解n階微分方程資料教學(xué)課件

解n階微分方程資料解n階微分方程資料解n階微分方程資料微、積分學(xué)應(yīng)用模塊§4-13二階常系數(shù)線性微分方程第四模塊微積分學(xué)的應(yīng)用用第十三節(jié)二階常系數(shù)線性微分方程一、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)二、二階常系數(shù)線性微分方程的解法三、應(yīng)用舉例微、積分學(xué)應(yīng)用模塊§4-13二階常系數(shù)線性微分方程-、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)二階微分方程的如下形式"+(r)y+q()y=f(x)用稱為二階線性微分方程,簡(jiǎn)稱二階線性方程.f(x)稱為自由項(xiàng),當(dāng)∫(x)≠0時(shí),稱為二階線性非齊次微分方程,簡(jiǎn)稱二階線性非齊次方程.當(dāng)∫(x)恒為0時(shí),稱為二階線性齊次微分方程,簡(jiǎn)稱二階線性齊次方程.方程中p(x)、q(x)和∫(x)都是自變量的已知連續(xù)函數(shù).這類方程的特點(diǎn)是:右邊是已知函數(shù)或零,左邊每一項(xiàng)含y"或y或y,且每項(xiàng)均為y"或y或y的一次項(xiàng),例如y"+xy'+y=x2就是二階線性非齊次方程.而y+x(y)2+y=x2就不是二階線性方程近年來(lái)，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷發(fā)展更新，社會(huì)對(duì)計(jì)算機(jī)人才的要求也越來(lái)越高，但是，在實(shí)際的教學(xué)過程中，一些高職院校依然采用傳統(tǒng)的教學(xué)模式和教學(xué)方法，開展計(jì)算機(jī)教學(xué)活動(dòng)，忽視了學(xué)生實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，導(dǎo)致學(xué)生的計(jì)算機(jī)能力較低，所以，在素質(zhì)教育深入發(fā)展的情況下，立足于市場(chǎng)的發(fā)展需求，及時(shí)更新教育理念，合理制定培養(yǎng)計(jì)劃，不斷創(chuàng)新教學(xué)模式，合理開展計(jì)算機(jī)教學(xué)活動(dòng)，不斷提高計(jì)算機(jī)教學(xué)的質(zhì)量，成為高職院校教育教學(xué)工作中急需解決的問題之一。1.在高職計(jì)算機(jī)教學(xué)中應(yīng)用分層式教學(xué)模式的必要性由于家庭因素、個(gè)人因素的影響，許多高職學(xué)生的計(jì)算機(jī)水平不同，再加上學(xué)生專業(yè)特點(diǎn)的差異，高職學(xué)生的學(xué)習(xí)需求也不盡相同，所以，在教學(xué)過程中，教師需要充分尊重學(xué)生之間的差異，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，通過分層式就模式，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，以提高計(jì)算機(jī)教學(xué)的效果[1]。計(jì)算機(jī)教學(xué)具有較強(qiáng)的理論性和實(shí)踐性，在教學(xué)過程中，一味采用統(tǒng)一的教學(xué)模式，灌輸理論知識(shí)，講解操作技巧，會(huì)降低學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，而利用分層式教學(xué)模式，有針對(duì)性地開展教學(xué)活動(dòng)，可以增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。2.