機械系統(tǒng)動力學(xué)課件

第一章機械振動學(xué)基礎(chǔ)第一章機械振動學(xué)基礎(chǔ)11.1機械振動的運動學(xué)概念機械振動是一種特殊形式的運動。在這種運動過程中，機械振動系統(tǒng)將圍繞其平衡位置作往復(fù)運動。從運動學(xué)的觀點看，機械振動是研究機械系統(tǒng)的某些物理量在某一數(shù)值附近隨時間t變化的規(guī)律?？捎煤瘮?shù)表示為x=x(t);對于周期運動，表示為x(t)=x(t+nT)其中T為振動的周期，其倒數(shù)即為f=1/T1.1機械振動的運動學(xué)概念機械振動是一種特殊形式的運動。21.1機械振動的運動學(xué)基本概念1.簡諧振動位移和時間可以用時間表示：角速度稱為簡諧運動的角頻率或圓頻率，單位為rad/s，可表示為它與頻率f有關(guān)系式：1-11.1機械振動的運動學(xué)基本概念1.簡諧振動角速度稱為簡3簡諧振動的速度和加速度是位移表達式關(guān)于時間t的一階和二階導(dǎo)數(shù)：在振動分析中。有時我們用旋轉(zhuǎn)矢量來表示簡諧振動，旋轉(zhuǎn)矢量的模為振幅A，角速度為角頻率。若用復(fù)數(shù)來表示，則有：（1-2）（1-3）簡諧振動的速度和加速度是位移表達式關(guān)于時間t的一階和二階導(dǎo)數(shù)4這時，簡諧振動的位移x可表示為：簡諧運動的速度和加速度表示為：（1-4）（1-5）這時，簡諧振動的位移x可表示為：簡諧運動的速度和加速度表示為5式（1－3）還可改為：式中：是一復(fù)數(shù)，稱為復(fù)振幅。它包含振動的振幅兩個信息。（1－6）式（1－3）還可改為：式中：是一復(fù)數(shù)，稱為復(fù)振幅。它包含振動62.周期振動任何周期函數(shù)，只要滿足條件（1）函數(shù)在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個間斷點，且間斷點上函數(shù)左右極限存在；（2）在一個周期內(nèi)，只有有限個極大小值；則可展開為Fourier級數(shù)的形式。2.周期振動7此時：其中：（1-7)此時：其中：（1-7)8對于特定的n，我們可得式中：于是，方程（1-7）又可表示為：(1-8)對于特定的n，我們可得式中：于是，方程（1-7）又可表示為：93.簡諧振動的合成兩個同頻率振動的合成有兩個同頻率的簡諧振動3.簡諧振動的合成10它們的合成運動為：式中：它們的合成運動為：式中：11兩個不同頻率振動的全成有兩個不同頻率的簡諧振動若則合成運動為：兩個不同頻率振動的全成若則合成運動為：12對于，這時有合成運動可表示為：式中：對于，這時有合成運動可表示為：式中：131.2構(gòu)成機械振動系統(tǒng)的基本元素構(gòu)成機械振動系統(tǒng)的基本元素有慣性、恢復(fù)性和阻尼。慣性就是能使物體當前運動持續(xù)下去的性質(zhì)?；謴?fù)性就是能使物體位置恢復(fù)到平衡狀態(tài)的性質(zhì)。阻尼就是陰礙物體運動的性質(zhì)。

1.2構(gòu)成機械振動系統(tǒng)的基本元素構(gòu)成機械振動系統(tǒng)的基本元14

從能量角度看，慣性是保持動能的元素，恢復(fù)性是貯存勢能的元素，阻尼是使能量散逸的元素。當物體沿x軸作直線運動時，慣性的大小可用質(zhì)量來表示。根據(jù)牛頓第二定律，有：質(zhì)量的單位是KG。物體的質(zhì)量是反映其慣性的基本元件，質(zhì)量的大小是反映物體慣性的基本物理參數(shù)。從能量角度看，慣性是保持動能的元素，恢復(fù)性是貯存勢能的元素15典型的恢復(fù)性元件是彈簧，該恢復(fù)性元件所產(chǎn)生的恢復(fù)力Fs是該元件位移x的函數(shù)，即：Fs＝Fs(x)其作用方向與位移x的方向相反。當Fs(x)為線性函數(shù)時，即Fs＝－kx比例常數(shù)K稱為彈簧常數(shù)或剛度系數(shù)，單位為N/m。典型的恢復(fù)性元件是彈簧，該恢復(fù)性元件所產(chǎn)生的恢復(fù)力Fs是該元16阻尼力Fd反應(yīng)阻尼的強弱，通常是速度的函數(shù)。當阻尼力Fd與速度成正比時，有：這種阻尼稱為粘性阻尼或線性阻尼，比例常數(shù)c稱為粘性阻尼系數(shù)，單位為N.s/m阻尼力Fd反應(yīng)阻尼的強弱，通常是速度的函數(shù)。當阻尼力Fd與速17

質(zhì)量，彈簧和阻尼器是構(gòu)成機械振動系統(tǒng)物理模型的三個基本元件。質(zhì)量大小、彈簧常數(shù)和阻尼系數(shù)是表示振動系統(tǒng)動特性的基本物理參數(shù)。質(zhì)量，彈簧和阻尼器是構(gòu)成機械振動系統(tǒng)物理模型的三個基本元件181.3自由度和廣義坐標為了建立振動系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，列出描述其運動的微分方程，必須確定系統(tǒng)的自由度數(shù)和描述系統(tǒng)運動的坐標。物體運動時，受到各種條件的限制。這些限制條件稱為約束條件。物體在這些約束條件下支邊動時，用于確定其位置所需的獨立坐標數(shù)就是該系統(tǒng)的自由度數(shù)。1.3自由度和廣義坐標為了建立振動系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，列出描述19一個質(zhì)點在空間作自由運動，決定其位置需要三個獨立的坐標，自由度數(shù)為3。而由n個相對位置可變的質(zhì)點組成的質(zhì)點系，其自由度數(shù)為3n。剛體運動可以分解為隨質(zhì)心的平動和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動，需要確定其沿直角坐標x,y,z的三個平動位移和繞x,y,z的三個轉(zhuǎn)角，所以其自由度數(shù)為6。彈性體、塑性體和流體等變形連續(xù)體，由于由無限個質(zhì)點所組成，其自由度數(shù)有無限多個。一個質(zhì)點在空間作自由運動，決定其位置需要三個獨立的坐標，自20當系統(tǒng)受到約束時，其自由度數(shù)為系統(tǒng)無約束時的自由度數(shù)與約束數(shù)之差。對于n個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，各質(zhì)點的位移可用3n個直角坐標來描述。當有r個約束條件，約束方程為：當系統(tǒng)受到約束時，其自由度數(shù)為系統(tǒng)無約束時的自由度數(shù)與約束數(shù)21為了確定各質(zhì)點的位置，可選取N＝3n-r個獨立的坐標：來代替3n個直角坐標。這種坐標叫做廣義坐標。在廣義坐標之間不存在約束條件，它們是獨立的坐標。廣義坐標必須能完整地描述系統(tǒng)的運動，其因次不一是長度。因為選取了個數(shù)為自由度數(shù)N的廣義坐標，運動方程就能寫成不包含約束條件的形式。為了確定各質(zhì)點的位置，可選取N＝3n-r個獨立的坐標：22機械系統(tǒng)動力學(xué)ppt課件232.1概述單自由度系統(tǒng)的理論模型：由理想的質(zhì)量m、理想的彈簧k和理想的阻尼c三個基本元件組成的系統(tǒng)。如圖2-1系統(tǒng)的運動只沿一個方向，比如，x方向若系統(tǒng)受到外力的作用，則外力也只沿這一方向2.1概述單自由度系統(tǒng)的理論模型：242-1單自由度系統(tǒng)的理論模型mF(t)oxkc2-1單自由度系統(tǒng)的理論模型mF(t)oxkc25線性系統(tǒng)從物理的觀點看，一個系統(tǒng)受到一個外界激勵（或輸入）F1(t)時，可測得其響應(yīng)（或輸出）為x1(t)。而受到激勵F2(t)時，測得的響應(yīng)為x2(t)。它們可表示為F1(t)x1(t)F2(t)x2(t)F1(t)F2(t)輸入輸入輸出輸出x1(t)x2(t)物理系統(tǒng)線性系統(tǒng)從物理的觀點看，一個系統(tǒng)受到一個外界激勵（或輸入26

如果受到的激勵是F

(t)=a1F1(t)+a2F2(t)，對于線性系統(tǒng)，可以預(yù)測系統(tǒng)的響應(yīng)將是x

(t)=a1x1(t)+a2x2(t)，a1和a2為任意常數(shù)。這一關(guān)系可表示為:

a1F1(t)+a2F2(t)

a1x1(t)+a2x2(t)如果受到的激勵是F(t)=a1F1(t)+a2F27疊加原理幾個激勵函數(shù)共同作用產(chǎn)生的總響應(yīng)是各個響應(yīng)函數(shù)的總和。這一結(jié)果叫做疊加原理，是一個系統(tǒng)成為線性系統(tǒng)的必要條件疊加原理有效，意味著一個激勵的存在并不影響另一個激勵的響應(yīng)；線性系統(tǒng)內(nèi)各個激勵產(chǎn)生的響應(yīng)是互不影響的為了分析在多個激勵作用下系統(tǒng)的總效果，可以先分析單個激勵的效果，然后把它們加起來就得到各單個激勵共同作用下的總效果疊加原理幾個激勵函數(shù)共同作用產(chǎn)生的總響應(yīng)是各個響應(yīng)函數(shù)的總和28例如:單擺，運動方程為這是一個非線性方程。可以證明，它不滿足疊加原理，是一個非線性振動系統(tǒng)lθOmg例如:單擺，運動方程為這是一個非線性方程?？梢宰C明，它不滿足29

