同濟版大一高數(shù)下第七章習(xí)題課2xg課件

高等數(shù)學(xué)第三十四講1高等數(shù)學(xué)第三十四講1二階微分方程的習(xí)題課(二)二、微分方程的應(yīng)用

解法及應(yīng)用一、兩類二階微分方程的解法第七章2二階微分方程的習(xí)題課(二)二、微分方程的應(yīng)用解法及應(yīng)用一、兩類二階微分方程的解法

1.可降階微分方程的解法—降階法令令逐次積分求解3一、兩類二階微分方程的解法1.可降階微分方程的解法—解代入方程，得故方程的通解為例1.4解代入方程，得故方程的通解為例1.4例2

已知方程有特解則方程的通解為再求線性齊次方程的通解.提示:()提示:將解代入方程,得5例2已知方程有特解則方程的通解為再求線性齊次方程的通解2.二階線性微分方程的解法

常系數(shù)情形齊次非齊次代數(shù)法62.二階線性微分方程的解法常系數(shù)情形齊次非齊次代數(shù)法6解答提示P353題2

求以為通解的微分方程.提示:由通解式可知特征方程的根為故特征方程為因此微分方程為P352題3求下列微分方程的通解提示:令則方程變?yōu)?解答提示P353題2求以為通解的微分方程.提示:由P354題4(2)求解提示:令則方程變?yōu)榉e分得利用再解并利用定常數(shù)思考若問題改為求解則求解過程中得問開方時正負號如何確定?8P354題4(2)求解提示:令則方程變?yōu)榉e分得利用再解特征方程對應(yīng)的齊次方程的通解為例3原方程的一個特解為故原方程的通解為設(shè)原方程的特解為9解特征方程對應(yīng)的齊次方程的通解為例3原方程的一個特解為故原方故原方程的通解為例3由解得所以原方程滿足初始條件的特解為10故原方程的通解為例3由解得所以原方程滿足初始條件的特解為10例4.設(shè)求解:兩邊對x求導(dǎo)求解可得思考:設(shè)提示:對積分換元,令則有11例4.設(shè)求解:兩邊對x求導(dǎo)求解可得思考:設(shè)提示:思考:設(shè)提示:對積分換元,則有解初值問題:答案:12思考:設(shè)提示:對積分換元,則有解初值問題:答案:12例5：設(shè)f(x)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且為一全微分方程，求此微分方程的通解。解

令解得令特解13例5：設(shè)f(x)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且為一全微分方程，求此利用通解14利用通解14例7

有特而對應(yīng)齊次方程有解及微分方程的通解.解:將故所給二階非齊次方程為方程化為1.設(shè)二階非齊次方程一階線性非齊次方程15例7有特而對應(yīng)齊次方程有解及微分方程的通解.解:將故再積分得通解復(fù)習(xí):一階線性微分方程通解公式16故再積分得通解復(fù)習(xí):一階線性微分方程通解公式16例8(1)驗證函數(shù)滿足微分方程(2)利用(1)的結(jié)果求冪級數(shù)的和.解:(1)(02考研)17例8(1)驗證函數(shù)滿足微分方程(2)利用(1)的結(jié)果求冪所以(2)由(1)的結(jié)果可知所給級數(shù)的和函數(shù)滿足其特征方程:特征根:∴齊次方程通解為設(shè)非齊次方程特解為代入原方程得故非齊次方程通解為18所以(2)由(1)的結(jié)果可知所給級數(shù)的和函數(shù)滿足其特征方代入初始條件可得故所求級數(shù)的和19代入初始條件可得故所求級數(shù)的和19P354題8設(shè)函數(shù)在r>0內(nèi)滿足拉普拉斯方程二階可導(dǎo),且試將方程化為以r為自變量的常微分方程,并求f(r).提示:利用對稱性,即(歐拉方程)原方程可化為20P354題8設(shè)函數(shù)在r>0內(nèi)滿足拉普拉斯方程二例7.設(shè)函數(shù)內(nèi)具有連續(xù)二階導(dǎo)(1)試將x＝x(y)所滿足的微分方程變換為y＝y(tǒng)(x)所滿足的微分方程;數(shù),且解:上式兩端對x求導(dǎo),得:(1)由反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式知(03考研)代入原微分方程①得21例7.設(shè)函數(shù)內(nèi)具有連續(xù)二階導(dǎo)(1)試將x＝x(y)所(2)方程①的對應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)①的特解為代入①得A＝0,從而得①的通解:例7.設(shè)函數(shù)內(nèi)具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù),且的解.(2)