．（寫出一個(gè)即可）【答案】0（答案不唯一）【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式求出的取值范圍，由此即可得出答案．【詳解】解：由題意得：此一元二次方程根的判別式，解得，則的值可以是0，故答案為：0（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題關(guān)鍵．5．（2021·湖南岳陽市）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的值為_______．【答案】9【分析】直接利用根的判別式進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由題可知：“△=0”，即；∴；故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題考查了用根的判別式判斷一元二次方程根的情況，解決本題的關(guān)鍵是牢記：△>0時(shí)，該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；△=0時(shí)，該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；△<0時(shí)，該方程無實(shí)數(shù)根．6．（2021·上海）若一元二次方程無解，則c的取值范圍為_________．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式的意義得到＜0，然后求出c的取值范圍．【詳解】解：關(guān)于x的一元二次方程無解，∵，，，∴，解得，∴的取值范圍是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．7．（2021·湖南長沙市）若關(guān)于的方程的一個(gè)根為3，則的值為______．【答案】【分析】將代入方程可得一個(gè)關(guān)于的一元一次方程，解方程即可得．【詳解】解：由題意，將代入方程得：，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根、解一元一次方程，熟練掌握一元二次方程根的定義是解題關(guān)鍵．8．（2021·四川成都市）若m，n是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值是______．【答案】-3．【分析】先根據(jù)一元二次方程的解的定義得到，則，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出，再將其代入整理后的代數(shù)式計(jì)算即可．【詳解】解：∵m，n是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，∴，∴==1+2×（-2）=-3故答案為：-3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若是一元二次方程的兩根時(shí)，，也考查了一元二次方程的解．9．（2021·浙江麗水市）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小云和小王在討論張老師出示的一道代數(shù)式求值問題：已知實(shí)數(shù)同時(shí)滿足，求代數(shù)式的值．結(jié)合他們的對話，請解答下列問題：（1）當(dāng)時(shí)，a的值是__________．（2）當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值是__________．【答案】或17【分析】（1）將代入解方程求出，的值，再代入進(jìn)行驗(yàn)證即可；（2）當(dāng)時(shí)，求出，再把通分變形，最后進(jìn)行整體代入求值即可．【詳解】解：已知，實(shí)數(shù)，同時(shí)滿足①，②，①-②得，∴∴或①+②得，（1）當(dāng)時(shí)，將代入得，解得，，∴，把代入得，3=3，成立；把代入得，0=0，成立；∴當(dāng)時(shí)，a的值是1或-2故答案為：1或-2；（2）當(dāng)時(shí)，則，即∵∴∴∴∴故答案為：7．【點(diǎn)睛】此題主要考查了用因式分解法解一元二次方程，完全平方公式以及求代數(shù)式的值和分式的運(yùn)算等知識(shí)，熟練掌握運(yùn)算法則和乘法公式是解答此題的關(guān)鍵．10．（2021·江西）已知，是一元二次方程的兩根，則______．【答案】1【分析】直接利用根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．【詳解】解：∵，是一元二次方程的兩根，∴，，∴．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，若是方程()的兩根，則，．11．（2021·四川遂寧市）如圖都是由同樣大小的小球按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律排列下去，第___個(gè)圖形共有210個(gè)小球．【答案】20【分析】根據(jù)已知圖形得出第n個(gè)圖形中黑色三角形的個(gè)數(shù)為1+2+3++n=，列一元二次方程求解可得．