分層式教學(xué)模式在高職計(jì)算機(jī)教學(xué)中的合理應(yīng)用方式2.1對(duì)學(xué)生進(jìn)行分層分層教學(xué)是以學(xué)生的知識(shí)水平和學(xué)習(xí)能力為基礎(chǔ)，需要充分考慮不同學(xué)生的實(shí)際情況，所以，在運(yùn)用分層式教學(xué)模式時(shí)，計(jì)算機(jī)教師應(yīng)該詳細(xì)地了解學(xué)生的計(jì)算機(jī)水平、學(xué)習(xí)情緒和學(xué)習(xí)能力，根據(jù)不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，合理劃分學(xué)生層次，以提高計(jì)算機(jī)教學(xué)的針對(duì)性。計(jì)算機(jī)教師可以把學(xué)生分為A、B、C三個(gè)層次，A層次學(xué)生的計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)知識(shí)扎實(shí)、學(xué)習(xí)興趣濃厚、學(xué)習(xí)習(xí)慣良好，實(shí)際操作能力較強(qiáng)；B層次學(xué)生的計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)知識(shí)一般、缺乏學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、實(shí)際操作能力一般；C層次學(xué)生的計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)知識(shí)薄弱、學(xué)習(xí)積極性不高、實(shí)際操作能力較低。同時(shí)，在教學(xué)過程中，計(jì)算機(jī)教師需要根據(jù)學(xué)生的進(jìn)步情況，適當(dāng)進(jìn)行調(diào)整，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。2.2分層制定教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)是開展教學(xué)活動(dòng)的最終目的，在教學(xué)過程中，高職院校的計(jì)算機(jī)教師應(yīng)該根據(jù)不同層次學(xué)生的具體情況，分層制定教學(xué)目標(biāo)，以增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)信心，提高計(jì)算機(jī)教學(xué)的效果。對(duì)于A層次的學(xué)生，計(jì)算機(jī)教師可以著重培養(yǎng)其實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力，不斷提高A層次學(xué)生的計(jì)算機(jī)運(yùn)用能力，以提升學(xué)生的綜合素質(zhì)[2]。對(duì)于B層次的學(xué)生，計(jì)算機(jī)教師應(yīng)該注意培養(yǎng)其學(xué)習(xí)習(xí)慣，不斷提高其實(shí)踐能力，以實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)教學(xué)的目標(biāo)。而對(duì)于C層次的學(xué)生，計(jì)算機(jī)教師需要采用合適的教學(xué)方法，培養(yǎng)其學(xué)習(xí)興趣，不斷提高其學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)的積極性和主動(dòng)性。2.3分層設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容學(xué)生知識(shí)水平、學(xué)習(xí)能力和學(xué)習(xí)情緒的差異，會(huì)嚴(yán)重影響到課堂教學(xué)效果，所以，在開展計(jì)算機(jī)教學(xué)活動(dòng)之前，高職院校的計(jì)算機(jī)教師需要根據(jù)學(xué)生的層次，合理設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容，以滿足不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，提高計(jì)算機(jī)教學(xué)的有效性。