黑龍江省伊春市宜春姜璜中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

黑龍江省伊春市宜春姜璜中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知a1，a2，a3，…，a8為各項(xiàng)都大于零的數(shù)列，則“a1+a8＜a4+a5”是“a1，a2，a3，…，a8不是等比數(shù)列”的(

) A．充分且必要條件 B．充分但非必要條件 C．必要但非充分條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B考點(diǎn)：等差關(guān)系的確定；必要條件、充分條件與充要條件的判斷．專題：計(jì)算題．分析：先假設(shè)八個(gè)整數(shù)成等比數(shù)列且q≠1，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式表示出（a1+a8）﹣（a4+a5），分別對(duì)q＞1和q＜1分類討論，可推斷出a1+a8＞a4+a5一定成立，反之若a1+a8＜a4+a5，則a1，a2，a3，…，a8不是等比數(shù)列，推斷出條件的充分性；若a1，a2，a3，…，a8不是等比數(shù)列，a1+a8＜a4+a5，不一定成立，綜合答案可得．解答： 解：若八個(gè)正數(shù)，成等比數(shù)列公比q＞0，（a1+a8）﹣（a4+a5）=a1=a1當(dāng)0＜q＜1，時(shí)（q3﹣1）＜0，（q4﹣1）＜0∴a1＞0當(dāng)q＞1，時(shí)（q3﹣1）＞0，（q4﹣1）＞0∴a1＞0所以a1+a8＞a4+a5，故若a1+a8＜a4+a5，則a1，a2，a3，…，a8不是等比數(shù)列，若a1，a2，a3，…，a8不是等比數(shù)列，a1+a8＜a4+a5，不一定成立，故“a1+a8＜a4+a5”是“a1，a2，a3，…，a8不是等比數(shù)列”的充分非必要條件．故選B點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比關(guān)系的確定以及充分條件，必要條件充分必要條件的判定．考查了學(xué)生分析問(wèn)題和基本的推理能力．2.已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則=(

)A．36

B．32

C．24

D．22參考答案：A略3.在空間中，若、表示不同的平面，、、表示不同直線，則以下命題中正確的有（

）①若∥，∥，∥，則∥②若⊥，⊥，⊥，則⊥③若⊥，⊥，∥，則∥④若∥，，，則∥A.①④

B.

②③

C.

②④

D.②③④參考答案：B4.2010年，我國(guó)南方省市遭遇旱澇災(zāi)害，為防洪抗旱，某地區(qū)大面積植樹(shù)造林，如圖，在區(qū)域內(nèi)植樹(shù)，第一棵樹(shù)在點(diǎn)，第二棵樹(shù)在點(diǎn)，第三棵樹(shù)在點(diǎn)，第四棵樹(shù)在點(diǎn)，接著按圖中箭頭方向，每隔一個(gè)單位種一顆樹(shù)，那么，第2014棵樹(shù)所在的點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A.(9,44)

B.(10,44)

C.(10.43)

D.(11,43)參考答案：B5.設(shè)是定義在R上的周期為3的周期函數(shù)，如圖表示該函數(shù)在區(qū)間(－2，1]上的圖像，則＋＝（

）A、3

B、2

C、1

D、0

參考答案：C6.若是定義在R上的函數(shù)，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都有和的值是（

）A、2010

B、2011

C、2012

D、2013

參考答案：C略7.函數(shù)y＝(x＜0)的值域是()A．(－1,0)

B．－3,0)C．－3,1

D．(－∞，0)參考答案：By＝，∵x＜0，∴－x＞0且y＜0，∴x＋＝－(－x＋)≤－2，∴y＝≥－3，當(dāng)且僅當(dāng)x＝－1時(shí)等號(hào)成立．

8.若偶函數(shù)f（x）在（﹣∞，0]上單調(diào)遞減，a=f（log23），b=f（log45），c=f（2），則a，b，c滿足（）A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a參考答案：B【考點(diǎn)】3F：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)；4M：對(duì)數(shù)值大小的比較．【分析】由偶函數(shù)f（x）在（﹣∞，0]上單調(diào)遞減，可得f（x）在{0，+∞）上單調(diào)遞增，比較三個(gè)自變量的大小，可得答案．【解答】解：∵偶函數(shù)f（x）在（﹣∞，0]上單調(diào)遞減，∴f（x）在{0，+∞）上單調(diào)遞增，∵2＞log23=log49＞log45，2＞2，∴f（log45）＜f（log23）＜f（2），∴b＜a＜c，故選：B．9.已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A．(－∞,2] B． C． D．(－∞,0]∪[1,2]參考答案：D當(dāng)時(shí)，，即為，解得；當(dāng)時(shí)，，即為，解得，綜上可得，原不等式的解集為，故選D．10.（多選題）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在(0,+∞)上單調(diào)遞增的是（

