2021年湖南省長沙市中考數(shù)學(xué)真題試卷 (解析版)

2021年湖南省長沙市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（在下列各題的四個選項中，只有一項是符合題意的。請在答題卡中填涂符合

題意的選項。本大題共10個小題，每小題3分，共30分）

1.下列四個實數(shù)中，最大的數(shù)是（）

A.-3B.-1C.IlD.4

解：V-3<-l<n<4,

二最大的數(shù)是4,

故選：D.

2.2021年5月11日，第七次全國人口普查結(jié)果發(fā)布，長沙市人口總數(shù)首次突破千萬，約

為10040000人,將數(shù)據(jù)10040000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.1.004X106B.1.004X107C.0.1004X108D.10.04X106

解：10040000=1.004X107.

故選：B.

3.下列幾何圖形中，是中心對稱圖形的是（）

解：4不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

B.不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

C.是中心對稱圖形，故本選項符合題意；

D.不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

故選：C.

4.下列計算正確的是（）

A.43.“2="5B.2a+3a=6aC.as-7-a2—a4D.（a2）3—a5

解：A.故此選項符合題意;

B.2“+3a=5”,故此選項不合題意；

C.濟(jì)+.2=幽故此選項不合題意；

D.（〃）3=時故此選項不合題意;

故選：A.

5.如圖，AB//CD,EF分別與AB,C。交于點G,H,ZAGE=100°,則NOHF的度數(shù)

為（）

A.100°B.80°C.50°D.40°

解：'：AB//CD,

：.ZCHG=ZAGE=100°,

/.ZDHF^ZCHG^100°.

故選：A.

6.如圖，點A,B,C在。。上，ZBAC=54°,則/3OC的度數(shù)為（）

解：；N4=54°,

，NBOC=2/A=108°,

故選：B.

7.下列函數(shù)圖象中，表示直線y=2x+l的是（）

解：：A=2>0,〃=1>0時,

...直線經(jīng)過一、二、三象限.

故選：B.

8.“雜交水稻之父”袁隆平培育的超級雜交稻在全世界推廣種植.某種植戶為了考察所種

植的雜交水稻苗的長勢，從稻田中隨機(jī)抽取9株水稻苗，測得苗高（單位：cm）分別是:

22,23,24,23,24,25,26,23,25.則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）

A.24,25B.23,23C.23,24D.24,24

解：將這組數(shù)據(jù)從小到大重新排列為22,23,23,23,24,24,25,25,26,

,這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為23cm,中位數(shù)為24am

故選：C.

9.有一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，六個面上分別刻有1到6的點數(shù).將它投擲兩次，則兩

次擲得骰子朝上一面的點數(shù)之和為5的概率是（）

A.—B.—C.—D.—

9643

解：列表如下:

123456

1(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)

2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)

3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)

4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)

5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)

6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)

由表可知共有36種等可能的情況,兩次擲得骰子朝上一面的點數(shù)之和為5的情況有4種,

兩次擲得骰子朝上一面的點數(shù)之和為5的概率為

369

故選：A.

10.在一次數(shù)學(xué)活動課上，某數(shù)學(xué)老師將1?10共十個整數(shù)依次寫在十張不透明的卡片上（每

張卡片上只寫一個數(shù)字，每一個數(shù)字只寫在一張卡片上，而且把寫有數(shù)字的那一面朝

下）.他先像洗撲克牌一樣打亂這些卡片的順序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同學(xué)

叫到講臺上，隨機(jī)地發(fā)給每位同學(xué)兩張卡片，并要求他們把自己手里拿的兩張卡片上的

數(shù)字之和寫在黑板上，寫出的結(jié)果依次是：甲：11;乙：4；丙：16：T：7;戊：17.根

據(jù)以上信息，下列判斷正確的是()

A.戊同學(xué)手里拿的兩張卡片上的數(shù)字是8和9

B.丙同學(xué)手里拿的兩張卡片上的數(shù)字是9和7

C.丁同學(xué)手里拿的兩張卡片上的數(shù)字是3和4

D.甲同學(xué)手里拿的兩張卡片上的數(shù)字是2和9

解：由題意可知，一共十張卡片十個數(shù)，五個人每人兩張卡片，

每人手里的數(shù)字不重復(fù).

由甲：11,可知甲手中的數(shù)字可能是1和10,2和9,3和8,4和7,5和6；

由乙：4,可知乙手中的數(shù)字只有1和3；

由丙：16,可知丙手中的數(shù)字可能是6和10,7和9；

由丁：7,可知丁手中的數(shù)字可能是1和6,2和5,3和4；

由戊：17,可知戊手中的數(shù)字可能是7和10,8和9；

二丁只能是2和5,甲只能是4和7,丙只能是6和10,戊只能是8和9.

,各選項中，只有4是正確的，

故選：A.

二、填空題(本大題共6個小題，每小題3分，共18分)

11.分解因式：N-2021x=x(x-2021).