在課堂教學(xué)活動(dòng)中，計(jì)算機(jī)教師可以要求A層次的學(xué)生，在熟練掌握理論知識(shí)的基礎(chǔ)上，熟練操作計(jì)算機(jī)，以提高A層次學(xué)生和的計(jì)算機(jī)能力；計(jì)算機(jī)教師可以要求B層次的學(xué)生，掌握教學(xué)內(nèi)容，能夠使用計(jì)算機(jī)獲取、處理和傳輸信息；而對(duì)于C層次的學(xué)生，計(jì)算機(jī)教師應(yīng)該注重培養(yǎng)其學(xué)習(xí)興趣，要求其掌握基礎(chǔ)的理論知識(shí)和基本的操作技能，以縮短學(xué)生之間的差距，提高學(xué)生整體的計(jì)算機(jī)水平。3.總結(jié)總而言之，分層式教學(xué)模式可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，提高教學(xué)的目的性和?對(duì)性，促進(jìn)學(xué)生的共同發(fā)展，所以，在平時(shí)的教學(xué)過程中，高職院校的計(jì)算機(jī)教師可以根據(jù)學(xué)生之間的差異性，合理運(yùn)用分層式教學(xué)模式，以培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)信心，提高計(jì)算機(jī)教學(xué)的效果，促進(jìn)學(xué)生計(jì)算機(jī)能力的共同發(fā)展。隨著新課改的推進(jìn)，課堂教學(xué)的有效性是提高教學(xué)質(zhì)量的一個(gè)關(guān)鍵因素。長(zhǎng)期以來(lái)，我們習(xí)慣于讓學(xué)生“靜坐”在各自的位置上，步調(diào)一致地聽講或練習(xí)。新課程改革要求課堂教學(xué)既要實(shí)現(xiàn)四維的教學(xué)目標(biāo)，又要呵護(hù)學(xué)生長(zhǎng)久的學(xué)習(xí)愿望，還要培養(yǎng)學(xué)生具備一定的應(yīng)對(duì)升學(xué)考試的能力和素質(zhì)。如何提高課堂的有效度成為大家共同的關(guān)注點(diǎn)，為此，2012年3月，我區(qū)提出了“研學(xué)后教”的教學(xué)理念，推動(dòng)新一輪的教學(xué)改革的車輪。為了走出“研學(xué)后教”理念指導(dǎo)下的歷史課堂特色來(lái)，筆者進(jìn)行了一些思考與嘗試。筆者認(rèn)為，要讓歷史課堂有自己的特色，讓學(xué)生有興趣學(xué)歷史，關(guān)鍵是我們研學(xué)案中的研學(xué)問題。研學(xué)問題是否具有歷史味道，是歷史課堂教學(xué)能否形成學(xué)科特色的關(guān)鍵性因素。那么，什么是歷史學(xué)科研學(xué)問題的歷史味道？怎樣去設(shè)計(jì)研學(xué)問題才能產(chǎn)生“歷史味”呢？下面就近幾年筆者在課堂教學(xué)實(shí)踐中運(yùn)用的一些質(zhì)量相對(duì)比較好的研學(xué)問題加以說明。首先，研學(xué)問題是否有利于學(xué)生形成歷史知識(shí)結(jié)構(gòu)，并在此基礎(chǔ)上形成新的歷史知識(shí)建構(gòu)？我們應(yīng)該清楚，學(xué)生“認(rèn)識(shí)的獲得必須用一個(gè)將結(jié)構(gòu)主義（Structurism）和建構(gòu)主義（Constructivism）緊密地連結(jié)起來(lái)的理論來(lái)說明，也就是說，每一個(gè)結(jié)構(gòu)都是心理發(fā)生的結(jié)果，而心理發(fā)生就是從一個(gè)較初級(jí)的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為一個(gè)不那么初級(jí)的（或較復(fù)雜的）結(jié)構(gòu)”?！?】