彈塑性力學(xué)(浙大課件)

工程彈塑性力學(xué)浙江大學(xué)建筑工程學(xué)院工程彈塑性力學(xué)浙江大學(xué)建筑工程學(xué)院1緒論0.1課程研究對象、研究任務(wù)0.2基本假定0.3幾個(gè)基本概念0.4參考書目緒論0.1課程研究對象、研究任務(wù)20.1彈塑性力學(xué)的研究對象和任務(wù)彈塑性力學(xué):研究可變形固體受到外荷載、溫度變化及邊界約束變動(dòng)等作用時(shí)、彈塑性變形和應(yīng)力狀態(tài)的科學(xué)。固體力學(xué)的一個(gè)分支學(xué)科研究對象:對實(shí)體結(jié)構(gòu)、板殼結(jié)構(gòu)、桿件的進(jìn)一步分析。PPP0.1彈塑性力學(xué)的研究對象和任務(wù)彈塑性力學(xué):研究可變形固3研究方法:材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué):簡化的數(shù)學(xué)模型研究任務(wù):彈塑性力學(xué):較精確的數(shù)學(xué)模型建立并給出用材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)方法無法求解的問題的理論和方法。給出初等理論可靠性與精確度的度量。學(xué)習(xí)目的:確定一般工程結(jié)構(gòu)的彈塑性變形與內(nèi)力的分布規(guī)律。確定一般工程結(jié)構(gòu)的承載能力。為研究一般工程結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度、振動(dòng)、穩(wěn)定性打下理論基礎(chǔ)。研究方法:材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué):簡化的數(shù)學(xué)模型研究任務(wù):彈塑性40.2基本假定1).假定固體材料是連續(xù)介質(zhì)——連續(xù)性假定2).物體為均勻的各向同性的3).物體的變形屬于小變形4).物體原來是處于一種無應(yīng)力的自然狀態(tài)0.2基本假定1).假定固體材料是連續(xù)介質(zhì)——連續(xù)性假定50.3幾個(gè)基本概念張量的概念只需指明其大小即足以被說明的物理量，稱為標(biāo)量溫度、質(zhì)量、力所做的功除指明其大小還應(yīng)指出其方向的物理量，稱為矢量物體的速度、加速度在討論力學(xué)問題時(shí)，僅引進(jìn)標(biāo)量和矢量的概念是不夠的如應(yīng)力狀態(tài)、應(yīng)變狀態(tài)、慣性矩、彈性模量等張量關(guān)于三維空間，描述一切物理恒量的分量數(shù)目可統(tǒng)一地表示成：M=rn=3n標(biāo)量:n=0,零階張量矢量:n=1,一階張量應(yīng)力,應(yīng)變等:n=2,二階張量二階以上的張量已不可能在三維空間有明顯直觀的幾何意義。0.3幾個(gè)基本概念張量的概念只需指明其大小即足以被說明的60.3幾個(gè)基本概念為了書寫上的方便，在張量的記法中，都采用下標(biāo)字母符號(hào)來表示和區(qū)別該張量的所有分量。這種表示張量的方法，就稱為下標(biāo)記號(hào)法。下標(biāo)記號(hào)法:不重復(fù)出現(xiàn)的下標(biāo)符號(hào),在其變程N(yùn)(關(guān)于三維空間N＝3)內(nèi)分別取數(shù)1，2，3，…，N重復(fù)出現(xiàn)的下標(biāo)符號(hào)稱為啞標(biāo)號(hào),取其變程N(yùn)內(nèi)所有分量，然后再求和，也即先羅列所有各分量，然后再求和。自由標(biāo)號(hào):啞標(biāo)號(hào):0.3幾個(gè)基本概念為了書寫上的方便，在張量的記法中，都采70.3幾個(gè)基本概念當(dāng)一個(gè)下標(biāo)符號(hào)在一項(xiàng)中出現(xiàn)兩次時(shí)，這個(gè)下標(biāo)符號(hào)應(yīng)理解為取其變程N(yùn)中所有的值然后求和，這就叫做求和約定。求和約定:dij記號(hào)：Kroneker-delta記號(hào)0.3幾個(gè)基本概念當(dāng)一個(gè)下標(biāo)符號(hào)在一項(xiàng)中出現(xiàn)兩次時(shí)，這個(gè)80.3幾個(gè)基本概念凡是同階的兩個(gè)或兩個(gè)以上的張量可以相加(減），并得到同階的一個(gè)新張量，法則為：張量的計(jì)算:1、張量的加減第一個(gè)張量中的每一個(gè)分量乘以第二個(gè)張量中的每一個(gè)分量，從而得到一個(gè)新的分量的集合—新張量，新張量的階數(shù)等于因子張量的階數(shù)之和。2、張量的乘法張量導(dǎo)數(shù)就是把張量的每個(gè)分量都對坐標(biāo)參數(shù)求導(dǎo)數(shù)。3、張量函數(shù)的求導(dǎo)0.3幾個(gè)基本概念凡是同階的兩個(gè)或兩個(gè)以上的張量可以相加90.4主要參考書目《FoundationsofSolidMechanics》1、Y.C.Fung(馮元楨)2、楊桂通3、徐秉業(yè)《Afirstcourseincontinuummechanics》《固體力學(xué)導(dǎo)論》《連續(xù)介質(zhì)力學(xué)導(dǎo)論》《彈塑性力學(xué)》《應(yīng)用彈塑性力學(xué)》0.4主要參考書目《FoundationsofSol10第一章彈塑性力學(xué)基礎(chǔ)1.1應(yīng)力張量1.2偏量應(yīng)力張量1.3應(yīng)變張量1.4應(yīng)變速率張量1.5應(yīng)力、應(yīng)變Lode參數(shù)第一章彈塑性力學(xué)基礎(chǔ)1.1應(yīng)力張量111.1應(yīng)力張量～力學(xué)的語言yxzO正應(yīng)力剪應(yīng)力過C點(diǎn)可以做無窮多個(gè)平面K不同的面上的應(yīng)力是不同的到底如何描繪一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)?1).一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)1.1應(yīng)力張量～力學(xué)的語言yxzO正應(yīng)力剪應(yīng)力過C點(diǎn)可以12一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)yxzOtyxtyzsytyxtyzsytzxtzysztxytxzsxtxytxzsxtzxtzyszPABC1.1應(yīng)力張量一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可由過該點(diǎn)的微小正平行六面體上的應(yīng)力分量來確定。應(yīng)力張量數(shù)學(xué)上，在坐標(biāo)變換時(shí)，服從一定坐標(biāo)變換式的九個(gè)數(shù)所定義的量叫做二階張量。用張量下標(biāo)記號(hào)法下標(biāo)1、2、3表示坐標(biāo)x1、x2、x3即x、y、z方向(1.1)(1.2)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)yxzOtyxtyzsytyxtyzsytzx131.1應(yīng)力張量2).一點(diǎn)斜面上的應(yīng)力(不計(jì)體力)i：自由下標(biāo)；j為求和下標(biāo)（同一項(xiàng)中重復(fù)出現(xiàn)）。斜截面外法線n的方向余弦:令斜截面ABC的面積為1(1.3)(1.4)1.1應(yīng)力張量2).一點(diǎn)斜面上的應(yīng)力(不計(jì)體力)i：自141.1應(yīng)力張量斜截面OABC上的正應(yīng)力:斜截面OABC上的剪應(yīng)力:(1.5)(1.6)1.1應(yīng)力張量斜截面OABC上的正應(yīng)力:斜截面OABC上151.1應(yīng)力張量3).主應(yīng)力及其不變量主平面:剪應(yīng)力等于零的截面主應(yīng)力--λ:主平面上的正應(yīng)力代入采用張量下標(biāo)記號(hào)Kronekerdelta記號(hào)(1.7)(1.8)(1.9)1.1應(yīng)力張量3).主應(yīng)力及其不變量主平面:剪應(yīng)力等于零161.1應(yīng)力張量dij記號(hào)：Kroneker-delta記號(hào)方向余弦滿足條件：采用張量表示聯(lián)合求解l1,l2,l3：l1,l2,l3不全等于0(1.10)(1.11)(1.12)(1.13)1.1應(yīng)力張量dij記號(hào)：Kroneker-delta記171.1應(yīng)力張量聯(lián)合求解l1,l2,l3：行列式展開后得：簡化后得(1.14)(1.15)式中:是關(guān)于λ的三次方程，它的三個(gè)根，即為三個(gè)主應(yīng)力，其相應(yīng)的三組方向余弦對應(yīng)于三組主平面。主應(yīng)力大小與坐標(biāo)選擇無關(guān)，故J1,J2,J3也必與坐標(biāo)選擇無關(guān)。1.1應(yīng)力張量聯(lián)合求解l1,l2,l3：行列式展開后得181.1應(yīng)力張量若坐標(biāo)軸選擇恰與三個(gè)主坐標(biāo)重合：(1.16)主剪應(yīng)力面：平分兩主平面夾角的平面，數(shù)值為：(1.17)主剪應(yīng)力面(t1)213t1213t11.1應(yīng)力張量若坐標(biāo)軸選擇恰與三個(gè)主坐標(biāo)重合：(1.16191.1應(yīng)力張量最大最小剪應(yīng)力：取主方向?yàn)樽鴺?biāo)軸取向,則一點(diǎn)處任一截面上的剪應(yīng)力的計(jì)算式:消去l3：由極值條件1.1應(yīng)力張量最大最小剪應(yīng)力：取主方向?yàn)樽鴺?biāo)軸取向,則一201.1應(yīng)力張量最大最小剪應(yīng)力：第一組解：第二組解：第三組解：它們分別作用在與相應(yīng)主方向成45o的斜截面上因?yàn)椋?.1應(yīng)力張量最大最小剪應(yīng)力：第一組解：第二組解：第三組211.1應(yīng)力張量4).八面體上的應(yīng)力s1s2s3沿主應(yīng)力方向取坐標(biāo)軸，與坐標(biāo)軸等傾角的八個(gè)面組成的圖形，稱為八面體。(1.19)八面體的法線方向余弦：八面體平面上應(yīng)力在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影分別為：八面體（每個(gè)坐標(biāo)象限1個(gè)面）或(1.20)1.1應(yīng)力張量4).八面體上的應(yīng)力s1s2s3沿主應(yīng)力方221.1應(yīng)力張量4).八面體上的應(yīng)力s1s2s3八面體面上的正應(yīng)力為:八面體面上的剪應(yīng)力為：八面體（每個(gè)坐標(biāo)象限1個(gè)面）(1.23)(1.21)八面體面上的應(yīng)力矢量為：(1.22)平均正應(yīng)力1.1應(yīng)力張量4).八面體上的應(yīng)力s1s2s3八面體面上231.1應(yīng)力張量例題:已知一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)由以下一組應(yīng)力分量所確定,即x＝3,y＝0,z＝0,xy＝1,yz