）A. B.C. D.參考答案：BC【分析】易知A,B,C,D四個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)的定義域均為,先利用與的關(guān)系判斷奇偶性,再判斷單調(diào)性,即可得到結(jié)果.【詳解】由題,易知A,B,C,D四個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)的定義域均為,對(duì)于選項(xiàng)A,,則為奇函數(shù),故A不符合題意；對(duì)于選項(xiàng)B,,即為偶函數(shù),當(dāng)時(shí),設(shè),則,由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可得,當(dāng)時(shí)是增函數(shù),又單調(diào)遞增,所以在上單調(diào)遞增,故B符合題意；對(duì)于選項(xiàng)C,,即為偶函數(shù),由二次函數(shù)性質(zhì)可知對(duì)稱軸為,則在上單調(diào)遞增,故C符合題意；對(duì)于選項(xiàng)D,由余弦函數(shù)的性質(zhì)可知是偶函數(shù),但在不恒增,故D不符合題意；故選:BC【點(diǎn)睛】本題考查由解析式判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,熟練掌握各函數(shù)的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知隨機(jī)變量的分布列如右表，則

；

.12

參考答案：，12.20世紀(jì)30年代，里克特（C．F．Richter）制定了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用地震儀測(cè)量地震能量的等級(jí)，地震能量越大，地震儀記錄的地震曲線的振幅就越大，這就是我們常說(shuō)的里氏震級(jí)M，其計(jì)算公式為：，其中A是被測(cè)地震的最大振幅，是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅（使用標(biāo)準(zhǔn)地震振幅是為了修正測(cè)震儀距實(shí)際震中的距離造成的偏差）．假設(shè)在一次地震中，一個(gè)距離震中100km的測(cè)震儀記錄的最大振幅是20，此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅為0．001，則此次地震的震級(jí)為

(精確到0．1，已知）．參考答案：4.313.下展展示了一個(gè)由區(qū)間到實(shí)數(shù)集R的映射過(guò)程：區(qū)間中的實(shí)數(shù)m對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)m，如圖①；將線段AB圍成一個(gè)圓，使兩端點(diǎn)A，B恰好重合，如圖②；再將這個(gè)圓放在平面直角坐標(biāo)系中，使其圓心在y軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，如圖③.圖③中直線AM與軸交于點(diǎn)，則的象就是n，記作.下列說(shuō)法中正確命題的序號(hào)是__________.（填出所有正確命題的序號(hào)）①； ②是奇函數(shù)；

③在定義域上單調(diào)遞增；④的圖象關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱.參考答案：略14.將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，所得的圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值為

.參考答案：15.已知點(diǎn)F為橢圓的左焦點(diǎn)，直線與C相交于M，N兩點(diǎn)（其中M在第一象限），若，，則C的離心率的最大值是____．參考答案：【分析】設(shè)右焦點(diǎn)為,連接,由橢圓對(duì)稱性得四邊形為矩形，結(jié)合橢圓定義及勾股定理得a,c不等式求解即可【詳解】設(shè)右焦點(diǎn)為,連接,由橢圓對(duì)稱性知四邊形為平行四邊形，又=2c=，故為矩形，=，，即,∴又,故0<e≤故答案為【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，橢圓定義的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化化歸思想，利用定義轉(zhuǎn)化為矩形是關(guān)鍵，是中檔題16.

不等式>，對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)______

__．參考答案：17.給出定義:若，（其中m.為整數(shù)），則m叫做離實(shí)效x最近的整數(shù)。記作，即，，在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)的四個(gè)命題:①的定義域是R，值域是②點(diǎn)是的圖象的對(duì)稱中心，其中③函數(shù)的周期為1④函數(shù)在上是增函數(shù)上述命題中真命題的序號(hào)是A.①②

