2022年高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)與零點(diǎn)、不等式等綜合運(yùn)用及答案

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精研考綱！)1納核心題海訓(xùn)練歸納總結(jié)體驗(yàn)實(shí)戰(zhàn)梳理復(fù)習(xí)

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【題組一零點(diǎn)問題】

1.(2021?河北邢臺(tái)?高二月考)已知函數(shù)/'(X)滿足礦(力一3/(力=丘',/(0)=0,八1)=6+1,則函數(shù)

尸(x)=/(x)-l的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

2.(2021?河南南陽?高二月考(理))已知函數(shù)/(x)=x2(2x—a)(a>2),若函數(shù)g(x)=/(f(x)+l)恰有4個(gè)

零點(diǎn)，則。的取值范圍是()

A.(3,4)B.(3,內(nèi))C.(2,3)D.(4,xo)

3.(2021?北京?首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高二期中)若函數(shù)/(x)=lnx-ar有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)〃的

取值范圍是()

A.(0.+?)B.(0,jC.(0,e)D.1肛:)

4.(2021?陜西省洛南中學(xué)高二月考(理))函數(shù)/(x)=-V+12x+m有三個(gè)零點(diǎn)，則，”的取值范圍為一.

5.(2021?河北邢臺(tái)?高二月考)已知方程e*-x-〃?=O有且只有1個(gè)實(shí)數(shù)根，則”?=.

6.(2021?福建?福州三中高二期中)已知函數(shù)=若關(guān)于x方程/2(x)-2/(x)+2=0(reR)有

兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)「的取值范圍為.

7.(2021?安徽?蕪湖一中高二期中(理))已知函數(shù)/(外二上^一？、,一有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范

圍為.

8.(2021?江蘇?無錫市青山高級(jí)中學(xué)高二期中)己知函數(shù)/X*)=\2X+3'V若函數(shù)/(x)

/nr+5,x>1

有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)力的取值范圍為一.

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9.(2021?河南?高二期中(理))已知函數(shù)/(耳=爐-""+3).

(1)當(dāng)。=1時(shí),求/(x)的最小值；

(2)若/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)，，的取值范圍.

10.(2021?廣東普寧?高二期中)設(shè)函數(shù)/(x)=e'cosx,/(x)為/5)導(dǎo)函數(shù).

(1)求人X)的單調(diào)區(qū)間：

(2)令Mx)=/(x)+f'(x)[g—x],討論當(dāng)當(dāng)時(shí)，函數(shù)〃(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

U)44

、3

11.(2021?江蘇啟東?高二期中)已知函數(shù)/。)=犬-3x+clnx+d,八2)=1.

(1)求的單調(diào)區(qū)間；

(2)若d>2,求證：/⑴只有1個(gè)零點(diǎn).

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【題組二不等式證明問題】

1.(2021?新疆?烏市八中高二月考(文))己知函數(shù)f(x)=x-alnx.

(1)討論的單調(diào)性；

(2)若/(力21恒成立，求。的取值范圍：

(3)在(2)的條件下，/(x)=m有兩個(gè)不同的根中三，求證：多+三>，"+1.

2.(2021?重慶十八中高二月考)已知函數(shù)F")="一1.

x-lX+1

⑴設(shè)a=2,x>l,試比較/?(x)=(x—1)尸(x)與。的大??；

(2)若F(x)>0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)若“使尸(X)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)七,天，求證：2，"2-2"<|/-與|<2"-"".

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3.(2021?山東任城?高二期中)已知函數(shù)/(x)=x-“l(fā)nx(awR)

(1)求f(x)的極值；

(2)若求4的值，并證明：f(x)>2x-e\

4.(2021?河北邢臺(tái)?高二月考)已知函數(shù)/(幻=以2+：.

(1)當(dāng)a=-4時(shí)，求f(x)的極值點(diǎn).

(2)當(dāng)a=2時(shí)，若/=且％&<0,證明：,2-力..6.

