同濟版大一高數(shù)下第七章習題課2xg課件

高等數(shù)學第三十四講1高等數(shù)學第三十四講1二階微分方程的習題課(二)二、微分方程的應用

解法及應用一、兩類二階微分方程的解法第七章2二階微分方程的習題課(二)二、微分方程的應用解法及應用一、兩類二階微分方程的解法

1.可降階微分方程的解法—降階法令令逐次積分求解3一、兩類二階微分方程的解法1.可降階微分方程的解法—解代入方程，得故方程的通解為例1.4解代入方程，得故方程的通解為例1.4例2

已知方程有特解則方程的通解為再求線性齊次方程的通解.提示:()提示:將解代入方程,得5例2已知方程有特解則方程的通解為再求線性齊次方程的通解2.二階線性微分方程的解法

常系數(shù)情形齊次非齊次代數(shù)法62.二階線性微分方程的解法常系數(shù)情形齊次非齊次代數(shù)法6解答提示P353題2

求以為通解的微分方程.提示:由通解式可知特征方程的根為故特征方程為因此微分方程為P352題3求下列微分方程的通解提示:令則方程變?yōu)?解答提示P353題2求以為通解的微分方程.提示:由P354題4(2)求解提示:令則方程變?yōu)榉e分得利用再解并利用定常數(shù)思考若問題改為求解則求解過程中得問開方時正負號如何確定?8P354題4(2)求解提示:令則方程變?yōu)榉e分得利用再解特征方程對應的齊次方程的通解為例3原方程的一個特解為故原方程的通解為設原方程的特解為9解特征方程對應的齊次方程的通解為例3原方程的一個特解為故原方故原方程的通解為例3由解得所以原方程滿足初始條件的特解為10故原方程的通解為例3由解得所以原方程滿足初始條件的特解為10例4.設求解:兩邊對x求導求解可得思考:設提示:對積分換元,令則有11例4.設求解:兩邊對x求導求解可得思考:設提示:思考:設提示:對積分換元,則有解初值問題:答案:12思考:設提示:對積分換元,則有解初值問題:答案:12例5：設f(x)具有二階連續(xù)導數(shù)且為一全微分方程，求此微分方程的通解。解

令解得令特解13例5：設f(x)具有二階連續(xù)導數(shù)且為一全微分方程，求此利用通解14利用通解14例7

有特而對應齊次方程有解及微分方程的通解.解:將故所給二階非齊次方程為方程化為1.設二階非齊次方程一階線性非齊次方程15例7有特而對應齊次方程有解及微分方程的通解.解:將故再積分得通解復習:一階線性微分方程通解公式16故再積分得通解復習:一階線性微分方程通解公式16例8(1)驗證函數(shù)滿足微分方程(2)利用(1)的結果求冪級數(shù)的和.解:(1)(02考研)17例8(1)驗證函數(shù)滿足微分方程(2)利用(1)的結果求冪所以(2)由(1)的結果可知所給級數(shù)的和函數(shù)滿足其特征方程:特征根:∴齊次方程通解為設非齊次方程特解為代入原方程得故非齊次方程通解為18所以(2)由(1)的結果可知所給級數(shù)的和函數(shù)滿足其特征方代入初始條件可得故所求級數(shù)的和19代入初始條件可得故所求級數(shù)的和19P354題8設函數(shù)在r>0內(nèi)滿足拉普拉斯方程二階可導,且試將方程化為以r為自變量的常微分方程,并求f(r).提示:利用對稱性,即(歐拉方程)原方程可化為20P354題8設函數(shù)在r>0內(nèi)滿足拉普拉斯方程二例7.設函數(shù)內(nèi)具有連續(xù)二階導(1)試將x＝x(y)所滿足的微分方程變換為y＝y(tǒng)(x)所滿足的微分方程;數(shù),且解:上式兩端對x求導,得:(1)由反函數(shù)的導數(shù)公式知(03考研)代入原微分方程①得21例7.設函數(shù)內(nèi)具有連續(xù)二階導(1)試將x＝x(y)所(2)方程①的對應齊次方程的通解為設①的特解為代入①得A＝0,從而得①的通解:例7.設函數(shù)內(nèi)具有連續(xù)二階導數(shù),且的解.(2)