B.②③

C.①③

D.②④參考答案：C三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題共13分）現(xiàn)有兩個(gè)班級(jí)，每班各出4名選手進(jìn)行羽毛球的男單、女單、男女混合雙打（混雙）比賽（注：每名選手打且只打一場(chǎng)比賽）．根據(jù)以往的比賽經(jīng)驗(yàn)，各項(xiàng)目平均完成比賽所需時(shí)間如圖表所示，現(xiàn)只有一塊比賽場(chǎng)地，各場(chǎng)比賽的出場(chǎng)順序等可能．（1）求按女單、混雙、男單的順序進(jìn)行比賽的概率；（2）設(shè)隨機(jī)變量X表示第三場(chǎng)比賽開(kāi)始時(shí)需要等待的時(shí)間，求X的數(shù)學(xué)期望；（3）若要使所有參加比賽的人等待的總時(shí)間最少，應(yīng)該怎樣安排比賽順序（寫出結(jié)論即可）．參考答案：19.(本小題滿分14分)已知函數(shù)=，其中a>0.（Ⅰ）若a=1，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）若在區(qū)間上，恒成立，求a的取值范圍。參考答案：（Ⅰ）y=6x-9.（Ⅱ）0<a<5.（Ⅰ）解：當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=，f（2）=3；f’(x)=,f’(2)=6.所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y-3=6（x-2），即y=6x-9.（Ⅱ）解：f’(x)=.令f’(x)=0，解得x=0或x=.以下分兩種情況討論：ks5u（1）若，當(dāng)x變化時(shí)，f’(x)，f（x）的變化情況如下表：X0f’(x)+0-f(x)極大值當(dāng)?shù)葍r(jià)于ks5u解不等式組得-5<a<5.因此.（2）若a>2，則.當(dāng)x變化時(shí)，f’(x),f（x）的變化情況如下表：X0f’(x)+0-0+f(x)極大值極小值當(dāng)時(shí)，f（x）>0等價(jià)于即解不等式組得或.因此2<a<5.綜合（1）和（2），可知a的取值范圍為0<a<5.20.（14分）（2015?濟(jì)寧一模）已知函數(shù)f（x）=ex﹣ax﹣a（其中a∈R，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…）．（I）當(dāng)a=e時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；（Ⅱ）當(dāng)0≤a≤1時(shí)，求證f（x）≥0；（Ⅲ）求證：對(duì)任意正整數(shù)n，都有（1+）（1+）…（1+）＜e．參考答案：【考點(diǎn)】：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【專題】：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得出單調(diào)區(qū)間，從而求出極值；（Ⅱ）只要求出函數(shù)的最小值，證明函數(shù)的最小值大于等于0即可；（Ⅲ）由函數(shù)的最小值，構(gòu)造不等式，令x=，得出關(guān)于正整數(shù)n的不等式，運(yùn)用累加法即可證明．解：（Ⅰ）當(dāng)a=e時(shí)，f（x）=ex﹣ex﹣e，f′（x）=ex﹣e，當(dāng)x＜1時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0；所以函數(shù)f（x）在（﹣∞，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f（x）在x=1處取得極小值f（1）=﹣e，函數(shù)f（x）無(wú)極大值；（Ⅱ）由f（x）=ex﹣ax﹣a，f′（x）=ex﹣a①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=ex≥0恒成立，滿足條件，②當(dāng)0＜a≤1時(shí)，由f′（x）=0，得x=lna，則當(dāng)x∈（﹣∞，lna）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（lna，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，∴函數(shù)f（x）在（﹣∞，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增，∴函數(shù)f（x）在x=lna處取得極小值即為最小值，f（x）min=f（lna）=elna﹣alna﹣a=﹣alna∵0＜a≤1，∴l(xiāng)na≤0，∴﹣alna≥0，∴f（x）min≥0，∴綜上得，當(dāng)0≤a≤1時(shí)，f（x）≥0；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)a=1時(shí)，f（x）≥0恒成立，所以f（x）=ex﹣x﹣1≥0恒成立，即ex≥x+1，∴l(xiāng)n（x+1）≤x，令x=（n∈N+），得，∴≤==1﹣，∴（1+）（1+）…（1+）＜e．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，極值，恒成立問(wèn)題，以及不等式的證明，運(yùn)用了等價(jià)轉(zhuǎn)化，分類討論和化歸思想．屬于導(dǎo)數(shù)中的綜合題，較難．21.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，其左頂點(diǎn)在圓上．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）直線交橢圓于兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），且直線與軸的交于點(diǎn)，試問(wèn)的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：（Ⅰ）∵橢圓的左頂點(diǎn)在圓上，∴又∵橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，∴∴∴橢圓的方程為

………………４分（Ⅱ）設(shè)，則直線與橢圓方程聯(lián)立化簡(jiǎn)并整理得，

∴，

………………５分由題設(shè)知∴直線的方程為令得

∴點(diǎn)

………………７分………………９分（當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立）∴的面積存在最大值，最大值為1.

………………12分22.已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線的傾斜角為，問(wèn)：在什么范圍取值時(shí)，對(duì)于任意的，函數(shù)在區(qū)間上總存在極值？（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間上至少存在一個(gè)，使得成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案：解：（Ι）由知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，無(wú)單調(diào)區(qū)間。

（Ⅱ）由,∴，.

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故，∴,∵函數(shù)在區(qū)間上總存