也就是說，學(xué)生的認(rèn)知是在原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上再建構(gòu)，再形成新的知識(shí)結(jié)構(gòu)的過程。什么是知識(shí)結(jié)構(gòu)？美國(guó)著名心理學(xué)家布魯納認(rèn)為，所謂知識(shí)結(jié)構(gòu)就是指“學(xué)科知識(shí)的內(nèi)部聯(lián)系和規(guī)律”。而作為歷史學(xué)科，其學(xué)科知識(shí)的內(nèi)部聯(lián)系和規(guī)律，學(xué)生是否通過“滿堂放”就能解決了？答案是否定的。的確，學(xué)生是學(xué)習(xí)信息加工的主體、知識(shí)結(jié)構(gòu)的主動(dòng)建構(gòu)者，而不是外部刺激的被動(dòng)接受者和被灌輸?shù)膶?duì)象。作為歷史教師，我們?cè)诰帉懷袑W(xué)案時(shí)必須考慮一個(gè)問題：我們的研學(xué)問題是否有利于學(xué)生認(rèn)識(shí)歷史學(xué)科知識(shí)的內(nèi)部聯(lián)系和規(guī)律并在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步形成新的歷史知識(shí)結(jié)構(gòu)？“香港蕞爾一島耳，固中國(guó)海濱之棄地也。叢莽惡石，盜所藪，獸所窟，和議既成，乃割畀英，始辟草萊，招徠民庶，數(shù)年間遂成市落。設(shè)官置吏，百事共舉，彬彬然稱治焉。遭值中國(guó)多故，避居者視為世外桃源。商出其市，賈安其境，財(cái)力之盛，幾甲粵東。嗚呼，地之盛衰何常，在人為之耳。故觀其地之興，即知其政治之善，因其政治之善，即想見其地官吏之賢?！报D―王韜《?|園文錄外編?送政務(wù)司丹拿返國(guó)序》王韜，著名的洋務(wù)政論家、中國(guó)新聞業(yè)之父。1845年考取秀才。1849年應(yīng)英國(guó)傳教士麥都士之邀，到上海墨海書館工作。清同治元年（1862年）因化名黃畹上書太平天國(guó)被發(fā)現(xiàn)，清廷下令逮捕，在英國(guó)駐滬領(lǐng)事幫助下逃亡香港。應(yīng)邀協(xié)助英華書院院長(zhǎng)理雅各將十三經(jīng)譯為英文。1867冬-1868年春漫游法英等國(guó)。因此他對(duì)西方現(xiàn)代文明了解比較深。問題1：香港島是在什么歷史背景下割讓給英國(guó)的？問題2：英國(guó)人在香港是通過什么手段讓香港的經(jīng)濟(jì)發(fā)展起來(lái)的？問題3：王韜認(rèn)為香港發(fā)展的根本原因是什么？他的觀點(diǎn)是否與當(dāng)時(shí)的洋務(wù)派的主張一致？問題4：通過這則材料，你能說一說造成世界近代西方先?M，東方落后的根本因素是什么？這是筆者在復(fù)習(xí)八年級(jí)上冊(cè)第二單元時(shí)所用的其中一個(gè)研學(xué)問題。首先，筆者為學(xué)生提供了一個(gè)真實(shí)的歷史情境：著名的洋務(wù)政論家王韜的著作的思想主張和其生平。因?yàn)槭菑?fù)習(xí)課，學(xué)生已對(duì)西方的侵略和中國(guó)的抗?fàn)幰约爸袊?guó)近代化的探索有所認(rèn)識(shí)，因此在復(fù)習(xí)課時(shí)根據(jù)創(chuàng)設(shè)的情景提出問題1和問題3，這是對(duì)舊有歷史知識(shí)結(jié)構(gòu)的回爐，而問題2和問題4的提出其目的是為了幫助學(xué)生建構(gòu)新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。其次，研學(xué)問題是否有利于學(xué)生學(xué)會(huì)思想，生成智慧？“讀史使人明智”。歷史課堂要讓學(xué)生在“讀史”的同時(shí)，懂得用思辨的眼睛和思想活躍的大腦去審視、思索，并從中感悟和生成一種具有歷史深度的思維和眼光，以此關(guān)注現(xiàn)實(shí)。因此，歷史教學(xué)還應(yīng)當(dāng)教學(xué)生從歷史之中“學(xué)會(huì)思想”，生成智慧。