如果運動是在平衡位置近旁的微幅運動，就可以用一個線性微分方程來近似地描述，進行分析和研究它的運動規(guī)律.把sinq展開為Taylor級數(shù)，有這時方程表示為:如果運動是在平衡位置近旁的微幅運動，就可以用一個線性微30把單擺作為線性系統(tǒng)進行研究，運動方程為用線性方程代替非線性方程來描述系統(tǒng)，存在著誤差。相對誤差的大小可近似地估量為q小于何值，運動才可視為微幅，決定于所要求的精度。若期望相對誤差小于0.01，則q應(yīng)小于0.245rad。把單擺作為線性系統(tǒng)進行研究，運動方程為用線性方程代替非線性方31線性系統(tǒng)是在一定條件下對非線性系統(tǒng)的近似。微幅運動則是線性化的重要前提。線性系統(tǒng)是在一定條件下對非線性系統(tǒng)的近似。微幅運動則是線性322.2無阻尼自由振動當阻尼很小，對系統(tǒng)運動的影響甚微時，可略去阻尼，使c=0，系統(tǒng)就成為一個無阻尼單自由度系統(tǒng)當系統(tǒng)未受到外力作用時，即F(t)=0，系統(tǒng)就成為一個自由振動系統(tǒng)質(zhì)量m和彈簧k是組成振動系統(tǒng)最基本的元件，是不可缺少的。否則就不會發(fā)生振動2.2無阻尼自由振動當阻尼很小，對系統(tǒng)運動的影響甚微時，33圖2-2無阻尼自由振動的理論模型moxk圖2-2無阻尼自由振動的理論模型moxk34圖2-2所示為單自由度無阻尼系統(tǒng)自由振動的理論模型系統(tǒng)只在垂直方向振動運動是微幅的圖2-2所示為單自由度無阻尼系統(tǒng)自由振動的理論模型35

圖2-2系統(tǒng)未受到擾動時，由靜平衡條件得：為彈簧靜變形圖2-2系統(tǒng)未受到擾動時，由靜平衡條件得：為彈簧靜變形36若給予系統(tǒng)某種擾動，如，把彈簧向下壓縮一個距離x，彈簧的恢復(fù)力就要增大kx系統(tǒng)的靜平衡狀態(tài)遭到破壞，彈簧力與重力不再平衡，即存在著不平衡的彈簧恢復(fù)力系統(tǒng)依靠這一恢復(fù)力維持自由振動若給予系統(tǒng)某種擾動，如，把彈簧向下壓縮一個距離x，彈簧的恢復(fù)37初始擾動（初始條件）以擾動加于系統(tǒng)上的這一時刻作為時間計算的起點，即t=0因此，加到系統(tǒng)上的擾動也叫做初始擾動，一般叫做加于系統(tǒng)上的初始條件加于系統(tǒng)上的初始擾動可以是初始位移或初始速度初始擾動（初始條件）38

坐標的建立取系統(tǒng)靜平衡位置作為空間坐標的原點以x表示質(zhì)量塊由靜平衡位置算起的垂直位移，假定向下為正在某一時刻t，系統(tǒng)的位移為x(t)坐標的建立39由牛頓定律得：從而有：這就是：單自由度無阻尼系統(tǒng)自由振動的運動方程。由牛頓定律得：從而有：這就是：單自由度無阻尼系統(tǒng)自由振動的運40令運動方程可表示為：方程的解x(t)必須在任何時間滿足方程令運動方程可表示為：方程的解x(t)必須在任何時間滿足方程41函數(shù)x(t)必須使其二階導(dǎo)數(shù)與函數(shù)本身的wn2倍之和等于零，且與時間無關(guān)因此，函數(shù)x(t)在微分過程中不改變其形式指數(shù)函數(shù)滿足這一要求函數(shù)x(t)必須使其二階導(dǎo)數(shù)與函數(shù)本身的wn2倍之和等于零42假定方程的解為式中B和l是待定常數(shù)假定方程的解為式中B和l是待定常數(shù)43代入方程，得即代入方程，得即44上式elt不能滿足要求B=0是一個平凡解，不是我們所期望的因此，方程的解決定于上式45上式叫做系統(tǒng)的特征方程或頻率方程它有一對共軛虛根：叫做系統(tǒng)的特征值或固有值上式叫做系統(tǒng)的特征方程或頻率方程它有一對共軛虛根：叫做系統(tǒng)的46方程的兩個獨立的特解分別為B1和B2是任意常數(shù)方程的兩個獨立的特解分別為B1和B2是任意常數(shù)47對于二階常系數(shù)線性齊次方程，其通解為D1和D2由t=0時施加于系統(tǒng)的初始條件來確定對于二階常系數(shù)線性齊次方程，其通解為D1和D2由t=0時施加48根據(jù)t=0時的初始條件：可以確定根據(jù)t=0時的初始條件：可以確定49因此：式中：因此：式中：50圖2-3無阻尼自由振動響應(yīng)圖2-3無阻尼自由振動響應(yīng)51其中，A為振幅，y為初相角。線性系統(tǒng)自由振動振幅的大小只決定于：施加給系統(tǒng)的初始條件系統(tǒng)本身的固有頻率其中，A為振幅，y為初相角。52固有頻率：線性系統(tǒng)自由振動的頻率只決定于系統(tǒng)本身的參數(shù)k和m，與初始條件無關(guān)，因而叫做系統(tǒng)的固有頻率或無阻尼固有頻率固有頻率：線性系統(tǒng)自由振動的頻率532.3有阻尼自由振動在實際系統(tǒng)中總存在著阻尼，總是有能量的散逸，系統(tǒng)不可能持續(xù)作等幅的自由振動，而是隨著時間的推移振幅將不斷減小。這種自由振動叫做有阻尼自由振動。2.3有阻尼自由振動在實際系統(tǒng)中總存在著阻尼，總是有能量54常見阻尼粘性阻尼庫侖阻尼（干摩擦阻尼）結(jié)構(gòu)阻尼常見阻尼55

粘性阻尼自由振動

應(yīng)用牛頓第二定律或能量原理，可列出系統(tǒng)的運動方程mkcox粘性阻尼自由振動mkcox56假定方程的解為代入方程，得系統(tǒng)的特征方程或頻率方程方程的根為:也稱為方程的特征值或固有值假定方程的解為代入方程，得系統(tǒng)的特征方程或頻率方程方程的根為57令:則:a稱為衰減系數(shù)，可能有五種典型情況：

a=0,a<wn,a=wn,a>wn,a<0令:則:a稱為衰減系數(shù)，可能有五種典型情況：58當a<wn時，特征值為兩共軛復(fù)根:其中:稱為有阻尼固有頻率當a<wn時，特征值為兩共軛復(fù)根:其中:稱為有阻尼固有頻率59方程的通解為：(a)常數(shù)B1,B2由初始條件確定方程的通解為：(a)常數(shù)B1,B2由初始條件確定60利用歐拉公式:利用歐拉公式:61方程的解可改寫為:式中:方程的解可改寫為:式中:62設(shè)初始條件為：t=0時有：設(shè)初始條件為：t=0時有：63聯(lián)立求解上列二式，得:聯(lián)立求解上列二式，得:64

以上求得的是a<wn的系統(tǒng)的響應(yīng):其中：此時系統(tǒng)作振幅隨時間不斷衰減的減幅振動，如下圖。同樣可以求出其它阻尼狀態(tài)的系統(tǒng)的響應(yīng)(b)以上求得的是a<wn的系統(tǒng)的響應(yīng):(b)65圖2-4隨時間不斷衰減的減幅振動圖2-4隨時間不斷衰減的減幅振動66

定義阻尼比：

系統(tǒng)阻尼的大小常應(yīng)用系統(tǒng)實際粘性阻尼系統(tǒng)數(shù)c與某一臨界阻尼系數(shù)cc的比值來表達，這是一個無量綱量，稱為阻尼比（或相對阻尼系數(shù)）ζ(c)定義阻尼比：(c)67當：ζ<1時稱為欠阻尼狀態(tài)ζ=1時稱為臨界阻尼狀態(tài)ζ>1時稱為過阻尼狀態(tài)欠阻尼狀態(tài)的運動即為（b）式所代表當：ζ<1時稱為欠阻尼狀態(tài)68

圖2-5臨界阻尼圖2-5臨界阻尼69圖2-6過阻尼圖2-6過阻尼702.4簡諧激勵作用下的強迫振動有三種典型情況簡諧激勵力系統(tǒng)本身的不平衡基礎(chǔ)或支承運動2.4簡諧激勵作用下的強迫振動有三種典型情況71一、簡諧激勵力作用下的強迫振動式中F為激勵力振幅，w為激勵頻率mkcoxFsinωt一、簡諧激勵力作用下的強迫振動mkcoxFsinωt72非齊次方程的通解有兩部分：齊次方程的通解x1(t)和非齊次方程的特解x2(t)。