【詳解】解：∵第1個(gè)圖形中黑色三角形的個(gè)數(shù)1，第2個(gè)圖形中黑色三角形的個(gè)數(shù)3=1+2，第3個(gè)圖形中黑色三角形的個(gè)數(shù)6=1+2+3，第4個(gè)圖形中黑色三角形的個(gè)數(shù)10=1+2+3+4，……∴第n個(gè)圖形中黑色三角形的個(gè)數(shù)為1+2+3+4+5++n=，當(dāng)共有210個(gè)小球時(shí)，，解得：或(不合題意，舍去)，∴第個(gè)圖形共有210個(gè)小球．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的變化規(guī)律，解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是得出第n個(gè)圖形中黑色三角形的個(gè)數(shù)為1+2+3+……+n．12．（2021·江蘇連云港市）已知方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則=____．【答案】【詳解】∵有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴△=0，∴9-4k=0，∴k=．故答案為．考點(diǎn)：根的判別式．三、解答題1．（2021·山東菏澤市）列方程（組）解應(yīng)用題端午節(jié)期間，某水果超市調(diào)查某種水果的銷售情況，下面是調(diào)查員的對話：小王：該水果的進(jìn)價(jià)是每千克22元；小李：當(dāng)銷售價(jià)為每千克38元時(shí)，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的銷售量將增加120千克．根據(jù)他們的對話，解決下面所給問題：超市每天要獲得銷售利潤3640元，又要盡可能讓顧客得到實(shí)惠，求這種水果的銷售價(jià)為每千克多少元？【答案】27元．【分析】設(shè)這種水果每千克降價(jià)元，根據(jù)超市每天要獲得銷售利潤3640元列一元二次方程，解一元二次方程，再由題意要盡可能讓顧客得到實(shí)惠，篩選符合條件的的值，即可解題售價(jià)．【詳解】解：設(shè)這種水果每千克降價(jià)元，則每千克的利潤為：元，銷售量為：千克，整理得，或，要盡可能讓顧客得到實(shí)惠，即售價(jià)為（元）答：這種水果的銷售價(jià)為每千克27元．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．2．（2021·湖北十堰市）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若該方程的兩個(gè)根都是符號(hào)相同的整數(shù)，求整數(shù)m的值．【答案】（1）；（2）1【分析】（1）直接利用根的判別式即可求解；（2）根據(jù)韋達(dá)定理可得，，得到，根據(jù)兩個(gè)根和m都是整數(shù)，進(jìn)行分類討論即可求解．【詳解】解：（1）∵一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得；（2）設(shè)該方程的兩個(gè)根為、，∵該方程的兩個(gè)根都是符號(hào)相同的整數(shù)，∴，，∴，∴m的值為1或2，當(dāng)時(shí)，方程兩個(gè)根為、；當(dāng)時(shí)，方程兩個(gè)根與不是整數(shù)；∴m的值為1．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的判別式、韋達(dá)定理，掌握上述知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．3．（2021·湖北宜昌市）隨著農(nóng)業(yè)技術(shù)的現(xiàn)代化，節(jié)水型灌溉得到逐步推廣．噴灌和滴灌是比漫灌更節(jié)水的灌溉方式，噴灌和滴灌時(shí)每畝用水量分別是漫灌時(shí)的和．去年，新豐收公司用各100畝的三塊試驗(yàn)田分別采用噴灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000噸．（1）請問用漫灌方式每畝用水多少噸？去年每塊試驗(yàn)田各用水多少噸？（2）今年該公司加大對農(nóng)業(yè)灌溉的投入，噴灌和滴灌試驗(yàn)田的面積都增加了，漫灌試驗(yàn)田的面積減少了．同時(shí)，該公司通過維修灌溉輸水管道，使得三種灌溉方式下的每畝用水量都進(jìn)一步減少了．經(jīng)測算，今年的灌溉用水量比去年減少，求的值．（3）節(jié)水不僅為了環(huán)保，也與經(jīng)濟(jì)收益有關(guān)系．今年，該公司全部試驗(yàn)田在灌溉輸水管道維修方面每畝投入30元，在新增的噴灌、滴灌試驗(yàn)田添加設(shè)備所投入經(jīng)費(fèi)為每畝100元．在（2）的情況下，若每噸水費(fèi)為2.5元，請判斷，相比去年因用水量減少所節(jié)省的水費(fèi)是否大于今年的以上兩項(xiàng)投入之和？【答案】（1）漫灌方式每畝用水100噸，漫灌、噴灌、滴灌試驗(yàn)田分別用水10000、3000、2000噸；（2）20；（3）節(jié)省水費(fèi)大于兩項(xiàng)投入之和【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)漫灌方式每畝用水噸，列出方程求解即可；（2）由（1）結(jié)果，結(jié)合題意列出方程，求解方程；（3）分別求出節(jié)省的水費(fèi)，維修費(fèi)，添加設(shè)備費(fèi)，比較大小即可．