山西省長治市大京中學高三數(shù)學文測試題含解析

山西省長治市大京中學高三數(shù)學文測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知O是正方形ABCD的中心．若，其中，則（）A.－2 B. C. D.參考答案：A【分析】根據(jù)平面向量基本定理可得，從而求得和的值，從而得到結(jié)果.【詳解】，

本題正確選項：A

2.若實數(shù)滿足約束條件，則目標函數(shù)的最大值等于(

)A．2

B．3

C．4

D．1參考答案：C略3.已知“”是“”的A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：C4.函數(shù)f（x）＝12x－x3在區(qū)間［－3，3］上的最小值是（

）A.－9 B.－16 C.－12 D.－11參考答案：【知識點】導數(shù)的應(yīng)用.B12【答案解析】B

解析：由得：，最小值是-16，故選B.【思路點撥】根據(jù)利用導數(shù)求閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值的方法求解.5.函數(shù)，下列結(jié)論不正確的（

）此函數(shù)為偶函數(shù)．

此函數(shù)是周期函數(shù)．

此函數(shù)既有最大值也有最小值．

方程的解為．參考答案：D6.在△ABC中，已知，P為線段AB上的點，且的最大值為（

） A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：C略7.設(shè)偶函數(shù)對任意，都有，且當時，,則

(

)

A．10

B.

C．

D．

參考答案：B8.在直角坐標平面中，的兩個頂點A、B的坐標分別為A（－1，0），B（1，0），平面內(nèi)兩點G、M同時滿足下列條件：（1），（2），（3），則的頂點C的軌跡方程為（

）

A.

B.

C.

D.

參考答案：C略9.已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若a2+a5+a8=12，則S9等于（）A．18 B．36 C．72 D．無法確定參考答案：B【考點】等差數(shù)列的前n項和；等差數(shù)列的通項公式．【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)和已知可得a5的值，由求和公式可得S9=9a5，計算可得．【解答】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a2+a5+a8=3a5=12，解得a5=4，由求和公式可得S9===9a5=9×4=36故選B10.已知||=1，||=2，(﹣)=3，則與的夾角為（）A． B． C． D．π參考答案：D【考點】數(shù)量積表示兩個向量的夾角．【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義，即可求出與的夾角大小．【解答】解：設(shè)與的夾角為θ，，，∵?（﹣）=﹣?=12﹣1×2×cosθ=3，∴cosθ=1；又θ∈[0，π]，∴與的夾角為π．故選：D．【點評】本題考查了平面向量數(shù)量積的定義與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，在正方體中，點P是上底面內(nèi)一動點，則三棱錐的主視圖與左視圖的面積的比值為_________.

參考答案：1略12.若函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為

．參考答案：[16k﹣6，16k+2]，k∈Z【考點】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【分析】由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，可得函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．【解答】解：由函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分圖象，可得A=，==2+2，求得ω=，再根據(jù)五點法作圖可得?2+φ=，∴φ=，∴f（x）=sin（x+）．令2kπ﹣≤x+≤2kπ+，求得16k﹣6≤x≤16k+2，可得函數(shù)的增區(qū)間為[16k﹣6，16k+2]，k∈Z，故答案為：[16k﹣6，16k+2]，k∈Z．13.等差數(shù)列｛｝中，若al+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,則前9項的和Sn等于＿＿＿＿，參考答案：9914.若曲線C1：y=ax2（a＞0）與曲線C2：y=ex存在公切線，則a的取值范圍為．參考答案：[，+∞）【考點】6H：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】求出兩個函數(shù)的導函數(shù)，設(shè)出兩切點，由斜率相等列方程，再由方程有根轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象有交點，求得a的范圍．【解答】解：由y=ax2（a＞0），得y′=2ax，由y=ex，得y′=ex，曲線C1：y=ax2（a＞0）與曲線C2：y=ex存在公共切線，設(shè)公切線與曲線C1切于點（x1，ax12），與曲線C2切于點（x2，ex2），則2ax1=ex2=，可得2x2=x1+2，∴a=，記f（x）=，則f′（x）=，當x∈（0，2）時，f′（x）＜0，f（x）遞減；當x∈（2，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）遞增．∴當x=2時，f（x）min=．∴a的范圍是[，+∞）．故答案為：[，+∞）．15.對于函數(shù)f（x），若?a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）為某一三角形的三邊長，則稱f（x）為“可構(gòu)造三角形函數(shù)”，已知函數(shù)f（x）=是“可構(gòu)造三角形函數(shù)”，則實數(shù)t的取值范圍是