即：非齊次方程的通解有兩部分：齊次方程的通解x1(t)和非齊次73x1(t)代表系統(tǒng)的自由振動，由于有阻尼，自由振動將逐漸衰減而消失，只在振動開始后的短暫時間內(nèi)存在，是瞬態(tài)振動，所以，x1(t)稱為方程的瞬態(tài)解。x2(t)是方程的特解，表示系統(tǒng)在激振力作用下的受迫振動，只要有激振力繼續(xù)作用，它就不會消失，稱為穩(wěn)態(tài)解。對于強迫振動問題，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是最重要的。在談到強迫振動時，通常都是指穩(wěn)態(tài)響應(yīng)x1(t)代表系統(tǒng)的自由振動，由于有阻尼，自由振動將逐漸衰減74用復(fù)指數(shù)來求方程的特解，以Fejωt代換Fsinωt，得假定方程的特解為:式中為復(fù)振幅。代入方程，有從而得:用復(fù)指數(shù)來求方程的特解，以Fejωt代換Fsinωt，得假75φ為相角，是復(fù)振幅的幅角，有式中X為振幅，是復(fù)振幅的模，即因此方程的特解為φ為相角，是復(fù)振幅的幅角，有式中X為振幅，是復(fù)振幅76方程的解為:上式表明，在簡諧激勵力作用下，系統(tǒng)將產(chǎn)生一個與激勵力相同頻率的簡諧振動，但滯后一個相角φ方程的解為:上式表明，在簡諧激勵力作用下，系統(tǒng)將產(chǎn)生一個與激77強迫振動的性質(zhì)和特點:強迫振動的振幅X和相角j只決定于系統(tǒng)本身的物理參數(shù)（m,k,c）和激勵力的特點（大小F，頻率w），與初始條件無關(guān)，初始條件只影響系統(tǒng)的瞬態(tài)振動。強迫振動的振幅與激勵力的幅值F成正比強迫振動的性質(zhì)和特點:78強迫振動的振幅:強迫振動的振幅:79式中X0=F/K，叫做等效靜位移（與激振力幅值相等的靜力作用下系統(tǒng)的靜變位），l=ω/ωn叫做頻率比。定義強迫振動的振幅X與X0的比為放大因子，用b表示，有

上式表明了放大因子，即強迫振動的振幅隨頻率比l、阻尼比變化的規(guī)律.以ζ為參數(shù)，畫出放大因子，即振幅隨l，即頻率ω變化的曲線，叫做幅頻特性曲線。式中X0=F/K，叫做等效靜位移（與激振力幅值相等的靜80圖2-7幅頻特性曲線圖2-7幅頻特性曲線81強迫振動的振幅與頻率比l關(guān)系很大當l很小時（l0)，ω<<ωn，無論阻尼多大，b

1，X

X0

，受迫振動振幅

F/k，稱為“準靜態(tài)區(qū)”。當l很大時（l

)，ω>>ωn，無論阻尼多大，b

0。在激勵頻率很高時，振幅趨于零。這意味著，質(zhì)量不能跟上力的快速變化，將停留在平衡位置不動。由于振幅決于系統(tǒng)的慣性，所以稱為“慣性區(qū)”。強迫振動的振幅與頻率比l關(guān)系很大82當l

1時，ωωn，b迅速增大，受迫振動振幅急劇增加，振幅X比靜變位X0大很多倍，在無阻尼情況下（ζ=0），振幅為無窮大通常把激勵頻率ω與系統(tǒng)固有頻率ωn相等(l=1)的狀態(tài)稱為共振，l=1附近的區(qū)域稱為“共振區(qū)”，在共振區(qū)內(nèi)，阻尼的影響很大，阻尼越小，共振表現(xiàn)得越強烈，因此，共振區(qū)也稱為“阻尼區(qū)”當l1時，ωωn，b迅速增大，受迫振動振83實際上，有阻尼系統(tǒng)的最大振幅并不在ω=ωn時出現(xiàn)，由實際上，有阻尼系統(tǒng)的最大振幅并不在ω=ωn時出現(xiàn)，由84因此，可得振幅為最大時的頻率比即：由上式可見，ω0稍小于ωn，ω0的具體數(shù)值與ζ大小有關(guān)，對小阻尼系統(tǒng)，ω0與ωn之間的差別很小，因此，實用上，一般仍以ω=ωn作為共振頻率因此，可得振幅為最大時的頻率比即：由上式可見，ω0稍小于ω85振幅的最大值為由上式可見，共振時的振幅由阻尼決定。根據(jù)實測的幅頻特性曲線可計算出系統(tǒng)的阻尼。振幅的最大值為由上式可見，共振時的振幅由阻尼決定。86強迫振動的位移和激勵力之間有相位差，它們不是同時達到最大值和零值。此時：相角φ與l和ζ有關(guān)。以ζ為參數(shù)，相角φ隨l，即ω變化的曲線稱為相頻特性曲線。如圖2-7強迫振動的位移和激勵力之間有相位差，它們不是同時達到最大值87圖2-7相頻特性機械系統(tǒng)動力學(xué)ppt課件88二、旋轉(zhuǎn)不平衡質(zhì)量引起的強迫振動在許多旋轉(zhuǎn)機械中，轉(zhuǎn)動部分總存在著質(zhì)量不平衡圖示機器，總質(zhì)量為M。安裝在兩個彈簧和一個阻尼器上，總的彈簧常數(shù)為k，阻尼系數(shù)為c二、旋轉(zhuǎn)不平衡質(zhì)量引起的強迫振動89K/2OmcK/2M-meωtxO機器工作時，旋轉(zhuǎn)中心為O，角速度為ω，不平衡質(zhì)量大小為m，偏心距離為e。機器只能在垂直方向運動。K/2OmcK/2M-meωtxO機器工作時，旋轉(zhuǎn)中心為O，90系統(tǒng)的運動方程：整理后，得系統(tǒng)的運動方程：91方程的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)可表示為：式中：方程的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)可表示為：式中：92這里：系統(tǒng)的放大因子可表示為其關(guān)系曲線如下圖2-8這里：系統(tǒng)的放大因子可表示為其關(guān)系曲線如下圖2-8932-8離心機械系統(tǒng)的放大因子關(guān)系曲線2-8離心機械系統(tǒng)的放大因子關(guān)系曲線94三、基礎(chǔ)運動引起的強迫振動K/2mcK/2xOy=Ysinωt在許多情況下，支承或基礎(chǔ)是運動的，并引起了系統(tǒng)的振動。為了研究這類問題，建立如圖模型三、基礎(chǔ)運動引起的強迫振動K/2mcK/2xOy=Ysinω95系統(tǒng)的運動方程：由此可見，基礎(chǔ)運動使系統(tǒng)受到兩個作用力：一個是與y(t)同相位、經(jīng)彈簧傳給質(zhì)量m的力ky；一個是與速度y同相位，經(jīng)阻尼器傳給質(zhì)量的力cy系統(tǒng)的運動方程：由此可見，基礎(chǔ)運動使系統(tǒng)受到兩個作用力：一個96方程的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：絕對位移的穩(wěn)態(tài)振幅由如下的方程給出：X/Y和j以z為參數(shù)，隨l變化的曲線如圖2-9和圖2-10方程的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：絕對位移的穩(wěn)態(tài)振幅由如下的方程給出：X/Y972-92-102-92-1098相角比較復(fù)雜對于ζ=0，<1，響應(yīng)與激勵同相位；

>1，響應(yīng)與激勵反相位對于

>0，有0時，0相角比較復(fù)雜992.5非簡諧激勵作用下的系統(tǒng)響應(yīng)

周期激勵作用下的強迫振動一個有阻尼彈簧—質(zhì)量系統(tǒng)，受到了周期激勵力F(t)的作用，其運動方程為：且：式中T為周期2.5非簡諧激勵作用下的系統(tǒng)響應(yīng)周期激勵作用下的強迫振動100前以證明，對于線性系統(tǒng)，疊加原理成立，即各激勵力共同作用所引起的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為各激勵力單獨作用時引起的系統(tǒng)各穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的總和因此，對于線性系統(tǒng)在受到周期激勵作用時，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的計算就很簡單：把該周期激勵展成Fourier級數(shù)；把級數(shù)的每一項視作一簡諧激勵，確定其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。把所有簡諧穩(wěn)態(tài)響應(yīng)加起來，就得到了該周期激勵的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)前以證明，對于線性系統(tǒng)，疊加原理成立，即各激勵力共同作用所引101因此，方程可表示為：式中w=2p/T，為周期激勵力的基頻。nω稱為倍頻?？梢郧蟮脤Τ?shù)項a0/2的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為a0/2k。因此，方程可表示為：式中w=2p/T，為周期激勵力的基頻。102于是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：于是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：103脈沖激振脈沖激振104任意激振任意激振105第三章兩自由度系統(tǒng)舉例系統(tǒng)的自由度數(shù)就是描述系統(tǒng)運動所必需的獨立坐標數(shù)。若一個系統(tǒng)的運動需要兩個獨立的坐標來描述，則此系統(tǒng)為一個兩自由度系統(tǒng)。第三章兩自由度系統(tǒng)舉例系統(tǒng)的自由度數(shù)就是描述系統(tǒng)運動所必需106第一節(jié)無阻尼自由振動系統(tǒng)運動微分方程