解：%2-2021x=x(x-2021).

故答案為：x(x-2021).

⑵如圖，在。。中，弦AB的長為4,圓心到弦AB的距離為2,則ZAOC的度數(shù)為45。

解：-：OC±AB,

???AC=8C=/AB]X4=2,

???OC=2,

???△AOC為等腰直角三角形,

/.ZAOC=45°,

故答案為：45°.

13.如圖，菱形ABC。的對角線AC,8。相交于點0,點E是邊4B的中點，若0E=6,

則BC的長為12.

：.AB=BC=CD^AD,BDLAC,

又：點E是邊48的中點，

0E=AE=EB=^-^,

；.BC=A8=2OE=6X2=12,

故答案為：12.

14.若關(guān)于x的方程N-kx-12=0的一個根為3,則k的值為-1.

解：把x=3代入方程依-12=0得：9-34-12=0,

解得：k=-1,

故答案為：-1.

15.如圖，在△A8C中，ZC=90°,AD平分NBAC交8c于點D,DE_LAB,垂足為E,

若BC=4,DE=1.6,則BD的長為2.4.

:.CD=DE,

V￡>￡=1.6,

???CQ=1.6,

：.BD=BC-CD=4-1.6=2.4.

故答案為：2.4

16.某學(xué)校組織了主題為“保護(hù)湘江，愛護(hù)家園”的手抄報作品征集活動.先從中隨機(jī)抽取

了部分作品，按A,B,C,。四個等級進(jìn)行評價，然后根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果繪制了如圖兩幅不

完整的統(tǒng)計圖.那么，此次抽取的作品中，等級為8等的作品份數(shù)為50.

一共抽取了120份作品，

.??此次抽取的作品中，等級為8等的作品份數(shù)為：120-30-28-12=50(份)，

故答案為：50.

三、解答題(本大題共9個小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題6分,

第22、23題每小題6分，第24、25題每小題6分，共72分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、

證明過程或演算步驟)

17.計算：用|-2sin45。+(1飛行)。+\回X

解：原式-2X~^^+l+yj]6

=&-揚1+4

=5.

18.先化簡，再求值：(X-3)2+(X+3)(x-3)+2x(2-x),其中尤=-上.

2

解：原式=N-6x+9+x2-9+4x-2x2

=-2x,

當(dāng)x=?時，

原式=-2X(--j-)

=1.

19.人教版初中數(shù)學(xué)教科書八年級上冊第35-36頁告訴我們作一個三角形與已知三角形全

等的方法:

已知：△ABC.

求作：B'C,使得aA'B'C也△ABC.

作法：如圖.

(1)畫8C'=BC；

(2)分別以點8,，C為圓心，線段AB,AC長為半徑畫弧，兩弧相交于點A'；

(3)連接線段A'B',A'C',則△?!'B'C即為所求作的三角

請你根據(jù)以上材料完成下列問題：

(1)完成下面證明過程(將正確答案填在相應(yīng)的空上)：

證明：由作圖可知，在aA'B'C和AABC中，

'B'Cz=BC

<A'B'=()

A'C'=。

：./\A'B'C四△ABC(5S5).

(2)這種作一個三角形與己知三角形全等的方法的依據(jù)是④.(填序號)

②ASA

③SAS

@SSS

解：(1)由作圖可知，在AA'B'C和△ABC中，

‘B'C'=BC

<A'B'=AB,

A，C，=AC

：./\A'B'C四△ABC(SSS).

故答案為：△ABC(SSS).

(2)這種作一個三角形與已知三角形全等的方法的依據(jù)是SSS,

故答案為：④.

20.“網(wǎng)紅”長沙入選2021年“五一”假期熱門旅游城市.本市某景點為吸引游客，設(shè)置

了一種游戲，其規(guī)則如下：凡參與游戲的游客從一個裝有12個紅球和若干個白球(每個

球除顏色外，其他都相同)的不透明紙箱中，隨機(jī)摸出一個球，摸到紅球就可免費得到

一個景點吉祥物.據(jù)統(tǒng)計參與這種游戲的游客共有60000人，景點一共為參與該游戲的

游客免費發(fā)放了景點吉祥物15000個.

(1)求參與該游戲可免費得到景點吉祥物的頻率；

(2)請你估計紙箱中白球的數(shù)量接近多少？

解：(1)參與該游戲可免費得到景點吉祥物的頻率為罷察=0.25；

60000

(2)設(shè)袋子中白球的數(shù)量為x,

則W-=0.25,

12+x

解得x=36,

經(jīng)檢驗x=36是分式方程的解且符合實際，

所以估計紙箱中白球的數(shù)量接近36.

21.如圖，的對角線AC,8。相交于點O,△048是等邊三角形，AB=4.

(1)求證：。488是矩形；

(2)求AO的長.