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5(2021?山西晉中?高二期末(文))已知/(x)=ar-lnx,(?eR)

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)求證：當(dāng)”=1時(shí)，e'f(x)>ex.

6.(2021?河北?邯山區(qū)新思路學(xué)本文化輔導(dǎo)學(xué)校高二期中)已知函數(shù)/(x)=me2'-Inx.

(1)若x=l是/(x)的極值點(diǎn)，求，〃的值，并判斷/(X)的單調(diào)性.

(2)當(dāng)機(jī)>1時(shí)，證明：f(x)>2.

【題組三恒成立問題】

1.(2021?重慶十八中高二月考)設(shè)函數(shù)f(x)=alnx-62.

(1)若人=；,討論函數(shù)〃x)的單調(diào)性；

'3]

(2)當(dāng)6=0時(shí)，若不等式/(x)2m+x對(duì)所有的ae1,-,恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

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2.（2021?江西省南昌縣蓮塘三中高二月考（理））已知函數(shù)/。）=以3+加2+。汗+，/為奇函數(shù)，且在x=-l

處取得極大值2.

（1）求f（x）的解析式；

（2）若/（回+（，〃+2）*4/（/-1）對(duì)于任意的、€[0,+00）恒成立，求實(shí)數(shù)，”的取值范圍.

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導(dǎo)數(shù)與零點(diǎn)、不等式等綜合運(yùn)用

【題組一零點(diǎn)問題】

1.(2021?河北邢臺(tái)?高二月考)已知函數(shù))(x)滿足》'(x)-3〃x)=x"J(0)=0,4l)=e+l,則函數(shù)

F(x)=/(x)T的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】當(dāng)xwO時(shí),由#，(x)-3f(x)=x2,

可得x7'(x)-3^2/(.r)=，則13口);3『/%)="，

即［與］=",所以維=/+C.

XJX

因?yàn)?6=e+l,所以C=l,故/(x)=x3(e，+l)(.-0).

因?yàn)?(。)=0,所以/(可=/(爐+1),

則/'(x)=X?［(x+3”，+3)設(shè)g(x)=(x+3)e、+3,則g'(x)=(x+4)e*,

所以g(x)在(fT)上單調(diào)遞減，在(<y)上單調(diào)遞增，

所以g(x)mi?=g(T)=-eT+3>0,所以r(x)..O,則〃x)在(F2)上單調(diào)遞增，尸(x)=/(x)-l在(fe)

上也單調(diào)遞增，

因?yàn)樽?)=/(0)-1=一1<0,F(l)=/(l)-l=e+l-l=e>0,

所以F(0)尸⑴<0,

所以F(x)有且只有1個(gè)零點(diǎn).

故選：B

2.(2021?河南南陽?高二月考(理))已知函數(shù)/(x)=i(2x-a)3>2),若函數(shù)g(x)=/(/(x)+D恰有4個(gè)

零點(diǎn)，則。的取值范圍是()

A.(3,4)B.(3,+oo)C.(2,3)D.(4,+oo)

【答案】B

【解析】因?yàn)?(乂)=/(2*一。)(°>2)的零點(diǎn)為0,y,所以由g(x)=/(/(x)+1)=(),

得/(x)+l=O或5，即/V)=—1或卜1.

因?yàn)?''(X)=2x(3x-〃)(〃>2),所以F(X)在(70,0),仁,+8)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則/(X)的

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極大值為/(。)=。，極小值為/

因?yàn)椤?gt;2,所以二-1>0,所以結(jié)合f(x)的圖象可得一4<一1且=-1>0,解得。>3.

