河南省洛陽市第二外國語學校高三高考數(shù)學闖關(guān)密練特訓《函數(shù)與方程、函數(shù)模型及其應(yīng)用新》試題含答案

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精函數(shù)與方程、函數(shù)模型及其應(yīng)用1.(2011·北京東城一模)已知函數(shù)f(x）＝(eq\f（1，2))x－xeq\s\up15（\f（1,3）)，在下列區(qū)間中,含有函數(shù)f(x)零點的是(）A．(0，eq\f(1,3)） B．（eq\f（1，3)，eq\f(1,2))C．（eq\f(1，2)，1） D．(1,2)［答案]B[解析］f（0）＝1>0，f（eq\f(1，3））＝（eq\f(1，2)）eq\s\up15（\f（1,3））－(eq\f（1，3)）eq\s\up15(\f（1，3）)〉0，f（eq\f(1,2))＝(eq\f(1,2)）eq\s\up15(\f(1，2）)－(eq\f（1,2)）eq\s\up15(\f（1,3））〈0，∵f(eq\f（1，3）)·f(eq\f(1，2）)<0，且函數(shù)f（x）的圖象為連續(xù)曲線,∴函數(shù)f（x）在（eq\f(1,3),eq\f（1，2））內(nèi)有零點．[點評]一個簡單的零點存在性判斷題涵蓋了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與零點存在性定理，難度不大，但有一定的綜合性，要多加強這種小題訓練，做題不一定多,但卻能將應(yīng)掌握的知識都訓練到．2．（文）(2011·杭州模擬)函數(shù)f(x）＝|x－2|－lnx在定義域內(nèi)零點的個數(shù)為(）A．0B．1C．2D．3［答案］C[解析］在同一坐標系內(nèi)作出函數(shù)y＝|x－2｜與y＝lnx的圖象,∵lne＝1，e〈3,∴由圖象可見兩函數(shù)圖象有兩個交點,∴函數(shù)f（x）有兩個零點．(理）(2011·陜西)函數(shù)f（x)＝eq\r（x）－cosx在[0，＋∞）內(nèi)（)A．沒有零點 B．有且僅有一個零點C．有且僅有兩個零點 D．有無窮多個零點[答案]B［解析］在同一直角坐標系中分別作出函數(shù)y＝eq\r(x）和y＝cosx的圖象，如圖，由于x〉1時，y＝eq\r（x)〉1，y＝cosx≤1，所以兩圖象只有一個交點,即方程eq\r(x）－cosx＝0在[0，＋∞)內(nèi)只有一個根，所以f（x)＝eq\r（x)－cosx在［0,＋∞)內(nèi)只有一個零點，所以選B。3．(文)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，2)））x－sinx在區(qū)間［0，2π]上的零點個數(shù)為(）A．1B．2C．3D．4［答案]B［解析]在同一坐標系中作出函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1，2)）)x與y＝sinx的圖象,易知兩函數(shù)圖象在［0，2π]內(nèi)有兩個交點．（理）（2011·深圳一檢)已知函數(shù)f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋lnx，h(x）＝x－eq\r（x）－1的零點分別為x1，x2，x3，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是（）A．x1〈x2<x3 B．x2〈x1〈x3C．x1<x3<x2 D．x3〈x2〈x1[答案]A[解析]令f（x）＝x＋2x＝0，因為2x恒大于零，所以要使得x＋2x＝0,x必須小于零，即x1小于零；令g（x)＝x＋lnx＝0，要使得lnx有意義，則x必須大于零，又x＋lnx＝0，所以lnx〈0,解得0〈x〈1，即0<x2<1；令h（x）＝x－eq\r(x)－1＝0,得x＝eq\r（x）＋1>1，即x3〉1，從而可知x1〈x2<x3。4．(2012·河南六市模擬）若定義在R上的函數(shù)y＝f(x)滿足f(x＋1）＝－f(x），且當x∈[－1，1]時,f(x）＝x2，函數(shù)g（x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（log3x－1x〉1，2xx≤1）)，則函數(shù)h（x）＝f(x)－g（x)在區(qū)間［－5,5]內(nèi)的零點的個數(shù)為（）A．