動(dòng)量矩定理章

動(dòng)量矩定理章第1頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§12–1質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)點(diǎn)的動(dòng)量矩OxzyAFBMO(F)rdα力對(duì)點(diǎn)O之矩：OxzyLO=MO(mv)rα質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)點(diǎn)O之矩——質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)O點(diǎn)的動(dòng)量矩AmvBd——固定矢量指向：按右手法則確定大?。悍较颍簬缀伪硎荆骸攘抠|(zhì)點(diǎn)繞某一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)強(qiáng)弱的運(yùn)動(dòng)特征量第2頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)軸的動(dòng)量矩類似于力對(duì)點(diǎn)之矩與力對(duì)軸之矩的關(guān)系：質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量mv對(duì)x軸之矩：質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量mv對(duì)x軸之矩——代數(shù)量。其正負(fù)由右手法則確定。動(dòng)量矩單位（SI）：二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)系各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)某點(diǎn)O之矩的矢量和——質(zhì)點(diǎn)系對(duì)O點(diǎn)的動(dòng)量矩第3頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)軸的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)系各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)某軸之矩的代數(shù)和——質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某軸的動(dòng)量矩三、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩取質(zhì)點(diǎn)Mi:質(zhì)點(diǎn)Mi對(duì)轉(zhuǎn)軸z的動(dòng)量矩:剛體

對(duì)轉(zhuǎn)軸z的動(dòng)量矩:記:——稱為剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸z的動(dòng)量矩等于其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度的乘積，轉(zhuǎn)向與角速度的轉(zhuǎn)向相同。第4頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§12–2動(dòng)量矩定理一、質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理——

質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量對(duì)某固定點(diǎn)O的矩將上式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，有由于O點(diǎn)為固定點(diǎn)，r為絕對(duì)運(yùn)動(dòng)矢徑，有另一方面由質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理：將上述關(guān)系代入，有質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)任一固定點(diǎn)的矩隨時(shí)間的變化率，等于質(zhì)點(diǎn)所受的力對(duì)該固定點(diǎn)的矩?！|(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理第5頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、對(duì)固定軸的動(dòng)量矩定理xyz將上式兩邊同時(shí)向坐標(biāo)軸投影，有質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)任一固定軸的矩隨時(shí)間的變化率，等于質(zhì)點(diǎn)所受的力對(duì)該固定軸的矩。——質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定軸

的動(dòng)量矩定理三、動(dòng)量矩守恒定理（1）若：質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)該固定點(diǎn)的矩矢保持不變。第6頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（2）若：若作用于質(zhì)點(diǎn)的力對(duì)某固定點(diǎn)（或軸）的矩恒等于零，則質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)該固定點(diǎn)（或軸）的矩保持不變。——?jiǎng)恿烤厥睾愣ɡ碛行牧Γ毫Φ淖饔镁€始終過(guò)某一固定點(diǎn)的力，該點(diǎn)稱為力心。有心力作用下的質(zhì)點(diǎn)，對(duì)力心的動(dòng)量矩矢始終保持不變（大小、方向）。第7頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月試用動(dòng)量矩定理導(dǎo)出單擺(數(shù)學(xué)擺)的運(yùn)動(dòng)微分方程。OφvA例題第8頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

把單擺看成一個(gè)在圓弧上運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)

A，設(shè)其質(zhì)量為

m，擺線長(zhǎng)

l。又設(shè)在任一瞬時(shí)質(zhì)點(diǎn)

A具有速度

v

，擺線

OA與鉛垂線的夾角是

。

通過(guò)懸點(diǎn)

O而垂直于運(yùn)動(dòng)平面的固定軸

z作為矩軸，對(duì)此軸應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理由于動(dòng)量矩和力矩分別是解：和例題OφvA第9頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月從而可得化簡(jiǎn)即得單擺的運(yùn)動(dòng)微分方程例題OφvA第10頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一、對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理二、對(duì)固定軸的動(dòng)量矩定理三、動(dòng)量矩守恒定理（1）若：（2）若：第11頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理一、對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系：n個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)Mi：——外力——內(nèi)力由質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理，有簡(jiǎn)寫(xiě)成：n個(gè)方程將上述方程組兩邊相加考慮到：有：（內(nèi)力系的主矩恒等于零）第12頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩隨時(shí)間的變化率，等于質(zhì)點(diǎn)系所受外力對(duì)該固定點(diǎn)矩的矢量和（主矩）?！|(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理二、對(duì)固定軸的動(dòng)量矩定理將式向固定坐標(biāo)軸投影，得