＝2,zx

＝1,應(yīng)力單位為MPa。試求該點(diǎn)的主應(yīng)力值。代入式(1.14)后得:解:解得主應(yīng)力為:1.1應(yīng)力張量例題:已知一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)由以下一組應(yīng)力分量241.2應(yīng)力偏量張量1).應(yīng)力張量分解物體的變形(1.32)體積改變形狀改變由各向相等的應(yīng)力狀態(tài)引起的材料晶格間的移動(dòng)引起的球應(yīng)力狀態(tài)/靜水壓力彈性性質(zhì)塑性性質(zhì)球形應(yīng)力張量偏量應(yīng)力張量1.2應(yīng)力偏量張量1).應(yīng)力張量分解物體的變形(1.32251.2應(yīng)力偏量張量1).應(yīng)力張量分解(1.31)球形應(yīng)力張量偏量應(yīng)力張量其中:平均正應(yīng)力/靜水壓力1.2應(yīng)力偏量張量1).應(yīng)力張量分解(1.31)球形應(yīng)力261.2應(yīng)力偏量張量2).主偏量應(yīng)力和不變量(1.31)二階對稱張量其中:剪應(yīng)力分量始終沒有變化主偏量應(yīng)力(1.33)1.2應(yīng)力偏量張量2).主偏量應(yīng)力和不變量(1.31)二271.2應(yīng)力偏量張量證明偏應(yīng)力狀態(tài)的主方向與原應(yīng)力狀態(tài)的主方向重合例:設(shè)原應(yīng)力狀態(tài)主方向的方向余弦為l1,l2,l3，則由式(1.9)得證明：顯然，方向余弦l1,l2,l3將由式(a)中的任意兩式和l12+l22+l32=1所確定。(a)若設(shè)偏應(yīng)力狀態(tài)主方向的方向余弦為l1’,l2’,l3’，則由式(1.9)同樣得：顯然，方向余弦l1’,l2’,l3’將由式(b)中的任意兩式和l1’2+l2’2+l3’2=1所確定。(b)由于:l1=l1’;l2=l2’;l3=l3’可見式(a)與式(b)具有相同的系數(shù)，且已知l12+l22+l32=l1’2+l2’2+l3’2=11.2應(yīng)力偏量張量證明偏應(yīng)力狀態(tài)的主方向與原應(yīng)力狀281.2應(yīng)力偏量張量2).主偏量應(yīng)力和不變量(1.33)偏應(yīng)力狀態(tài)的主方向與原應(yīng)力狀態(tài)的主方向一致,主值為:滿足三次代數(shù)方程式：(1.34)式中J1’,J2’,J3’為不變量(1.35)1.2應(yīng)力偏量張量2).主偏量應(yīng)力和不變量(1.33)偏291.2應(yīng)力偏量張量(1.40)利用J1’=0，不變量J2’還可寫為:(1.38)1.2應(yīng)力偏量張量(1.40)利用J1’=0，不變量J2301.2應(yīng)力偏量張量(1.43)3).等效應(yīng)力(應(yīng)力強(qiáng)度)在彈塑性力學(xué)中，為了使用方便，將乘以系數(shù)后，稱之為等效應(yīng)力(1.41)簡單拉伸時(shí):“等效”的命名由此而來。各正應(yīng)力增加或減少一個(gè)平均應(yīng)力，等效應(yīng)力的數(shù)值不變，這也說明等效應(yīng)力與球應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)1.2應(yīng)力偏量張量(1.43)3).等效應(yīng)力(應(yīng)力強(qiáng)度)311.2應(yīng)力偏量張量(1.42)4).等效剪應(yīng)力(剪應(yīng)力強(qiáng)度)“等效”的命名由此而來。1.2應(yīng)力偏量張量(1.42)4).等效剪應(yīng)力(剪應(yīng)力強(qiáng)32例題：已知結(jié)構(gòu)內(nèi)某點(diǎn)的應(yīng)力張量如右式，試求該點(diǎn)的球形應(yīng)力張量、偏量應(yīng)力張量、等效應(yīng)力及主應(yīng)力數(shù)值。

解：1.2應(yīng)力偏量張量例題：已知結(jié)構(gòu)內(nèi)某點(diǎn)的應(yīng)力張量如右式，試求該點(diǎn)的球形應(yīng)力張量33等效應(yīng)力:1.2應(yīng)力偏量張量等效應(yīng)力:1.2應(yīng)力偏量張量34關(guān)于主應(yīng)力的方程為:由主應(yīng)力求等效應(yīng)力:1.2應(yīng)力偏量張量關(guān)于主應(yīng)力的方程為:由主應(yīng)力求等效應(yīng)力:1.2應(yīng)力偏量張351.3應(yīng)變張量1).一點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)位移剛性位移變形位移物體內(nèi)各點(diǎn)的位置雖然均有變化，但任意兩點(diǎn)之間的距離卻保持不變。物體內(nèi)任意兩點(diǎn)之間的相對距離發(fā)生了改變。要研究物體在外力作用下的變形規(guī)律，只需要研究物體內(nèi)各點(diǎn)的相對位置變動(dòng)情況，也即研究變形位移位移函數(shù)位置坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)1.3應(yīng)變張量1).一點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)位移剛性位移變形位移物體361.3應(yīng)變張量微小六面體單元的變形當(dāng)物體在一點(diǎn)處有變形時(shí)，小單元體的尺寸(即單元體各棱邊的長度)及形狀(即單元體各面之間所夾直角)將發(fā)生改變。由于變形很微小，可以認(rèn)為兩個(gè)平行面在坐標(biāo)面上的投影只相差高階微量，可忽略不計(jì)。1.3應(yīng)變張量微小六面體單元的變形當(dāng)物體在一點(diǎn)處有變形時(shí)371.3應(yīng)變張量微小六面體單元的變形B點(diǎn)位移分量D點(diǎn)位移分量A點(diǎn)位移分量∠xOy的改變量:1.3應(yīng)變張量微小六面體單元的變形B點(diǎn)位移分量D點(diǎn)位移分381.3應(yīng)變張量變形后AB邊長度的平方:M點(diǎn)沿X方向上的線應(yīng)變:(a)(b)(c)代入(a)得:略去高階微量同理，M點(diǎn)沿Y方向上的線應(yīng)變:1.3應(yīng)變張量變形后AB邊長度的平方:M點(diǎn)沿X方向上的線391.3應(yīng)變張量同理:∠xOy的改變量，即剪應(yīng)變:1.3應(yīng)變張量同理:∠xOy的改變量，即剪應(yīng)變:401.3應(yīng)變張量對角線AC線的轉(zhuǎn)角:剛性轉(zhuǎn)動(dòng)1.3應(yīng)變張量對角線AC線的轉(zhuǎn)角:剛性轉(zhuǎn)動(dòng)411.3應(yīng)變張量(1.44)1).一點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)工程應(yīng)變分量：(幾何方程/柯西幾何關(guān)系)1.3應(yīng)變張量(1.44)1).一點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)工程應(yīng)變分量421.3應(yīng)變張量(1.45)1).一點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)受力物體內(nèi)某點(diǎn)處所取無限多方向上的線應(yīng)變與剪應(yīng)變(任意兩相互垂直方向所夾直角的改變量)的總和，就表示了該點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)。定義:應(yīng)變張量:(1.46)1.3應(yīng)變張量(1.45)1).一點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)受力物體內(nèi)某431.3應(yīng)變張量2).主應(yīng)變及其不變量由全微分公式:M點(diǎn)的位移分量N點(diǎn)的位移分量表示剛性轉(zhuǎn)動(dòng)，不引起應(yīng)變，計(jì)算應(yīng)變時(shí)可忽略。1.3應(yīng)變張量2).主應(yīng)變及其不變量由全微分公式:M點(diǎn)的441.3應(yīng)變張量在主應(yīng)變空間中:主平面法線方向的線應(yīng)變主應(yīng)變:1.3應(yīng)變張量在主應(yīng)變空間中:主平面法線方向的線應(yīng)變主應(yīng)451.3應(yīng)變張量類似于應(yīng)力張量:eij:二階對稱張量。主應(yīng)變e1,e2,

e3滿足：

ei3-I1ei2-I2ei

-I3

=0

I1、I2、I3

為應(yīng)變張量不變量。其中:(1.47)(1.48)平均正應(yīng)變:1.3應(yīng)變張量類似于應(yīng)力張量:eij:二階對稱張量。主461.3應(yīng)變張量偏量應(yīng)變張量:(1.52)eij的主軸方向與eij