寫成矩陣形式：由牛三定律列方程如下：可表為：[M]：質(zhì)量矩陣，通常是實對稱矩陣。即[M]T=[M],

[K]：剛度矩陣。{x}：位移向量第一節(jié)無阻尼自由振動系統(tǒng)運動微分方程寫成矩陣形式：由牛三定107第一節(jié)無阻尼自由振動由于無阻尼自由振動是簡諧振動，故可假設(shè)代入（5）得微分方程的一般形式：或者寫成方程（6）要有非零解，則{A}的系數(shù)行列式要等于零。第一節(jié)無阻尼自由振動由于無阻尼自由振動是簡諧振動，故可假設(shè)108第一節(jié)無阻尼自由振動于是有方程（7）和（8）叫做系統(tǒng)的特征方程或頻率方程。正實根（9）叫做系統(tǒng)的特征根或固有頻率。方程有兩個正實根對于實際的簡諧運動，兩個負頻率沒有意義。第一節(jié)無阻尼自由振動于是有方程（7）和（8）叫做系統(tǒng)的特征109第一節(jié)無阻尼自由振動振幅比、主振型、固有振型特征向量、振型向量、模態(tài)向量模態(tài)參數(shù)包括：第一節(jié)無阻尼自由振動振幅比、主振型、固有振型特征向量、振型110第一節(jié)無阻尼自由振動方程組的解：通解=通解1+通解2

四個待定常數(shù)：總結(jié)與說明1.二自由度系統(tǒng)有二階固有頻率；2.系統(tǒng)的自由振動響應(yīng)是兩個固有模態(tài)振動的線性組合，不再是簡諧振動和周期振動，因為Wn1與Wn2不一定成倍數(shù)關(guān)系；3.Wn1，Wn2，r1，r2是固有特性，是確定、唯一的。第一節(jié)無阻尼自由振動方程組的解：通解=通解1+通111第一節(jié)無阻尼自由振動例求扭轉(zhuǎn)振動系統(tǒng)的固有頻率和固有振型，已知：I1=I2=I,K1=K2=K3=K（軸的扭轉(zhuǎn)剛度）解：設(shè)圓盤1，2的角位移分別為系統(tǒng)運動微分方程:

第一節(jié)無阻尼自由振動例求扭轉(zhuǎn)振動系統(tǒng)的固有頻率和固有振型，112第一節(jié)無阻尼自由振動振型圖：第一節(jié)無阻尼自由振動振型圖：113第一節(jié)無阻尼自由振動進一步討論求扭轉(zhuǎn)振動系統(tǒng)在三種不同初始條件下的自由振動條件1第一節(jié)無阻尼自由振動進一步討論求扭轉(zhuǎn)振動系統(tǒng)在三種不同初始114第一節(jié)無阻尼自由振動條件2條件3作業(yè)：3-1，3-2，3-4第一節(jié)無阻尼自由振動條件2條件3作業(yè)：3-1，3-2，3-115Lagrange方程除質(zhì)心運動定理、動量矩定理、拉朗伯原理以外，可用Lagrange方程建立復(fù)雜運動系統(tǒng)的運動微分方程。L=T-U=動能-勢能，稱為Lagrange函數(shù)。對于無阻尼自由振動方程，Lagrange方程可表述為：稱為廣義坐標。對于2自由度系統(tǒng)：n=2Lagrange方程除質(zhì)心運動定理、動量矩定理、拉朗伯原理以116Lagrange方程例教材p145：3-5。取為廣義坐標，建立系統(tǒng)運動微分方程，求解固有頻率。（兩種方法建立方程）分析設(shè)圓盤質(zhì)量為m，半徑為r，勻質(zhì)圓盤，方法1Lagrange方程例教材p145：3-5。取117Lagrange方程由拉氏方程，有約掉r2，整理成矩陣形式由頻率方程，可解得固有頻率（答案見課本p145)Lagrange方程由拉氏方程，有約掉r2，整理成矩陣形式由118Lagrange方程方法2剛體平面運動微分方程純滾動條件6個方程，6個未知量，消去，得上方法一的方程。Lagrange方程方法2剛體平面運動微分方程純滾動條件6個119廣義坐標和坐標耦合車身視為以剛體性桿，質(zhì)量為m，質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量為J，輪胎近似為兩個彈簧K1,K2.以質(zhì)心鉛垂坐標x和轉(zhuǎn)角為廣義坐標。簡化的汽車振動模型方法1微小振動條件下，以靜平衡位置為x原點，建立運動微分方程，重力與彈簧靜壓力相抵。廣義坐標和坐標耦合車身視為以剛體性桿，質(zhì)量為m，質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣120廣義坐標和坐標耦合質(zhì)心運動定理+對質(zhì)心的動量矩定理：的非對角元素不為零。的運動有彈性耦合或靜力耦合。以彈簧支承處的位移為廣義位移，也可建立運動微分方程方法2的非對角元素不為零。的運動有動力耦合，慣性耦合

廣義坐標和坐標耦合質(zhì)心運動定理+121廣義坐標和坐標耦合主坐標：可使動力耦合，靜力耦合解除的一組坐標。主坐標的求解在下一章介紹總結(jié)與說明1.耦合的方式取決于廣義坐標的選擇，不是系統(tǒng)的固有性質(zhì)。2.廣義坐標，運動方程的形式不唯一，所以需要解耦，去掉耦合。非主坐標線性變換主坐標耦合方程非耦合方程方程解耦廣義坐標和坐標耦合主坐標：可使動力耦合122第二節(jié)無阻尼強迫振動的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)運動微分方程的一般形式：設(shè)以下只需專門討論（還有任意激勵）

線性系統(tǒng)，疊加原理成立分別求每個周期力的響應(yīng)，每個周期力又可展開為Fourier級數(shù)第二節(jié)無阻尼強迫振動的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)運動微分方程的一般形式：線性123第二節(jié)無阻尼強迫振動的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)設(shè)響應(yīng)

則（2）可化為定義阻抗矩陣（動剛度矩陣）導(dǎo)納矩陣（動柔度矩陣）第二節(jié)無阻尼強迫振動的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)設(shè)響應(yīng)定義阻抗矩陣導(dǎo)納矩陣124第二節(jié)無阻尼強迫振動的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)響應(yīng)與激勵幅值F、頻率w、系統(tǒng)的物理參數(shù)m、k有關(guān)。通常是瞬態(tài)，衰減，因為實際系統(tǒng)有阻尼存在。例1已知：m=m1，m2=2m，K1=Kc=K,K2=2K,F1=Fsinwt,F2=0.求：系統(tǒng)強迫振動的響應(yīng)。分析系統(tǒng)的運動微分方程為第二節(jié)無阻尼強迫振動的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)響應(yīng)與激勵幅值F、頻率w、系125第二節(jié)無阻尼強迫振動的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)則響應(yīng)幅值為：系統(tǒng)強迫振動的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：第二節(jié)無阻尼強迫振動的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)則響應(yīng)幅值為：系統(tǒng)強迫振動126第二節(jié)無阻尼強迫振動的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)進一步討論頻響曲線圖見課本P118，橫坐標1.當時，共振。有兩次共振，每次共振時兩個質(zhì)量塊的振幅同時達到最大值。2.當時，m1振幅為零，反共振。當時，兩質(zhì)量塊運動方向相同。當時，兩質(zhì)量塊運動方向相同。當時，兩質(zhì)量塊振幅很小。思考：若只在m2上有Fsinwt，系統(tǒng)的響應(yīng)會是怎么樣的？第二節(jié)無阻尼強迫振動的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)進一步討論頻響曲線圖見課本P127第二節(jié)無阻尼強迫振動的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)例2已知：J1，J2,K,F1=Msinwt,F2=0.討論系統(tǒng)的強迫振動。分析系統(tǒng)的運動微分方程為則阻抗矩陣為：特征多項式為：頻率方程為：第二節(jié)無阻尼強迫振動的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)例2已知：J1，J2,K,F128第二節(jié)無阻尼強迫振動的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)傳遞函數(shù)矩陣為：系統(tǒng)強迫振動的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：當或時，共振。當時，圓盤J1反共振。注意當時，即系統(tǒng)發(fā)生一階振型振動時，實際是剛體轉(zhuǎn)動。作業(yè)：3-11，3-14，3-15第二節(jié)無阻尼強迫振動的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)傳遞函數(shù)矩陣為：系統(tǒng)強迫振動129第三節(jié)無阻尼吸振器隔振是減少振源對周圍物體的影響，但它不能減小振源本身的振動強度。而吸振器則能做到這一點。下圖是一個無阻尼動力減振器的系統(tǒng)。其中由質(zhì)量m1和彈簧k1組成的系統(tǒng)，稱為主系統(tǒng)；由質(zhì)量m2和彈簧k2組成的輔助系統(tǒng)，稱為吸振器。第三節(jié)無阻尼吸振器隔振是減少振源對周圍物體的影響，但它不能130第三節(jié)無阻尼吸振器顯然這是兩自由度的無阻尼受迫振動系統(tǒng)，系統(tǒng)的運動微分方程為由第二節(jié)解法得：式中：第三節(jié)無阻尼吸振器顯然這是兩自由度的無阻尼受迫振動系統(tǒng)，系131第三節(jié)無阻尼吸振器總結(jié)與說明1.當時，即等于系統(tǒng)的零點時，作用在主系統(tǒng)上的力有吸振器施加于主系統(tǒng)的力精確地與作用于主系統(tǒng)的激振力平衡。2.無阻尼吸振器是針對某個給定的工作頻率設(shè)計的，不適用變頻激勵。3.無阻尼吸振器的缺點是使單自由度系統(tǒng)成為兩自由度系統(tǒng)，系統(tǒng)有兩個共振頻率，增加了共振的可能性。第三節(jié)無阻尼吸振器總結(jié)與說明1.當時，即等于系132第四節(jié)有阻尼振動一、有阻尼自由振動設(shè)系統(tǒng)響應(yīng)：代入（1）得：由于{B}有非零解，則得到特征方程或者頻率方程：第四節(jié)有阻尼振動一、有阻尼自由振動設(shè)系統(tǒng)響應(yīng)：代入（1）得133第四節(jié)有阻尼振動一、有阻尼自由振動（續(xù)）解得四個特征值：代入到方程（2）中，得特征向量、固有振型、振幅比。振幅比：特征向量：方程通解為：第四節(jié)有阻尼振動一、有阻尼自由振動（續(xù)）解得四個特征值：134第四節(jié)有阻尼振動進一步討論一、有阻尼自由振動（續(xù)）從振動現(xiàn)象看，不會有正的實部。初始條件下的自由振動總會不斷減少。具體可分為三類：1.四個特征值都是負實數(shù)。