【解答】(1)證明：???△AOB為等邊三角形,

...NBAO=/4OB=60°,OA=OB,

?.?四邊形ABCD是平行四邊形

AOB=OD=—BDOA=OC=—AC

292f

：.BD=ACf

是矩形；

(2)解：???口48。。是矩形，

：.ZBAD=90°,

VZABO=60°,

??.N4DB=90°-60°=30°,

22.為慶祝偉大的中國共產(chǎn)黨成立100周年，發(fā)揚紅色傳統(tǒng)，傳承紅色精神，某學(xué)校舉行了

主題為“學(xué)史明理，學(xué)史增信，學(xué)史崇德，學(xué)史力行”的黨史知識競賽，一共有25道題,

滿分100分，每一題答對得4分，答錯扣1分，不答得0分.

(1)若某參賽同學(xué)只有一道題沒有作答，最后他的總得分為86分，則該參賽同學(xué)一共

答對了多少道題？

(2)若規(guī)定參賽者每道題都必須作答且總得分大于或等于90分才可以被評為“學(xué)黨史

小達(dá)人”，則參賽者至少需答對多少道題才能被評為“學(xué)黨史小達(dá)人”？

解：(1)設(shè)該參賽同學(xué)一共答對了x道題，則答錯了(25-1-x)道題，

依題意得：4x-(25_1-x)=86,

解得：x—22.

答：該參賽同學(xué)一共答對了22道題.

(2)設(shè)參賽者需答對y道題才能被評為“學(xué)黨史小達(dá)人”，則答錯了(25-y)道題，

依題意得：4y-(25-y)290,

解得：y23.

答：參賽者至少需答對23道題才能被評為“學(xué)黨史小達(dá)人”.

23.如圖，在△ABC中，AD1BC,垂足為D,BD=CD,延長至E,使得CE=CA,連

接AE.

(1)求證：NB=NACB；

(2)若AB=5,AO=4,求△ABE的周長和面積.

解：(1)證明：在△AO8和△AOC中:

，AD=AD

<ZADB=ZADC.

BD=CD

A^ADB^/XADC(SAS),

,NB=NACB；

（2）在RtZVIOB中，BD={小_皿2={52-4=2=3,

.,.BD=CD=3,AC=AB=CE=5,

：.BE=2BD+CE=2X3+5=11,

在RtZXAOE中，AE=VAD2+DE2=V42+82=4V5>

CA4BE=A8+BE+AE=5+11+4旄=16+4泥，

SA4Bfc-yXBEXAD=yX11X4=22.

24.我們不妨約定：在平面直角坐標(biāo)系中，若某函數(shù)圖象上至少存在不同的兩點關(guān)于y軸對

稱，則把該函數(shù)稱之為“7函數(shù)”，其圖象上關(guān)于y軸對稱的不同兩點叫做一對“T點”.根

據(jù)該約定，完成下列各題.

-生（x<0）

（1）若點41,不與點夙5,4）是關(guān)于苫的“7函數(shù)勺={x

tx2（x>0,t卉0,提常數(shù)）

的圖象上的一對“T點”，則「=4,s=-1,f=4（將正確答案填在相應(yīng)的

橫線上）；

（2）關(guān)于x的函數(shù)y=fcv+p（k,p是常數(shù)）是“T函數(shù)”嗎？如果是，指出它有多少對

“7點”如果不是，請說明理由；

（3）若關(guān)于x的“T函數(shù)"y=ox2+fer+cQ>0,且“，b,c是常數(shù)）經(jīng)過坐標(biāo)原點0,

且與直線/：y—mx+n（/nWO,〃>0,且機(jī)，〃是常數(shù)）交于M（xi,yi）,N（及，丫2）

兩點，當(dāng)XI,X2滿足（1-xD-1+及=1時，直線/是否總經(jīng)過某一定點？若經(jīng)過某一定

點，求出該定點的坐標(biāo)；否則，請說明理由.

解：（1）8關(guān)于y軸對稱，

.'.s--1,r=4,

的坐標(biāo)為（1,4）,

把4（1,4）代入是關(guān)于x的“7函數(shù)”中，得：1=4,

故答案為r=4,s=-l,f=4：

（2）當(dāng)k=0時，有y=/b

此時存在關(guān)于y軸對稱得點，

...y=Ax+p是“T函數(shù)”，

當(dāng)上W0時，不存在關(guān)于y軸對稱的點，

???y=Ax+p不是"函數(shù)”；

(3)?.，=?2+加:+c過原點，

,\c=0,

\*y=ax2+bx+c是“T函數(shù)”，

，b=0,

/.y=ox2,

聯(lián)立直線/和拋物線得：

f_2

y-ax

y=mx+n

即：ax1-nvc-n=Oy

m-n

xl+x2=PX1X2=V

又丁(1-X1)T+%2=1，

化簡得：XI=12，

?

..—m=-n,即nrim=-n,

aa

J.y=mx+n=zmx-tn,

當(dāng)x=l時，y=0,

.?.直線/必過定點(1,0).

25.如圖，點O為以AB