山西省忻州市原平長(zhǎng)梁溝鎮(zhèn)長(zhǎng)梁溝聯(lián)校高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析

山西省忻州市原平長(zhǎng)梁溝鎮(zhèn)長(zhǎng)梁溝聯(lián)校高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖，正方形中，為的中點(diǎn)，若，

則的值為

A.

B.

C.

D.參考答案：D【考點(diǎn)】平面向量的幾何運(yùn)算【試題解析】因?yàn)镋為DC的中點(diǎn)，所以

2.已知點(diǎn)（x,y）滿足曲線方程（θ為參數(shù)），則的最小值是（

）A.

B.C. D.1參考答案：D消去參數(shù)可得曲線的方程為：，其軌跡為圓，目標(biāo)函數(shù)表示圓上的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率，如圖所示，數(shù)形結(jié)合可得：的最小值是1.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：(1)本題是線性規(guī)劃的綜合應(yīng)用，考查的是非線性目標(biāo)函數(shù)的最值的求法．(2)解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想方法，給目標(biāo)函數(shù)賦于一定的幾何意義．3.已知向量,若，則實(shí)數(shù)（）A．

B．

C．

D．參考答案：A略4.已知數(shù)列{}為等差數(shù)列，公差，為其前n項(xiàng)和.若，則=（

）A．

B．

C．

D．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的性質(zhì).D2答案B

解析：因?yàn)椋?，即，代入可解?20，故選B。【思路點(diǎn)撥】先利用，解出，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出。5.若一條直線與一個(gè)平面成72°角，則這條直線與這個(gè)平面內(nèi)經(jīng)過(guò)斜足的直線所成角中最大角等于（）A．72° B．90° C．108° D．180°參考答案：B【考點(diǎn)】直線與平面所成的角．【分析】由已知中一條直線與一個(gè)平面成72°角，根據(jù)線面夾角的性質(zhì)﹣﹣?zhàn)钚〗嵌ɡ?，我們可以求出這條直線與這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)斜足的直線所成角的范圍，進(jìn)而求出其最大值．【解答】證明：已知AB是平面a的斜線，A是斜足，BC⊥平面a，C為垂足，則直線AC是斜線AB在平面a內(nèi)的射影．設(shè)AD是平面a內(nèi)的任一條直線，且BD⊥AD，垂足為D，又設(shè)AB與AD所成的角∠BAD，AB與AC所成的角為∠BAC．BC⊥平面amBD⊥AD由三垂線定理可得：DC⊥ACsin∠BAD=，sin∠BAC=在Rt△BCD中，BD＞BC，∠BAC，∠BAD是Rt△內(nèi)的一個(gè)銳角所以∠BAC＜∠BAD．從上面的證明可知最小角定理，斜線和平面所成的角是這條斜線和平面內(nèi)過(guò)斜足的直線所成的一切角，其中最大的角為90°，由已知中一條直線與一個(gè)平面成72°角，這條直線和這個(gè)平面內(nèi)經(jīng)過(guò)斜足的直線所成角的范圍是：72°≤θ≤90°故選：B6.若直線y＝x＋b與曲線y＝3－有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是A．

B．C．

D．參考答案：C直線表示斜率為的直線，而曲線表示以為圓心以為半徑的下半圓，如圖由圖可知，當(dāng)直線與曲線相切時(shí)取到最小值，則有，解得；當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)取到最大值，此時(shí)。所以．