參考答案：【考點】指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【分析】因?qū)θ我鈱崝?shù)a、b、c，都存在以f（a）、f（b）、f（c）為三邊長的三角形，則f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，將f（x）解析式用分離常數(shù)法變形，由均值不等式可得分母的取值范圍，整個式子的取值范圍由t﹣1的符號決定，故分為三類討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域，然后討論k轉(zhuǎn)化為f（a）+f（b）的最小值與f（c）的最大值的不等式，進而求出實數(shù)t的取值范圍．【解答】解：由題意可得f（a）+f（b）＞f（c）對于?a，b，c∈R都恒成立，由于f（x）==1+，①當t﹣1=0，f（x）=1，此時，f（a），f（b），f（c）都為1，構(gòu)成一個等邊三角形的三邊長，滿足條件．②當t﹣1＞0，f（x）在R上是減函數(shù)，1＜f（a）＜1+t﹣1=t，同理1＜f（b）＜t，1＜f（c）＜t，由f（a）+f（b）＞f（c），可得2≥t，解得1＜t≤2．③當t﹣1＜0，f（x）在R上是增函數(shù)，t＜f（a）＜1，同理t＜f（b）＜1，t＜f（c）＜1，由f（a）+f（b）＞f（c），可得2t≥1，解得1＞t≥．綜上可得，≤t≤2，故實數(shù)t的取值范圍是[，2]．【點評】本題主要考查了求參數(shù)的取值范圍，以及構(gòu)成三角形的條件和利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域，同時考查了分類討論的思想，屬于難題．16.一個幾何體的三視圖如右圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是腰長為6的兩個全等的等腰直角三角形．則它的體積為

．參考答案：72幾何體底面是邊長為6的正方形，高是6，其中一條棱與底面垂直的四棱錐17.在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=5：7：8，則∠B的大小是．參考答案：【考點】HR：余弦定理；GR：兩角和與差的正切函數(shù)．【分析】根據(jù)sinA：sinB：sinC=5：7：8，利用正弦定理可求得a，b，c的關(guān)系，進而設(shè)a=5k，b=7k，c=8k，代入余弦定理中求得cosB的值，進而求得B．【解答】解：sinA：sinB：sinC=5：7：8∴a：b：c=5：7：8設(shè)a=5k，b=7k，c=8k，由余弦定理可得cosB==；∴∠B=．故答案為．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分14分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn=，n∈N﹡，數(shù)列{bn}滿足an=4log2bn＋3，n∈N﹡.（1）求an，bn；（2）求數(shù)列{an·bn}的前n項和Tn.

參考答案：由Sn=，得當n=1時，；當n2時，，n∈N﹡.由an=4log2bn＋3，得，n∈N﹡.（2）由（1）知，n∈N﹡所以，，，n∈N﹡.19.在信息時代的今天，隨著手機的發(fā)展，“微信”越來越成為人們交流的一種方法，某機構(gòu)對“使用微信交流”的態(tài)度進行調(diào)查，隨機抽取了100人，他們年齡的頻數(shù)分布及對“使用微信交流”贊成的人數(shù)如下表：（注：年齡單位：歲）年齡頻數(shù)1030302055贊成人數(shù)92524921

（1）若以“年齡45歲為分界點”，由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面的列聯(lián)表，并通過計算判斷是否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為“使用微信交流的態(tài)度與人的年齡有關(guān)”？

年齡不低于45歲的人數(shù)年齡低于45歲的人數(shù)合計贊成

不贊成

合計

（2）若從年齡在，調(diào)查的人中各隨機選取1人進行追蹤調(diào)查，求選中的2人中贊成“使用微信交流”的人數(shù)恰好為1人的概率.0.0250.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828

參考公式：，其中.參考答案：（1）見解析；（2）【分析】（1）通過年齡的頻數(shù)分布及對“使用微信交流”贊成的人數(shù)表，可以求出：年齡不低于45歲的人數(shù)中，其中贊成的人數(shù)為9+2+1=12，不贊成的人數(shù)為20+5+5-12=18；同理可算出，年齡低于45歲的人數(shù)中，贊成的人數(shù)與不贊成的人數(shù)，然后填表；根據(jù)所給的公式，可以計算出的值，對照臨界值表，可以判斷出是否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為“使用微信交流的態(tài)度與人的年齡有關(guān)”.（2）年齡中有5人，不贊成的記為，，；贊成的記為，，年齡中有5人，不贊成的記為，，，，贊成記，列出從年齡，中各取1人可能情況，然后查出恰好有1人使用微信交流的可能情況的個數(shù)，最后求出概率.【詳解】解:（1）根據(jù)頻數(shù)分布，填寫列聯(lián)表如下：

