數值天氣預報第三章-review課件

第三章

數值計算方案第三章數值計算方案1數值天氣預報的主要內容數值天氣預報的主要內容2

目錄3.1差分方法概論3.2時間積分方案3.3空間差分格式與大氣中有關物理過程3.4平流方程的差分格式及誤差分析3.5非線性方程的計算穩(wěn)定性目錄3.1差分方法概論3.2時間積分方案3.3空間3

目錄3.1差分方法概論3.2時間積分方案3.3空間差分格式與大氣中有關物理過程3.4平流方程的差分格式及誤差分析3.5非線性方程的計算穩(wěn)定性（1）離散化方法的簡介（2）有限差分離散化方法（3）差分方程的構成（4）差分近似的相容性（5）差分近似的精確性（6）差分近似的收斂性（7）差分近似的穩(wěn)定性目錄3.1差分方法概論3.2時間積分方案3.3空間4

通常的大氣數值模式的控制方程組是一組復雜的非線性偏微分方程組，不可能找到一個普遍的解析求解方法，只能采用數值方法求離散方程的近似解。通常的大氣數值模式的控制方程組是一組復雜的非線性偏微分方5離散的方法一般分為兩類：

（1）有限差分法、有限元法以及特征線法等（2）各種解析與離散相結合的方法，如譜方法、變分法以及應用FFT方法

數值天氣預報第三章-reviewppt課件6常用的數值方法有：

（1）差分方法：采用差商代替微商，使得偏微分方程組變成差分方程組，可以用代數方法求解；

（2）譜方法：利用適當的基函數（如球諧函數），把解展開成有限項的線性組合，將一個變量預測的問題轉化為預報展開系數的問題；

（3）有限元方法：把偏微分方程問題變成相應的泛函極小問題，以變分原理為基礎，又吸收差分方法的思想而發(fā)展起來的新方法。

常用的數值方法有：7譜方法－－－－大氣譜模式

這種方法通常來形成全球或者半球區(qū)域的數值模式

（a)

為球面函數

為歸一化的締合Legendre多項式

數值天氣預報第三章-reviewppt課件8譜方法－－－－大氣譜模式利用(a)的展開方法把所有的預報變量在球面上展開，帶入大氣的基本運動方程組，對譜系數進行預報，然后通過逆變換得到預報場。這種方法的計算量很大。

由于邊界比較難于處理，因此很少用來做區(qū)域的數值天氣預報和模擬。用有限項譜展開表示連續(xù)函數

線性微分運算可針對基函數直接進行

非線性項采取變換方法（譜模式得以實現的關鍵）精度表示：截取的展開項數截斷方式：菱形截斷——構造簡單

三角截斷——各向同性（經緯向相同分辨率）利用(a)的展開方法把所有的預報變量在球面上展開，帶入大氣的9譜方法－－－－大氣譜模式精度表示：截取的展開項數截斷方式：菱形截斷——構造簡單

三角截斷——各向同性（經緯向相同分辨率）精度表示：截取的展開項數10譜方法譜方法11有限差分法－－大氣格點模式差分方法：就是在離散的網格點上求出微分方程近似解的方法。差商代替微商降低微分的階數將微分方程變成代數方程有誤差哦~差分方法：就是在離散的網格點上求出微分方程近似解的方法。差商12微分方程差分方程連續(xù)離散無限有限微分方程差分方程連續(xù)離散無限有限13一、有限差分離散化解域的離散化與差分方程的建立在大氣運動中，平流過程是很重要的，表征其特征的一位線性平流方程為式子中u是兩個自變量的函數u(x,t)，c為常數。采用有限差分格式求解時，首先要對計算域進行有規(guī)則的劃分，分割的交點叫做網格點，網格點距離△x叫格距。如果給定邊界條件及初始時刻氣象要素值，就可以計算出在這些格點上以后任一時刻的u(x,t)值。一、有限差分離散化14