7.定義集合運(yùn)算:.設(shè),,則集合

的所有元素之和為A．0

B．2

C．3

D．6參考答案：【解析】：.因，8.已知函數(shù)f（x）=（b∈R）．若存在x∈[，2]，使得f（x）＞﹣x?f′（x），則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（）A．（﹣∞，） B． C． D．（﹣∞，3）參考答案：C【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】求導(dǎo)函數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為b＜x+，設(shè)g（x）=x+，只需b＜g（x）max，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)的最大值，故可求實(shí)數(shù)b的取值范圍．【解答】解：∵f（x）=x＞0，∴f′（x）=，∴f（x）+xf′（x）=，∵存在x∈[，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，∴1+2x（x﹣b）＞0∴b＜x+，設(shè)g（x）=x+，∴b＜g（x）max，∴g′（x）=，當(dāng)g′（x）=0時(shí)，解得：x=，當(dāng)g′（x）＞0時(shí)，即＜x≤2時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)g′（x）＜0時(shí)，即≤x＜時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，∴當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)g（x）取最大值，最大值為g（2）=，∴b＜，故選C．9.如圖，在公路MN兩側(cè)分別有A1，A2，…，A7七個(gè)工廠，各工廠與公路MN（圖中粗線）之間有小公路連接．現(xiàn)在需要在公路MN上設(shè)置一個(gè)車站，選擇站址的標(biāo)準(zhǔn)是“使各工廠到車站的距離之和越小越好”．則下面結(jié)論中正確的是（）①車站的位置設(shè)在C點(diǎn)好于B點(diǎn)；②車站的位置設(shè)在B點(diǎn)與C點(diǎn)之間公路上任何一點(diǎn)效果一樣；③車站位置的設(shè)置與各段小公路的長(zhǎng)度無(wú)關(guān)．A．① B．② C．①③ D．②③參考答案：C【考點(diǎn)】進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理．【分析】根據(jù)最優(yōu)化問(wèn)題，即可判斷出正確答案．【解答】解：因?yàn)锳、D、E點(diǎn)各有一個(gè)工廠相連，B，C，各有兩個(gè)工廠相連，把工廠看作“人”．可簡(jiǎn)化為“A，B，C，D，E處分別站著1，2，2，1，1個(gè)人（如圖），求一點(diǎn)，使所有人走到這一點(diǎn)的距離和最小”．把人盡量靠攏，顯然把人聚到B、C最合適，靠攏完的結(jié)果變成了B=4，C=3，最好是移動(dòng)3個(gè)人而不要移動(dòng)4個(gè)人．所以車站設(shè)在C點(diǎn)，且與各段小公路的長(zhǎng)度無(wú)關(guān)故選C．10.（2009江西卷文）如圖所示，一質(zhì)點(diǎn)在平面上沿曲線運(yùn)動(dòng)，速度大小不變，其在軸上的投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度的圖象大致為

參考答案：B解析：由圖可知，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在兩個(gè)封閉曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，投影點(diǎn)的速度先由正到0、到負(fù)數(shù)，再到0，到正，故錯(cuò)誤；質(zhì)點(diǎn)在終點(diǎn)的速度是由大到小接近0，故錯(cuò)誤；質(zhì)點(diǎn)在開(kāi)始時(shí)沿直線運(yùn)動(dòng)，故投影點(diǎn)的速度為常數(shù)，因此是錯(cuò)誤的，故選.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均為.若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過(guò)四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為_(kāi)_________.參考答案：.【分析】根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，確定所求的圓柱的高和底面半徑?！驹斀狻克睦忮F的高為，故圓柱的高為1，圓柱的底面半徑為，故其體積為?！军c(diǎn)睛】圓柱的底面半徑是棱錐底面對(duì)角線長(zhǎng)度的一半、不是底邊棱長(zhǎng)的一半。

12.在△中，角所對(duì)的邊分別為，已知，，．則=_______________.參考答案：略13.已知下列兩個(gè)命題：：，不等式恒成立；：1是關(guān)于x的不等式的一個(gè)解．若兩個(gè)命題中有且只有一個(gè)是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

．參考答案：a14..已知兩個(gè)單位向量，滿足，則與的夾角為_(kāi)______參考答案：【分析】通過(guò)平方運(yùn)算將模長(zhǎng)變?yōu)閿?shù)量積運(yùn)算的形式，可構(gòu)造出關(guān)于夾角余弦值的方程，從而求得夾角.【詳解】由題意知：