的主方向一致，主值為:e1=e1-e，e2=e2-e，e3=e3-e滿足三次代數(shù)方程式：(1.50)(1.51)I2’應(yīng)用較廣,又可表達(dá)為:1.3應(yīng)變張量偏量應(yīng)變張量:(1.52)eij的主軸方471.3應(yīng)變張量等效應(yīng)變(應(yīng)變強(qiáng)度):(1.54)等效剪應(yīng)變(剪應(yīng)變強(qiáng)度):(1.55)1.3應(yīng)變張量等效應(yīng)變(應(yīng)變強(qiáng)度):(1.54)等效剪應(yīng)481.4應(yīng)變速率張量一般來說物體變形時(shí)，體內(nèi)任一點(diǎn)的變形不但與坐標(biāo)有關(guān)，而且與時(shí)間也有關(guān)。如以u、v、w表示質(zhì)點(diǎn)的位移分量，則:設(shè)應(yīng)變速率分量為:質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度分量1.4應(yīng)變速率張量一般來說物體變形時(shí)，體內(nèi)任一點(diǎn)的變形不491.4應(yīng)變速率張量線應(yīng)變速率在小變形情況下，應(yīng)變速率分量與應(yīng)變分量之間存在有簡單關(guān)系:剪應(yīng)變速率1.4應(yīng)變速率張量線應(yīng)變速率在小變形情況下，應(yīng)變速率分量501.4應(yīng)變速率張量在小變形情況下的應(yīng)變速率張量:(1.56)可縮寫為在一般情況下，應(yīng)變速率主方向與應(yīng)變主方向不重合，且在加載過程中發(fā)生變化。1.4應(yīng)變速率張量在小變形情況下的應(yīng)變速率張量:(1.5511.4應(yīng)變速率張量應(yīng)變增量:應(yīng)變增量由位移增量微分得：由于時(shí)間度量的絕對值對塑性規(guī)律沒有影響，因此dt可不代表真實(shí)時(shí)間，而是代表一個(gè)加載過程。因而用應(yīng)變增量張量來代替應(yīng)變率張量更能表示不受時(shí)間參數(shù)選擇的特點(diǎn)。(1.57)應(yīng)變微分由兩時(shí)刻應(yīng)變差得：泰勒級數(shù)展開高階微量忽略高階微量1.4應(yīng)變速率張量應(yīng)變增量:應(yīng)變增量由位移增量微分得：由521.5應(yīng)力和應(yīng)變的Lode參數(shù)一、應(yīng)力莫爾圓（表示一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的圖形）:任一斜面上應(yīng)力位于陰影線內(nèi)ms=Q2A/Q1A=(Q2Q3-Q1Q2)/Q1Q3AOsts3s1s2O3O2O1Q3Q2Q1如果介質(zhì)中某點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力的大小為已知，便可以在-平面內(nèi)繪出相應(yīng)的應(yīng)力圓。1.5應(yīng)力和應(yīng)變的Lode參數(shù)一、應(yīng)力莫爾圓（表示一點(diǎn)應(yīng)531.5應(yīng)力和應(yīng)變的Lode參數(shù)一、應(yīng)力莫爾圓（表示一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的圖形）:AOsts3s1s2O3O2O1Q3Q2Q1(1.61)1.5應(yīng)力和應(yīng)變的Lode參數(shù)一、應(yīng)力莫爾圓（表示一點(diǎn)應(yīng)541.5應(yīng)力和應(yīng)變的Lode參數(shù)一、應(yīng)力莫爾圓（表示一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的圖形）:AOsts3s1s2O3O2O1Q3Q2Q1(1.63)式(1.63)表明，當(dāng)一點(diǎn)處于空間應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，過該點(diǎn)的任一斜截面上的一對應(yīng)力分量、一定落在分別以(1-2)／2、(2-3)／2、(3-1)／2為半徑的三個(gè)圓的圓周所包圍的陰影面積(包括三個(gè)圓周)之內(nèi)。1.5應(yīng)力和應(yīng)變的Lode參數(shù)一、應(yīng)力莫爾圓（表示一點(diǎn)應(yīng)551.5應(yīng)力和應(yīng)變的Lode參數(shù)若在一應(yīng)力狀態(tài)上再疊加一個(gè)球形應(yīng)力狀態(tài)(各向等拉或各向等壓)，則應(yīng)力圓的三個(gè)直徑并不改變，只是整個(gè)圖形沿橫軸發(fā)生平移。應(yīng)力圓在橫軸上的整體位置取決于球形應(yīng)力張量；而各圓的大小(直徑)則取決于偏應(yīng)力張量，與球形應(yīng)力張量無關(guān)。一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)中的主應(yīng)力按同一比例縮小或增大(應(yīng)力分量的大小有改變，但應(yīng)力狀態(tài)的形式不變)，則應(yīng)力圓的三個(gè)直徑也按同一比例縮小或增大，即應(yīng)力變化前后的兩個(gè)應(yīng)力圓是相似的。這種情況相當(dāng)于偏量應(yīng)力張量的各分量的大小有了改變，但張量的形式保持不變。

1.5應(yīng)力和應(yīng)變的Lode參數(shù)若在一應(yīng)力狀態(tài)上再疊加一個(gè)561.5應(yīng)力和應(yīng)變的Lode參數(shù)二、應(yīng)力Lode參數(shù):幾何意義:應(yīng)力圓上Q2A與Q1A之比，或兩內(nèi)圓直徑之差與外圓直徑之比。球形應(yīng)力張量對塑性變形沒有明顯影響，因而常把這一因素分離出來，而著重研究偏量應(yīng)力張量。為此，引進(jìn)參數(shù)——Lode參數(shù)：Lode參數(shù)：表征Q2在Q1與Q3之間的相對位置，反映中間主應(yīng)力對屈服的貢獻(xiàn)。AOsts3s1s2O3O2O1Q3Q2Q1(1.64)1.5應(yīng)力和應(yīng)變的Lode參數(shù)二、應(yīng)力Lode參數(shù):幾何571.5應(yīng)力和應(yīng)變的Lode參數(shù)應(yīng)力Lode參數(shù)的物理意義：1、與平均應(yīng)力無關(guān)；2、其值確定了應(yīng)力圓的三個(gè)直徑之比；3、如果兩個(gè)應(yīng)力狀態(tài)的Lode參數(shù)相等，就說明兩個(gè)應(yīng)力狀態(tài)對應(yīng)的應(yīng)力圓是相似的，即偏量應(yīng)力張量的形式相同；Lode參數(shù)是排除球形應(yīng)力張量的影響而描繪應(yīng)力狀態(tài)特征的一個(gè)參數(shù)。它可以表征偏應(yīng)力張量的形式。(1.65)1.5應(yīng)力和應(yīng)變的Lode參數(shù)應(yīng)力Lode參數(shù)的物理意義581.5應(yīng)力和應(yīng)變的Lode參數(shù)簡單應(yīng)力狀態(tài)的Lode參數(shù)：Q3OQ1Q2stAQ1OQ2Q3stA單向壓縮(s1=s2=0,s3<0)單向拉伸(s1>0,s2=s3=0)ms=1ms=-11.5應(yīng)力和應(yīng)變的Lode參數(shù)簡單應(yīng)力狀態(tài)的Lode參數(shù)591.5應(yīng)力和應(yīng)變的Lode參數(shù)簡單應(yīng)力狀態(tài)的Lode參數(shù)：Q2OQ1Q3st純剪(s1>0,s2=0,s3=-s1):ms=01.5應(yīng)力和應(yīng)變的Lode參數(shù)簡單應(yīng)力狀態(tài)的Lode參數(shù)601.5應(yīng)力和應(yīng)變的Lode參數(shù)為表征偏量應(yīng)變張量的形式，引入應(yīng)變Lode參數(shù)：三、應(yīng)變Lode參數(shù):如果兩種應(yīng)變狀態(tài)的me相等，則表明它們所對應(yīng)的應(yīng)變莫爾圓是相似的，也就是說，偏量應(yīng)變張量的形式相同。幾何意義：應(yīng)變莫爾圓上Q2A與Q1A之比(1.66)1.5應(yīng)力和應(yīng)變的Lode參數(shù)為表征偏量應(yīng)變張量的形式，611.6彈性力學(xué)的基本方程應(yīng)力分量滿足平衡方程：一、平衡方程(1.67)1.6彈性力學(xué)的基本方程應(yīng)力分量滿足平衡方程：一、平衡方621.6彈性力學(xué)的基本方程彈性體的應(yīng)力--應(yīng)變關(guān)系服從虎克定律二、物理方程(1.72)1.6彈性力學(xué)的基本方程彈性體的應(yīng)力--應(yīng)變關(guān)系服從虎克631.6彈性力學(xué)的基本方程x對y，y對x求兩次偏導(dǎo)，有：三、應(yīng)變協(xié)調(diào)方程保證物體在變形后不會(huì)出現(xiàn)‘撕裂’，‘套疊’的現(xiàn)象1.6彈性力學(xué)的基本方程x對y，y對x求兩次偏導(dǎo)，641.6彈性力學(xué)的基本方程類似可得三維問題的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程：(1.82)1.6彈性力學(xué)的基本方程類似可得三維問題的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程：651.6彈性力學(xué)的基本方程例題：設(shè)有應(yīng)變分量如右式，其余的應(yīng)變分量均為零。若它們是一種可能的應(yīng)變狀態(tài)試確定各常數(shù)之間的關(guān)系。解：如果應(yīng)變分量是一種可能的應(yīng)變狀態(tài)，則需滿足變形協(xié)調(diào)方程。根據(jù)給定的應(yīng)變分量，式(1.82)中的五個(gè)式子均恒滿足、余下必須滿足的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程為:代入給定的應(yīng)變分量有:比較兩邊對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)有:所以解為：1.6彈性力學(xué)的基本方程例題：設(shè)有應(yīng)變分量如右式，其余的66第五章簡單應(yīng)力狀態(tài)的彈塑性問題5.1基本實(shí)驗(yàn)資料5.2應(yīng)力－應(yīng)變的簡化模型5.3應(yīng)變的表示法5.4理想彈塑性材料的簡單桁架5.5線性強(qiáng)化彈塑性材料的簡單桁架5.6加載路徑對桁架內(nèi)應(yīng)力和應(yīng)變的影響第五章簡單應(yīng)力狀態(tài)的彈塑性問題5.1基本實(shí)驗(yàn)資料675.1基本實(shí)驗(yàn)資料一、應(yīng)力--應(yīng)變曲線（1）單向拉伸曲線123OsssaDseepee