在課堂“百家爭(zhēng)鳴”這個(gè)環(huán)節(jié)【我們歷史新授課“學(xué)思四環(huán)建構(gòu)模式”中的一個(gè)環(huán)節(jié)】中，筆者提出問題：“請(qǐng)觀察張擇端的《清明上河圖》上的場(chǎng)景細(xì)節(jié)，你能看到北宋時(shí)的人們的生活是怎樣的嗎？”并指導(dǎo)學(xué)生分組觀察《清明上河圖》的細(xì)節(jié)，如算盤、商品廣告、人物服飾、人物性別、建筑類別、交通工具等，然后各組分別表述，進(jìn)一步了解和感受一下宋朝城市經(jīng)濟(jì)的繁榮。各小組當(dāng)談到感受時(shí)都對(duì)北宋的繁榮表示了贊嘆。然而接著筆者拋出了另外一個(gè)問題：“如此繁榮的北宋王朝，為什么會(huì)亡國(guó)呢？張擇端創(chuàng)作這幅畫的目的純粹是要反映北宋汴京的繁華嗎？”學(xué)生陷入了沉思。筆者提醒學(xué)生注意研學(xué)案中張擇端的簡(jiǎn)介：【張擇端北宋畫家。字正道，東武（今山東諸城）人。早年游學(xué)汴京（今開封），后習(xí)繪畫，徽宗時(shí)在翰林圖畫院任職。善畫風(fēng)俗畫，尤擅繪舟車、市肆、橋梁、街道、城郭等。】“徽宗時(shí)在翰林圖畫院任職，這是否能給我們什么啟示沒有？”此時(shí)有幾個(gè)學(xué)生提出：“宋徽宗是亡國(guó)之君，他跟兒子欽宗都做了金國(guó)的俘虜?！薄皬垞穸耸腔兆跁r(shí)期的人?！薄皬垞穸耸欠裣胪ㄟ^這畫想提醒宋徽宗點(diǎn)什么？”“想提醒什么呢？”筆者問?？墒菦]有學(xué)生能準(zhǔn)確回答。教師最后小結(jié)：張擇端作為一位優(yōu)秀的知識(shí)分子，看到了北宋繁榮背后的隱憂，借這幅畫提醒統(tǒng)治者要“居安思危”，結(jié)果北宋最后真的被金國(guó)所亡，宋徽宗也被俘。其三，研學(xué)問題不一定是教師全部自己預(yù)設(shè)的，它可以是課堂生成的，有時(shí)這樣的研學(xué)問題才能碰撞出智慧的火花?！袄蠋煟飨欠褚?yàn)橛X得‘大權(quán)旁落’才發(fā)動(dòng)文化大革命呢？”這是我13學(xué)年下學(xué)期，在9班上課時(shí)，一位對(duì)歷史課非常感興趣的學(xué)生提出的問題，問題有點(diǎn)“反動(dòng)”，但引爆了課堂。課后我在想：幫助學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)過程中發(fā)散求活，變角求新，探幽求奇，創(chuàng)新求異，學(xué)生才會(huì)有與眾不同的體驗(yàn)，有自出機(jī)抒的發(fā)現(xiàn)，有獨(dú)樹一幟的見解，教學(xué)才會(huì)生機(jī)蓬勃。前幾天偶爾打開電腦中的“教學(xué)日志”，其中一個(gè)教學(xué)情節(jié)記錄再次引起我的思考：2010年10月27日周三上午的第一節(jié)課，我跟平常一樣來(lái)到了初一（10）班的課室。說真的，只有在課堂面對(duì)學(xué)生上課，我才會(huì)感受到作為一名教師的價(jià)值（否則我早就轉(zhuǎn)行了），每當(dāng)走進(jìn)教室我就會(huì)有一股激情，今天也不例外。今天上的課是七年級(jí)歷史上冊(cè)第9課《中華文化的勃興（二）》，跟往常一樣，學(xué)生聽得很入神，也能在聽課的過程中很好地概括孔子、老子的思想和百家爭(zhēng)鳴各家的思想。然而在課堂的后段卻發(fā)生一段小插曲：“今天的課即將結(jié)束，同學(xué)們有什么疑問需要提出的嗎？”我一邊問一邊細(xì)心地觀察著每個(gè)學(xué)生的反應(yīng)。此時(shí)我發(fā)現(xiàn)第4組坐最后的許*斌同學(xué)欲言又止，我便問道：“*斌，你有問題提出嗎？”“老師，您不覺得孔子的教育方法有問題嗎？”他有點(diǎn)膽怯的說。據(jù)我所知提這樣一個(gè)“幼稚”問題的第一個(gè)學(xué)生不是他，而是我。