9B．8C．7D．6[答案］B[解析]∵f(x＋1)＝－f(x）,∴f（x＋2)＝f（x)，又x∈[－1，1]時,f（x）＝x2,∴f(x）的圖象如圖所示，在同一坐標系中作出函數(shù)g(x)的圖象,可見y＝f(x）(－5≤x≤5）與y＝2x（x≤1）有5個交點，y＝f(x）（－5≤x≤5)與y＝log3（x－1)(x>1)的圖象有3個交點,∴共有8個交點．5．（2012·新疆維吾爾自治區(qū)檢測)在以下區(qū)間中，函數(shù)f（x）＝x3－4x2－x＋4不存在零點的區(qū)間是（)A．[0,1］ B．［1，2]C．［2,3] D．[3，4][答案]C[解析]∵f（0）＝4,f(1）＝0，f(3）＝－8〈0，f（4）＝0，f（2）＝－6，由于在區(qū)間［0，1]，［1,2]，[3,4］內(nèi)都存在零點,故選C。［點評］注意，不能由f(2）＝－6〈0，f（3）＝－8〈0，做出判斷f（x)在區(qū)間［2,3］內(nèi)無零點．6。如圖,A、B、C、D是四個采礦點,圖中的直線和線段均表示公路，四邊形ABQP、BCRQ、CDSR近似于正方形，A、B、C、D四個采礦點的采礦量之比為6234，且運礦費用與路程和采礦量的乘積成正比．現(xiàn)從P、Q、R、S中選一個中轉(zhuǎn)站，要使中轉(zhuǎn)費用最少，則應(yīng)選(）A．P點B．Q點C．R點D．S點[答案]B［解析]設(shè)圖中每個小正方形的邊長均為1，A、B、C、D四個采礦點的采礦量分別為6a，2a,3a,4a(a>0)，設(shè)si(i＝1，2,3，4）表示運礦費用的總和,則只需比較中轉(zhuǎn)站在不同位置時si(i＝1,2，3,4)的大?。绻x在P點，s1＝6a＋2a×2＋3a×3＋4a×4＝35a，如果選在Q點，s2＝6a×2＋2a＋3a×2＋4a×3＝32a，如果選在R處，s3＝6a×3＋2a×2＋3a＋4a×2＝337．（2012·江蘇)已知函數(shù)f（x）＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域為［0，＋∞），若關(guān)于x的不等式f（x)〈c的解集為（m，m＋6），則實數(shù)c的值為________．[答案]9[解析]本題考查二次函數(shù)的值域、一元二次不等式的解法等知識．∵f(x）＝x2＋ax＋b＝（x＋eq\f（a，2)）2＋b－eq\f（a2,4）的最小值為b－eq\f（a2,4），∴b－eq\f（a2,4）＝0，即b＝eq\f（a2，4），∴f（x)＝(x＋eq\f（a,2)）2?！鄁(x)〈c，即x2＋ax＋b<c，則（x＋eq\f(a，2)）2〈c，∴c〉0且－eq\f（a,2)－eq\r(c）<x〈－eq\f(a，2)＋eq\r（c），∴(－eq\f(a,2）＋eq\r（c))－(－eq\f（a，2)－eq\r(c）)＝6,∴2eq\r（c）＝6,∴c＝9。8．有一批材料可以建成200m長的圍墻，如果用此批材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場地,中間用同樣材料隔成三個面積相等的矩形(如圖所示）,則圍成場地的最大面積為________(圍墻的厚度不計）．[答案]2500m［解析］設(shè)所圍場地的長為x，則寬為eq\f（200－x,4），其中0〈x〈200,場地的面積為x×eq\f（200－x,4)≤eq\f(1,4）eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(x＋200－x，2)））2＝2500m2，等號當且僅當x＝100時成立．9．某農(nóng)場，可以全部種植水果、蔬菜、稻米、甘蔗等農(nóng)作物，且產(chǎn)品全部供應(yīng)距農(nóng)場d(km）（d<200km）的中心城市，其產(chǎn)銷資料如表：當距離d達到n(km)以上時,四種農(nóng)作物中以全部種植稻米的經(jīng)濟效益最高．（經(jīng)濟效益＝市場銷售價值－生產(chǎn)成本－運輸成本）,則n的值為________.作物項目水果蔬菜稻米甘蔗市場價格（元/kg）8321生產(chǎn)成本(元/kg)3210。