2272

3.(2021?北京?首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高二期中)若函數(shù)/(x)=lnx-以有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的

取值范圍是()

A.(O.+?)B.C.(O,e)D.(一00，；)

【答案】B

【解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=lnx-ar有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，

所以方程Inx-ar=O有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

所以也有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

X

A\nx,1-lnx

令、=-，y=——

xx

所以當(dāng)xe(O,e)時(shí)，y'>0,函數(shù)y=(為增函數(shù),

當(dāng)x?e,w)時(shí)，."<0,函數(shù)丫=?為減函數(shù)，

由于當(dāng)XT0,曲▲―>—oo,x—>+<?,曲二—>0,

XX

故函數(shù)y=匣的圖像如圖，、

X

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所以?=。有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根等價(jià)于

故選：B

4.(2021?陜西省洛南中學(xué)高二月考(理))函數(shù)/(x)=-F+12x+m有三個(gè)零點(diǎn)，則用的取值范圍為.

【答案】(-16,16)

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y(x)=-V+i2x+〃?，

所以f'(x)=-3x2+12=-3(x+2)(x-2),

令/'(x)>0=-2<x<2；f'(x)<0=x<-2或x>2,

所以函數(shù)f(x)在(f，-2)和(2,+8)上為減函數(shù)，在(-2,2)上為增函數(shù)，

所以當(dāng)x=-2時(shí)，取得極小值，且f(-2)=〃7-16,

當(dāng)x=2時(shí),"X)取得極大值，旦八2)=〃?+16,

f/n-16<0

又函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，所以,、，解得-

[w+16>0

故答案為：(76,16)

5.(2021?河北邢臺(tái)?高二月考)已知方程6'-》-〃7=0有且只有1個(gè)實(shí)數(shù)根，則機(jī)=.

【答案】1

【解析】設(shè)f(x)=e'-x,則r(x)=e*-l.令_f(x)=O,得x=0,則/")在(—,0)上單調(diào)遞減，在(0,+少)

上單調(diào)遞增，所以“X)在x=0處取得最小值/(O)=1.故若方程e、-x—m=0有且只有.1個(gè)實(shí)數(shù)根，則加=1.

故答案為：1

6.(2021?福建?福州三中高二期中)已知函數(shù)/*)=”川|,若關(guān)于x方程尸(x)-2如(x)+2=0"eR)有

兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為

【答案】[&，|)

【解析】令g(x)=xe，“，

g(r)=e，"+=(1+，

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所以在(-1,物)上，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

在(70,-1)上，U(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

所以8(乩“,=g(T)=-”=-I，

又g(o)=o,

所以作出g(x)與/(X)的圖像如下：

22

令k=f(x)(k>0),則方程f(x)-2/(x)+2=()(/eR)為k-2tk+2=O(zGR),

..k~+,2.2

貝l]2;=—；—=*+-,

kk

2

令以外=心7，作出以A)的圖像：

k

2

當(dāng)0<2/<2夜，即0<￡<及時(shí),丫=2/與g(2)=k+工沒有交點(diǎn),

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2

所以方程2"八[無根，則Z=/(x)(〃>0)無解，不合題意.

k

當(dāng)2/=2&，即/=拒時(shí)，y=2f與g(k)=k+1有1個(gè)交點(diǎn),

所以方程2i+演1個(gè)根為女=&,則《=/(x)(QO)有1個(gè)解，不合題意.

2

當(dāng)2f>2應(yīng)，即&時(shí)，y=2r與g(2)=&+7有2個(gè)交點(diǎn)，

所以方程〃=八彷2個(gè)根為0<勺<&,&>&,

若人=1時(shí)，則4=/。)伏>0)有2個(gè)解，&=/(x)(*>0)有1個(gè)解，

所以k=/(x)有3個(gè)解，不合題意.

若0<人<1時(shí)，則匕=/(x)(4>0)有3個(gè)解,&=/(xXQ0)有1個(gè)解，

所以左=/(x)有4個(gè)解，不合題意.

若/>勺>1時(shí)，貝1]4=/。)(*>0)有1個(gè)解，&=/(項(xiàng)%>0)有1個(gè)解，

所以k=/(x)有2個(gè)解，合題意.

2

因?yàn)?，=人工，

所以2忘<2,<3,即應(yīng)<，<：,

綜上所述，，的取值范圍為(及.|).

故答案為：(&，》.

7.(2021?安徽?蕪湖一中高二期中(理))已知函數(shù)〃x)=HT-21nx|T有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范

圍為.