年齡不低于45歲的人數(shù)年齡低于45歲的人數(shù)合計贊成125870不贊成181230合計3070100

計算觀測值，對照臨界值表知，在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為“使用微信交流的態(tài)度與人的年齡有關(guān)”；（2）年齡中有5人，不贊成的記為，，；贊成的記為，，年齡中有5人，不贊成的記為，，，，贊成記，則從年齡，中各取1人共有25種可能，結(jié)果如下：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，恰好有1人使用微信交流的共有11種可能，結(jié)果如下：，，，，，，，，，，所以從年齡在，調(diào)查的人中各隨機選取一人進行追蹤調(diào)查，選中的2人中贊成“使用微信交流”的人數(shù)恰好為一人的概率.【點睛】本題考查了通過補完列聯(lián)表，計算出，然后做出數(shù)學判斷，考查了古典概型，考查了數(shù)學應(yīng)用能力、數(shù)學運算能力.20.（13分）已知函數(shù)f（x）=x+a?e﹣x．（Ⅰ）當a=e2時，求f（x）在區(qū)間[1，3]上的最小值；（Ⅱ）求證：存在實數(shù)x0∈[﹣3，3]，有f（x0）＞a．參考答案：【考點】：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【專題】：計算題；證明題；分類討論；導數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】：（Ⅰ）當a=e2時，f（x）=x+e2﹣x，x∈[1，3]；f′（x）=1﹣e2﹣x，從而由導數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)性及最值；（Ⅱ）“存在實數(shù)x0∈[﹣3，3]，有f（x0）＞a”等價于f（x）的最大值大于a；且f′（x）=1﹣ae﹣x，從而分當a≤0時，當a＞0時兩大類討論，再在a＞0時分a≥e3時，e﹣3＜a＜e3時與0＜a≤e﹣3時討論，從而證明．解：（Ⅰ）當a=e2時，f（x）=x+e2﹣x，x∈[1，3]；∵f′（x）=1﹣e2﹣x，由f′（x）=0得x=2；則x，f′（x），f（x）關(guān)系如下：所以當x=2時，f（x）有最小值為3．（Ⅱ）證明：“存在實數(shù)x0∈[﹣3，3]，有f（x0）＞a”等價于f（x）的最大值大于a．因為f′（x）=1﹣ae﹣x，所以當a≤0時，x∈[﹣3，3]，f′（x）＞0，f（x）在（﹣3，3）上單調(diào)遞增，所以f（x）的最大值為f（3）＞f（0）=a．所以當a≤0時命題成立；當a＞0時，由f′（x）=0得x=lna．則x∈R時，x，f′（x），f（x）關(guān)系如下：（1）當a≥e3時，lna≥3，f（x）在（﹣3，3）上單調(diào)遞減，所以f（x）的最大值f（﹣3）＞f（0）=a．所以當a≥e3時命題成立；（2）當e﹣3＜a＜e3時，﹣3＜lna＜3，所以f（x）在（﹣3，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，3）上單調(diào)遞增．所以f（x）的最大值為f（﹣3）或f（3）；且f（﹣3）＞f（0）=a與f（3）＞f（0）=a必有一成立，所以當e﹣3＜a＜e3時命題成立；（3）當0＜a≤e﹣3時，lna≤﹣3，所以f（x）在（﹣3，3）上單調(diào)遞增，所以f（x）的最大值為f（3）＞f（0）=a．所以當0＜a≤e﹣3時命題成立；綜上所述，對任意實數(shù)a都存在x∈[﹣3，3]使f（x）＞a成立．【點評】：本題考查了導數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題及分類討論的思想應(yīng)用，屬于中檔題．21.（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列滿足：，，的前n項和為．（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令bn=()，求數(shù)列的前n項和．參考答案：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因為，，所以有，解得，所以；==。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以bn===，所以==，即數(shù)列的前n項和=。略22.（本小題滿分13分）

如圖，三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱長都是2，又平面ABC，D、E分別是AC、CC1的中點。

（1）求證：平面A1BD；

（2）求二面角D—BA1—A的余弦值；

（3）求點B1到平面A1BD的距離。

參考答案：（Ⅰ）證明：以DA所在直線為軸，過D作AC的垂線為軸，DB所在直線