（a）有明顯屈服流動(dòng)階段拉伸試驗(yàn)和靜水壓力試驗(yàn)是塑性力學(xué)中的兩個(gè)基本試驗(yàn)，塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的建立是以這些實(shí)驗(yàn)資料為基礎(chǔ)。屈服應(yīng)力（b）無明顯屈服流動(dòng)階段Os0.2Dseepee

CAB0.2%屈服應(yīng)力如:低碳鋼,鑄鐵,合金鋼等如:中碳鋼,高強(qiáng)度合金鋼,有色金屬等5.1基本實(shí)驗(yàn)資料一、應(yīng)力--應(yīng)變曲線（1）單向拉伸曲線685.1基本實(shí)驗(yàn)資料一、應(yīng)力--應(yīng)變曲線經(jīng)過屈服階段后，材料又恢復(fù)了抵抗變形的能力。在第二次加載過程中，彈性系數(shù)仍保持不變，但彈性極限及屈服極限有升高現(xiàn)象，其升高程度與塑性變形的歷史有關(guān)，決定與前面塑性變形的程度。這種現(xiàn)象稱為材料的應(yīng)變強(qiáng)化(或加工硬化)。材料在塑性階段的一個(gè)重要特點(diǎn)：在加載和卸載的過程中應(yīng)力和應(yīng)變服從不同的規(guī)律：加載卸載簡單拉伸試驗(yàn)的塑性階段：5.1基本實(shí)驗(yàn)資料一、應(yīng)力--應(yīng)變曲線經(jīng)過屈服階段后，材695.1基本實(shí)驗(yàn)資料一、應(yīng)力--應(yīng)變曲線（2）拉伸與壓縮曲線的差異（一般金屬材料）O拉se壓應(yīng)變<10%時(shí)，基本一致；應(yīng)變10%時(shí)，較大差異。一般金屬的拉伸與壓縮曲線比較用簡單拉伸試驗(yàn)代替簡單壓縮試驗(yàn)進(jìn)行塑性分析是偏于安全的。5.1基本實(shí)驗(yàn)資料一、應(yīng)力--應(yīng)變曲線（2）拉伸與壓縮曲705.1基本實(shí)驗(yàn)資料一、應(yīng)力--應(yīng)變曲線（3）反向加載卸載后反向加載，ss’’<ss’——Bauschinger效應(yīng)BAss’s’’B’B’’O’拉伸塑性變形后使壓縮屈服極限降低的現(xiàn)象。即正向強(qiáng)化時(shí)反向弱化。5.1基本實(shí)驗(yàn)資料一、應(yīng)力--應(yīng)變曲線（3）反向加載卸載715.1基本實(shí)驗(yàn)資料一、應(yīng)力--應(yīng)變曲線(4)斷裂特性伸長率:標(biāo)志材料的塑性特性，其值越大則材料破壞后的殘余變形越大。截面收縮率:

dk5%：塑性材料；低碳鋼dk=20%~30%

dk<5%：脆性材料。5.1基本實(shí)驗(yàn)資料一、應(yīng)力--應(yīng)變曲線(4)斷裂特性725.1基本實(shí)驗(yàn)資料塑性變形有以下特點(diǎn)：

(2)、由于應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系的非線性，應(yīng)力與應(yīng)變間不存在單值對應(yīng)關(guān)系，同一個(gè)應(yīng)力可對應(yīng)不同的應(yīng)變，反過來也是如此。這種非單值性是一種路徑相關(guān)性，即需要考慮加載歷史。

(1)、由于塑性應(yīng)變不可恢復(fù)，所以外力所作的塑性功具有不可逆性，或稱為耗散性。在一個(gè)加載卸載的循環(huán)中外力作功恒大于零，這一部分能量被材料的塑性變形損耗掉了。

(3)、當(dāng)受力固體產(chǎn)生塑性變形時(shí)，將同時(shí)存在有產(chǎn)生彈性變形的彈性區(qū)域和產(chǎn)生塑性變形的塑性區(qū)域。并且隨著載荷的變化，兩區(qū)域的分界面也會(huì)產(chǎn)生變化。5.1基本實(shí)驗(yàn)資料塑性變形有以下特點(diǎn)：(2)、由于應(yīng)力735.1基本實(shí)驗(yàn)資料二、靜水壓力(各向均勻受壓)試驗(yàn)(1)、體積變化體積應(yīng)變與壓力的關(guān)系(bridgman實(shí)驗(yàn)公式)體積壓縮模量派生模量銅鋁鉛a7.31x10-713.34x10-723.73x10-7b2.7x10-123.5x10-1217.25x10-12銅：當(dāng)p＝1000MPa時(shí)，ap＝7.31×10-4，而bp2＝2.7×10-6。說明第二項(xiàng)遠(yuǎn)小于第一項(xiàng)，可以略去不計(jì)。因此根據(jù)上述試驗(yàn)結(jié)果，在塑性理論中常認(rèn)為體積變形是彈性的。因而對鋼、銅等金屬材料，可以認(rèn)為塑性變形不受靜水壓力的影響。但對于鑄鐵、巖石、土壤等材料，靜水壓力對屈服應(yīng)力和塑性變形的大小都有明顯的影響，不能忽略。5.1基本實(shí)驗(yàn)資料二、靜水壓力(各向均勻受壓)試驗(yàn)(1)745.1基本實(shí)驗(yàn)資料二、靜水壓力(各向均勻受壓)試驗(yàn)(2)、靜水壓力對屈服極限的影響B(tài)ridgman對鎳、鈮的拉伸試驗(yàn)表明，靜水壓力增大，塑性強(qiáng)化效應(yīng)增加不明顯，但頸縮和破壞時(shí)的塑性變形增加了。靜水壓力對屈服極限的影響?？珊雎?。5.1基本實(shí)驗(yàn)資料二、靜水壓力(各向均勻受壓)試驗(yàn)(2)755.2應(yīng)力應(yīng)變簡化模型一般應(yīng)力-應(yīng)變曲線：

s=Ee

，

e<

es

(屈服前：線彈性)

s=j(e)，e>es

(屈服后)選取模型的標(biāo)準(zhǔn)：1、必須符合材料的實(shí)際性質(zhì)2、數(shù)學(xué)上必須是足夠地簡單5.2應(yīng)力應(yīng)變簡化模型一般應(yīng)力-應(yīng)變曲線：選取模型的標(biāo)準(zhǔn)765.2應(yīng)力應(yīng)變簡化模型1.理想彈塑性模型符號(hào)函數(shù):（軟鋼或強(qiáng)化率較低的材料）加載:卸載:Osssees

E為一個(gè)大于或等于零的參數(shù)5.2應(yīng)力應(yīng)變簡化模型1.理想彈塑性模型符號(hào)函數(shù):（軟775.2應(yīng)力應(yīng)變簡化模型1.理想彈塑性模型用應(yīng)變表示的加載準(zhǔn)則：加載:卸載:Osssees