【答案】(O,21n2-l)

【解析】函數(shù)/(x)=|e--21nx|T的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，

也就是丫=k7-21nH與y=f的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，

設(shè)g(x)=ei-21nx,顯然函數(shù)的定義域?yàn)?0,+8),

g'(x)=e2-：,

記/?(刈=產(chǎn)-：，則有〃(2)=0,〃(加產(chǎn)+康〉。，

在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)xe(0.2)時(shí)，h(x)<0,即短(x)<0,

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所以g(x)在(0,2)上單調(diào)遞減,

當(dāng)xw(2,+oo)時(shí)，/?(x)>0,即g<x)>0,

所以g(x)在(2,?0)上單調(diào)遞增,

所以g(x*n=g(2)=l-21n2<0,

同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)、=k7-2111可與丫=，的大致圖象，如圖:

故答案為：(0,2ln2-l)

8.(2021?江蘇?無錫市青山高級(jí)中學(xué)高二期中)已知函數(shù)/'(x)=+3'V,若函數(shù)f(x)

nix+5,x>\

有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)卬的取值范圍為一.

【答案】(-5,0)

【解析】當(dāng)04x41時(shí)，/(x)=2/+3?+;n,則/'(x)=6/+6x20,故/⑺在xw［0,l］上是增函數(shù).

要使函數(shù)/(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則函數(shù)/(x)在［0,1］與(1,鈣)上各有1個(gè)零點(diǎn)，顯然加<0.

故巳。叫)4。，解得：_5<帆<。，

6+5>0

綜上所述：實(shí)數(shù)"的取值范圍為(-5,0).

故答案為：(-5,0).

9.(2021?河南?高二期中(理))已知函數(shù)f(x)=/-a(x+3).

(1)當(dāng)”=1時(shí)，求/("的最小值；

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(2)若“力有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)-2；(2)

【解析】⑴當(dāng)〃=1時(shí)，f(x)=e'-x-3,

則“6的定義域?yàn)?f”)，且f'(x)=e'-\,

.?.當(dāng)xw(-oo,0)時(shí)，當(dāng)xw(0,+oo)時(shí)，/'(x)>0;

??J(x)在(70,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

??J(x)的最小值為/(。)=一2.

(2)由題意知:定義域?yàn)?F.+00),f,(x)=eI-a,

①當(dāng)“so時(shí)，r(x)=e'-a>0恒成立，

???/(x)在(YO,*O)上單調(diào)遞增，不符合題意；

②當(dāng)”>0時(shí)，令/'(x)=。，解得：x=lna,

.?.當(dāng)x?-oo,lna)時(shí),/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xe(lna,+oo)時(shí),//(x)>0,/(x)單調(diào)遞增;

即當(dāng)a>0時(shí)，/(%)有極小值也是最小值為/(Ina)=-a(2+Ina).

又當(dāng)xfYo時(shí)，/(x)->+oo.當(dāng)xf+oo時(shí)，/(x)^+oo；

,要使/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，只需/(lna)<0即可，則2+lna>0,解得：a>J：

綜上所述：若〃x)有兩個(gè)‘零點(diǎn)，則”的取值范圍為儀,+8)

10.(2021?廣東普寧?高二期中)設(shè)函數(shù)/(x)=e*cosx,f(x)為八x)導(dǎo)函數(shù).

(1)求TV)的單調(diào)區(qū)間；

(2)令/?(x)=/(x)+/'(x)討論當(dāng)xe時(shí)，函數(shù)力⑴的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【答案】(I)/*)的單調(diào)遞增區(qū)間為2丘-￥，25+￡(AeZ),/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為

_44

jr57c

2&兀+92版+4(keZ)；(2)只有一個(gè)零點(diǎn).

44

【解析】(1)由已知,Wf,(x)=eJC(cosx-sinx).