4運輸成本(元/kg·km)0.060.020。010.01單位面積相對產(chǎn)量(kg)10154030[答案］50[解析]設(shè)單位面積全部種植水果、蔬菜、稻米、甘蔗的經(jīng)濟效益分別為y1、y2、y3、y4，則y1＝50－0。6d,y2＝15－0。3d,y3＝40－0.4d，y4＝18－0.3d，由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（y3≥y1，，y3≥y2，，y3≥y4,,d<200.))?50≤d〈200,故n＝50。10．當前環(huán)境問題已成為問題關(guān)注的焦點，2009年哥本哈根世界氣候大會召開后，為減少汽車尾氣對城市空氣的污染，某市決定對出租車實行使用液化氣替代汽油的改裝工程，原因是液化氣燃燒后不產(chǎn)生二氧化硫、一氧化氮等有害氣體，對大氣無污染，或者說非常?。埜鶕?jù)以下數(shù)據(jù)：①當前汽油價格為2.8元/升，市內(nèi)出租車耗油情況是一升汽油大約能跑12km；②當前液化氣價格為3元/千克,一千克液化氣平均可跑15～16km;③一輛出租車日平均行程為200km。（1)從經(jīng)濟角度衡量一下使用液化氣和使用汽油哪一種更經(jīng)濟（即省錢);(2)假設(shè)出租車改裝液化氣設(shè)備需花費5000元,請問多長時間省出的錢等于改裝設(shè)備花費的錢．[解析］(1)設(shè)出租車行駛的時間為t天，所耗費的汽油費為W元，耗費的液化氣費為P元,由題意可知，W＝eq\f（200t，12）×2。8＝eq\f(140t,3)（t≥0且t∈N），eq\f(200t,16）×3≤P≤eq\f（200t,15)×3(t≥0且t∈N），即37.5t≤P≤40t。又eq\f(140t，3)>40t，即W〉P，所以使用液化氣比使用汽油省錢．(2)①設(shè)37.5t＋5000＝eq\f(140t，3），解得t≈545。5，又t≥0，t∈N，∴t＝546.②設(shè)40t＋5000＝eq\f（140t,3）,解得t＝750。所以,若改裝液化氣設(shè)備，則當行駛天數(shù)t∈［546，750］時，省出的錢等于改裝設(shè)備的錢.能力拓展提升11。（文）(2012·天津理)函數(shù)f(x)＝2x＋x3－2在區(qū)間（0，1)內(nèi)的零點個數(shù)是()A．0B．1C．2D．3［答案］B[解析]本小題考查函數(shù)的零點與用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查分析問題、解決問題的能力．∵f（x)＝2x＋x3－2，0〈x〈1,∴f′（x）＝2xln2＋3x2〉0在（0，1)上恒成立,∴f（x）在（0，1)上單調(diào)遞增．又f(0）＝20＋0－2＝－1<0，f(1）＝2＋1－2＝1〉0，f(0)f（1)〈0，則f（x）在（0，1)內(nèi)至少有一個零點,又函數(shù)y＝f(x）在(0，1）上單調(diào)遞增，則函數(shù)f（x）在（0,1)內(nèi)有且僅有一個零點．［點評]有時也可以把函數(shù)零點的個數(shù)轉(zhuǎn)化成兩函數(shù)圖象的公共點個數(shù)．(理）(2011·舟山月考）函數(shù)f（x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lnx＋2x－6x〉0,－xx＋1x≤0））的零點個數(shù)是(）A．0B．1C．2D．3［答案]D［解析］令－x（x＋1)＝0得x＝0或－1，滿足x≤0；當x>0時，∵lnx與2x－6都是增函數(shù)，∴f（x）＝lnx＋2x－6（x>0）為增函數(shù)，∵f(1）＝－4〈0，f(3)＝ln3>0，∴f（x）在(0,＋∞）上有且僅有一個零點，故f（x）共有3個零點．12．某電視新產(chǎn)品投放市場后第一個月銷售100臺,第二個月銷售200臺，第三個月銷售400臺，第四個月銷售790臺，則下列函數(shù)模型中能較好地反映銷量y與投放市場的月數(shù)x之間關(guān)系的是()A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100［答案］C［解析]觀察前四個月的數(shù)據(jù)規(guī)律，(1,100)，（2，200),（3，400)，（4，790)，接近(4,800)，可以發(fā)現(xiàn)這些數(shù)據(jù)變化規(guī)律符合指數(shù)型函數(shù)模型的增長規(guī)律，故選C.