離散化的網格（網格覆蓋）：

正方形，正三角形，正六邊形，多邊形等

三角形精度較好但算法比較復雜，正六邊形的精度與正方形的大體相當，算法比正方形的復雜。因此，通常使用正方形的網格。離散化的網格（網格覆蓋）：15（2）矩形網格的建立記得不要隨意取值哦~（2）矩形網格的建立記得不要隨意取值哦~16（2）網格的建立設計算區(qū)域為二維矩形區(qū)域，將它劃分為網格：這樣可以用網格點標號(n,m,k)來表示時空域(x,y,t)中點的位置。（2）網格的建立設計算區(qū)域為二維矩形區(qū)域，將它劃分為網格：這172.微分方程的離散化及其誤差分析用網格點標號(n,m,k)來表示時空域(x,y,t)中點的位置。由于氣象場具有很好的光滑性，因此可以函數f在x點展開為泰勒級數的形式。以一元函數f(x)為例有：方法：泰勒展開法、直接逼近法、待定系數法、分裂差分法常用的泰勒展開法：2.微分方程的離散化及其誤差分析用網格點標號(n,m,k)182.微分方程的離散化及其誤差分析其中O（Δx）表示余項。引入格點標號，則可以寫成：前差格式后差格式中央差分格式四階精度差分格式這種四階精度的差分格式利用到了n周圍四個網格點的函數值，增加了計算量，同時也增加了邊界條件的處理，因此經常采用的是中央差分格式。2.微分方程的離散化及其誤差分析其中O（Δx）表示余項。引入192.微分方程的離散化及其誤差分析用差商代替微商所產生的誤差稱為截斷誤差?？梢圆捎萌缦路椒▉砉烙嫿財嗾`差：設f為諧波函數f(x)=Asin(μx),那么中央差商與微商的比值為：由表可見，對于波長為4Δx以下的波，誤差很大，要求相對誤差低于10%，波長須在8Δx以上。2.微分方程的離散化及其誤差分析用差商代替微商所產生的誤差稱202.微分方程的離散化及其誤差分析對于二階導數，可以類似的得到：對于二元函數的拉普拉斯算子，則有如下的差分格式：對時間域也可以做類似的離散化。實際的大氣物理量場是在時空域里的，一般我們把時域標號放在上標位置，而把空域標號放在下標位置以區(qū)分時域和空域。2.微分方程的離散化及其誤差分析對于二階導數，可以類似的得到212.微分方程的離散化及其誤差分析2.微分方程的離散化及其誤差分析22數值天氣預報第三章-reviewppt課件23針對一個微分方程中的每一個微分算子，可以給出若干個差分格式，從而形成不同的差分方程。對于一個已知的函數而言，在某個點微分值是唯一確定的，采用了不同的差分格式后，由于不同的差分格式具有不同的內在性質和與原來微分算子有不同的近似程度，呈現不同的數值效應。微分值數值解數值解數值解數值解數值解數值解針對一個微分方程中的每一個微分算子，可以給出若干個差分格式，24目錄離散化方法差分格式差分格式差分格式差分格式差分格式差分格式差分格式差分格式差分格式差分格式差分格式差分格式差分格式差分格式差分格式差分格式差分格式差分方法差分方程你看~差分格式性質的討論多有必要~目錄離散化方法差分格式差分格式差分格式差分格式差分格式差分格25我的選擇靠譜嗎？差分格式如何選？選擇標準是什么？我的選擇靠譜嗎？差分格式如何選？選擇標準是什么？26差分格式的基本性質要使得采用的差分格式得到的數值解能夠很好地反映真實的物理現象，仔細分析各種格式的有效性、可靠性以及長期數值積分的收斂性顯得尤為重要。下面我們給出差分格式的幾種基本性質。相容性精確性收斂性穩(wěn)定性耗散性。。。。差分格式的基本性質要使得采用的差分格式得到的數值解能夠很好地27差分格式的基本性質：1.相容性相容性在時間步長和空間步長趨于零的極限條件下，差分方程是否逼近微分方程當△t,△x->0，R->0,則差分方程與微分方程是相容的或是一致的差分系統(tǒng)和微分方程相協調差分格式的基本性質：1.相容性相容性在時間步長和空間步長趨于28差分格式的基本性質：1.相容性相容性差分格式的基本性質：1.相容性相容性29差分格式的基本性質：2.精確性精確性微分方程的真解差分方程的準確解差分方程的近似解“同志們！我們今天大踏步的后退是為了明天大踏步的前進！”

—引自《南征北戰(zhàn)》和《不見不散》接地氣~誤差誤差差分格式的基本性質：2.精確性精確性微分方程的真解差分方程的30差分格式的基本性質：2.精確性設u為微分方程的真解，uin為差分方程的準確解，u*為差分方程的數值解。在實際計算中，由于計算的舍入誤差，我們的不到差分方程的準確解uin，只能得到差分方程的數值解u*,因此實際的誤差為u-u*=(u-uin)+(uin-u*)截斷誤差舍入誤差u-uin是否隨著網格距和時間步長趨于0而趨近于0，稱為解的收斂性問題。uin-u*是否隨著網格距和時間步長趨于0而在整個求解區(qū)域內保持有界，稱之為解的穩(wěn)定性問題。差分方程代替微分方程的近似造成的計算機計算精度造成的精確性收斂性穩(wěn)定性差分格式的基本性質：2.精確性設u為微分方程的真解，uin為31差分格式的基本性質：3.收斂性差分格式的相容性并不能保證其收斂性收斂性一維線性平流方程的準確解是F(x,t)=F(x-ut,0)，它表明(x,t)空間任意一點P的值只由初始點Q的值確定，Q點是通過P點的特征線(t-tp=x-xp)與X軸的交點，對于差分方程，P點的解也存在一個依賴區(qū)，不難推知它就是圖中AB線段內的點，直線AP和BP的斜率分別為r1=△t/△x和r2=-△t/△x而直線PQ的斜率等于r0=1/u。如果1/u>=△t/△x，則Q點落入AB內，反之Q將落到AB外。