當(dāng)x￡(2%乃+(,2%)+?)伏wZ)時(shí)，有sinx>cosx,得f'(x)vO,則f(x)單調(diào)遞減;

當(dāng),2k;r+?)(k￡Z)時(shí)，有sinxvcosx,得/'(外>0,則/(用單調(diào)遞增.

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2022年高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)與零點(diǎn)、不等式等綜合運(yùn)用及答案

精研考綱歸納核心題海訓(xùn)練歸納總結(jié)體驗(yàn)實(shí)戰(zhàn)梳理復(fù)習(xí)

所以人力的單調(diào)遞增區(qū)間為2廿:2ykZ)」⑺的單調(diào)遞減區(qū)間為2E+寧版+年也小

(2)證明：由(1)有r(x)=e%cosx-sinx),令g(x)=/'(x),

從而g'(x)=-2,sinx.當(dāng)"E(了:時(shí)，g'(x)<。，

故hf(x)=f，(x)+g<x)(g-x)+g(x)(-1)=-x)，

因此，時(shí)，〃'(x)v°,時(shí)，〃'(幻>°，

萬。)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間(1,,)單調(diào)遞增.

...年>j,Mx)N/?(5)=0.

所以，當(dāng)年)時(shí)，函數(shù)g)只有一個(gè)零點(diǎn).

3

11.(2021?江蘇啟東?高二期中)已知函數(shù)〃x)=x2-3x+clnx+d,r(2)=-.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若">2,求證：/(x)只有1個(gè)零點(diǎn).

【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間是(0.；)和(1，內(nèi))：單調(diào)減區(qū)間是(；1)；(2)證明見解析.

【解析】(1)依題意，函數(shù)/(*)的定義域?yàn)?0，+?),

由f（x）=x2-3x+clnx+d,得/'（x）=2x-3+2,

X

又Q/'（2）=]a,即2x2-3+1r=a]計(jì)算得c=l,

所以f'（x）=二3配I=（21）（2二1）

XX

令r（x）>0,得0<x<g或X>1；

令/'（x）<0,得g<x<l,

所以/（x）的單調(diào)增區(qū)間是（og）和（1,物）：單調(diào)減區(qū)間是（；1）；

（2）由（1）知，Ax）在x=；處取極大值，在x=l處取極小值,

當(dāng)d>2時(shí)，/CO的極小值f(l)=d-2>0,

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所以fM在區(qū)間(；,一)上無零點(diǎn).

由于/(g)>/(I)>0,而/(e-rf)=e-2rf-3e-d<e"-3e"=-2e-d<0.

所以f(x)在區(qū)間(o.g)上有且只有1個(gè)零點(diǎn).

所以">2時(shí)，/⑺只有1個(gè)零點(diǎn).

【題組二不等式證明問題】

1.(2021?新疆?烏市八中高二月考(文))己知函數(shù)/(x)=x-alnx.

(1)討論的單調(diào)性；

(2)若/(x)21恒成立，求〃的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，/(》)=，〃有兩個(gè)不同的根林X2,求證：與+*>,”+1.

【答案】⑴答案見解析；(2){1}；(3)證明見解析.

【解析】解：(1)/(x)=x-alnx,則r(x)=l'=3(x>0),

XX

當(dāng)"V0時(shí)，r(x)>0恒成立，所以“X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)”>0時(shí)，令r(x)=0,得X="，所以x>"時(shí)，/'(x)>0；0<x<a時(shí)，/'(x)<0,

所以/(x)在(0,。)上單調(diào)遞減，在(。，”)上單調(diào)遞增：

綜上：當(dāng)aVO時(shí)，f(x)在(。,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)a>0時(shí)，”X)在((),〃)上單調(diào)遞減，在(a,內(nèi))上單調(diào)遞增：

(2)/(x)的定義域?yàn)?0,收)，且/’(力=1-0=",

XX

當(dāng)0=0時(shí)，/(x)=x,/(X)在(0,y)上單調(diào)遞增，

所以“X)21不恒成立，不合題意；

當(dāng)"<0時(shí)，r(x)>0，f(x)在(0，+8)上單調(diào)遞增,

且當(dāng)xf0時(shí)，不合題意；

當(dāng)a>0時(shí)，由/'(x)=0得x=a,

所以/(x)在(0,。)上單調(diào)遞減，在(“，”)上單調(diào)遞增，

所以/(X)在X=a處取到極小值，也是最小值/(?)=?-?lna,

由題意得f(a)=a-a\na^\恒成立，

令g(x)=x-xlnx,g'(x)=_lnx,

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g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,2)上單調(diào)遞減,

所以=⑴=1,所以/(.)=〃-4加a=1,即"=1.