［點評］也可以將x＝1，2,3,4，依次代入四個選項中，通過對比差異大小來作判斷,但計算量比較大．13．某流程圖如圖所示，現(xiàn)輸入如下四個函數(shù)，則可以輸出的函數(shù)是()A．f(x）＝eq\f（|x|，x） B．f（x)＝eq\f（1,2x－1)＋eq\f（1，2)C．f(x）＝eq\f（ex－e－x，ex＋e－x） D．f(x）＝lgsinx［答案]C[解析］根據(jù)程序框圖知輸出的函數(shù)為奇函數(shù)，并且此函數(shù)存在零點．經(jīng)驗證：f(x)＝eq\f(｜x|,x）不存在零點；f（x）＝eq\f（1，2x－1)＋eq\f（1,2）不存在零點；f（x)＝eq\f(ex－e－x，ex＋e－x)的定義域為全體實數(shù)，且f（－x)＝eq\f(e－x－ex，e－x＋ex）＝－f(x)，故此函數(shù)為奇函數(shù)，且令f(x）＝eq\f(ex－e－x，ex＋e－x）＝0，得x＝0,函數(shù)f（x)存在零點;f（x）＝lgsinx不具有奇偶性．14．（文)（2011·山東濟寧一模)已知a是函數(shù)f（x）＝2x－logeq\f(1，2）x的零點，若0〈x0〈a，則f（x0）的值滿足（）A．f(x0）＝0 B．f（x0）<0C．f(x0)>0 D．f（x0)的符號不確定[答案］B[解析]分別作出y＝2x與y＝logeq\f(1,2）x的圖象如圖,當0〈x0<a時，y＝2x的圖象在y＝logeq\f(1,2）x圖象的下方，所以，f(x0）〈0。(理）已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1x≤0，fx－1＋1x〉0）),把函數(shù)g（x)＝f（x）－x的零點按從小到大的順序排列成一個數(shù)列,則該數(shù)列的通項公式為（)A．a(chǎn)n＝eq\f(nn－1,2)(n∈N*)B．a(chǎn)n＝n（n－1）(n∈N＊)C．a(chǎn)n＝n－1(n∈N*)D．a(chǎn)n＝2n－2（n∈N＊）［答案］C[解析］當x≤0時，f(x)＝2x－1；當0〈x≤1時,f（x）＝f（x－1）＋1＝2x－1－1＋1＝2x－1;當1〈x≤2時，f（x)＝f(x－1)＋1＝f(x－2)＋2＝2x－2－1＋2＝2x－2＋1；…∴當x≤0時，g(x）的零點為x＝0；當0<x≤1時，g（x)的零點為x＝1；當1<x≤2時,g(x）的零點為x＝2；…當n－1〈x≤n(n∈N*)時，g（x)的零點為n，故a1＝0,a2＝1，a3＝2，…，an＝n－1。15．(文）某加工廠需定期購買原材料，已知每公斤原材料的價格為1。5元，每次購買原材料需支付運費600元．每公斤原材料每天的保管費用為0.03元，該廠每天需消耗原材料400kg，每次購買的原材料當天即開始使用（即有400kg不需要保管）．（1)設(shè)該廠每x天購買一次原材料，試寫出每次購買的原材料在x天內(nèi)總的保管費用y1(元）關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2)求該廠多少天購買一次原材料才能使平均每天支付的總費用y（元)最少，并求出這個最小值．［解析］（1）每次購買原材料后，當天用掉的400kg原材料不需要保管，第二天用掉的400kg原材料需保管1天，第三天用掉的400kg原材料需保管2天，第四天用掉的400kg原材料需保管3天，…，第x天(也就是下次購買原材料的前一天)用掉最后的400kg原材料需保管x－1天．∴每次購買的原材料在x天內(nèi)的保管費用為y1＝400×0。03［1＋2＋3＋…＋(x－1)]＝6x2－6x.（2)由(1)可知，購買一次原材料的總的費用為6x2－6x＋600＋1.5×400x＝6x2＋594x＋600(元)，∴購買一次原材料平均每天支付的總費用為y＝eq\f(600，x)＋6x＋594≥2eq\r（\f(600，x)·6x)＋594＝714.當且僅當eq\f(600，x)＝6x，即x＝10時，取得等號．∴該廠10天購買一次原材料可以使平均每天支付的總費用最少，最少費用為714元．