記得在1990年我讀初一時(shí)就曾提出過這個(gè)問題，結(jié)果是被歷史老師以“擾亂課堂罪”批斗了一個(gè)下午，當(dāng)時(shí)我心中就恨老師不給我“百家爭(zhēng)鳴”的機(jī)會(huì)。我突然間有一種與*斌產(chǎn)生共鳴的感覺，于是問他：“為什么？”“孔子弟子三千，成才（成名）的才72人，您不覺得他的教育方法有問題嗎？”剎那間學(xué)生所有的目光都投向了我?！敖裉煳覀冎v的課是春秋戰(zhàn)國(guó)的百家爭(zhēng)鳴，春秋戰(zhàn)國(guó)是中國(guó)西周以后大分裂、大動(dòng)蕩的一個(gè)時(shí)期，禮崩樂壞的時(shí)期，也是思想大解放時(shí)期，各門各派紛紛提出自己的思想主張，形成了百家爭(zhēng)鳴的局面。百家爭(zhēng)鳴的學(xué)術(shù)氛圍是我們應(yīng)該提倡的，我很欣賞*斌同學(xué)能夠?qū)W以致用，有根有據(jù)地提出自己的觀點(diǎn)，這正是百家爭(zhēng)鳴的精髓。但是，就*斌同學(xué)提出的依據(jù)，我請(qǐng)他，包括在座的同學(xué)思考一下，若這72人都是‘出將入相’的人物，我們是否還懷疑孔子的教育水平呢？”此時(shí)下課鈴打破了同學(xué)們的沉思。而這一堂課卻在我心中產(chǎn)生了劇烈的震蕩：農(nóng)村孩子是有能力接受教師的現(xiàn)代化教育思想和教學(xué)手段進(jìn)行授課的，而問題在于我是否具備這一素質(zhì)。作為一名中下生的*斌同學(xué)，他能提出?@樣一個(gè)問題并不簡(jiǎn)單，我認(rèn)為其至少具有以下幾種能力：1、課堂的專注力，因?yàn)楫?dāng)時(shí)對(duì)“孔子弟子三千，成名72人”我只是輕言一句。2、論從史出的思維力和概括力。3、對(duì)權(quán)威的質(zhì)疑力，學(xué)生不僅對(duì)我這老師提出質(zhì)疑，而且還對(duì)孔老夫子提出了質(zhì)疑?！拔釔畚釒煟岣鼝壅胬怼?。巴爾扎克說：“打開一切科學(xué)的鑰匙都毫無(wú)異議是問號(hào)?！币虼?，在歷史教學(xué)實(shí)踐中，我們要以“問題”作為驅(qū)動(dòng)教學(xué)的根本因素，有層次地提出問題，多角度地啟發(fā)學(xué)生思維。然后，學(xué)生以學(xué)習(xí)小組為單位，圍繞著問題，互相啟發(fā)，相互補(bǔ)充，尋求答案。在這一過程中，不僅給學(xué)生提供了展現(xiàn)自己見解的機(jī)會(huì)，拓寬了學(xué)生的思維空間，提高了學(xué)生自主探究和解決問題的能力，而且培養(yǎng)了學(xué)生的合作態(tài)度和合作能力。開展研學(xué)問題的研究是實(shí)施“研學(xué)后教”內(nèi)容研究的核心，也是“研學(xué)后教”的本質(zhì)要求。教師要把學(xué)科的重點(diǎn)內(nèi)容和難點(diǎn)知識(shí)設(shè)計(jì)成適合學(xué)生學(xué)習(xí)的研學(xué)問題，或根據(jù)學(xué)生在學(xué)習(xí)中存在的共同疑惑生成可供探究的研學(xué)問題，即通過合作探究活動(dòng)建構(gòu)出有意義和價(jià)值的答案的研學(xué)問題。研學(xué)問題一定是要有價(jià)值的問題，要能凸顯“研學(xué)味”，不僅要引發(fā)學(xué)生對(duì)未知世界的好奇感，還要引發(fā)他們對(duì)研究的熱情與興趣；不僅能培養(yǎng)學(xué)生解決研學(xué)問題的能力，還要能培養(yǎng)他們發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造性解決研學(xué)問題的能力。這才是歷史課堂的真正“味道”。