如果讓△t和△x均趨于0但始終保持|u△t/△x|>=1,Q點的初值與AB中點的初值毫無關系，也就是說差分方程的解和微分方程的解無關，不論△t和△x取得如何小，差分解也不會收斂到微分解。因此，相容并不能保證收斂。

差分格式的基本性質：3.收斂性差分格式的相容性并不能保證其收32差分格式的基本性質：3.收斂性收斂性差分格式的基本性質：3.收斂性收斂性33差分格式的基本性質：4.穩(wěn)定性穩(wěn)定性

拉克斯(Lax)等價定理：對于一個適定的初值問題，如果差分格式是相容的，那么計算的穩(wěn)定性是收斂性的充分必要條件。

相容性穩(wěn)定性收斂性相容性、收斂性及其穩(wěn)定性的關系？差分格式的基本性質：4.穩(wěn)定性穩(wěn)定性拉克斯(Lax)等價定34差分格式的基本性質：4.穩(wěn)定性穩(wěn)定性在差分方法求數值解的過程中，計算是按時間逐層進行的。在計算第n+1層上的uin+1時，要用到第n層的uin。因此，計算uin時的舍入誤差必然會影響第n+1層以及更后層次上的值。

如果這種誤差的影響保持一定或者越來越小，那么就能在一定的精度下保證數值解的質量，否則，這種計算的誤差隨著計算的進展變得越來越大，數值被歪曲的越來越嚴重，無法計算下去，出現這種情況與所選用的差分格式有關。差分格式的基本性質：4.穩(wěn)定性穩(wěn)定性在差分方法求數值35差分格式的基本性質：4.穩(wěn)定性穩(wěn)定性1.對于充分小的△t,若數值解一直是初值的有界函數，則稱該差分格式是穩(wěn)定的；2.在真解有界的情況下，一個初始擾動、在數值求解過程中隨著時間積分步數n趨于無窮而無窮增大（無界），則稱該差分格式是不穩(wěn)定的;3.隨著n的增加，如果累計的舍入誤差總是可以忽略不計，則該差分格式是穩(wěn)定的。uin-u*是否隨著網格距和時間步長趨于0而在整個求解區(qū)域內保持有界，稱之為解的穩(wěn)定性問題。穩(wěn)定性的三種提法差分格式的基本性質：4.穩(wěn)定性穩(wěn)定性1.對于充分小的△t,若36差分格式的基本性質：4.穩(wěn)定性穩(wěn)定性

如果初始時刻或者計算過程中有一個誤差，那么這個誤差會不會增長起來？對一維的線性平流方程的時間微分項采用前插格式，空間微分項也采用前差格式，則有如下差分方程：假定在初始時刻n=n0點有一個誤差ε，其余各點及計算過程中不再產生誤差，考察誤差ε將如何傳播。不難推得誤差ε滿足如下差分方程：差分格式的基本性質：4.穩(wěn)定性穩(wěn)定性如果初始時刻或者計37差分格式的基本性質：4.穩(wěn)定性穩(wěn)定性由公式可知，隨著時間的增加，誤差也增長起來，這種現象就是計算不穩(wěn)定現象。因此可以這樣來定義計算穩(wěn)定性：差分方程的初始誤差ε0，對于任意時間t=kΔt總有

則稱差分格式是穩(wěn)定的。其中C為與Δt和格距d無關的參數，

是

的εk某種意義下的范數。顯然一個不穩(wěn)定的差分格式得到的解是不可能收斂到微分方程的準確解的，因此設計穩(wěn)定的差分格式就顯得非常重要。差分格式的基本性質：4.穩(wěn)定性穩(wěn)定性由公式可知，隨著時間的增38計算穩(wěn)定性的分析方法