質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一固定軸的動(dòng)量矩隨時(shí)間的變化率，等于質(zhì)點(diǎn)系所受外力對(duì)該固定軸矩的代數(shù)和（主矩）?！|(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定軸的動(dòng)量矩定理注：與動(dòng)量定理類似，質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力不影響質(zhì)點(diǎn)系總動(dòng)量矩第13頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩守恒（1）若：（2）若：（各力與z軸平行或相交）——質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩守恒定理第14頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩：對(duì)軸的動(dòng)量矩：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)軸的動(dòng)量矩注意：——?jiǎng)恿烤氐霓D(zhuǎn)向與角速度轉(zhuǎn)向一致質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理對(duì)點(diǎn)固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩定理注：與動(dòng)量定理類似，質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力不影響質(zhì)點(diǎn)系總動(dòng)量矩對(duì)固定軸的動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩守恒定理守恒條件：第15頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例：高爐上運(yùn)送礦料的卷?yè)P(yáng)機(jī)。半徑為R的卷筒可繞水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，它關(guān)于轉(zhuǎn)軸O

的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J。沿傾角為θ的斜軌被提升的重物A質(zhì)量為m

。作用在卷筒上主動(dòng)轉(zhuǎn)矩為M。設(shè)繩重和摩擦均可不計(jì)。試求重物的加速度。解：(1)研究對(duì)象——卷筒與重物A整個(gè)系統(tǒng)(2)受力：（所有外力）(3)分析運(yùn)動(dòng)，計(jì)算系統(tǒng)對(duì)軸O的動(dòng)量矩：——以順時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?4)外力對(duì)軸O的矩：s對(duì)重物A，有(5)代入動(dòng)量矩定理：方向與速度方向相同第16頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

兩個(gè)鼓輪固連在一起，其總質(zhì)量是

m，對(duì)水平轉(zhuǎn)軸

O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是

JO

；鼓輪的半徑是

r1

和

r2

。繩端懸掛的重物

A和

B

質(zhì)量分別是

m1

和

m2

(圖a)，且

m1

>

m2。試求鼓輪的角加速度。OABr1r2(a)例題第17頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解:

取鼓輪，重物

A,B和繩索為研究對(duì)象(圖b)。對(duì)鼓輪的轉(zhuǎn)軸

z(垂直于圖面，指向讀者)應(yīng)用動(dòng)量矩定理，有OABr1r2(b)v1αv2m1gm0gm2gF0y系統(tǒng)的動(dòng)量矩由三部分組成，等于考慮到

v1=r1

，v2=r2

，則得外力主矩僅由重力

m1g

和m2g產(chǎn)生，有例題第18頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月將表達(dá)式(b)和(c)

代入方程(a)，即得從而求出鼓輪的角加速度方向?yàn)槟骁娤颉ABr1r2(b)v1αv2m1gm0gm2gF0y例題第19頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解：取系統(tǒng)為研究對(duì)象例題

均質(zhì)圓輪半徑為R、質(zhì)量為m，圓輪對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JO。圓輪在重物P帶動(dòng)下繞固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，已知重物重量為W。求：重物下落的加速度OPWvmgFOxFOy應(yīng)用動(dòng)量矩定理第20頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月小結(jié)1.動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定軸的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定軸的動(dòng)量矩定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體注意：第21頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理對(duì)點(diǎn)固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩定理注：與動(dòng)量定理類似，質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力不影響質(zhì)點(diǎn)系總動(dòng)量矩對(duì)固定軸的動(dòng)量矩定理3.動(dòng)量矩守恒定理守恒條件：第22頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例題求：此時(shí)系統(tǒng)的角速度zaallABCDozABCD解：取系統(tǒng)為研究對(duì)象mgmg系統(tǒng)對(duì)z軸的動(dòng)量矩守恒受力分析：第23頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例：均質(zhì)圓盤(pán)，其繞軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J

，可繞通過(guò)其中心的軸無(wú)摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)，另一質(zhì)量為m2

的人由B點(diǎn)按規(guī)律沿距O軸半徑為r的圓周運(yùn)動(dòng)。初始時(shí)，圓盤(pán)與人均靜止。求圓盤(pán)的角速度與角加速度。解：圓盤(pán)與人一起——研究對(duì)象受力分析：動(dòng)量矩關(guān)于z軸守恒計(jì)算質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩：初始時(shí)：任意瞬時(shí)：負(fù)號(hào)說(shuō)明實(shí)際轉(zhuǎn)向與圖中相反第24頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§13–4剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩

剛體各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與它們到轉(zhuǎn)軸z垂直距離的平方的乘積之和

定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸z的動(dòng)量矩等于其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度的乘積，轉(zhuǎn)向與角速度的轉(zhuǎn)向相同。二、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的基本概念——稱為剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸

z

的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jz的特點(diǎn)：Jz≥0——恒正的標(biāo)量影響Jz的因素：與轉(zhuǎn)軸z的位置有關(guān)；與質(zhì)量mi的分布有關(guān)；改變Jz的方法：1.

