《幾何與代數(shù)》-科學(xué)出版社-第二章-矩陣5課件

幾何與代數(shù)

主講:關(guān)秀翠

東南大學(xué)數(shù)學(xué)系東南大學(xué)線性代數(shù)課程教學(xué)內(nèi)容和學(xué)時(shí)分配

第二章矩陣教學(xué)內(nèi)容學(xué)時(shí)數(shù)§2.1矩陣的代數(shù)運(yùn)算

2§2.2可逆矩陣2§2.3分塊矩陣1§2.4矩陣的秩1§2.5初等矩陣2§2.6用Matlab解題

1思考題：初等陣可逆嗎？如何證明？若可逆，其逆矩陣是什么？P(i,j)=第i行110………11………01111………………第j行第i列第j列P(i,j)1=P(i,j)Eri

rjP(i,j)(1)第二章矩陣

§2.5初等矩陣

P(i(k))=第i行1k

11第i列1(P(i(k)))1=P(i(1/k)))ErikP(i(k))

(2)第二章矩陣

§2.5初等矩陣

P(i,j(k))=第i行1……k11……第j行第i列第j列1A1CB1=(00k)P(i,j(k))1=P(i,j(k))

Eri+krjP(i,j(k))(3)第二章矩陣

§2.5初等矩陣

一次初等變換

(左行右列)一次初等行變換

一次初等列變換

Amn

行最簡(jiǎn)形U

等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形初等列變換初等行變換左乘初等陣P1,P2,…,Ps右乘初等陣Q1,Q2,…,Qt一.初等矩陣與矩陣的乘積P1,P2,…,PsA=U§2.5初等矩陣

第二章矩陣

§2.5初等矩陣

二.用初等變換求逆矩陣命題.初等矩陣都可逆,且P(i,j)1=P(i,j),

(P(i(k)))1=P(i(1/k)),(P(i,j(k)))1=P(i,j(k))).

命題.

對(duì)mn矩陣A,總存在行最簡(jiǎn)形陣U和m階初等陣P1,P2,…,Ps,使得

P1P2…PsA=U

.問題：可逆方陣A的行最簡(jiǎn)形矩陣U=？E可逆方陣A=Ps1…P21P11.定理2.5n階方陣A可逆

A=初等矩陣的乘積，即存在初等矩陣P1,P2,…,Ps,使得A=P1P2…Ps.二.用初等變換求逆矩陣第二章矩陣

§2.5初等矩陣

推論2.1設(shè)A,B都是mn矩陣，則AB

存在初等陣使B=P1…PsAQ1…Qt

存在m,n階可逆陣P,Q使得B=PAQ.定理2.5n階方陣A可逆

A=初等矩陣的乘積，即存在初等矩陣P1,P2,…,Ps,使得A=P1P2…Ps.推論2.3

對(duì)mn矩陣A,r(A)=r

存在初等陣使A=P1…PsQ1…Qt

存在m,n階可逆陣P,Q使得A=PQ.A,B同型，且r(A)=r(B)=r(PAQ).第二章矩陣

§2.5初等矩陣

(A,B為方陣.)(方陣A可逆)A為非奇異陣、非退化陣、滿秩A與E相抵A的行最簡(jiǎn)形矩陣為E.

A=初等矩陣的乘積，即存在初等矩陣P1,P2,…,Ps,使得A=P1P2…Ps.可逆陣APsPs-1…P2P1(A

E)=(E,A1)

PsPs-1…P2P1A=E(A

E)初等行變換(E

A1)A1二.用初等變換求逆矩陣可逆方陣A的行最簡(jiǎn)形矩陣U=EAmn

行最簡(jiǎn)形U

初等行變換P1,P2,…,PsA=U初等行變換E用初等變換求逆矩陣PsPs-1…P2P1E=A1例3.設(shè)A=123221343,求A1.r22

r1r33

r1r3

r21/2r2;

r3r1

2

r2r25/2r3r1+2r3123100

221010343001解:

A1=

1323/235/2111第二章矩陣

§2.5初等矩陣

例4

求A的逆矩陣：解:為什么？A不可逆r22

r1r3

r2A不與E相抵第二章矩陣

§2.5初等矩陣

注:當(dāng)求一個(gè)逆矩陣時(shí)，事先不必知道A是否可逆，因?yàn)楫?dāng)A不可逆時(shí)，A就不可能通過初等行變換化成單位陣，此時(shí)，則可判別A不可逆。(A