(理)（2011·日照模擬）張林在李明的農(nóng)場附近建了一個小型工廠，由于工廠生產(chǎn)須占用農(nóng)場的部分資源，因此李明每年向張林索賠以彌補經(jīng)濟損失并獲得一定的凈收入．工廠在不賠付農(nóng)場的情況下,工廠的年利潤x(元）與年產(chǎn)量t（t）滿足函數(shù)關(guān)系x＝2000eq\r（t）,若工廠每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品必須賠付農(nóng)場s元(以下稱s為賠付價格)．（1）將工廠的年利潤w(元）表示為年產(chǎn)量t(t）的函數(shù)，并求出工廠獲得最大利潤的年產(chǎn)量；(2)若農(nóng)場每年受工廠生產(chǎn)影響的經(jīng)濟損失金額y＝0.002t2（元）,在工廠按照獲得最大利潤的產(chǎn)量進行生產(chǎn)的前提下,農(nóng)場要在索賠中獲得最大凈收入，應(yīng)向張林的工廠要求賠付價格s是多少？［解析］(1)工廠的實際年利潤為:w＝2000eq\r(t）－st（t≥0)．w＝2000eq\r（t)－st＝－s（eq\r（t）－eq\f(1000,s））2＋eq\f（10002,s），當t＝(eq\f(1000,s)）2時,w取得最大值．所以工廠取得最大年利潤的年產(chǎn)量t＝(eq\f（1000,s)）2（t）．（2）設(shè)農(nóng)場凈收入為v元，則v＝st－0.002t2。將t＝(eq\f（1000，s））2代入上式，得v＝eq\f（10002,s)－eq\f(2×10003，s4)。又v′＝－eq\f（10002，s2)＋eq\f（8×10003,s5)＝eq\f（100028000－s3，s5），令v′＝0，得s＝20.當0<s<20時,v′〉0；當s〉20時，v′<0.所以當s＝20時，v取得最大值．因此李明向張林要求賠付價格s為20元/噸時,獲得最大凈收入．＊16.已知二次函數(shù)f(x）＝ax2＋bx＋c。（1）若f（－1)＝0，試判斷函數(shù)f(x）的零點個數(shù)；(2)若對x1、x2∈R，且x1<x2，f（x1)≠f(x2），證明方程f（x)＝eq\f（1,2)[f(x1）＋f(x2)］必有一個實數(shù)根屬于(x1，x2)；(3)是否存在a、b、c∈R，使f(x）同時滿足以下條件：①當x＝－1時,函數(shù)f(x）有最小值0；②對任意實數(shù)x，都有0≤f（x）－x≤eq\f(1，2)（x－1)2.若存在，求出a、b、c的值；若不存在，請說明理由．［解析](1）因為f(－1）＝0,所以a－b＋c＝0，故b＝a＋c.因為Δ＝b2－4ac＝（a＋c)2－4ac＝（a－c）當a＝c時,Δ＝0,函數(shù)f（x)有一個零點；當a≠c時，Δ〉0，函數(shù)f（x)有兩個零點．（2)令g(x）＝f（x)－eq\f（1,2)[f（x1)＋f(x2）]，則g(x1）＝f（x1）－eq\f（1，2）［f（x1)＋f(x2）]＝eq\f(fx1－fx2,2)，g（x2）＝f(x2）－eq\f(1，2）［f（x1)＋f(x2)]＝eq\f（fx2－fx1，2），因為g(x1)·g（x2)＝－eq\f（1,4）［f（x1）－f（x2)]2〈0(f(x1）≠f(x2））,所以g（x)＝0在（x1,x2）內(nèi)必有一個實根．即方程f(x）＝eq\f(1，2)［f（x1）＋f（x2)]必有一個實數(shù)根屬于(x1,x2)．(3）假設(shè)a、b、c存在，由①得－eq\f(b，2a）＝－1,eq\f(4ac－b2,4a)＝0，即b＝2a,b2＝4ac，所以4a2＝4ac,故a＝c.由②知對任意實數(shù)x，都有0≤f（x）－x≤eq\f（1,2）（x－1)2.令x＝1，得0≤f(1）－1≤0，所以f(1)－1＝0，即a＋b＋c＝1.由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a＋b＋c＝1，，b＝2a，，a＝c，））解得a＝c＝eq\f（1,4）,b＝eq\f(1，2).當a＝c＝eq\f（1,4）,b＝eq\f(1，2)時，f(x）＝eq\f（1,4)x2＋eq\f（1，2)x＋eq\f(1,4）＝eq\f（1，4)（x＋1)2，其頂點為(－1，0）滿足條件①，又f（x)－x＝eq\f（1，4)（x－1)2，所以對任意x∈R，都有0≤f（x)－x≤eq\f（1,2)（x－1)2，滿足條件②。