E符號(hào)函數(shù):公式只包括了材料常數(shù)E和，故不能描述應(yīng)力應(yīng)變曲線的全部特征；在＝s處解析式有變化，給具體計(jì)算帶來困難;理想彈塑性模型抓住了韌性材料的主要特征，因而與實(shí)際情況符合得較好。缺點(diǎn):優(yōu)點(diǎn):5.2應(yīng)力應(yīng)變簡化模型1.理想彈塑性模型用應(yīng)變表示的加785.2應(yīng)力應(yīng)變簡化模型2.線性強(qiáng)化彈塑性模型（材料有顯著強(qiáng)化率）Osssees

EE’加載:卸載:5.2應(yīng)力應(yīng)變簡化模型2.線性強(qiáng)化彈塑性模型（材料有顯795.2應(yīng)力應(yīng)變簡化模型2.線性強(qiáng)化彈塑性模型用應(yīng)變表示的加載準(zhǔn)則：Osssees

EE’加載:卸載:在許多實(shí)際工程問題中，彈性應(yīng)變<<塑性應(yīng)變，因而可以忽略彈性應(yīng)變。5.2應(yīng)力應(yīng)變簡化模型2.線性強(qiáng)化彈塑性模型用應(yīng)變表示805.2應(yīng)力應(yīng)變簡化模型*

剛塑性模型（忽略彈性變形）(b)線性強(qiáng)化剛塑性模型OssseOssse(a)理想剛塑性模型特別適宜于塑性極限載荷的分析?？倯?yīng)變較大，5.2應(yīng)力應(yīng)變簡化模型*剛塑性模型（忽略彈性變形）(815.2應(yīng)力應(yīng)變簡化模型3.一般加載規(guī)律OssseepBCAe

O1wees

w(e)=AC/AB彈性曲線與實(shí)際曲線的相對差值(5.12)5.2應(yīng)力應(yīng)變簡化模型3.一般加載規(guī)律Ossseep825.2應(yīng)力應(yīng)變簡化模型對線性強(qiáng)化彈性材料在加載時(shí):(5.13)5.2應(yīng)力應(yīng)變簡化模型對線性強(qiáng)化彈性材料在加載時(shí):(5.835.2應(yīng)力應(yīng)變簡化模型4.冪次強(qiáng)化模型在＝0處與軸相切理想彈性模型理想剛塑性模型虎克定律只有兩個(gè)參數(shù)A和n，因而也不可能準(zhǔn)確地表示材料的所有特征。但由于解析式比較簡單，而且n可以在較大范圍內(nèi)變化，所以也經(jīng)常被采用。(5.14)5.2應(yīng)力應(yīng)變簡化模型4.冪次強(qiáng)化模型在＝0處與軸相845.2應(yīng)力應(yīng)變簡化模型5.Ramberg-Osgood模型(三參數(shù)模型)1，1為0.7E(初始切線模量)處的應(yīng)力應(yīng)變強(qiáng)化指數(shù)強(qiáng)化系數(shù)(5.15)流動(dòng)應(yīng)力s1取(sb+s0.2)/2。sb為抗拉強(qiáng)度，s0.2為工程屈服應(yīng)力；流動(dòng)應(yīng)變e1=s1/E，E為彈性模量。例：鈦合金鋼有三個(gè)參數(shù)，能較好地代表真實(shí)材料，數(shù)學(xué)表達(dá)式簡單。5.2應(yīng)力應(yīng)變簡化模型5.Ramberg-Osgood855.2應(yīng)力應(yīng)變簡化模型1).等向強(qiáng)化模型拉伸和壓縮時(shí)的屈服極限相等BAss’s’’B’B’’O’2).隨動(dòng)強(qiáng)化模型拉伸和壓縮的彈性范圍不變6.反向加載應(yīng)力-應(yīng)變簡化模型等向強(qiáng)化：OABB’’隨動(dòng)強(qiáng)化：OABB’(5.16)例：線性強(qiáng)化的情形(5.17)(5.18)塑性應(yīng)變按絕對值進(jìn)行累積5.2應(yīng)力應(yīng)變簡化模型1).等向強(qiáng)化模型BAss865.2應(yīng)力應(yīng)變簡化模型BAs1.5ss-sssseCDEO-0.5ssFes解：例題：已知一單向加載過程的應(yīng)力路徑為01.5ss

0

–ss

0，材料符合線性隨動(dòng)強(qiáng)化規(guī)律，強(qiáng)化模量E’=E/100，試求出對應(yīng)的應(yīng)變路徑。應(yīng)變路徑為：051ss/E49.5ss/E–ss/E

05.2應(yīng)力應(yīng)變簡化模型BAs1.5ss-sssseCDE875.2應(yīng)力應(yīng)變簡化模型BAs1.5ss-1.2sssseCDEO-0.5ssFes例2：應(yīng)力路徑：01.5ss

0–1.2ss

0應(yīng)變路徑：解：051es49.5es–21es

–19.8es5.2應(yīng)力應(yīng)變簡化模型BAs1.5ss-1.2sssse885.3應(yīng)變的表示法工程應(yīng)變：自然應(yīng)變/對數(shù)應(yīng)變：原始長度變形后長度(5.19)適用于大變形(5.20)(5.21)不適用于大變形在塑性變形較大時(shí)，用-曲線不能真正代表加載和變形的狀態(tài)。頸縮階段：應(yīng)變；應(yīng)力不符合材料的實(shí)際情況5.3應(yīng)變的表示法工程應(yīng)變：自然應(yīng)變/對數(shù)應(yīng)變：原始長度895.3應(yīng)變的表示法工程應(yīng)變與自然應(yīng)變的關(guān)系：（1）小變形時(shí)，e

E；變形程度越大，誤差越大。(5.22)1.20.40.81.6-1.6-0.4-0.8-1.21.01.21.41.6Ol/l0ee=l/l0-1E=lnl/l0當(dāng)變形程度小于10%時(shí)，兩值比較接近。小變形與大變形界限的由來5.3應(yīng)變的表示法工程應(yīng)變與自然應(yīng)變的關(guān)系：（1）小變形905.3應(yīng)變的表示法工程應(yīng)變與自然應(yīng)變的關(guān)系：（2）自然應(yīng)變?yōu)榭杉討?yīng)變，工程應(yīng)變?yōu)椴豢杉討?yīng)變(5.23)例如：l0

1.5l0

1.8l0

2l0假設(shè)某物體原長l0

，經(jīng)歷l1，l2變?yōu)閘3，總相對應(yīng)變?yōu)椋焊麟A段的相應(yīng)應(yīng)變?yōu)椋?.3應(yīng)變的表示法工程應(yīng)變與自然應(yīng)變的關(guān)系：（2）自然應(yīng)915.3應(yīng)變的表示法工程應(yīng)變與自然應(yīng)變的關(guān)系：（2）自然應(yīng)變?yōu)榭杉討?yīng)變，工程應(yīng)變?yōu)椴豢杉討?yīng)變(5.24)用自然應(yīng)變表示變形程度：各階段的相應(yīng)應(yīng)變?yōu)椋?5.25)5.3應(yīng)變的表示法工程應(yīng)變與自然應(yīng)變的關(guān)系：（2）自然應(yīng)925.3應(yīng)變的表示法工程應(yīng)變與自然應(yīng)變的關(guān)系：（3）自然應(yīng)變?yōu)榭杀葢?yīng)變，工程應(yīng)變?yōu)椴豢杀葢?yīng)變失去了可以比較的性質(zhì)可以比較5.3應(yīng)變的表示法工程應(yīng)變與自然應(yīng)變的關(guān)系：（3）自然應(yīng)935.4理想彈塑性材料的簡單桁架hhldl01Pq23三桿桁架結(jié)構(gòu)A平衡方程：如圖，三桿桁架受豎向力P作用，桿件截面均為A，試作彈塑性分析。消去N3，并用應(yīng)力表示：(5.26)變形協(xié)調(diào)關(guān)系：(5.27)5.4理想彈塑性材料的簡單桁架hhldl01Pq23三桿945.4理想彈塑性材料的簡單桁架一、彈性階段（PPe）應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系：（Pe：彈性極限荷載）聯(lián)立(5.26)(5.29)(5.28)(5.29)(5.30)(5.31)當(dāng)s2=ss時(shí)，桁架內(nèi)將出現(xiàn)塑性狀態(tài)，相應(yīng)的荷載為彈性極限荷載Pe(5.32)對應(yīng)A點(diǎn)位移為:(5.34)(5.33)(5.30),(5.31)變?yōu)?.4理想彈塑性材料的簡單桁架一、彈性階段（PPe955.4理想彈塑性材料的簡單桁架二、彈塑性階段（P>Pe）（塑性流動(dòng)階段）約束塑性變形階段：桿2已屈服，桿1、3仍為彈性塑性流動(dòng)階段：3桿均屈服,相應(yīng)的荷載為塑性極限荷載點(diǎn)A的位移：(5.38)(5.35)(5.36)(5.37)5.4理想彈塑性材料的簡單桁架二、彈塑性階段（P>965.4理想彈塑性材料的簡單桁架彈性與塑性極限荷載（極限位移）的關(guān)系：荷載-撓度曲線：理想彈塑性線性強(qiáng)化d

