高中數(shù)學(xué)131-二項(xiàng)式定理課件

1.3.1二項(xiàng)式定理(1)1.在n=1,2,3時(shí)，寫出并研究(a+b)n的展開式.(a+b)1=

,(a+b)2=

,(a+b)3=

,a+ba2+2ab+b2a3+3a2b+3ab2+b3結(jié)合左邊的次數(shù)分析：展開式中的項(xiàng)數(shù)、次數(shù)(a、b各自次數(shù)）每一項(xiàng)的系數(shù)規(guī)律提出問題：次數(shù):各項(xiàng)的次數(shù)等于二項(xiàng)式的次數(shù)項(xiàng)數(shù):次數(shù)+1(a+b)2＝

(a+b)(a+b)展開后其項(xiàng)的形式為：a2

，ab

，b2

這三項(xiàng)的系數(shù)為各項(xiàng)在展開式中出現(xiàn)的次數(shù)?？紤]b對(a+b)2展開式的分析每個(gè)都不取b的情況有1種，即

,則a2前的系數(shù)為恰有1個(gè)取b的情況有

種，則ab前的系數(shù)為恰有2個(gè)取b的情況有種，則b2前的系數(shù)為(a+b)2=a2+2ab+b2

＝a2+ab+b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+a2b+ab2+b32.在n=4時(shí)，猜測(a+b)的展開式.4(a+b)4＝

(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)＝？問題：1)．(a+b)4展開后各項(xiàng)形式分別是什么？2)．各項(xiàng)前的系數(shù)代表著什么？3)．你能分析說明各項(xiàng)前的系數(shù)嗎？a4a3ba2b2ab3b4各項(xiàng)前的系數(shù)代表著這些項(xiàng)在展開式中出現(xiàn)的次數(shù)3)．你能分析說明各項(xiàng)前的系數(shù)嗎？a4a3ba2b2ab3b4每個(gè)都不取b的情況有1種，即則a4前的系數(shù)為恰有1個(gè)取b的情況有種，則a3b前的系數(shù)為恰有2個(gè)取b的情況有種，則a2b2前的系數(shù)為恰有3個(gè)取b的情況有種，則ab3前的系數(shù)為恰有4個(gè)取b的情況有種，則b4前的系數(shù)為則(a+b)4＝

a4

＋

a3b＋

a2b2＋

ab3＋b4一二三四問題：4個(gè)容器中有相同的紅、黑玻璃球各一個(gè)，從每個(gè)容器中取一個(gè)球，有多少不同的結(jié)果？4個(gè)紅球0個(gè)黑球3個(gè)紅球1個(gè)黑球2個(gè)紅球2個(gè)黑球1個(gè)紅球3個(gè)黑球0個(gè)紅球4個(gè)黑球C40C41C42C43C44一二三四a4a3ba2b2ab3b4都不取b取一個(gè)b

取兩個(gè)b

取三個(gè)b

取四個(gè)b

項(xiàng)系數(shù)C40C41C42C43C44(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)4=C4a4+C4a3b+C4a2b2+C4ab3+C4b401234結(jié)果：發(fā)現(xiàn)規(guī)律：對于(a+b)n=的展開式中an-rbr的系數(shù)是在n個(gè)括號中，恰有r個(gè)括號中取b(其余括號中取a)的組合數(shù).那么，我們能不能寫出(a+b)n的展開式？

將(a+b)n展開的結(jié)果又是怎樣呢？

歸納提高

(a+b)n=一般地，對于nN*有二項(xiàng)式定理

這個(gè)公式表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，公式右邊的多項(xiàng)式叫做(a+b)n的

，其中（r=0,1,2,……,n）叫做

，

叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用Tr+1

表示，該項(xiàng)是指展開式的第

項(xiàng)，展開式共有_____個(gè)項(xiàng).展開式二項(xiàng)式系數(shù)r+1n+12.系數(shù)規(guī)律：3.指數(shù)規(guī)律：（1）各項(xiàng)的次數(shù)均為n；（2）字母a按降冪排列,次數(shù)由n遞減到0

字母b按升冪排列,次數(shù)由0遞增到n1.項(xiàng)數(shù)規(guī)律：展開式共有n+1個(gè)項(xiàng)二項(xiàng)式定理

二項(xiàng)式定理

4.二項(xiàng)式系數(shù)可寫成組合數(shù)的形式,組合數(shù)的下標(biāo)為二項(xiàng)式的次數(shù),組合數(shù)的上標(biāo)由0遞增到n5.

展開式中的第r+1項(xiàng)，即通項(xiàng)

Tr+1=__________；6.

二項(xiàng)式系數(shù)為______；項(xiàng)的系數(shù)為二項(xiàng)式系數(shù)與數(shù)字系數(shù)的積課堂練習(xí)特別地:

1、把b用-b代替

(a-b)n=Cnan-Cnan-1b+…

+(-1)rCnan-rbr

+…

+(-1)nCnbn01rn對定理的再認(rèn)識2、令a=1，b=x3、在上式中，令x=1，則有：解:（1）例1.