(3)f(x)=x-\nx9且“X)在x=l處取到極小值1,

又工一>0口寸，/(x)->+oo,Xf+oo時(shí)，y(x)-?+oo,故機(jī)>1且0<$<1<七，

要證明：只需證明電>〃，+1-冬，又X2>，〃+"%>1,

故只需證明：/(占)即證：，〃:>/(5+1-司)，

即證：+即證：I-X1-ln(l-加陽)V。，

設(shè)〃(x)=1-x—n(一nx)(O<"l),則〃'⑴=一］+而扃=與茜落，

因?yàn)镺vxvl,所以.《l-lnx)>。，由(2)知InxVx-1恒成立，

所以-xlnxKl-x,G［Jl-x+xln,v>0,

XX

所以力(戈)在ovxvl上為增函數(shù)，所以人(“<人(1)=0,即命題成立.

2.(2021?重慶十八中高二月考)已知函數(shù)=

⑴設(shè)a=2,x>\,試比較Mx)=(x-1)尸(x)與0的大小;

(2)若/(x)>0恒成立，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍；

(3)若。使尸(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)芭,吃，求證：2一2a%%e"-建.

【答案】(1)力。)>0；(2)(7,2］；(3)證明見解析.

【解析】(D當(dāng).=2時(shí)，/?(》)=(龍一1)(空一二)=lnx-^=^,x>l,

x-\x+lx+1

可得/@)」_2(x+l)-2『)=(-x=》,

\'Xx(x+l)2X(X+1)2X(X+1)2

當(dāng)X>1時(shí)，/?'(X)>(),所以Mx)在(1,田)上為單調(diào)遞增函數(shù)，

因?yàn)樘?)=0,所以⑴=0.

(2)設(shè)函數(shù)/(x)=lnx-"三D，則f'(x)=lnx-匚如二室把，

x+1x(x+l)

令8(工)=/+2(1-。>+1,

當(dāng)aWl時(shí)，當(dāng)x>0時(shí)，g(x)>(),

當(dāng)1<。42時(shí)，AMd/-SaVO,可得g(x)20,

所以當(dāng)a42時(shí)，〃x)在(0,叼)上單調(diào)遞增函數(shù)，且f(l)=0.

所以有」7〃x)>0,可得尸(x)>0,

x—1

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當(dāng)a>2時(shí)，有△=4/-8“>0，此時(shí)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為44，且6<明

又因?yàn)?+%=23-1)>0且，占=1，所以0<人<1<，2，

在(1,幻上，/(X)為單調(diào)遞減函數(shù)，

所以此時(shí)有/(x)<o,即lnx<"3,可得"——j<0,

x+1x-1x+1

此時(shí)尸(x)>0不恒成立，

綜上可得。42,即實(shí)數(shù)”的取值范圍是(7,2].

(3)若F(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)占,占，不妨設(shè)占<修，

則為，三為"x)=lnx-吐2的兩個(gè)零點(diǎn)，且工尸1，為",

由⑵知此時(shí)”>2,并且“X)在(0,牡(占*o)為單調(diào)遞增函數(shù)，

在&,幻上為單調(diào)遞減函數(shù)，且/(1)=0,所以/6)>0，/(幻<0,

因?yàn)?卜-")=一占<0,/卜")=一三>0,6-"<1<6",且〃可的圖象連續(xù)不斷，

aa

所以為e(e~,tl),x2e(t2,e,),所以4-6〈芻-占ve"-"",

因?yàn)閝-八=7(^+ri)2-4rif2=246-2a,

綜上可得：2\ja2-2a<|x,-x(|<ea-e~a.