E)初等行變換(E

A1)用初等變換求逆矩陣(A

E)初等行變換(E

A1)相當(dāng)于左乘A1(A

B)初等行變換(E

)相當(dāng)于左乘A1A1B相當(dāng)于解AX=EX=A1相當(dāng)于解AX=BX=A1B第二章矩陣

§2.5初等矩陣

例5.設(shè)A=,,B=253143求矩陣X使AX=B.r22

r1r33

r1r3

r21/2r2;

r3r1

2

r2r25/2r3r1+2r312322134312325

2213134343解:

故X=

322313.第二章矩陣

§2.5初等矩陣

XA=BX=BA1

(A

E)初等行變換(E

A1)(A

B)初等行變換(E

A1B)相當(dāng)于左乘A1AX=BX=A1B初等列變換ABEX=E

BA1

相當(dāng)于右乘A1初等列變換AEE

A1

左行右列第二章矩陣

§2.5初等矩陣

三.用初等變換求逆矩陣(左行右列)A可逆A

E

A=P1…Ps(A

E)初等行變換(E

A1)(A

B)初等行變換(EA1B)解AX=BX=A1B解XA=BX=BA1一.初等陣與初等變換一次初等行變換

(左行右列)一次初等變換

AB存在可逆陣P,Q使得B=PAQA,B同型r(A)=r(PAQ)初等列變換ABE

BA1

第二章矩陣

§2.5初等矩陣

1.分塊初等變換與分塊初等陣分塊初等變換:分塊初等矩陣:一次分塊初等變換

三.矩陣的代數(shù)運(yùn)算與矩陣的秩第二章矩陣

§2.5初等矩陣

定理.

一次分塊初等行變換

一次分塊初等列變換

其中E’為相應(yīng)的分塊初等陣.左行右列分塊初等矩陣:一次分塊初等變換

第二章矩陣

§2.5初等矩陣

證明:A,B的最高階非零子式也是的非零子式.設(shè)U1,U2為A,B的行最簡(jiǎn)形.推論2.4.則存在可逆陣P1,P2,使得P1A

=U1,P2B

=

U2.第二章矩陣

§2.5初等矩陣

2.矩陣的秩的性質(zhì)r(A,B)證明:推論2.5.若矩陣A,BRmn,則

r(A+B)

r(A)+r(B).則(A,B)與(A+B,B)相抵.推論2.4.證明:可逆r(AB)

r(A)+r(B).推論2.5.1第二章矩陣

§2.5初等矩陣

推論2.5.r(A)r(B)

r(AB)

r(A)+r(B).推論2.4.推論2.6.GH=s+t設(shè)A,B的最高階非零子式分別為|As|,|Bt|

,則可得到G,H的一個(gè)s+t階非零子式=|As||Bt|0

,對(duì)G,這是一個(gè)最高階非零子式,r(G)=s+t對(duì)H,至少有這樣一個(gè)s+t階非零子式,r(H)s+t=3第二章矩陣

§2.5初等矩陣

推論2.4.推論2.7.若矩陣ARsn,BRnt,推論2.5.r(A)r(B)

r(AB)

r(A)+r(B).推論2.6.證明:第二章矩陣

§2.5初等矩陣

第一章矩陣

§1.7矩陣的秩

性質(zhì)1.7.推論2.7.若矩陣ARsn,BRnt,性質(zhì)1.8.r(A)r(B)

r(AB)

r(A)+r(B).性質(zhì)1.9.設(shè)r(A)=r,可逆陣P,階梯陣Ur,證明:推論2.4.推論2.7.若矩陣ARsn,BRnt,推論2.5.r(A)r(B)

r(AB)

r(A)+r(B).推論2.6.推論2.8.第二章矩陣

§2.5初等矩陣

解:設(shè)例6.若向量Rn,0,A=T,求r(A),|A|.r(A)=1即A中存在一個(gè)一階非零子式.r(A)1另一方面,r(A)=r(T)r()=1r(A)=1<nA不可逆|A|=0.第二章矩陣

§2.5初等矩陣

解2:設(shè)例6.若向量Rn,0,A=T,求r(A),|A|.r(A)=1A中各行之間成比例.|A|=0.設(shè)r1/a1riair1i=2,,n

A第二章矩陣

§2.5初等矩陣

例7.設(shè)n階方陣A滿足,試證證明：

第二章矩陣

§2.5初等矩陣

00思考性質(zhì)：非零子式的最高階數(shù)矩陣的秩初等行變換(階梯數(shù))

r(A)r(B)

r(AB)r(A)+r(B)r(A)=rA中至少有一個(gè)

r級(jí)子式0,任一k(>r)級(jí)子式=0.

r(Amn)min{m,n}8)設(shè)