改變質(zhì)量（密度）；2.改變質(zhì)量分布情況。Jz的物理意義：——物體轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)慣性的度量Jz的單位（SI）：第25頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算1.積分法由定義：可得——適用于質(zhì)量連續(xù)分布，幾何形狀簡(jiǎn)單的物體。若已知密度函數(shù)：則有常見(jiàn)規(guī)則形狀的均質(zhì)物體，轉(zhuǎn)軸過(guò)質(zhì)心C的Jz由有關(guān)工程手冊(cè)查得。第26頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（1）均質(zhì)細(xì)桿桿長(zhǎng)l

單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為微段的質(zhì)量：桿的總質(zhì)量：第27頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（2）均質(zhì)圓環(huán)（3）均質(zhì)圓板取同心圓環(huán)研究：（4）圓板對(duì)x，y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量由于圓板對(duì)稱：第28頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.組合法——代數(shù)和O桿圓盤(pán)如：xy孔1孔2短形板——適用于均質(zhì)、簡(jiǎn)單形狀組合的物體3.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的工程實(shí)用計(jì)算公式——m為剛體的質(zhì)量；ρz為回轉(zhuǎn)半徑。注意：①ρz——回轉(zhuǎn)半徑。（假想將剛體的質(zhì)量全部集中離轉(zhuǎn)軸距離ρz的質(zhì)點(diǎn)上，而此質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jz與原剛體對(duì)軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jz相同。）②——其中m、Jz由計(jì)算或?qū)嶒?yàn)測(cè)定，然后反算ρz。（注意：ρz并不是質(zhì)心C到轉(zhuǎn)軸的距離）第29頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月四、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理OxzyCMih設(shè)z軸過(guò)剛體的質(zhì)心C，z′與z軸平行，兩軸間的距離為h，由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義，有將

代入，有mh2?由質(zhì)心坐標(biāo)的計(jì)算公式，有——轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理第30頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月均質(zhì)桿，質(zhì)量mzCreOC均質(zhì)圓盤(pán)，質(zhì)量mω幾點(diǎn)說(shuō)明：①軸z與軸z′必須平行；②z軸必須過(guò)質(zhì)心C；③過(guò)質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最小。剛體對(duì)于任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,等于剛體對(duì)于通過(guò)質(zhì)心、并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積第31頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月lOCdm1m2例題第32頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§13–3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程設(shè)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體作用有力：F1、F2、……、Fn，轉(zhuǎn)動(dòng)角速度：ω，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：Jz，其繞軸的動(dòng)量矩——其轉(zhuǎn)向與ω相同代入動(dòng)量矩定理，有——?jiǎng)傮w定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程（轉(zhuǎn)動(dòng)定理）

剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與其角加速度的乘積，等于作用于剛體上的所有外力對(duì)轉(zhuǎn)軸矩的代數(shù)和。第33頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月討論：（1）方程建立了β與Mz的瞬時(shí)關(guān)系（須在任意瞬時(shí)建立方程）（2）——?jiǎng)蜃兯俎D(zhuǎn)動(dòng)——?jiǎng)蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)——角速度ω取極值（3）則有——此時(shí)β

取決于JzJz大β小——說(shuō)明轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不易改變Jz小β大——說(shuō)明轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)容易改變——慣性大——慣性小Jz是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)慣性的度量應(yīng)用：（1）已知外力矩Mz，求β

、ω、φ=φ(t)。（2）已知β

、ω、φ=φ(t)，求與力矩Mz有關(guān)的量（力、距離等）。第34頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月如圖所示，已知滑輪半徑為R，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，帶動(dòng)滑輪的皮帶拉力為F1和F2。求滑輪的角加速度α

。RαOF1F2例題第35頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程有于是得由上式可見(jiàn)，只有當(dāng)定滑輪為勻速轉(zhuǎn)動(dòng)（包括靜止）或雖非勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，但可忽略滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)，跨過(guò)定滑輪的皮帶拉力才是相等的。RαOF1F2解：例題第36頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

飛輪對(duì)O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JO，以角速度ωO繞水平的O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示。制動(dòng)時(shí)，閘塊給輪以正壓力FN。已知閘塊與輪之間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為fs，輪的半徑為R，軸承的摩擦忽略不計(jì)。求制動(dòng)所需的時(shí)間t。

OωO例題第37頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月以輪為研究對(duì)象。將上式積分，并根據(jù)已知條件確定積分上下限，得

由此解得解：OωOFFNFOxFOyW例題列剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程為

（取逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎┑?8頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例：復(fù)擺（物理擺）如圖。已知擺的重量為W，擺關(guān)于轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JO，懸掛點(diǎn)（軸）O到質(zhì)心的距離為a

，求：復(fù)擺作微幅擺動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。解：運(yùn)動(dòng)分析：任意瞬時(shí)OC與x軸的夾角為φ（注：φ以增大方向?yàn)檎D(zhuǎn)向）建立定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程，并求解（1）兩邊同除以JO，并整理得（2）當(dāng)作微幅擺動(dòng)（φ很?。r(shí)，（3）其解為：（4）式中：常數(shù)A、θ

由初始條件確定。注意