通常分析差分格式的穩(wěn)定性有以下幾種方法：（1）直接證明差分格式的有界性；（2）采用能量法來證明差分格式的穩(wěn)定性；（3）采用諧波分析的方法。其中采用諧波分析的方法最為有效和使用方便。馮紐曼(von-Neumann)方法計算穩(wěn)定性的分析方法通常分析差分格式的穩(wěn)定性有以下幾種方法39諧波法測試差分格式的有界性振幅波數諧波法測試差分格式的有界性振幅波數40諧波法測試差分格式的有界性諧波法測試差分格式的有界性41諧波法測試差分格式的有界性諧波法測試差分格式的有界性42諧波法測試差分格式的有界性諧波法測試差分格式的有界性43諧波法測試差分格式的有界性諧波法測試差分格式的有界性44諧波法測試差分格式的有界性諧波法測試差分格式的有界性45諧波法測試差分格式的有界性1928年，Courant等對普遍的差分方程給出了線性穩(wěn)定性判據，所以線性穩(wěn)定性判據通常簡稱為CFL判據。數值預報模式方程組是一組非線性偏微分方程，關于非線性不穩(wěn)定的問題將在下面討論。諧波法測試差分格式的有界性1928年，Courant等對普遍46諧波法測試差分格式的有界性諧波法測試差分格式的有界性47諧波法測試差分格式的有界性諧波法測試差分格式的有界性48諧波法測試差分格式的有界性諧波法測試差分格式的有界性49普遍意義下諧波法分析法差分方程為：普遍意義下諧波法分析法差分方程為：50相容性：差分系統(tǒng)在某種程度上近似于微分系統(tǒng)精確性：計算誤差問題，截斷誤差和舍入誤差收斂性：差分方程的解能否收斂到微分方程的解，相容不能保證收斂穩(wěn)定性：當n趨于無窮時數值解如果無窮增大則不穩(wěn)定守恒性：差分格式應該盡可能的滿足某些物理量的守恒性質耗散性：差分格式的解盡管在穩(wěn)定性的保證下能收斂于源方程的準確解,但是在準確劇變的位置常常呈現光滑現象,這種格式稱為具有耗散性色散性：在準確劇烈變化的地方還常常呈現微小的“高頻振蕩”,這種格式稱為具有色散性（頻散性）差分格式的基本性質相容性：差分系統(tǒng)在某種程度上近似于微分系統(tǒng)差分格式的基本性質51

目錄3.1差分方法概論3.2時間積分方案3.3空間差分格式與大氣中有關物理過程3.4平流方程的差分格式及誤差分析3.5非線性方程的計算穩(wěn)定性（1）時間積分方法（2）時間積分格式二時間層積分格式（非迭代格式）二時間層積分格式（迭代格式）三時間層格式目錄3.1差分方法概論3.2時間積分方案3.3空間52

時間積分方案數值預報和模擬都需要進行長時間的數值積分，因此選擇穩(wěn)定、計算精度高同時又能節(jié)省計算時間的時間積分方案顯得尤為重要時間積分方案數值預報和模擬都需要進行長時間的數值積分，因此53

一、時間積分方案一、時間積分方案54

一、時間積分方案一、時間積分方案55波動振幅u隨時間如何變化？即穩(wěn)定性問題波動振幅u隨時間如何變化？即穩(wěn)定性問題56預報量△u/△t和F如何設計，這是個值得考慮的問題~~二、時間積分格式微分差分預報量△u/△t和F如何設計，這是個值得考慮的問題~~二、時57三類時間積分格式二時間層的積分格式（迭代格式）三時間層的積分格式每種格式的性質。。性質。。。性質。。二時間層的積分格式（非迭代格式）三類時間積分格式二時間層的積分格式（迭代格式）三時間層的積分58二、時間積分格式顯式格式是指用前一個時間層的函數值求出后一個時間層函數值的計算方案；隱式格式是指在差分方程的右端還包含有后一個時間層的函數值，該函數值是求解時的未知量；迭代格式是指要構建一個預測校正系統(tǒng)，也即方程的右端也包含一個(n+1)時間層的變量，這個變量利用顯式的預測系統(tǒng)來計算出，也即方程的右端也包含(n+1)時間層的變量，這個變量利用顯式的預測系統(tǒng)來計算出，因此迭代格式在每一個時間層的計算都是分為兩步或者三步進行，每一步實際都是顯式的。二、時間積分格式顯式格式是指用前一個時間層的函數值求出后一個59二、時間積分格式1、二時間層的積分格式（非迭代格式）二、時間積分格式1、二時間層的積分格式（非迭代格式）60“Hi,隱式格式先生，你這個家伙有點復雜，你有什么好？”“Hi,伙計~我很真實，也很穩(wěn)定”“Hi,隱式格式先生，你這個家伙有點復雜，你有什么好？”“H61二、時間積分格式通用形式如下：式中α+β=1當α=1,β=0時為歐拉格式;當α=0,β=1時為后差格式;當α=β=1/2時,則是梯形格式.二、時間積分格式通用形式如下：式中α+β=162根據振動類方程通式可以寫成

用分析穩(wěn)定性的方法,把改寫成得到增幅因子G的表示式

二、時間積分格式根據振動類方程通式可以寫成二、時間積分格式63二、時間積分格式我說我穩(wěn)定吧二、時間積分格式我說我穩(wěn)定吧64增幅因子G的表示式定義差分解每個時步?t的位相改變是θ,那么θ的表示為

二、時間積分格式這樣，我們就用θ與ωΔt之比