/deP/PeP1/PePs/Pe1.0011/cos2q(5.39)5.4理想彈塑性材料的簡單桁架彈性與塑性極限荷載（極限位975.4理想彈塑性材料的簡單桁架卸載符合彈性規(guī)律。設(shè)荷載變化為DP，則由式(5.33)得三、卸載若加載至P*（Pe<P*<Ps）再卸載至零，即DP=P*，則殘余應(yīng)力和應(yīng)變?yōu)?5.40)整體處于彈塑性階段時(shí)桿1的應(yīng)力彈性階段的應(yīng)力hhldl01Pq23A(5.41)對于超靜定結(jié)構(gòu)，卸去外荷載后，殘余應(yīng)變≠塑性應(yīng)變，它含有彈性應(yīng)變。5.4理想彈塑性材料的簡單桁架卸載符合彈性規(guī)律。設(shè)荷載變985.4理想彈塑性材料的簡單桁架從P*卸載至零的過程為彈性變形過程，從零再重復(fù)加載到P*（P*>Pe），此過程仍為彈性過程。這相當(dāng)于將彈性范圍由擴(kuò)大了。四、重復(fù)加載這種使其彈性范圍擴(kuò)大的有利的殘余應(yīng)力狀態(tài)稱為安定狀態(tài)。5.4理想彈塑性材料的簡單桁架從P*卸載至零的過程為彈性995.5線性強(qiáng)化彈塑性材料的簡單桁架聯(lián)立平衡和協(xié)調(diào)方程可求得平衡方程與協(xié)調(diào)方程不變加載過程，物理方程改變部分：1.彈性階段(PPe)：與理想彈塑性相同2.約束塑性變形階段(PPe)：(5.42)(5.43)5.5線性強(qiáng)化彈塑性材料的簡單桁架聯(lián)立平衡和協(xié)調(diào)方程可求1005.5線性強(qiáng)化彈塑性材料的簡單桁架(桿1、3進(jìn)入屈服)3.塑性流動(dòng)階段(PPe)：(5.44)與理想彈塑性材料的比較：(5.45)如考慮中等強(qiáng)化情形:說明這時(shí)理想塑性的近似還是比較好的，考慮強(qiáng)化對它的影響不大。5.5線性強(qiáng)化彈塑性材料的簡單桁架(桿1、3進(jìn)入屈服)31015.5線性強(qiáng)化彈塑性材料的簡單桁架考慮隨動(dòng)強(qiáng)化，加載應(yīng)力范圍為2ss

，即要求Ds22ss，4.卸載：仍按彈性規(guī)律變化卸載后桿2轉(zhuǎn)為壓應(yīng)力，是否會(huì)進(jìn)入壓縮塑性狀態(tài)？最大安定荷載5.5線性強(qiáng)化彈塑性材料的簡單桁架考慮隨動(dòng)強(qiáng)化，加載應(yīng)力1025.5線性強(qiáng)化彈塑性材料的簡單桁架aN1bPN2圖示等截面桿，截面積為A，在x=a(a<b)處作用集中力P，試求彈性極限荷載Pe和塑性極限荷載Ps。若加載至Pe<P*<Ps時(shí)卸載，試求殘余應(yīng)力和殘余應(yīng)變。材料分別為:(1)理想彈塑性；(2)線性強(qiáng)化彈塑性。例題：解：平衡方程：變形協(xié)調(diào)方程：5.5線性強(qiáng)化彈塑性材料的簡單桁架aN1bPN2圖示等截1035.5線性強(qiáng)化彈塑性材料的簡單桁架(1)理想彈塑性彈性階段：代入變形協(xié)調(diào)方程，可得：聯(lián)立平衡方程，可得：5.5線性強(qiáng)化彈塑性材料的簡單桁架(1)理想彈塑性彈性階1045.5線性強(qiáng)化彈塑性材料的簡單桁架彈塑性階段：由s1=ss，并利用平衡方程得：卸載：加載至Pe<P*<Ps時(shí)卸載，即DP=P*。因卸載符合彈性規(guī)律，故5.5線性強(qiáng)化彈塑性材料的簡單桁架彈塑性階段：由s1=s1055.5線性強(qiáng)化彈塑性材料的簡單桁架殘余應(yīng)力和應(yīng)變?yōu)?.5線性強(qiáng)化彈塑性材料的簡單桁架殘余應(yīng)力和應(yīng)變?yōu)?065.6加載路徑對桁架應(yīng)力應(yīng)變的影響加載方案①hhl0=h

1P45o23OQOPsPQQs①②Oδx①②δe2δeδy時(shí):(5.46)5.6加載路徑對桁架應(yīng)力應(yīng)變的影響加載方案①hhl0=h1075.6加載路徑對桁架應(yīng)力應(yīng)變的影響加載方案①由從零開始增加Q，P將相應(yīng)改變,對應(yīng)的應(yīng)力增量和應(yīng)變增量的平衡方程：(5.47)(5.48)保持δy不變，即Δδy=0；施加Q，則Δδx>0桿1，2仍保持塑性狀態(tài)桿3卸載5.6加載路徑對桁架應(yīng)力應(yīng)變的影響加載方案①由從零開始增1085.6加載路徑對桁架應(yīng)力應(yīng)變的影響加載方案①從(5.47)可得：(5.49)當(dāng)Δ3=-2s；使3=-s時(shí)，桿3進(jìn)入壓縮屈服，整個(gè)桁架進(jìn)入塑性流動(dòng)階段疊加上初始值后：5.6加載路徑對桁架應(yīng)力應(yīng)變的影響加載方案①從(5.47109保持的比例，一直加載到方案一的最終狀態(tài)5.6加載路徑對桁架應(yīng)力應(yīng)變的影響加載方案②彈性階段最大對應(yīng)的應(yīng)力和位移保持的比例，一直加載到方案一的最終狀態(tài)5110再繼續(xù)加載5.6加載路徑對桁架應(yīng)力應(yīng)變的影響加載方案②對應(yīng)的應(yīng)力和位移(5.50)再繼續(xù)加載5.6加載路徑對桁架應(yīng)力應(yīng)變的影響加載方案②對111第六章屈服條件和加載條件6.1基本假設(shè)6.2屈服條件概念6.3屈服曲面6.4Tresca和Mises屈服條件6.5Tresca和Mises屈服條件的比較6.6屈服條件的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證6.7加載條件和加載曲面6.8Mohr-Coulomb和Drucker-Prager屈服條件第六章屈服條件和加載條件6.1基本假設(shè)1126.1基本假定對一般應(yīng)力狀態(tài)的塑性理論，作以下基本假設(shè)：忽略時(shí)間因素的影響(蠕變、應(yīng)力松弛等)

；連續(xù)性假設(shè)；靜水壓力部分只產(chǎn)生彈性的體積變化(不影響塑性變形規(guī)律)；在初次加載時(shí)，單向拉伸和壓縮的應(yīng)力-應(yīng)變特性一致；材料特性符合Drucker公設(shè)(只考慮穩(wěn)定材料)；變形規(guī)律符合均勻應(yīng)力應(yīng)變的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。6.1基本假定對一般應(yīng)力狀態(tài)的塑性理論，作以下基本假設(shè)：1131).單向拉壓應(yīng)力狀態(tài)的屈服條件6.2屈服條件的概念(6.1)(6.2)ss：屈服應(yīng)力