【詳解】（1）解：設(shè)漫灌方式每畝用水噸，則，，漫灌用水：，噴灌用水：，滴灌用水：，答：漫灌方式每畝用水100噸，漫灌、噴灌、滴灌試驗(yàn)田分別用水10000、3000、2000噸．（2）由題意得，，解得（舍去），，所以．（3）節(jié)省水費(fèi)：元，維修投入：元，新增設(shè)備：元，，答：節(jié)省水費(fèi)大于兩項(xiàng)投入之和．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程，一元二次方程實(shí)際應(yīng)用，解一元二次方程，掌握題中等量關(guān)系正確列式計(jì)算是解題關(guān)鍵．4．（2021·四川南充市）已知關(guān)于x的一元二次方程．（1）求證：無論k取何值，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，且k與都為整數(shù)，求k所有可能的值．【答案】（1）見解析；（2）0或-2或1或-1【分析】（1）計(jì)算判別式的值，然后根據(jù)判別式的意義得到結(jié)論；（2）先利用因式分解法得出方程的兩個(gè)根，再結(jié)合k與都為整數(shù)，得出k的值；【詳解】解：（1）∵△==

∴無論k取何值，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）∵∴∴=0∴，或，當(dāng)，時(shí)，∵k與都為整數(shù)，∴k=0或-2當(dāng)，時(shí)，∴，∵k與都為整數(shù)，∴k=1或-1∴k所有可能的值為0或-2或1或-1【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式以及因式分解法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根”；（2）利用因式分解法求出方程的解．5．（2021·重慶）某工廠有甲、乙兩個(gè)車間，甲車間生產(chǎn)A產(chǎn)品，乙車間生產(chǎn)B產(chǎn)品，去年兩個(gè)車間生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量相同且全部售出．已知A產(chǎn)品的銷售單價(jià)比B產(chǎn)品的銷售單價(jià)高100元，1件A產(chǎn)品與1件B產(chǎn)品售價(jià)和為500元．（1）A、B兩種產(chǎn)品的銷售單價(jià)分別是多少元？（2）隨著5G時(shí)代的到來，工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)進(jìn)入了快速發(fā)展時(shí)期．今年，該工廠計(jì)劃依托工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)將乙車間改造為專供用戶定制B產(chǎn)品的生產(chǎn)車間．預(yù)計(jì)A產(chǎn)品在售價(jià)不變的情況下產(chǎn)量將在去年的基礎(chǔ)上增加a%；B產(chǎn)品產(chǎn)量將在去年的基礎(chǔ)上減少a%，但B產(chǎn)品的銷售單價(jià)將提高3a%．則今年A、B兩種產(chǎn)品全部售出后總銷售額將在去年的基礎(chǔ)上增加%．求a的值．【答案】（1）A產(chǎn)品的銷售單價(jià)為300元，B產(chǎn)品的銷售單價(jià)為200元；（2）20【分析】（1）設(shè)B產(chǎn)品的銷售單價(jià)為x元，則A產(chǎn)品的銷售單價(jià)為（x+100）元，根據(jù)題意列出方程解出即可；（2）設(shè)去年每個(gè)車間生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量為t件，根據(jù)題意根據(jù)題意列出方程解出即可；【詳解】解：（1）設(shè)B產(chǎn)品的銷售單價(jià)為x元，則A產(chǎn)品的銷售單價(jià)為（x+100）元．根據(jù)題意，得．解這個(gè)方程，得．則．答：A產(chǎn)品的銷售單價(jià)為300元，B產(chǎn)品的銷售單價(jià)為200元．（2）設(shè)去年每個(gè)車間生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量為t件，根據(jù)題意，得設(shè)a%=m，則原方程可化簡為．解這個(gè)方程，得（舍去）．∴a=20．答：a的值是20．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元二次方程．6．（2021·浙江嘉興市）小敏與小霞兩位同學(xué)解方程的過程如下框：小敏：兩邊同除以，得，則．小霞：移項(xiàng)，得，提取公因式，得．則或，解得，．你認(rèn)為他們的解法是否正確？若正確請?jiān)诳騼?nèi)打“√”；若錯(cuò)誤請?jiān)诳騼?nèi)打“×”，并寫出你的解答過程．【答案】兩位同學(xué)的解法都錯(cuò)誤，正確過程見解析【分析】根據(jù)因式分解法解一元二次方程【詳解】解：小敏：兩邊同除以，得，則．（×）小