過阻尼或臨界阻尼，系統(tǒng)響應(yīng)不是周期振動，迅速衰減。2.四個特征值組成兩對具有負實部的共軛復(fù)根。記

欠阻尼，幅值按指數(shù)函數(shù)衰減的簡諧運動。3.兩個特征值為負實根，另兩個特征值為一對有負實部的共軛復(fù)根。第四節(jié)有阻尼振動進一步討論一、有阻尼自由振動（續(xù)）從振動現(xiàn)135第四節(jié)有阻尼振動

待定常數(shù)由初始條件確定。二、強迫振動的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)由于線性系統(tǒng)滿足疊加原理，且激勵有一般性?？捎脧?fù)指數(shù)法求解。以代換，并設(shè)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為歐拉公式：第四節(jié)有阻尼振動二、強迫振動的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)由于線性系統(tǒng)滿足疊加136第四節(jié)有阻尼振動可得到：阻抗矩陣

是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅，是響應(yīng)滯后于激勵力的相角。二、強迫振動的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(續(xù))第四節(jié)有阻尼振動可得到：阻抗矩陣是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的137第四節(jié)有阻尼振動因此系統(tǒng)在簡諧激勵力作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是：二、強迫振動的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(續(xù))例3-17求系統(tǒng)強迫振動的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。分析用復(fù)指數(shù)法求解,可得機械阻抗矩陣作業(yè)：3-19，3-18，3-7第四節(jié)有阻尼振動因此系統(tǒng)在簡諧激勵力作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是：二138第四節(jié)有阻尼振動二、強迫振動的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(續(xù))第四節(jié)有阻尼振動二、強迫振動的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(續(xù))139第四節(jié)有阻尼振動二、強迫振動的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(續(xù))例3-16已知：m1=m2=m，求系統(tǒng)強迫振動的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。分析復(fù)指數(shù)法求解。以代換，并設(shè)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為第四節(jié)有阻尼振動二、強迫振動的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(續(xù))例3-16已知140第四節(jié)有阻尼振動二、強迫振動的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(續(xù))第四節(jié)有阻尼振動二、強迫振動的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(續(xù))141第五節(jié)有阻尼吸振器無阻尼吸振器適用于激振頻率穩(wěn)定的情況。如果設(shè)備工作轉(zhuǎn)動變換范圍大，需用有阻尼吸振器兩自由度系統(tǒng)運動微分方程為解方程可得因而有第五節(jié)有阻尼吸振器無阻尼吸振器適用于激振頻率穩(wěn)定的情況。如142第五節(jié)有阻尼吸振器第五節(jié)有阻尼吸振器143第五節(jié)有阻尼吸振器進一步討論1.無阻尼動力吸振器為使主系統(tǒng)能安全運轉(zhuǎn)在遠離新共振點的轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，希望和相距較遠。因此，不能太小。第五節(jié)有阻尼吸振器進一步討論1.無144第五節(jié)有阻尼吸振器2.當或時進一步討論（續(xù)）3.無論為何值，S,T兩點是曲線必經(jīng)之點第五節(jié)有阻尼吸振器2.當或145第五節(jié)有阻尼吸振器進一步討論（續(xù)）第五節(jié)有阻尼吸振器進一步討論（續(xù)）146第四章單自由度機械系統(tǒng)動力學(xué)第四章單自由度機械系統(tǒng)動力學(xué)147機械運轉(zhuǎn)的三個階段：本章討論正動力學(xué)問題，即求解在施加于機械的真實外力作用下，機械系統(tǒng)的運動隨時間而變化的規(guī)律。第四章單自由度機械系統(tǒng)動力學(xué)機械運轉(zhuǎn)的三個階段：本章討論正動力學(xué)問題，即求解在施加于機械148階段速度特征能量特征啟動原動件的速度從零逐漸上升到開始穩(wěn)定的過程Wd-Wc=E2-E1>0

穩(wěn)定運行原動件速度保持常數(shù)或在正常工作速度的平均值上下作周期性的速度波動Wd-Wc=E2-E1=0停車原動件速度從正常工作速度值下降到零Wd-Wc=E2-E1<0三個運轉(zhuǎn)階段的特征：啟動階段——機械的速度產(chǎn)生周期性波動，會在運動副中產(chǎn)生附加動壓力，引起系統(tǒng)的振動階段速度特征能量特征啟動原動件的速度從零逐漸上升到開始穩(wěn)149在機械的啟動和停車階段，即過渡歷程中，會產(chǎn)生較大的動載荷。單自由度機械系統(tǒng)動力學(xué)分析的步驟：1、將實際的機械系統(tǒng)簡化為等效動力學(xué)模型；2、根據(jù)等效動力學(xué)模型列出系統(tǒng)的運動微分方程；3、應(yīng)用解析方法或數(shù)值方法求解系統(tǒng)運動微分方程，求出等效構(gòu)件的運動規(guī)律。在機械的啟動和停車階段，即過渡歷程中，會產(chǎn)生較大的動載荷。單1504.1作用在機械上的力一、系統(tǒng)受力驅(qū)動力:原動機發(fā)出傳給驅(qū)動構(gòu)件的力，做正功。生產(chǎn)阻力:完成有用功時,作用于機械上的阻力,此力作負功；重力:它隨重心向上運動或向下運動而作負功或正功，在一個循環(huán)內(nèi)做功為零。

重型機械要計及重力；

摩擦力:由運動副表面摩擦產(chǎn)生的有害阻力，作負功

一些效率較低的機構(gòu)則應(yīng)計入摩擦力的影響；在動力分析中主要涉及的力是驅(qū)動力和生產(chǎn)阻力

4.1作用在機械上的力一、系統(tǒng)受力驅(qū)動力:原動機發(fā)出傳給驅(qū)151常見的生產(chǎn)阻力有：

生產(chǎn)阻力為常數(shù)：如起重機的起吊重量；生產(chǎn)阻力隨位移而變化：如往復(fù)式壓縮機中活塞上作用的阻力；生產(chǎn)阻力隨速度而變化:如鼓風(fēng)機,離心泵的生產(chǎn)阻力；生產(chǎn)阻力隨時間而變化：如揉面機的生產(chǎn)阻力。驅(qū)動力與發(fā)動機的機械特性有關(guān)，有如下幾種情況：驅(qū)動力是常數(shù)：如以重錘作為驅(qū)動裝置的情況；驅(qū)動力是位移的函數(shù)：如用彈簧作驅(qū)動件時，驅(qū)動力與變形成正比；驅(qū)動力是速度的函數(shù)：如一般電動機，機械特性均表示為輸出力矩隨角速度變化的曲線。常見的生產(chǎn)阻力有：生產(chǎn)阻力為常數(shù)：如起重機的起吊重量；152二、三向異步發(fā)動機的機械特性額定功率PH（kw),額定轉(zhuǎn)速nH(r/min),同步轉(zhuǎn)速n0(r/min)最大轉(zhuǎn)矩Mk(N.m)額定轉(zhuǎn)矩MH(N.m)起動轉(zhuǎn)矩MD(N.m)DAC段是穩(wěn)定運轉(zhuǎn)階段,可以用二次曲線描述其機械特性；DA段是不穩(wěn)定運轉(zhuǎn)階段，可以一次直線描述三者關(guān)系：Mk=λMH；MD=λMH，λ是過載系數(shù)k二、三向異步發(fā)動機的機械特性額定功率PH（kw),最大轉(zhuǎn)矩M153機械特性曲線上四個特征點的坐標分別是：A(Mk,ωk)，B(MH,ωH)，C(0,ω0），D(M0,0)其中：機械特性曲線中的AC段是工作段，常用二次函數(shù)表示a,b,c機械特性曲線上四個特征點的坐標分別是：A(Mk,ωk)，B(154例題1：某用于起吊重物的電動葫蘆的電動機，型號為Y90L-4，額定功率PH=1.5kW，同步轉(zhuǎn)速n0=1500r/min，額定轉(zhuǎn)速nH=1410r/min,求該電動機在額定轉(zhuǎn)速附近的機械特性。解：在加載過程中，可采用直線形式的機械特性額定角速度和同步角速度：

