復變函數第六章共形映射習題課件

11一、重點與難點重點：難點：分式線性變換及其映射特點分式線性變換與初等函數相結合，求一些簡單區(qū)域之間的映射2一、重點與難點重點：難點：分式線性變換及其映射特點分式線性變二、內容提要共形映射分式線性映射一一對應性保角性保圓性幾個初等函數構成的映射分式線性映射的確定對確定區(qū)域的映射保對稱性冪函數指數函數3二、內容提要共形映射分式線性映射一一對應性保角性保圓性幾個初1.的幾何意義正向之間的夾角.41.的幾何意義正向之間的夾角.4的一條有向光滑曲線之間的夾角.5的一條有向光滑曲線之間的夾角.52)轉動角的大小與方向跟曲線C的形狀與方向無關.3)保角性方向不變的性質,此性質稱為保角性.夾角在其大小和方向上都等同于經過62)轉動角的大小與方向跟曲線C的形狀與方向3)保角性

4）伸縮率方向無關.所以這種映射又具有伸縮率的不變性.74）伸縮率方向無關.所以這種映射又具有伸縮率的不變性2.共形映射（保角映射）也稱為第一類共形映射.僅保持夾角的絕對值不變而方向相反的映射,稱為第二類共形映射質:(1)保角性;(2)伸縮率不變性.82.共形映射（保角映射）也稱為第一類共形映射.僅保持夾角的絕稱為分式線性映射.任一分式線性映射都可看成是由下列三種基本的分式映射復合而成:

3.分式線性映射9稱為分式線性映射.任一分式線性映射都可看成是由下列三種基本的分式線性映射的性質1）分式線性映射在擴充復平面上一一對應.2）分式線性映射在擴充復平面上具有保角性.10分式線性映射的性質1）分式線性映射在擴充復平面上一一對應

2.如果給定的圓周或直線上沒有點映射成無窮遠點,那末它就映射成半徑為有限的圓周;如果有一個點映射成無窮遠點,那末它就映射成直線.

分式線性映射將擴充z平面上的圓周映射成擴充w平面上的圓周,即具有保圓性.3）分式線性映射在擴充復平面上具有保圓性注意：1.此時把直線看作是經過無窮遠點的圓周.112.如果給定的圓周或直線上沒有點映射成無窮遠點4）分式線性映射具有保對稱性.這一性質稱為保對稱性.124）分式線性映射具有保對稱性.這一性質稱為保對稱性.124.唯一決定分式線性映射的條件交比不變性134.唯一決定分式線性映射的條件交比不變性13判別方法:對確定區(qū)域的映射在分式線性映射下,C的內部不是映射成方法1在分式線性映射下,如果在圓周C內任取若繞向相反,則C方法214判別方法:對確定區(qū)域的映射在分式線性映射下,圓周的弧所圍成的區(qū)域映射成一圓弧與一直線所2)當二圓周上有一點映射成無窮遠點時,這二圍成的區(qū)域.3)當二圓交點中的一個映射成無窮遠點時,這二圓周的弧所圍成的區(qū)域映成角形區(qū)域.1)當二圓周上沒有點映射成無窮遠點時,這二圓周的弧所圍成的區(qū)域映射成二圓弧所圍成的區(qū)域.分式線性映射對圓弧邊界區(qū)域的映射:15圓周的弧所圍成的區(qū)域映射成一圓弧與一直線所2)當二圓周上有5.幾個初等函數所構成的映射映射特點:把以原點為頂點的角形域映射成以原點為頂點的角形域,但張角變成為原來的n倍.

165.幾個初等函數所構成的映射映射特點:把以原點為頂點的特殊地:因此將角形域的張角拉大（或縮?。r，就可利用冪函數

所構成的共形映射.017特殊地:因此將角形域的張角拉大（或縮小）時，就可利01700如果要把帶形域映射成角形域,常利用指數函數.0特殊地:0映射特點:1800如果要把帶形域映射成角形域,常利用指數函數.0特殊地:三、典型例題解1利用分式線性映射不變交比和對稱點19三、典型例題解1利用分式線性映射不變交比和對稱點19由交比不變性知20由交比不變性知20解2由對稱點的不變性知，利用不變對稱點21解2由對稱點的不變性知，利用不變對稱點21解3將所求映射設為利用典型區(qū)域映射公式22解3將所求映射設為利用典型區(qū)域映射公式22例2求一個分式線性映射它將圓映成圓,且滿足條件解因映成的映射為23例2求一個分式線性映射2424例3求一個分式線性映射它將圓映成圓，且滿足條件

解25例3求一個分式線性映射它與互為反函數，26與互為反函數，26故27故27解28解28例5試證明在映射下,互相正交的直線族與依此映射成互相正交的直線族與圓族證29例5試證明在映射下,互相正交的由于過原點的直線與以原點為心的圓正交，故命題得證.[證畢]30由于過原點的直線與以原點為心的圓正交，故命題得證.[證畢]3例