本題正確結(jié)果：15.已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)是6，高為，這個(gè)正四棱錐的則面積為_(kāi)______.參考答案：48略16.求值：=

．參考答案：2【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)lgM﹣lgN=lg以及l(fā)gMn=nlgM進(jìn)行化簡(jiǎn)運(yùn)算即可得到答案．【解答】解：=，∴=2．故答案為：2．17.若曲線y=ax2﹣lnx在點(diǎn)（1，a）處的切線平行于x軸，則a=．參考答案：【分析】先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再由題意知在1處的導(dǎo)數(shù)值為0，列出方程求出k的值．【解答】解：由題意得，∵在點(diǎn)（1，a）處的切線平行于x軸，∴2a﹣1=0，得a=，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義應(yīng)用，難度不大．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖1，在平行四邊形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C，C1分別為AB，A1B1的中點(diǎn)，現(xiàn)把平行四邊形ABB1A1沿CC1折起如圖2所示，連接B1C，B1A，B1A1．（1）求證：AB1⊥CC1；（2）若AB1=，求二面角C﹣AB1﹣A1的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，證明C1C⊥平面OAB1；（2）建立空間坐標(biāo)系，利用向量法即可求二面角C﹣AB1﹣A1B的余弦值．【解答】證明：（1）取CC1的中點(diǎn)O，連接OA，OB1，AC1，∵在平行四邊形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C，C1分別為AB，A1B1的中點(diǎn)，∴△ACC1，△B1CC1，為正三角形，則AO⊥CC1，OB1⊥C1C，又∵AO∩OB1=O，∴C1C⊥平面OAB1，∵AB1?平面OAB1∴AB1⊥CC1；（2）∵∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C，C1分別為AB，A1B1的中點(diǎn)，∴AC=2，OA=，OB1=，若AB1=，則OA2+OB12=AB12，則三角形AOB1為直角三角形，則AO⊥OB1，以O(shè)為原點(diǎn)，以0C，0B1，OA為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則C（1，0，0），B1（0，，0），C1（﹣1，0，0），A（0，0，），則=（﹣2，0，0），則==（﹣2，0，0），=（0，，﹣），=（﹣1，0，﹣），設(shè)平面AB1C的法向量為=（x，y，z），則，令z=1，則y=1，x=﹣，則=（﹣，1，1），設(shè)平面A1B1A的法向量為=（x，y，z），則，令z=1，則x=0，y=1，即=（0，1，1），則cos＜，＞===由于二面角C﹣AB1﹣A1是鈍二面角，∴二面角C﹣AB1﹣A1的余弦值是﹣．19.設(shè)甲、乙兩套試驗(yàn)方案在一次試驗(yàn)中成功的概率均為p，且這兩套試驗(yàn)方案中至少有一套試驗(yàn)成功的概率為0.51.假設(shè)這兩套試驗(yàn)方案在試驗(yàn)過(guò)程中，相互之間沒(méi)有影響.

（I）求p的值；（II）設(shè)試驗(yàn)成功的方案的個(gè)數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望E.參考答案：解析：（I）解：記這兩套試驗(yàn)方案在一次試驗(yàn)中均不成功的事件為A，則至少有一套試驗(yàn)成功的事件為

由題意，這兩套試驗(yàn)方案在一次試驗(yàn)中不成功的概率均為1－p.所以，，從而，令

………6分

（II）解：ξ的可取值為0，1，2.……………7分

……………………10分所以ξ的分布列為ξ012P0.490.420.09ξ的數(shù)學(xué)期望……12分20.函數(shù)f(x)的定義域D＝{x|x≠0}，且滿足對(duì)于任意x1，x2∈D.有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的奇偶性并證明；(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，求x的取值范圍．參考答案：略21.某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)。（1）sin213°+cos217°–sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°–sin18°cos12°（4）sin2（–18°）+cos248°–sin2（–18°）co