3.(2021?山東任城?高二期中)已知函數(shù)/'(x)=x-alnx(aeR)

(1)求〃x)的極值；

(2)若/(x)Nl,求。的值，并證明：f(x)>2x-ex.

【答案】(1)當(dāng)。40時(shí)，"X)無極值；當(dāng)。>0時(shí)，/(*)的極小值為/(a)=a-aln“，無極大值；(2)1,證

明見解析.

【解析】解：(D.-./V)=l--=-(x>0)

XX

①當(dāng)aV0時(shí)，r(x)>0,/(x)在((),+?>)上單調(diào)遞增.

.?」3在(0,+8)上無極值.

②當(dāng)〃>0時(shí)，令/'(x)>0得x>a；令/'(x)<。得0cxea.

???/(x)在(0,a)上單調(diào)遞減，在(。,+?)上單調(diào)遞增.

???fM的極小值為/(o)=a-a\na,無極大值.

綜上，當(dāng)“V。時(shí)，〃x)無極值；當(dāng)”>0時(shí)，"X)的極小值為/'gMa-alna,無極大值.

(2)由(1)可知，①當(dāng)“V0時(shí)，/(x)在(0,必)上單調(diào)遞增，而/■⑴=1,

.?.當(dāng)XW(O,1)時(shí),/(x)<l,即/(x)21不恒成立.

②當(dāng)”>0時(shí)，/(x)在(0,4)上單調(diào)遞減，在(“，田)上單調(diào)遞增.

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令g(a)=a-?Ina(a>0),則g*(a)=1-(lna+1)=-lna.

當(dāng)ae(0,l)時(shí)，g'(a)>0,g(a)在(0,1)上單調(diào)遞增;

當(dāng)aw(l,+oo)時(shí)，g，(a)<0,g(a)在(l,+a>)上單調(diào)遞減.

；.g(a)4g⑴=1.

/.a=1.

設(shè)力(x)=f(x)-2x+ex=-x-lnx+eJ(x>0),下面證明力(工)>0.

Q當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=x-lnx>l,BPlnx<x-l.

??.x+lnx<2x-l,/.只要證2x—1<d(*).

令［(x)=e"—2x+l,x>0,則q\x)=ex-2.

.?.當(dāng)xc(0,ln2)時(shí)，q'(x)v0,虱%)在(04n2)上單調(diào)遞減;

當(dāng)xw(ln2,+oo)時(shí)，^'(x)>0,q(x)在(In2,+oo)上單調(diào)遞增.

/.q(x)>q(ln2)=3-In4=Ine3-In4>0.

??.(*)式成立,即f(x)>2x-d成立.

4.(2021?河北邢臺(tái)?高二月考)已知函數(shù)/(*)=奴2+：.

(1)當(dāng)a=T時(shí)，求””的極值點(diǎn).

(2)當(dāng)”=2時(shí)，若〃xj=/(w),且砧<0,證明也-句..此.

【答案】(1)極大值點(diǎn)為無極小值點(diǎn)：(2)證明見解析.

【解析】(I)當(dāng)a=T時(shí)，〃X)=TX、L定義域?yàn)?70,。)5。,水?).

X

則ra)=—8x-=—良旦.

XT

令尸(x)=0,解得x=-g

則函數(shù)/(力在上單調(diào)遞增，在卜;，。)，(0+8)上單調(diào)遞減.

所以X=J為/(?)的極大值點(diǎn)，

所以“X)的極大值點(diǎn)為-；，無極小值點(diǎn).

(2)當(dāng)a=2時(shí)，/(x)=2x2+p定義域?yàn)?YO,0)=(0,+<?),

則/(xJ=2x：+L/(占)=2*+,

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因?yàn)?&)=/(引，所以2片+'=2年+L

X\X2

整理得2(%+七乂%-七)=土玉.