額定轉(zhuǎn)矩：

將B、C兩點的值代入線性方程得：

則機械特性為：

例題1：某用于起吊重物的電動葫蘆的電動機，型號為Y90L-4155過程如下：（1）選取等效構(gòu)件，通常選主動構(gòu)件為等效構(gòu)件；（2）計算等效力，根據(jù)做功相等的原則進行；（3）計算等效質(zhì)量，根據(jù)動能相等的原則，將各個構(gòu)件向等效構(gòu)件進行等效；（4）對等效構(gòu)件列運動方程；（5）解方程。4.2單自由度系統(tǒng)等效力學(xué)模型對單自由度系統(tǒng)，可以采用等效力學(xué)模型來研究，將系統(tǒng)的動力學(xué)問題轉(zhuǎn)化為一個等效構(gòu)件的動力學(xué)問題。取做直線運動的構(gòu)件作為等效構(gòu)件時，作用于系統(tǒng)上的全部外力折算到該構(gòu)件上得到等效力，系統(tǒng)的全部質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量折算到該構(gòu)件上得到等效質(zhì)量取做定軸轉(zhuǎn)到的構(gòu)件作為等效構(gòu)件時，作用于系統(tǒng)上的全部外力折算到該構(gòu)件上得到等效力矩，系統(tǒng)的全部質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量折算到該構(gòu)件上得到等效轉(zhuǎn)動慣量過程如下：4.2單自由度系統(tǒng)等效力學(xué)模型對單自由度系統(tǒng)，可以156一、等效力和等效力矩高速沖槽機的六桿機構(gòu)單自由度系統(tǒng)的等效力學(xué)模型一、等效力和等效力矩高速沖槽機的六桿機構(gòu)單自由度系統(tǒng)的等效157設(shè)Fk（k=1,2…..m）和Mj(j=1,2,….n)分別為作用于機械上的外力和外力矩，根據(jù)功率相等有求出的等效力合等效力矩分別是：等效力和等效力矩可根據(jù)功率相等來折算ω—等效構(gòu)件的角速度

v—等效構(gòu)件的速度vk—外力Fk作用點的速度ωj—外力偶Mj作用構(gòu)件的角速度αk—Fk與vk之間的夾角等效力和等效力矩不僅與外力或外力矩有關(guān)，而且與傳動比ωj/v，vk/v有關(guān)。位移和轉(zhuǎn)角叫廣義坐標，速度和角速度叫廣義速度。設(shè)Fk（k=1,2…..m）和Mj(j=1,2,….n)分別158二、等效質(zhì)量和等效轉(zhuǎn)動慣量平面運動構(gòu)件的動能為：m—構(gòu)件質(zhì)量J—構(gòu)件相對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量vs—構(gòu)件質(zhì)心運動速度的大小ω—構(gòu)件的角速度整個機構(gòu)的動能等于所有構(gòu)件的動能之和根據(jù)能量相等有：二、等效質(zhì)量和等效轉(zhuǎn)動慣量平面運動構(gòu)件的動能為：m—構(gòu)件質(zhì)159得到等效轉(zhuǎn)動慣量與等效質(zhì)量分別為：式中，ω是等效構(gòu)件的轉(zhuǎn)動角速度；v是等效構(gòu)件的平動速度。得到等效轉(zhuǎn)動慣量與等效質(zhì)量分別為：式中，ω是等效構(gòu)件的轉(zhuǎn)動角160例題：在曲柄滑塊機構(gòu)中，設(shè)曲柄AB相對于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為J01，連桿BC的質(zhì)心位于S2，其質(zhì)量和相對于質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量為m2和J2,滑塊C的質(zhì)量為m3,求將構(gòu)件1、2、3轉(zhuǎn)化到曲柄AB上的等效轉(zhuǎn)動慣量。解：各構(gòu)件動能可分別表示為：

根據(jù)轉(zhuǎn)化前后系統(tǒng)動能相等有：求得：

例題：在曲柄滑塊機構(gòu)中，設(shè)曲柄AB相對于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)解：各構(gòu)件動161三、運動方程式描述等效構(gòu)件運動的方程式有兩種方法：能量形式的運動方程式力矩形式的運動方程式1、能量形式的運動方程式根據(jù)動能定理，等效力矩所作的功W等于等效構(gòu)件動能的增量ΔEk，即：ΔEk=W，若等效構(gòu)件由轉(zhuǎn)角φ1運動到φ2時，角速度由ω1變?yōu)棣?，則：—能量形式的運動方程Je1,Je2分別為等效構(gòu)件在位置φ1和φ2時的等效轉(zhuǎn)動慣量。三、運動方程式描述等效構(gòu)件運動的方程式有兩種方法：能量形式的1622、力矩形式的運動方程式根據(jù)動能定理，等效力矩所作的功W等于等效構(gòu)件動能的增量ΔEk，即：ΔEk=W，其微分形式為：—力矩形式的運動方程P—等效力矩的瞬時功率,P=Meω,Ek—等效構(gòu)件的動能2、力矩形式的運動方程式根據(jù)動能定理，等效力矩所作的功W等于163一、等效力矩是轉(zhuǎn)角的函數(shù)4.3運動方程的求解方法若機械所受到的主動力是機械位置的函數(shù)，即：由積分形式的動能定理有：可得角速度ω和轉(zhuǎn)角φ的函數(shù)關(guān)系一、等效力矩是轉(zhuǎn)角的函數(shù)4.3運動方程的求解方法若機械所164例題：在曲柄滑塊機構(gòu)中,已知等效力矩和曲柄轉(zhuǎn)角φ1之間的關(guān)系如表所示,若初始狀態(tài)為：求曲柄角速度ω隨φ1變化的關(guān)系。等效力矩與曲柄轉(zhuǎn)角關(guān)系例題：在曲柄滑塊機構(gòu)中,已知等效力矩和曲柄轉(zhuǎn)角φ1之間的關(guān)系165解：主要是求W(φ),用梯形法求此積分，可認為每10度的間隔內(nèi)等效力矩Me是直線變化的,如圖。每個小區(qū)間的長度為：φ若以Wi表示

處的,則有：解：主要是求W(φ),用梯形法求此積分，可認為每10度的間隔166二、等效轉(zhuǎn)動慣量是常數(shù)，而等效力矩是角速度的函數(shù)時運動方程的求解起重機起吊裝置，由電動機驅(qū)動的水泵和鼓風(fēng)機等都屬于等效力矩是角速度函數(shù)的情況。求解方法解析法：適用于等效力矩的函數(shù)易于積分的情況數(shù)值法：函數(shù)過于復(fù)雜且不易積分或等效力矩以一系列離散數(shù)值給出僅含定傳動比的機械，等效轉(zhuǎn)動慣量是常數(shù)。二、等效轉(zhuǎn)動慣量是常數(shù)，而等效力矩是角速度的函數(shù)時運動方程167一、解析法通常應(yīng)用力矩形式的運動方程，即：因等效轉(zhuǎn)動慣量是常數(shù)，上式簡化成：當有有一、解析法通常應(yīng)用力矩形式的運動方程，即：因等效轉(zhuǎn)動慣量是常168積分后得到：此時，等效力矩的二次函數(shù)表達式無根，表示機械沒有穩(wěn)定轉(zhuǎn)速，這個解只能出現(xiàn)在機械停機的過程中。角速度在啟動過程中逐漸增加，達到某一個值時，Me=0，這時的轉(zhuǎn)速為穩(wěn)定轉(zhuǎn)速。二、數(shù)值解法一般是用數(shù)值方法求微分方程，如龍格-庫塔法等。積分后得到：此時，等效力矩的二次函數(shù)表達式無根，表示機械沒有169三、等效力矩是轉(zhuǎn)角、角速度和時間的函數(shù)力矩形式的運動方程：改寫成：引入變換令則可利用龍格—庫塔法求解，求出各φ值下的ω三、等效力矩是轉(zhuǎn)角、角速度和時間的函數(shù)力矩形式的運動方程：170也可用加連桿機構(gòu)的方法來部分平衡機構(gòu)的慣性力。3、加平衡機構(gòu)法用加齒輪機構(gòu)的方法平衡慣性力時，平衡效果好，但采用平衡機構(gòu)將使結(jié)構(gòu)復(fù)雜、機構(gòu)尺寸加大，這是此方法的缺點。本章結(jié)束！也可用加連桿機構(gòu)的方法來部分平衡機構(gòu)的慣性力。3、加平衡機構(gòu)171第五章多自由度第五章多自由度172單自由度系統(tǒng)，用一個等效構(gòu)件來代替原來的機械的運動單自由度系統(tǒng)，用一個等效構(gòu)件來代替原來的機械的運動173

5.1引言—力學(xué)的發(fā)展過程在有些情況下，需要應(yīng)用二自由度或更多自由度的機械系統(tǒng)，如差動輪系、倒立擺（2自由度），機器手等裝置（多自由度）。5.1引言—力學(xué)的發(fā)展過程在有些情況下，需要應(yīng)用二自由174