所以存在a、b、c∈R，使f（x）同時滿足條件①②。1．（2012·昆明一中檢測)已知函數(shù)f（x）＝｜lg(x－1)|，若a≠b，且f(a)＝f(b)，則a＋b的取值范圍是()A．［4，＋∞) B．(4，＋∞）C．［2，＋∞) D．(2，＋∞）[答案]B[解析]解法1：不妨設(shè)a〈b,∵f（x）＝|lg（x－1)|，f(a）＝f(b），∴1<a≤2，b〉2，∴f(a)＝－lg（a－1）,f（b）＝lg（b－1),∴－lg(a－1)＝lg（b－1），∴（a－1）(b－1）＝1，∴a＋b＝(a－1)＋(b－1)＋2〉2eq\r（a－1b－1）＋2＝4。解法2：結(jié)合f(x）的圖象得－lg（b－1)＝lg（a－1)，得lg（a－1）＋lg(b－1）＝0,所以(a－1）（b－1)＝1，化簡得,a＋b＝ab，即eq\f(1,a)＋eq\f（1，b)＝1，所以a＋b＝（eq\f（1，a）＋eq\f(1，b））（a＋b)＝2＋eq\f(b，a）＋eq\f（a，b)≥2＋2＝4，當a＝b時取“＝”,而由已知a≠b,故選B.2．(2011·溫州十校模擬）已知函數(shù)f(x)＝2mx2－2（4－m)x＋1,g（x)＝mx,若對于任一實數(shù)x，f(x)與g(x）的值至少有一個為正數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是(）A．（0,2) B．（0，8)C．(2，8) D．（－∞，0)[答案］B[解析]當m≤0時，顯然不合題意;當m〉0時，f（0）＝1>0,①若對稱軸eq\f(4－m，2m）≥0即0<m≤4，結(jié)論顯然成立；②若對稱軸eq\f（4－m，2m）〈0，即m>4，只要Δ＝4(4－m)2－8m＝4(m－8)(m－2)<0即可，即4<m〈8.綜上0〈m<8,選B.3．（2011·江南十校聯(lián)考)定義域為D的函數(shù)f（x)同時滿足條件：①常數(shù)a，b滿足a〈b，區(qū)間[a，b]?D，②使f(x）在[a，b]上的值域為［ka，kb]（k∈N＊），那么我們把f（x）叫做[a，b]上的“k級矩形”函數(shù)．函數(shù)f（x）＝x3是[a，b]上的“1級矩形”函數(shù),則滿足條件的常數(shù)對（a，b)共有()A．1對 B．2對C．3對 D．4對［答案］C［分析］由“k級矩形”函數(shù)的定義可知，f(x)＝x3的定義區(qū)間為［a，b］時，值域為［a,b],可考慮應(yīng)用f(x)的單調(diào)性解決．[解析]∵f(x)＝x3在[a，b]上單調(diào)遞增，∴f(x）的值域為［a3，b3]．又∵f（x)＝x3在[a，b]上為“1級矩形”函數(shù)，∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a3＝a,b3＝b)),解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝－1，b＝0))或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝0,b＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝－1,b＝1）)，故滿足條件的常數(shù)對共有3對．［點評]自定義題是近年來備受命題者青睞的題型,它能較好地考查學生對新知識的閱讀理解能力，而這恰是學生后續(xù)學習必須具備的能力，解決這類問題的關(guān)鍵是先仔細審題，弄清“定義"的含義,把“定義”翻譯為我們已掌握的數(shù)學知識．然后加以解決．4．（2012·龍巖質(zhì)檢）若偶函數(shù)f(x）滿足f(x－1）＝f（x＋1），且在x∈［0，1］時，f（x）＝x2，則關(guān)于x的方程f（x）＝（eq\f(1,10））x在[0，eq\f（10,3)］上根的個數(shù)是（)A．1B．2C．3D．4［答案]C[解析]由題意知f（x)是周期為2的偶函數(shù)，故當x∈[－1，1]時，f(x）＝x2,畫出f(x)的圖象,結(jié)合y＝（eq\f（1，10）)x的圖象可知，方程f(x）＝（eq\f（1,10))x在x∈［0，eq\f（10,3)］時有3個根．