2).復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的屈服函數(shù)(6.3)或者:(6.4)應(yīng)力空間、應(yīng)變空間：分別以應(yīng)力分量和應(yīng)變分量為坐標(biāo)軸組成的空間，空間內(nèi)的任一點(diǎn)代表一個(gè)應(yīng)力狀態(tài)或應(yīng)變狀態(tài)。應(yīng)力路徑、應(yīng)變路徑：應(yīng)力和應(yīng)變的變化在相應(yīng)空間繪出的曲線。屈服面：應(yīng)力空間內(nèi)各屈服點(diǎn)連接成的，區(qū)分彈性和塑性狀態(tài)的分界面。引入的概念：1).單向拉壓應(yīng)力狀態(tài)的屈服條件6.2屈服條件的概念(1146.2屈服條件的概念3).屈服條件/屈服函數(shù)(描述屈服面的數(shù)學(xué)表達(dá)式)：材料處于彈性狀態(tài)：材料開始屈服進(jìn)入塑性狀態(tài)屈服條件應(yīng)與方向無關(guān)，故屈服條件可用三個(gè)主應(yīng)力或應(yīng)力不變量表示：(6.6)(6.7)靜水壓力部分對塑性變形的影響可忽略，故屈服條件也可用主偏量應(yīng)力或其不變量表示：各向同性材料:(6.8)(6.9)6.2屈服條件的概念3).屈服條件/屈服函數(shù)(描述屈服1156.3屈服曲面一、主應(yīng)力空間(6.10)(以主應(yīng)力s1,s2,s3為坐標(biāo)軸而構(gòu)成的應(yīng)力空間)OQNPp平面L直線s1s2s3任一應(yīng)力狀態(tài)靜水應(yīng)力矢量主偏量應(yīng)力矢量主應(yīng)力空間、L直線、p平面與s1,s2,s3軸的夾角相等在主應(yīng)力空間內(nèi)，過原點(diǎn)且和三個(gè)坐標(biāo)軸夾角相等的直線。方程：s1=s2=s3L直線：主應(yīng)力空間內(nèi)過原點(diǎn)且和L直線垂直的平面。方程：s1+s2+s3=0p平面：總在平面上6.3屈服曲面一、主應(yīng)力空間(6.10)(以主應(yīng)力s1,1166.3屈服曲面一、主應(yīng)力空間即直線方程1.球應(yīng)力狀態(tài)或靜水應(yīng)力狀態(tài)幾種特殊的應(yīng)力狀態(tài)在主應(yīng)力空間中的軌跡：應(yīng)力偏量為零，即它的軌跡是經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)并與l、2、3三坐標(biāo)軸夾角相同的等傾斜直線2.平均應(yīng)力為零平均應(yīng)力為零，即m=0，應(yīng)力偏量Sij不等于零。3.應(yīng)力偏量為常量應(yīng)力偏量為常量，即Sl＝C1，S2＝C2，S3＝C3軌跡是與等傾線平行但不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線在主應(yīng)力空間中，它的軌跡是一個(gè)平面，該平面通過坐標(biāo)原點(diǎn)并與等傾直線相垂直。6.3屈服曲面一、主應(yīng)力空間即直線方程1.球應(yīng)力狀態(tài)或靜1176.3屈服曲面二、屈服曲面屈服曲面F(s1,s2,s3)=0：為一平行L直線的柱面；屈服曲線f(J2’,J3’)=0：屈服曲面與p平面的交線——對應(yīng)無靜水壓力部分的情況。6.3屈服曲面二、屈服曲面屈服曲面F(s1,s2,s31186.3屈服曲面三、矢量OP在p平面上的投影Oyx2’qs1’3’rs30o坐標(biāo)軸s1，s2，s3在p平面上的投影O1’、O2’、O3’互成120；矢量OP在p平面上的x，y坐標(biāo)值為：矢量OP在p平面上的極坐標(biāo)值為：(6.13)(6.14)(6.15)6.3屈服曲面三、矢量OP在p平面上的投影Oyx2’qs1196.3屈服曲面由于12矢量與平面平行,故矢量OP在x,y平面上的坐標(biāo)為：(6.13)O2’1’3’120o30ox坐標(biāo)變換：6.3屈服曲面由于12矢量與平面平行,故矢量OP在x,1206.3屈服曲面引進(jìn)極坐標(biāo)的關(guān)系:可見Lode參數(shù)為：(6.14)O2’1’3’120o30ox(6.15)(6.16)6.3屈服曲面引進(jìn)極坐標(biāo)的關(guān)系:可見Lode參數(shù)為：(61216.3屈服曲面幾種典型應(yīng)力狀態(tài)在p平面上的極坐標(biāo)值：(6.17)在純剪切時(shí)：在單向拉伸時(shí)：在單向壓縮時(shí)：6.3屈服曲面幾種典型應(yīng)力狀態(tài)在p平面上的極坐標(biāo)值：(61226.3屈服曲面四、屈服曲面的特征純剪純拉p平面上的屈服曲線(1)、屈服曲線為一封閉曲線，原點(diǎn)在曲線內(nèi)部；(2)、對各向同性材料，若(S1,S2,S3)或(s1,s2,s3)屈服，則各應(yīng)力分量互換也會(huì)屈服，故屈服曲線關(guān)于s1’,s2’,s3’軸均對稱；(3)、對拉伸和壓縮屈服極限相等的材料，若應(yīng)力狀態(tài)(S1,S2,S3)屈服，則(-S1,-S2,-S3)也會(huì)屈服，故屈服曲線為關(guān)于垂直于s1’,s2’,s3’軸的直線也對稱。6.3屈服曲面四、屈服曲面的特征純剪純拉p平面上的屈服曲1236.4Tresca和Mises屈服條件歷史上關(guān)于材料進(jìn)入塑性狀態(tài)原因的不同假設(shè)第一個(gè)假設(shè)：材料進(jìn)入塑性狀態(tài)是由最大主應(yīng)力引起的，即當(dāng)最大主應(yīng)力達(dá)到s時(shí)，材料即進(jìn)入塑性狀態(tài)。GalilMo在17世紀(jì)時(shí)提出在各向相等壓縮時(shí)．壓應(yīng)力可以遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過屈服極限s，而材料并未進(jìn)入塑性狀態(tài)，也未破壞。被實(shí)驗(yàn)所推翻原因：第二個(gè)假設(shè)：最大的主應(yīng)變能使材料進(jìn)入塑性狀態(tài)St-Venant提出被實(shí)驗(yàn)所推翻第三個(gè)假設(shè)：Beltrami提出當(dāng)最大彈性能達(dá)到一定值時(shí)，材料即開始屈服與實(shí)驗(yàn)相抵觸6.4Tresca和Mises屈服條件歷史上關(guān)于材料進(jìn)入1246.4Tresca和Mises屈服條件一、Tresca屈服條件認(rèn)為最大剪應(yīng)力達(dá)到極限值時(shí)開始屈服:(6.18)(材料力學(xué)的第三強(qiáng)度理論)金屬材料在屈服時(shí)，可以看到接近于最大剪應(yīng)力方向的細(xì)痕紋(滑移線)，因此塑性變形可以是由于剪切應(yīng)力所引起的晶體網(wǎng)格的滑移而引起的。1864年，Tresca作了一系列的擠壓實(shí)驗(yàn)來研究屈服條件：四個(gè)強(qiáng)度理論:第一強(qiáng)度理論：最大拉應(yīng)力理論第二強(qiáng)度理論：最大伸長線應(yīng)變理論第三強(qiáng)度理論：最大剪應(yīng)力理論第四強(qiáng)度理論：形狀改變比能理論屈服破壞理論脆斷破壞理論6.4Tresca和Mises屈服條件一、Tresca屈1256.4Tresca和Mises屈服條件一、Tresca屈服條件p平面上的屈服曲線在p平面上，式(6.18)可表示為：在-30°qs30°（即s1s2s3)范圍內(nèi)為一平行y軸的直線，對稱拓展后為一正六角形。xyp平面上的屈服曲線(正六角形)6.4Tresca和Mises屈服條件一、Tresca屈1266.4Tresca和Mises屈服條件一、Tresca屈服條件(正六邊形柱面)主應(yīng)力空間內(nèi)的屈服條件:2k2k2k2k平面應(yīng)力狀態(tài)的屈服條件（s3=0）:(6.19)(6.20)平面應(yīng)力的Tresca屈服線6.4Tresca和Mises屈服條件一、Tresca屈1276.4Tresca和Mises屈服條件一、Tresca屈服條件常數(shù)K值的確定:(6.23)Tresca屈服條件的完整表達(dá)式由簡單拉伸實(shí)驗(yàn)確定：因s1=ss，s2=s3=0，s1-s3=0，故由純剪實(shí)驗(yàn)確定：因s1=ts，s2=0，s3=-ts，故k=ss/2

k=tsss=2ts對多數(shù)材料只能近似成立(6.24)(6.25)6.4Tresca和Mises屈服條件一、Tresca屈1286.4Tresca和Mises屈服條件二、Mises屈服條件(6.27)Tresca六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)由實(shí)驗(yàn)得到，但頂點(diǎn)間的直線是假設(shè)的。Mises指出：用連接p平面上的Tresca六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)的圓來代替原來的六邊形，即：Mises屈服條件：(6.26)Mises屈服面考慮(6.14)式6.4Tresca和Mises屈服條件二、Mises屈服1296.4Tresca和Mises屈服條件二、Mises屈服條件常數(shù)C的確定：(6.28)由簡單拉伸實(shí)驗(yàn)確定：因s1=ss，s2=s3=0，s1-s3=0，故由純剪實(shí)驗(yàn)確定：因s1=ts，s2=0，s3=-ts，故C=J2’=ss2/3C=J2’=ts2對多數(shù)材料符合較好6.4Tresca和Mises屈服條件二、Mises屈服1306.4Tresca和Mises屈服條件二、Mises屈服條件兩種屈服條件的關(guān)系：(6.29)TrescaTrescaMises圓純剪單向拉伸Tresca和Mises屈服線若規(guī)定簡單拉伸時(shí)兩種屈服條件重合，則Tresca六邊形內(nèi)接于Mises圓，且若規(guī)定純剪時(shí)兩種屈服條件重合，則Tresca六邊形外接于Mises圓，且(6.30)6.4Tresca和Mises屈服條件二、Mises屈服1316.4Tresca和Mises屈服條件二、Mises屈服條件兩種屈服條件的關(guān)系：(6.31)s1sss2ssO平面應(yīng)力問題的Tresca和Mises屈服線