本章采用的方法：拉格朗日方程（重點）

二自由度機械系統(tǒng)動力學(xué)不采用等效力學(xué)模型法，一般采用拉格朗日方程來建模。在學(xué)習(xí)拉格朗日方程之前，必須掌握一些重要的概念，如廣義坐標、廣義力、虛位移等。首先了解一些科學(xué)史觀，培養(yǎng)科學(xué)精神。本章采用的方法：拉格朗日方程（重點）二自由度機械系統(tǒng)動力175力學(xué)發(fā)展過程牛頓第一個100年,從牛頓的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》開始(1687),到18世紀后期。3個100年本階段還有伯努利、歐拉、達朗伯等人。力學(xué)發(fā)展過程牛頓第一個100年,從牛頓的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理176拉普拉斯本時期還有高斯、赫茲、雅克比、哈密頓等人。第二個100年,從拉格朗日的《分析力學(xué)》開始（1788）,到19世紀后期。拉普拉斯本時期還有高斯、第二個100年,從拉格朗日的《分析力177本時期的代表人物還有洛倫茲、海森堡,普朗克,圣維南等。愛因斯坦第三個100年,從愛因斯坦的狹義相對論開始（1881）,進入相對論力學(xué)和量子力學(xué)階段。本時期的代表人物還有愛因斯坦第三個100年,從愛因斯坦的狹義178微觀力學(xué)最新研究成果：１、在微觀領(lǐng)域內(nèi)，不確定性是固有的；２、觀察結(jié)果受觀察者精神作用的影響；３、前衛(wèi)科學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，研究成果與東方哲學(xué)（佛學(xué)）相吻合。微觀力學(xué)最新研究成果：179日本江本勝博士的水結(jié)晶試驗日本江本勝博士的水結(jié)晶試驗180機械系統(tǒng)動力學(xué)ppt課件181機械系統(tǒng)動力學(xué)ppt課件182機械系統(tǒng)動力學(xué)ppt課件183機械系統(tǒng)動力學(xué)ppt課件184機械系統(tǒng)動力學(xué)ppt課件185機械系統(tǒng)動力學(xué)ppt課件1865.2自由度與廣義坐標廣義坐標：能夠完全確定系統(tǒng)狀態(tài)的一組坐標叫做廣義坐標。自由度（DOF)：能夠完全確定系統(tǒng)狀態(tài)的一組坐標的數(shù)量叫自由度。一般情況下廣義坐標數(shù)量等于自由度數(shù)。設(shè)系統(tǒng)廣義坐標為：則任一點位置矢量可表示為：可以寫成投影形式：5.2自由度與廣義坐標廣義坐標：自由度（DOF)：一般情況187將位置矢量對時間求導(dǎo)，即可得到質(zhì)點的速度表達式：其中，叫廣義速度。將位置矢量對時間求導(dǎo)，即可得到質(zhì)點的速度表達式：其中，叫廣義188對系統(tǒng)的運動在幾何位置上的限制稱為約束。如單擺的約束方程為：球擺的約束方程為：關(guān)于約束約束分類：1.幾何約束與速度約束約束方程中只含有質(zhì)點的坐標而不含有質(zhì)點的速度時為幾何約束；約束方程中含有質(zhì)點的速度時為速度約束。2.定常約束與非定常約束約束方程中不含時間t時為定常約束；約束方程中含有時間t時為非定常約束。對系統(tǒng)的運動在幾何位置上的限制稱為約束。如單擺的約束方程為：189(1)幾何約束(Geometricconstraint)；完整約束與非完整約束完整約束(Holonomicconstraint)包括：

(2)含時幾何約束(Timedependentconstraint)。(1)幾何約束(Geometricconstraint190另外，可以積分的速度約束也是完整約束。例如：直線純滾動的圓盤，速度滿足如下約束關(guān)系：為速度約束，但可以積分，因此還是完整約束。非完整約束為：含有速度的約束且約束方程不可積分。本課程只考慮完整約束，而且通常只考慮定常約束情況另外，可以積分的速度約束也是完整約束。例如：直線純滾動的圓盤191在理想約束條件下，系統(tǒng)平衡的充分必要條件是所有的主動力在虛位移上作的元功之和為零，即：5.3虛位移原理與廣義力一、虛位移原理也可以寫成分解形式，即在理想約束條件下，系統(tǒng)平衡的充分必要條件是所有的主動力在虛位192說明：（1）虛位移也叫可能位移，是在約束允許的條件下可能實現(xiàn)的無限小位移.與時間無關(guān)，可用變分符號表示。變分與微分很相似，但對時間凍結(jié)。（3）理想約束的約束力在虛位移上不做功，所以約束力不在方程中出現(xiàn)。（2）力在虛位移上作的功叫虛功，因此虛位移原理也叫虛功原理。說明：（3）理想約束的約束力在虛位移上不做功，所以約束力（2193二、虛位移原理的廣義坐標形式求變分得：代入虛功方程得：叫廣義力。則有：二、虛位移原理的廣義坐標形式求變分得：代入虛功方程得：叫廣194由于廣義坐標是相互獨立的，廣義虛位移是任意的，所以有即，在理想約束下，系統(tǒng)平衡的充分必要條件是所有的廣義力為零。由于廣義坐標是相互獨立的，廣義虛位移是任意的，所以有即，在理195三、廣義力計算將廣義力寫成計算公式：Xk、Yk、Zk—主動力Fk在坐標軸上的投影；Xk、yk、zk—Fk作用點的坐標1、利用定義計算為求坐標對qi的偏導(dǎo)數(shù),要將坐標表達成廣義坐標qi的函數(shù)三、廣義力計算將廣義力寫成計算公式：Xk、Yk、Zk—主動196對于保守系統(tǒng)，如果作用在系統(tǒng)上的主動力均為有勢力，則當有勢力已知時，主動力的投影可寫成用勢能表達的形式：廣義力Qi可表達為：對保守系統(tǒng)來說，對應(yīng)于有勢力的廣義力等于系統(tǒng)勢能對廣義坐標的偏導(dǎo)數(shù)的負值對于保守系統(tǒng)，如果作用在系統(tǒng)上的主動力均為有勢力，廣義力Qi1972、利用虛功間接求廣義力對于n個自由度系統(tǒng)，n個廣義坐標對應(yīng)于n個獨立的廣義虛位移。若要求廣義力Qi，則：令而讓其余n-1個廣義虛位移均設(shè)為零，則系統(tǒng)中所有主動力在相應(yīng)虛位移中所做的虛功之和用表示，則有2、利用虛功間接求廣義力對于n個自由度系統(tǒng)，n個廣義坐標對應(yīng)198對于二自由度系統(tǒng)，若能將主動力虛功之和直接表達成與兩個廣義虛位移之間的關(guān)系，則表達式中廣義虛位移前的系數(shù)就是對應(yīng)的廣義力，即此時,q1,q2均不為零.工程實際中，虛位移轉(zhuǎn)化為實位移，虛速度轉(zhuǎn)化為實速度，如對一具體的二個自由度機械系統(tǒng)能直接求出主動力的功率與廣義速度的關(guān)系式則，廣義速度前的系數(shù)就是對應(yīng)的廣義力。對于二自由度系統(tǒng)，若能將主動力虛功之和直接表達成與兩個廣義虛199例：圖示系統(tǒng)中,桿OA和AB以鉸鏈相連,O端為圓柱絞，B端自由,桿重及摩擦不計，桿長OA=l1，AB=l2，設(shè)二桿均在鉛垂面內(nèi),OA桿與鉛垂線成φ1角，桿AB與鉛垂線成φ2角.今在點A和B分別作用鉛垂向下的力F1和F2，求在圖示位置時的廣義力。例：圖示系統(tǒng)中,桿OA和AB以鉸鏈相連,O端為圓柱絞，200此為具有二個自由度的雙擺系統(tǒng)，選取φ1和φ2為廣義坐標，對應(yīng)的廣義虛位移為φ1和φ2，由定義得：因求出相應(yīng)的偏導(dǎo)數(shù)，代入廣義力公式有：解：1、定義法求廣義力此為具有二個自由度的雙擺系統(tǒng)，選取φ1和φ2為廣義坐標，對應(yīng)2012、用虛功方法求Q1和Q2，可先令φ2=0，可得：由于代入上式得：再令φ1=0，可得：2、用虛功方法求Q1和Q2，可先令φ2=0，可得：由于代入202機械系統(tǒng)動力學(xué)ppt課件2035.4拉格朗日方程（第二類)拉格朗日方程是分析力學(xué)的核心內(nèi)容，其方程為：

為系統(tǒng)的動能，為系統(tǒng)的勢能，為廣義坐標，n為系統(tǒng)的廣義坐標數(shù)。

用拉格朗日方程建立系統(tǒng)運動微分方程的步驟如下：（1）確定系統(tǒng)自由度數(shù)，選取廣義坐標；（2）計算系統(tǒng)動能Ek、勢能Ep;（3）計算系統(tǒng)的廣義力Q；（4）將動能、勢能、廣義力代入拉氏方程；（5）求解方程。5.4拉格朗日方程（第二類)拉格朗日方程是分析力學(xué)的核心內(nèi)204利用拉氏定理求雙擺的運動微分方程：1,取φ1和φ2為廣義坐標，即q1=φ1,q2=φ2

