線線角、線面角,二面角高考立體幾何法寶

線線角、線面角、二面角的求法1.空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：⑴兩個(gè)非零向量a與b垂直的充要條件是a丄boab,ab,ab=0112233⑵兩個(gè)非零向量a與b平行的充要條件是向.量的數(shù)量積公式若a與b的夾角為6 06<n 且a=(a,a,a),b=(b,b,b)則1 2 3 12 3點(diǎn)乘公式：2）3）4）模長(zhǎng)公式：則Ia1=Ja-a=Ja2+a2+a2,Ib1={b-b=、;b2+b2+b21 2 3 " 1 2 3夾角公式：。呷a?b=-_r-r,|' 1 1a1?1b1Ja2,a2,a2Jb2,b2,b21 2 3 …1 2 3B(x,y,z),貝I」222兩點(diǎn)間的距離公式：若A（x,y亍z）,1112 3ab,ab,ab1L2~2-33①兩條異面直線①兩條異面直線a、IABl=YAB2=(x一x)2,(y一y)2,(z一z)2，2 1 2 1 2 1(兀、b間夾角aeI2丿dA,B7X-Xi)2+5-yi)2+(Z2-Z1)2ABAB?CD在直線a上取兩點(diǎn)、，在直線b上取兩點(diǎn)、，若直線a與b的夾角為0，則cos0=|cos<AB,CD‘I=ABCD例1（福建卷）如圖，長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2,AD=1，點(diǎn)E、F、G分別是DD］、AB、CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1E與GF所成的角是（TOC\o"1-5"\h\z<15 兀A. arccos B.—5 4710 兀C? arccos D?—5 2向量法，傳統(tǒng)法）

例2(2005年全國(guó)高考天津卷)如圖，PA丄平面ABC,ZACB，90°且PA，AC，BC，a，則異面直線PB與AC所成角的正切值等于解：(1)向量法(2)割補(bǔ)法：將此多面體補(bǔ)成正方體DBCA-D'B'C'P，PB與AC所成的角的大小即此正方體主對(duì)角線PB與棱BD所成角的大小，PDtaZDBA， ，€2故填J2.DB點(diǎn)評(píng)：本題是將三棱柱補(bǔ)成正方體DBCA-D'B'C'P②直線a與平面…所成的角9g<0,才］重點(diǎn)講述平行與垂直的證明可轉(zhuǎn)化成用向量方與平面…的法向量呢的夾角e表示，由向量平移得：若平面…的法向量n是向量的一個(gè)重要內(nèi)容，是求直線與平面所成角、求點(diǎn)到平面距離的必備工具求平面法向量的一般步驟：找出求出平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量的坐標(biāo)a，(a,b,c),b，(a,b,c)111222設(shè)出平面的一個(gè)法向量為n，(x,y,z) 一根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x,y,z的方程組(0“a“Q2)(4解方)程組，取其中的一組解，即得法向量。

1.（線線角，線面角）?在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD點(diǎn).八、、?（1） 求直線A'C與DE所成角；（2） 求直線AD與平面B'EDF所成的角.如圖，底面ABCD為直角梯形，乙ABC=90BA=BC=BP=2CD=2，E為PD的中點(diǎn)，求）異面直線BD與PA所成角的余弦值；PB丄面ABCD，）直線PB丄面ABCD，③求二面角a，€，€的大小01范.圍：[0,?]2.二面角的向量求法：方法一：如圖，若、分別是二面角a--的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的異面直線則二面角的大小就是向量AB與CD的夾角方法二設(shè)u,v是二面角al-P的兩個(gè)面a [3的法向量則向量u與v的夾角或其補(bǔ)角就是二面角的平面角的大小如圖設(shè)二面角的平面角的大小為0法向量的夾角為…ff f fcos0=cos0=cos…=cos0=cos（?一…）=一cos…注意在用向量求二面角的大小時(shí)，我們是先求出兩半平面的法向量所在直線的夾角…,

-?-? —?—>但二面角可能是鈍角或銳角，因此在求出…角后，應(yīng)判斷二面角的大小，再確定二面角就是兩半平面的法向量所在直線的夾角…或是其補(bǔ)角。例：如圖，PA丄平面ABC，AC丄BC,PA=AC=1,BC=、遼，求二面角A-PB-C的大小。

1?[2014?新課標(biāo)全國(guó)卷II]如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA丄平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)．（1）證明：PB〃平面AEC；⑵設(shè)AP=1,AD^3，三棱錐P離?年1高1考陜西卷理科16（）本小題滿分12分）如圖：€B（I）（I）在ABC中€ ,6 ,9D是BC上的高，沿如圖：€B（I）（I）C.證明：平面 丄平面BDC；設(shè)E為BC的中點(diǎn)求與DB夾角的余弦值

20年1高1考北京卷理科16()本小題共14分)如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA丄平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB，2,ZBAD，60.(I)求證：BD丄平面PAC;(II)若PA，AB,求PB與AC所成角的余弦值;4 年高考全國(guó)新課標(biāo)卷理科 本小題滿分分如圖，四棱錐一中，底面 為平行四邊形，Z° 丄底面I證明：丄；I證明：丄；II若 ，求二面角 的余弦值。直線與平面平行或者垂直(重點(diǎn)掌握)1.如圖，已知正方體ABCD-A]B]C]D],M,N分別是A]B],BB]的中點(diǎn).求證:(1)MN〃平面ACD]. (2)DB]丄平面ACD].2、如圖，四棱錐P—ABCD中，PA丄平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB丄AD,CD丄AD，CD=2AB，E為PC中點(diǎn).求證：CD丄平面PAD；求證：BE//平面PAD.3.正方體ABCD—A1B1C1D1中O為正方形ABCD的中心，M為BB]的中點(diǎn)，求證:Dfl//平面ABC.D￡丄平面MAC.

4.如圖，在直三棱柱ABC—A]B]C]中，AC=3,BC=4,AA1=4,AB=5,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，求證