（主應(yīng)力平面上）在主應(yīng)力空間中，Mises屈服面將是圓柱面，在3=0的平面應(yīng)力情形,Mises屈服條件可寫成:Tresca屈服條件內(nèi)接于Mises圓從Mises屈服條件可以看出，靜水壓力狀態(tài)并不影響材料屈服，而且滿足互換原則，因此與實(shí)驗(yàn)相符。6.4Tresca和Mises屈服條件二、Mises屈服1326.5Tresca和Mises屈服條件的比較一、簡單應(yīng)力狀態(tài)下的比較單向拉伸:(6.36)Tresca條件:Tresca屈服條件：是基于某種韌性金屬的最大剪應(yīng)力達(dá)到一定值時(shí)，材料開始進(jìn)入塑性狀態(tài)，也就是說只有最大和最小的主應(yīng)力對屈服有影響，忽略了中間主應(yīng)力對屈服的影響。(6.37)純剪切:(6.38)Tresca條件:(6.39)簡單拉伸和純剪時(shí)最大剪應(yīng)力為同樣的數(shù)值6.5Tresca和Mises屈服條件的比較一、簡單應(yīng)力1336.5Tresca和Mises屈服條件的比較一、簡單應(yīng)力狀態(tài)下的比較單向拉伸:(6.41)Mises屈服條件:(6.40)純剪切:(6.43)(6.44)基于某種金屬屈服時(shí)(6.42)簡單拉伸和純剪時(shí)最大剪應(yīng)力的數(shù)值不同6.5Tresca和Mises屈服條件的比較一、簡單應(yīng)力1346.5Tresca和Mises屈服條件的比較一、簡單應(yīng)力狀態(tài)下的比較單向拉伸:(6.41)純剪時(shí)比較兩個(gè)剪應(yīng)力:(6.47)兩個(gè)條件的計(jì)算結(jié)果相差不大Tresca條件:(6.45)Mises條件:(6.46)6.5Tresca和Mises屈服條件的比較一、簡單應(yīng)力1356.5Tresca和Mises屈服條件的比較一、簡單應(yīng)力狀態(tài)下的比較純剪時(shí)s1/sss1=-s2s2/ss-1O-111按最大剪切應(yīng)力條件計(jì)算:按形變能量條件計(jì)算:Mises條件與Tresca條件的比較6.5Tresca和Mises屈服條件的比較一、簡單應(yīng)力1366.5Tresca和Mises屈服條件的比較二、屈服曲面的比較垂直于軸線的平面與屈服面相交:Mises條件與Tresca條件的比較(6.48)TrescaMiseshRO正六邊形Tresca條件是正六邊形:6.5Tresca和Mises屈服條件的比較二、屈服曲面1376.5Tresca和Mises屈服條件的比較s1s1=-s2s2OEFABCDG2G1H1H2-s1=s2平面應(yīng)力狀態(tài)塑性條件的圖形表示B點(diǎn)和E點(diǎn)：表示二向等拉或等壓的應(yīng)力狀態(tài)A、C、D、F點(diǎn)：表示單向應(yīng)力狀態(tài)按最大剪切應(yīng)力條件計(jì)算:按形變能量條件計(jì)算:二、屈服曲面的比較6.5Tresca和Mises屈服條件的比較s1s1=1386.6屈服條件的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證一、薄壁圓管受拉力P和內(nèi)壓力p作用PPpp設(shè)圓筒壁厚為t,平均半徑為r。t<<rLode參數(shù):Mises屈服條件:(6.49)6.6屈服條件的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證一、薄壁圓管受拉力P和內(nèi)壓力p作1396.6屈服條件的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證一、薄壁圓管受拉力P和內(nèi)壓力p作用Mises屈服條件:(6.50)從Lode參數(shù)可得:(6.51)(6.52)6.6屈服條件的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證一、薄壁圓管受拉力P和內(nèi)壓力p作1406.6屈服條件的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證一、薄壁圓管受拉力P和內(nèi)壓力p作用(6.53)代入Mises條件Mises屈服條件:6.6屈服條件的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證一、薄壁圓管受拉力P和內(nèi)壓力p作1416.6屈服條件的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證一、薄壁圓管受拉力P和內(nèi)壓力p作用(6.54)Trescda屈服條件:Mises屈服條件表示一條拋物線；Trescda屈服條件表示平行橫坐標(biāo)的直線實(shí)驗(yàn)證明Mises屈服條件有較好的正確性6.6屈服條件的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證一、薄壁圓管受拉力P和內(nèi)壓力p作1426.6屈服條件的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證二、薄壁圓管受拉力P和扭矩M作用PPMM設(shè)圓筒壁厚為t,平均半徑為a。t<<a應(yīng)力:(6.55)主應(yīng)力:(6.56)6.6屈服條件的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證二、薄壁圓管受拉力P和扭矩M作用1436.6屈服條件的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證二、薄壁圓管受拉力P和扭矩M作用(6.57)(6.58)Mises屈服條件:Tresca屈服條件:Mises屈服條件:Tresca屈服條件:(6.59)(6.60)6.6屈服條件的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證二、薄壁圓管受拉力P和扭矩M作用1446.6屈服條件的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證二、薄壁圓管受拉力P和扭矩M作用實(shí)驗(yàn)結(jié)果及與兩種屈服條件的比較:1OTrescaMises實(shí)驗(yàn)結(jié)果更接近于Mises屈服條件簡單拉伸時(shí)兩個(gè)屈服條件重合純剪切時(shí)兩個(gè)屈服條件相差最大6.6屈服條件的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證二、薄壁圓管受拉力P和扭矩M作用1456.6屈服條件的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證三、應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證0.20.40.60.8+1-1O+1μμ復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下如何考慮應(yīng)力分量與應(yīng)變分量的關(guān)系？考慮應(yīng)力應(yīng)變的Lode參數(shù)應(yīng)力Mohr圓和應(yīng)變Mohr圓相似由左圖相似性可得：應(yīng)力主軸和應(yīng)變主軸一致6.6屈服條件的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證三、應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證0.21466.6屈服條件的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證例題：薄壁圓筒受拉力P和扭矩M的作用，寫出該情況的Tresca和Mises屈服條件。若已知r=50mm，t=3mm，ss=400MPa，P=150kN，M=9kNm，試分別用兩種屈服條件判斷圓筒是否進(jìn)入屈服狀態(tài)。解：先求應(yīng)力：用Tresca屈服條件判斷：用Mises屈服條件判斷：屈服未屈服6.6屈服條件的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證例題：薄壁圓筒受拉力P和扭矩M的1476.7加載條件和加載曲面應(yīng)力強(qiáng)化：交叉效應(yīng)：加載條件：加載曲面：在簡單拉壓時(shí)，經(jīng)過塑性變形后，屈服應(yīng)力提高的現(xiàn)象拉伸塑性變形，使壓縮屈服應(yīng)力降低(Bauschinger效應(yīng)),并且還影響剪切屈服應(yīng)力等的現(xiàn)象。材料經(jīng)過初次屈服后，后繼的屈服條件將與初始條件不同。這種發(fā)生變化了的后繼屈服條件稱為加載條件。應(yīng)力空間內(nèi)與加載條件對應(yīng)的曲面概念：進(jìn)一步發(fā)生塑性變形的條件：理想塑性材料：加載面屈服面加載面還依賴于塑性應(yīng)變的過程。即它與此刻的ijp狀態(tài)有關(guān)，還依賴于整個(gè)應(yīng)變歷史(K)。因此，一般加載面為：(6.62)6.7加載條件和加載曲面應(yīng)力強(qiáng)化：交叉效應(yīng)：加載條件：加1486.7加載條件和加載曲面一、等向強(qiáng)化模型(6.65)單向拉壓情況：令:(6.63)(6.64)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)：假定加載面就是屈服面做相似擴(kuò)大應(yīng)變歷史及強(qiáng)化程度的參數(shù)6.7加載條件和加載曲面一、等向強(qiáng)化模型(6.65)單向1496.7加載條件和加載曲面一、等向強(qiáng)化模型在Mises屈服條件下：(6.66)等效塑性應(yīng)變增量按(1.54)式(6.67)加載面為(6.68)退化到一維時(shí)與(6.64)一致表示成依賴于塑性功的參數(shù)：(6.69)6.7加載條件和加載曲面一、等向強(qiáng)化模型在Mises屈服1506.7加載條件和加載曲面二、隨動(dòng)強(qiáng)化模型(6.70)推廣到復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)屈服條件:(6.71)表示屈服條件在Mises屈服條件下：(6.72)可根據(jù)簡單拉伸試驗(yàn)來定6.7加載條件和加載曲面二、隨動(dòng)強(qiáng)化模型(6.70)推廣1516.7加載條件和加載曲面二、隨動(dòng)強(qiáng)化模型(6.72)在簡單拉伸下：式(6.72)對于線性強(qiáng)化材料(6.73)6.7加載條件和加載曲面二、隨動(dòng)強(qiáng)化模型(6.72)在簡1526.7加載條件和加載曲面二、隨動(dòng)強(qiáng)化模型AOO’-112初始屈服面一次二次三次后繼屈服面兩種強(qiáng)化形式Ivey的拉扭實(shí)驗(yàn)結(jié)果6.7加載條件和加載曲面二、隨動(dòng)強(qiáng)化模型AOO’-1121536.8Mohr-Coulomb

和Drucker-Prager屈服條件一、Mohr-Coulomb屈服條件(6.74)粘聚力內(nèi)摩擦角巖石和土質(zhì)破裂面上的剪應(yīng)力破裂面上的正應(yīng)力OC由左圖得:(6.75)代入(6.74)6.8Mohr-Coulomb和Drucker-Pra1546.8Mohr-Coulomb

和Drucker-Prager屈服條件一、Mohr-Coulomb屈服條件靜水應(yīng)力對屈服條件的影響(6.75)EODCBAFxy靜水應(yīng)力(1+2)/2的函數(shù)平面上的Mohr-Coulomb屈服條件在平面上可表示為:6.8Mohr-Coulomb和Drucker-Pra1556.8Mohr-Coulomb

和Drucker-Prager