微、積分學(xué)應(yīng)用模塊§4-13二階常系數(shù)線性微分方程第四模塊微積分學(xué)的應(yīng)用用第十三節(jié)二階常系數(shù)線性微分方程一、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)二、二階常系數(shù)線性微分方程的解法三、應(yīng)用舉例微、積分學(xué)應(yīng)用模塊§4-13二階常系數(shù)線性微分方程-、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)二階微分方程的如下形式"+(r)y+q()y=f(x)用稱為二階線性微分方程,簡(jiǎn)稱二階線性方程.f(x)稱為自由項(xiàng),當(dāng)∫(x)≠0時(shí),稱為二階線性非齊次微分方程,簡(jiǎn)稱二階線性非齊次方程.當(dāng)∫(x)恒為0時(shí),稱為二階線性齊次微分方程,簡(jiǎn)稱二階線性齊次方程.方程中p(x)、q(x)和∫(x)都是自變量的已知連續(xù)函數(shù).這類方程的特點(diǎn)是:右邊是已知函數(shù)或零,左邊每一項(xiàng)含y"或y或y,且每項(xiàng)均為y"或y或y的一次項(xiàng),例如y"+xy'+y=x2就是二階線性非齊次方程.而y+x(y)2+y=x2就不是二階線性方程微、積分學(xué)應(yīng)用模塊§4-13二階常系數(shù)線性微分方程定理1如果函數(shù)y1與y2是線性齊次方程的兩個(gè)解,則函數(shù)y=C1+C2y2應(yīng)用數(shù)仍為該方程的解,其中C1,C2是任意常數(shù)字證因?yàn)閥1與y2是方程y"+p(x)y'+q(x)y=0的兩個(gè)解,所以有1+p(x)y+q(x)y1=0,與y"+p(x)y2+q(x)y2=0.微、積分學(xué)應(yīng)用模塊§4-13二階常系數(shù)線性微分方程又因?yàn)閥=C1n+C2y,y”=C+C2y,于是有點(diǎn)y"+p(r)y+g(r)y用數(shù)字=(C1y1+C2y2)+p(x)C1y1+C2y2)+q(xC1y1+C2y2)=C1(y"+p(x)y1+q(x)y1)+C2(y2+p(x)y2+q(x)y2)=0所以y=Cv1+C2y2是y"+p(x)y+qx)y=0的解微、積分學(xué)應(yīng)用模塊§4-13二階常系數(shù)線性微分方程定義設(shè)函數(shù)y1(x)和y24x)是定義在某區(qū)間I上的兩個(gè)函數(shù),如果存在兩個(gè)不全為0的常數(shù)k1和k2使用k1y1(x)+k2y2x)=0在區(qū)間Ⅰ上恒成立,則稱函數(shù)y(x)與2)在區(qū)間上學(xué)是線性相關(guān)的,否則稱為線性無(wú)關(guān)考察兩個(gè)函數(shù)是否線性相關(guān),我們往往用另一種簡(jiǎn)單易行的方法,即看它們的比是否為常數(shù),事實(shí)上,當(dāng)y1(x)與y2(x)線性相關(guān)時(shí),有k1y1+k2y2=0,其中k,k2不全為0,不失一般性,設(shè)k1≠0,則當(dāng)=-k2,2k1微、積分學(xué)應(yīng)用模塊§4-13二階常系數(shù)線性微分方程即y1與y2之比為常數(shù)反之,若y1與y2之比為常數(shù),應(yīng)用設(shè)y=,則y1=y2,即y1-4y2=0.所以y1與y2數(shù)y字線性相關(guān).因此,如果兩個(gè)函數(shù)的比是常數(shù),則它們線性相關(guān);如果不是常數(shù),則它們線性無(wú)關(guān).例如函數(shù)y1=e,y2=e,而當(dāng)≠常數(shù),所以,它們是線y性無(wú)關(guān)的微、積分學(xué)應(yīng)用模塊§4-13二階常系數(shù)線性微分方程定理2如果函數(shù)y1與y2是二階線性齊次方程y"+p(x)y'+q(x)=0的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解,則用y=C1y1+C2y2是該方程的通解,其中C1,C2為任意常數(shù)字證因?yàn)閥1與y2是方程y+p(x)+qx)y=0的解,所以,由定理1知y=C1y1+C2y2也是該方程的解又因?yàn)閥1與y2線性無(wú)關(guān),即y1與y2之比不為常數(shù),所以它們中任一個(gè)都不能用另一個(gè)(形如y1=ky2或y