2、計算系統(tǒng)的動能利用拉氏定理求雙擺的運動微分方程：1,取φ1和φ2為廣義坐標2053)計算系統(tǒng)的勢能及廣義力由于系統(tǒng)僅受二質(zhì)點重力作用，故此系統(tǒng)為保守系統(tǒng)。若取φ1=φ2=0作為零位置，在任意位置的系統(tǒng)勢能為：求得廣義力為：3)計算系統(tǒng)的勢能及廣義力由于系統(tǒng)僅受二質(zhì)點重力作用，故此系206二自由度系統(tǒng)的拉氏方程為：二自由度系統(tǒng)的拉氏方程為：207非線性微分方程，只能求數(shù)值解非線性微分方程，只能求數(shù)值解208當雙擺作微幅振動時，則上式可簡化為：當雙擺作微幅振動時，則上式可簡化為：209例：拉格朗日方程的應(yīng)用。質(zhì)量為m的質(zhì)點在一半徑為a的圓周上運動，此圓又以等角速度ω繞其鉛垂直徑AB轉(zhuǎn)動，求此質(zhì)點的運動微分方程和使角速度ω保持不變的力矩M。解：設(shè)圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量為J，則其動能為：質(zhì)點對環(huán)的相對速度為牽連速度為aωsinθ,質(zhì)點的動能為：例：拉格朗日方程的應(yīng)用。質(zhì)量為m的質(zhì)點在一半徑為a的圓周上運210廣義力為：質(zhì)點的動能為：總動能：廣義力為：質(zhì)點的動能為：總動能：211于是對的拉格朗日方程為：整理可得：于是對的拉格朗日方程為：整理可得：212例：圖示橢圓擺由物塊M1和擺錘M2用直桿鉸接而成。M1可沿光滑水平面滑動，M2則可在鉛垂面內(nèi)擺動。設(shè)M1、M2的質(zhì)量分別為m1、m2，桿長l，其質(zhì)量忽略不計，且在開始時整個系統(tǒng)的質(zhì)心速度為零，試求擺的運動方程。解：將滑塊和擺均視為質(zhì)點,系統(tǒng)有兩個自由度,用兩個廣義坐標x1和表示,于是有：例：圖示橢圓擺由物塊M1和擺錘M2用直桿鉸接而成。M1可沿光213系統(tǒng)的拉氏方程為：系統(tǒng)的動能和勢能分別為：系統(tǒng)的拉氏方程為：系統(tǒng)的動能和勢能分別為：214代入拉氏方程，且有：得：—橢圓擺的運動方程代入拉氏方程，且有：得：—橢圓擺的運動方程2155.4二自由度機械系統(tǒng)動力學(xué)方程機械工程中遇見的二自由度系統(tǒng)經(jīng)常是機構(gòu)，現(xiàn)以平面機構(gòu)為例說明建立二自由度機械系統(tǒng)運動微分方程的一般方法。設(shè)平面機構(gòu)具有N個運動構(gòu)件，二自由度系統(tǒng)需有二個主動構(gòu)件才能使所有構(gòu)件有確定的運動。若主動件為兩個轉(zhuǎn)動構(gòu)件，一般選取這兩構(gòu)件的角位移為廣義坐標。二自由度系統(tǒng)的拉格朗日方程為：5.4二自由度機械系統(tǒng)動力學(xué)方程機械工程中遇見的二自由度系216一、系統(tǒng)動能的確定對平面機構(gòu)來說,運動形式有三種:平動,轉(zhuǎn)動和平面運動。設(shè)構(gòu)架j的質(zhì)心sj的速度為vsj，其角速度為，質(zhì)量為mj，繞質(zhì)心sj的轉(zhuǎn)動慣量為Jj，則此構(gòu)件動能為：具有N個運動構(gòu)件的平面機構(gòu)的動能為：具體步驟如下：一、系統(tǒng)動能的確定對平面機構(gòu)來說,運動形式有三種:平動,轉(zhuǎn)2171.位移分析通過各構(gòu)件幾何位置關(guān)系，將各運動構(gòu)件的角位移和構(gòu)件上k點的坐標用廣義坐標q1,q2表示，即：2.速度分析將上式對時間求導(dǎo)的角速度和速度分別是：若k點是質(zhì)心Sj，則：1.位移分析通過各構(gòu)件幾何位置關(guān)系，將各運動構(gòu)件的角位移218如果xsj，ysj及作為q1,q2函數(shù)的表達式已知時，則可計算出如果xsj，ysj及作為q1,q2函數(shù)的表達式已2193.系統(tǒng)動能E的計算式令：系統(tǒng)的動能可表達為：3.系統(tǒng)動能E的計算式令：系統(tǒng)的動能可表達為：2204.等效轉(zhuǎn)動慣量J11、J22、J12J11與具有廣義坐標q1的主動件1有關(guān),J22與具有廣義坐標q2的主動件2有關(guān),而J12同時與兩個主動件有關(guān).J11、J22、J12均為廣義坐標q1，q2的函數(shù)，與廣義速度無關(guān)。4.等效轉(zhuǎn)動慣量J11、J22、J12J11與具有廣義坐標q221二廣義力的確定當廣義坐標q1、q2為角位移時廣義力Q1、Q2具有力矩的量綱。對二自由度系統(tǒng)，常用虛功法求廣義力。令虛位移求出系統(tǒng)在虛位移q1下所有主動力所作虛功總和(W)1令二廣義力的確定當廣義坐標q1、q2為角位移時廣義力Q1、222三、運動微分方程代入拉氏方程得：常用的常微分方程的近似數(shù)值解法為四階龍格—庫塔法三、運動微分方程代入拉氏方程得：常用的常微分方程的近似數(shù)值223例：圖示為一倒立擺桿與一水平運動臺車鉸接而成的機械系統(tǒng)，擺桿為長2l，質(zhì)量m的均質(zhì)桿，一端安裝在具有粘性阻尼系數(shù)例：圖示為一倒立擺桿與一水平運動臺車鉸接而成的機械系統(tǒng)，擺桿224機械系統(tǒng)動力學(xué)ppt課件225機械系統(tǒng)動力學(xué)ppt課件226機械系統(tǒng)動力學(xué)ppt課件227機械系統(tǒng)動力學(xué)ppt課件228機械系統(tǒng)動力學(xué)ppt課件229機械系統(tǒng)動力學(xué)ppt課件230機械系統(tǒng)動力學(xué)ppt課件231施加控制力：施加控制力：232機械系統(tǒng)動力學(xué)ppt課件2333.6二自由度機械手動力學(xué)問題3.6二自由度機械手動力學(xué)問題2343.6二自由度機械手動力學(xué)問題（續(xù)）3.6二自由度機械手動力學(xué)問題（續(xù)）2353.6二自由度機械手動力學(xué)問題（續(xù)）3.6二自由度機械手動力學(xué)問題（續(xù)）2363.6二自由度機械手動力學(xué)問題（續(xù)）3.6二自由度機械手動力學(xué)問題（續(xù)）2373.6二自由度機械手動力學(xué)問題（續(xù)）3.6二自由度機械手動力學(xué)問題（續(xù)）2383.6二自由度機械手動力學(xué)問題（續(xù)）3.6二自由度機械手動力學(xué)問題（續(xù)）2393.6二自由度機械手動力學(xué)問題（續(xù)）3.6二自由度機械手動力學(xué)問題（續(xù)）2403.6二自由度機械手動力學(xué)問題（續(xù)）3.6二自由度機械手動力學(xué)問題（續(xù)）2413.6二自由度機械手動力學(xué)問題（續(xù)）3.6二自由度機械手動力學(xué)問題（續(xù)）2423.6二自由度機械手動力學(xué)問題（續(xù)）3.6二自由度機械手動力學(xué)問題（續(xù)）2433.6二自由度機械手動力學(xué)問題（續(xù)）3.6二自由度機械手動力學(xué)問題（續(xù)）2443.6二自由度機械手動力學(xué)問題（續(xù)）3.6二自由度機械手動力學(xué)問題（續(xù)）2453.6二自由度機械手動力學(xué)問題（續(xù)）3.6二自由度機械手動力學(xué)問題（續(xù)）2463.6二自由度機械手動力學(xué)問題（續(xù)）3.6二自由度機械手動力學(xué)問題（續(xù)）2473.6二自由度機械手動力學(xué)問題（續(xù)）3.6二自由度機械手動力學(xué)問題（續(xù)）2483.6二自由度機械手動力學(xué)問題（續(xù)）3.6二自由度機械手動力學(xué)問題（續(xù)）249本章總結(jié)了解牛頓力學(xué)的不足；掌握廣義坐標和廣義力的計算方法；掌握拉格郎日方程的建立方法；簡單的力學(xué)應(yīng)用。本章總結(jié)了解牛頓力學(xué)的不足；250本章結(jié)束！本章結(jié)束！251第5章多自由度系統(tǒng)的數(shù)值方法

有許多數(shù)值方法，可以使我們得到系統(tǒng)特征值和特征向量的近似值，這對解決許多工程問題是十分有用的第5章多自由度系統(tǒng)的數(shù)值方法2525.1Rayleigh法在第四章，我們列出了n自由度無阻尼系統(tǒng)特征值問題的方程系統(tǒng)的特征值和特征向量為它們滿足方程（5.1-1)，即5.1Rayleigh法在第四章，我們列出了n自由度無阻253方程(5.1-2)兩邊各左乘以,并除以純量,得方程表明，分子與第r階固有模態(tài)的勢能有關(guān)，分母與第r階固有模態(tài)的動能有關(guān)。如果有一任意的向量，令方程(5.1-2)兩邊各左乘以,并除以純量254式中是一個純量，它不僅決定于矩陣和，而且還決定于向量。矩陣和反映系統(tǒng)的特性，而向量是任意的。因此，對于給定的系統(tǒng)，只決定于向量。純量叫做Rayleigh商。顯然，如果向量與系統(tǒng)的特征向量一致，則Rayleigh商就是其對應(yīng)的式中是一個純量，它不僅決定于矩陣255系統(tǒng)的特征向量，形成n維空間中一組線性獨立的完備系。因而同一空間中的任一向量，可用特征向量的線性組合來表示，即式中是常數(shù)。把式（5.1-5)代入式（5.1-4），并考慮到系統(tǒng)的特征向量256有：方程(5.1-6)表明，是系統(tǒng)特征值，即系統(tǒng)固有頻率平方的加權(quán)平均值。如果任意向量與系統(tǒng)的第r階特征向量很接近，意味著系數(shù)與相比較是很小的，則有有：方程(5.1-6)表明，是系統(tǒng)特征值257式中。方程(5.1-6)的分子和分母分別除以，得式中。方程(5.1-6)的分子和分母258方程(5.1-8)右邊的級數(shù)是一個二階小量。當向量與的誤差為一階時，Rayleigh商與特征值的誤差為二階。這表明，Rayleigh商在特征向量的鄰域中有穩(wěn)定的值。通常，Rayleigh法用于計算系統(tǒng)的基頻或第一階固有頻率