苦工2

因?yàn)橥跤?lt;0,所以2(玉+.與)=」一,

卒2

所以卜2-玉/=(%+不『-4xtx2=4ax)2-4玉X2.

設(shè)r=5<0,則|w-x『=g(r)=；--；，/。)=號(hào)+5=^^.

人I人24tZf2/

令g'(/)=0,解得r=-2,則gS=52-4在(YO,_2)上單調(diào)遞減，在(-2,0)上單調(diào)遞增,

所以g(>-g(-2)=3,即居一町..3,

故尾-占|-J5.

5(2021?山西晉中?高二期末(文))已知"x)=ox-lnx,(aeR)

(1)討論〃x)的單調(diào)性；

(2)求證：當(dāng)”=1時(shí)，e'f(x)>ex.

【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.

【解析】(1)f'(x)=a--=-,xe(0,+oo)

XX

當(dāng)aWO時(shí)，r(x)<0,〃x)在(0,+功上單調(diào)遞減；

a〉0時(shí)，當(dāng)xe(0,J時(shí)，f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，/(x)>0,〃x)單調(diào)遞增.

(2)證明：當(dāng)a=l時(shí)，原不等式等價(jià)于e*(x-lnx)2er

欲證e”(x-lnx)2ex,

只需證

設(shè)〃(x)=x-lnx,g(x)=W，(x>0)

〃(x)=l-g=?,當(dāng)xe(O,l)時(shí)，/f(x)<0,/?(x)單調(diào)遞減:

當(dāng)xe(l,+8)時(shí),"(x)>0,〃(x)單調(diào)遞增，1nl「〃⑴=1

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(")=竺1立，當(dāng)xe(O,l))時(shí)，楂(x)>0,力(無)單調(diào)遞增;

當(dāng)X￡(l,+oo)時(shí)，/f(-r)<0,6(x)單調(diào)遞減，g(x)a=g⑴=1

所以Mx)Wg(x),即原命題成立.

6.(2021?河北?邯山區(qū)新思路學(xué)本文化輔導(dǎo)學(xué)校高二期中)已知函數(shù)/(x)=〃/'-lnx.

(1)若x=l是f(x)的極值點(diǎn)，求機(jī)的值，并判斷〃x)的單調(diào)性.

(2)當(dāng)，”>1時(shí)，證明：〃x)>2.

【答案】(1)，〃=±，在(01)上單調(diào)遞減，在(I.”)上單調(diào)遞增；(2)證明見解析.

【解析】(1)解：r(x)=2〃/-}

因?yàn)閄=1是“X)的極值點(diǎn)，所以尸(1)=2府2-1=0,得m=

此時(shí)/(力=去2、-12/V)=7^t-P

1、12、1

令〃?(x)=/，(x)=-ye"--,XG(0,+QO),則機(jī)"(力=-y+—>0,

所以，"(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，且?、?/『一；=0

因此0VXV1時(shí)，相(X)<0；當(dāng)X>1時(shí)〃[(x)>0.

故當(dāng)Ovxvl時(shí)/'(x)<0；當(dāng)x>l時(shí)r(x)>0.

所以“X)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，e)上單調(diào)遞增.因此X=1是“X)的極值點(diǎn),故m=—；f(x)在(0,1)

上單調(diào)遞減，在(1.母)上單調(diào)遞增

(2)證明：當(dāng)機(jī)>1時(shí)，因?yàn)閒(x)-2=〃處“一Inx-2>/x-]nx-2,

所以只需證-InX-2>0即可.

令g(x)=e2v-lnx-2,則g'(x)=2e2x--=-(2xe2t-l).

令人(x)=2x^2x-l(x>0),則/?/(%)=2e2x+4xe2x>0,

因?yàn)門<0，?=

所以存在使得人(可)=0,即2與e2"-l=0,即/"=止，

也可化為2再+In2%=0,即In/=-2x0-ln2.

所以g(x)在(0,與)上單調(diào)遞減，在優(yōu),+00)上單調(diào)遞增，

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