用二項(xiàng)式定理展開下列各式：例2、求（x+a)12的展開式中的倒數(shù)第4項(xiàng)解:解:第四項(xiàng)系數(shù)為280.例4.求近似值（精確到0.001）（1）(1.002)6；（2）(0.997)3（3）今天星期三，再過22001天是星期幾？分析：（1）(1.002)6=（1+0.002)6

（2）(0.997)3=(1-0.003)3

（3）22001=（7+1）667類似這樣的近似計(jì)算轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式定理求展開式，按精確度展開到一定項(xiàng).課堂練習(xí)4.(1)求的展開式常數(shù)項(xiàng)解:(2)求展開式的中間兩項(xiàng)

解:展開式共有10項(xiàng),中間兩項(xiàng)是第5、6項(xiàng)。思考：化簡：

1＋2Cn+4Cn＋8Cn+…+2nCn123n1-2Cn+4Cn-8Cn+…+（-2)nCn123n例5求展開式中的有理項(xiàng)解:令原式的有理項(xiàng)為:112x例7計(jì)算并求值解(1):將原式變形例7計(jì)算并求值解:(2)原式例8:求

的展開式中項(xiàng)的系數(shù).解的通項(xiàng)是的通項(xiàng)是的通項(xiàng)是由題意知解得所以的系數(shù)為:

注意：對于較為復(fù)雜的二項(xiàng)式與二項(xiàng)式乘積利用兩個(gè)通項(xiàng)之積比較方便運(yùn)算例99192除以100的余數(shù)是＿＿＿＿＿由此可見，除后兩項(xiàng)外均能被100整除所以9192除以100的余數(shù)是81整除性問題，余數(shù)問題，主要根據(jù)二項(xiàng)式定理的特點(diǎn)，進(jìn)行添項(xiàng)或減項(xiàng)，湊成能整除的結(jié)構(gòu)，展開后觀察前幾項(xiàng)或后幾項(xiàng),再分析整除性或余數(shù)。這是解此類問題的最常用技巧。余數(shù)要為正整數(shù)，1、已知的展開式中x3的系數(shù)為，則常數(shù)a的值是_______

2、在(1-x3)(1+x)10的展開式中x5的系數(shù)是（）

A.-297B.-252C.297D.2073、(x+y+z)9中含x4y2z3的項(xiàng)的系數(shù)是__________課堂練習(xí)4、已知(1+

)n展開式中含x-2的項(xiàng)的系數(shù)為12，求n.5、已知（10+xlgx）5的展開式中第4項(xiàng)為106，求x的值.6、若展開式中前三項(xiàng)系數(shù)成等差

數(shù)列，求（1）展開式中含x的一次冪的項(xiàng)；（2）展開式中所有x的有理項(xiàng)；1.3.1二項(xiàng)式定理(2)1.二項(xiàng)式定理：2.通項(xiàng)規(guī)律：3.二項(xiàng)式系數(shù)：第(r+1)項(xiàng)

運(yùn)用二項(xiàng)式定理可以在頭腦里迅速地展開一些式子,從而能解決些問題.這節(jié)課我們來做一些練習(xí).4.特殊地：注:項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)是兩個(gè)不同的概念令以x=1得已知求:(1)

；

(2)；

(3);(4)（一）賦值法的應(yīng)用:分析:取通項(xiàng)來分析,常數(shù)項(xiàng)即項(xiàng).（二）求特定項(xiàng):解：根據(jù)二項(xiàng)式定理，取a＝3x2，b＝－∴的通項(xiàng)公式是∴的展開式中第9項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)。由題意可知，故存在常數(shù)項(xiàng)且為第9項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)即項(xiàng).

求(x

＋2)10

（x

2－1）展開式中含x

10項(xiàng)的系數(shù)為＿＿＿＿.(高考題)179能力訓(xùn)練5:

在(x2+3x+2)5

的展開式中,x的系數(shù)為多少？240能力訓(xùn)練5:(x2+3x+2)5展開式中x的系數(shù)為_____.方法1

(x2+3x+2)5=[(x2+2)+3x]5

方法2

(x2+3x+2)5=[x(x+3)+2]5

方法3

(x2+3x+2)5=[x2+(3x+2)]5

方法4

(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5

，…….妙!小結(jié)(5)二項(xiàng)式定理簡單應(yīng)用.(1)二項(xiàng)式定理：(2)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng):(注意，它是第k+1項(xiàng))(3)區(qū)別二項(xiàng)式系數(shù)，項(xiàng)的系數(shù)(4)掌握用通項(xiàng)公式求二項(xiàng)式系數(shù)，項(xiàng)的系數(shù)及項(xiàng)2.求(1+x+x2)(1－x)10展開式中含x

項(xiàng)的系數(shù)3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展開式中x3的系數(shù)4.9192除以100的余數(shù)是＿＿＿＿.5.若(x+1)n=x

n+…+ax3+bx2+…+1(n∈N*)，且a:b=3:1，那么n=_____（95上海高考）

4.9192除以100