［點評］要注意在x∈（3，eq\f（10,3)］時方程無解．5．已知函數(shù)f（x)＝ax－x－a（a〉0，a≠1)，那么函數(shù)f(x)的零點個數(shù)是（)A．0個 B．1個C．2個 D．至少1個［答案］D[解析]在同一坐標系中作出函數(shù)y＝ax與y＝x＋a的圖象，a>1時，如圖（1)，0〈a<1時,如圖（2）,故選D。[點評］解決這類問題的有效方法是數(shù)形結(jié)合法．6．設(shè)a∈{1,2，3，4｝，b∈｛2,4，8，12｝，則函數(shù)f（x)＝x3＋ax－b在區(qū)間[1,2］上有零點的概率為（）A.eq\f(1，2) B.eq\f(5，8)C.eq\f(11,16） D.eq\f（3,4)［答案］C［解析］因為f（x）＝x3＋ax－b,所以f′（x）＝3x2＋a。因為a∈｛1,2,3,4}，因此f′（x）>0，所以函數(shù)f（x)在區(qū)間[1,2］上為增函數(shù)．若存在零點,則eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝1＋a－b≤0,，f2＝8＋2a－b≥0，）)解得a＋1≤b≤8＋2a。因此能使函數(shù)在區(qū)間［1，2]上有零點的有：a＝1，2≤b≤10，故b＝2,b＝4，b＝8.a＝2,3≤b≤12，故b＝4，b＝8，b＝12.a＝3,4≤b≤14，故b＝4，b＝8，b＝12.a＝4,5≤b≤16，故b＝8，b＝12.根據(jù)古典概型可得有零點的概率為eq\f(11，16）.7．（2012·河南新鄉(xiāng)、平頂山、許昌調(diào)研)設(shè)函數(shù)f（x）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(\f(1，1－x），x∈－∞,0］，，x3－3x＋1，x∈0,＋∞，）)若方程f（x)－m＝0有且僅有兩個實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．－1<m≤1 B．－1〈m〈0或m＝1C．－1<m≤0或m＝1 D．－1<m≤1［答案]C［解析]∵f(x)＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（\f(1，1－x)x∈－∞，0］，，x3－3x＋1x∈0，＋∞,））∴當x≤0時，f(x)＝eq\f(1,1－x)單調(diào)遞增,且0<f(x）≤1，又x>0時，f(x)＝x3－3x＋1，∴f′(x）＝3x2－3＝3（x＋1）(x－1)，∴0<x〈1時,f′（x)〈0，f(x)單調(diào)遞減,x≥1時，f′(x)>0,f（x)單調(diào)遞增，∴f(x)在x＝1處取得極小值f（1）＝－1，∴當m＝1時，直線y＝m與函數(shù)f(x）的圖象有兩個交點,當－1<m≤0時,直線y＝m與函數(shù)y＝f（x）的圖象有兩個交點，故選C.8．（2011·龍巖模擬)如圖,有一直角墻角,兩邊的長度足夠長，在P處有一棵樹與兩墻的距離分別是am(0〈a≤12）、4m，不考慮樹的粗細，現(xiàn)在想用16m長的籬笆，借助墻角圍成一個矩形的花園ABCD.設(shè)此矩形花園的面積為Sm2，S的最大值為f(a)，若將這棵樹圍在花園內(nèi)，則函數(shù)u＝f（a）的圖象大致是(）[答案]C[解析］設(shè)BC＝x，則DC＝16－x,由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥a，,16－x≥4，）)得a≤x≤12，矩形面積S＝x（16－x）(a≤x≤12)，顯然當a≤8時，矩形面積最大值u＝64，為常數(shù)，當a〉8時，在x＝a時，矩形面積取最大值u＝a（16－a)，在[a，12]上為減函數(shù)，故選C.9．（2012·湖南文）設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x)是最小正周期為2π的偶函數(shù)，f′(x）是f(x）的導(dǎo)函數(shù)．當x∈［0，π]時,0〈f(x）〈1；當x∈(0，π)且x≠eq\f(π,2）時，(x－eq\f（π，2)）f′(x)〉0。則函數(shù)y＝f（x）－sinx在[－2π，