二重積分的概念與性質(zhì)課件

定積分所研究的對象是一元函數(shù)，并且積分圖形的面積；是在一個閉區(qū)間上進(jìn)行的。利用定積分可求出平面求幾何體的體積（旋轉(zhuǎn)體的體積、oxy已知平行截面面積的幾何體的體積）第九章二重積分

為了解決這樣一些實(shí)際問題，有必要把定積分的基本思想加以推廣，從而建立二重積分的概念.已知平行截面面積的幾何體的體積axxx+dxA(x)b

在實(shí)際工作中，我們還會碰到以下的問題：由一般曲面所圍成的立體的體積、以及非均勻平面的質(zhì)量、重心等等。而這類問題在物理學(xué)與工程技術(shù)以及經(jīng)濟(jì)學(xué)中是經(jīng)常遇到的.第九章二重積分第一節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)第二節(jié)二重積分的計(jì)算3

本節(jié)我們將一元函數(shù)定積分的概念和思想擴(kuò)展到二元函數(shù)的二重積分上，由于二重積分是一元函數(shù)定積分在二元函數(shù)中的進(jìn)一者之間的共性與區(qū)別.

因此，二重積分概念、性質(zhì)與定積分類似，二重積分的計(jì)算方法也是將其轉(zhuǎn)化為定積分.步推廣.導(dǎo)言：學(xué)習(xí)中要注意與定積分的對比，把握兩第九章二重積分（曲頂）柱體體積=？特點(diǎn)：曲頂１．曲頂柱體的體積(volume)（一）問題的提出

以曲面為頂，以xy平面上區(qū)域D為曲頂柱體以通過D的邊界且與z軸平行的柱面為側(cè)面的立體。底，第一節(jié)

二重積分的概念與性質(zhì)（平頂）柱體體積高特點(diǎn)：平頂=底面積×第一節(jié)

二重積分的概念與性質(zhì)

求由直線x=a,x=b,y=0與曲線y=f(x)≥0

所圍成的曲邊梯形的面積.方法：整體分割—局部近似—求和積累—無限逼近回顧：xyo(1)分割

化整為零(2)近似以常代變(3)求和積零為整(4)極限無限累加曲邊梯形面積的求解過程及思想方法第一節(jié)

二重積分的概念與性質(zhì)

而母線平行于z軸的柱面，1.求曲頂柱體的體積以xOy平面上的下面討論如何計(jì)算曲頂柱體的體積V

.所圍成的幾何體.其頂是連續(xù)曲面D的邊界線為準(zhǔn)線,其側(cè)面為以有界閉區(qū)域D為底,曲頂柱體:

在每個小區(qū)域上任取一點(diǎn)

用任意一組曲線網(wǎng)把區(qū)域D分割成n個小閉區(qū)域整體分割—局部近似—求和積累—無限逼近方法：(1)分割其中既表示第i個小區(qū)域也表示其對應(yīng)的面積.分別以這些小閉區(qū)域的邊界曲線為準(zhǔn)線，

作母線平行于z軸的柱面，這些柱面把曲頂柱體其體積為(2)近似代替為的直徑的最大值以為高，則小曲頂柱體的體積近似地等于

小平頂柱體的體積，即有

將所有小平頂柱體的體積求和，

可得曲頂柱體體積的近似值為(3)求和

(4)取極限記的體積為(

表示中任意兩點(diǎn)間距離的最大值），則曲頂柱體(2)近似代替

由于這種特殊和式的極限應(yīng)用極廣，實(shí)際工作

中各個領(lǐng)域中的不少問題，通常都要化為這種和式的極限。因此，有必要對這種和的極限進(jìn)行一般性的研究。

為了研究問題方便起見，數(shù)學(xué)上人們就把這種特殊結(jié)構(gòu)的和的極限稱為二重積分。第一節(jié)

二重積分的概念與性質(zhì)1.求曲頂柱體的體積

設(shè)函數(shù)f(x,y)是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù)，

則稱函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上可積，xyD2.二重積分的概念在上記記為若極限作和式任取一點(diǎn)既表示第i小塊,也表示第i

小區(qū)域的面積.用任意一組曲線網(wǎng)分割D成n

個小區(qū)域定義存在，即并稱此極限值為f(x,y)在D上的二重積分.

（1）二重積分的積分值與區(qū)域D的分割方式與點(diǎn)積分和積分區(qū)域面積微元被積函數(shù)積分號（3）若被積函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，與積分變量無關(guān)；該值與區(qū)域D及（2）二重積分的積分值是一數(shù)值，即分割與取點(diǎn)具有任意性；對二重積分作幾點(diǎn)說明：被積表達(dá)式積分變量則一定可積.被積函數(shù)f(x,y)有關(guān)，的取法無關(guān)；2.二重積分的概念3.二重積分的幾何意義

(1)若在D上f(x,y)≥0,則表示以區(qū)域D為(3)若f(x,y)在D的某些子區(qū)域上為正的,則表示在這些子區(qū)域上(2)若在D上f(x,y)≤0,則表示以區(qū)域D為

（4）當(dāng)時(shí),以f(x,y)為曲頂?shù)那斨w的體積.為底，以f(x,y)為曲頂?shù)那斨w體積的相反數(shù).為底，曲頂柱體體積的代數(shù)和.子區(qū)域上為負(fù)的，在D的另一些=區(qū)域D的面積.

假設(shè)函數(shù)f(x,y)，g(x,y)在區(qū)域D上都是可積的.(1)(2)(3)(4)若在D上處處有f(x,y)≤g(x,y)，4.二重積分的性質(zhì)則有下述性質(zhì)：二重積分有與定積分類似的性質(zhì).則有(可加性)(數(shù)乘性)(區(qū)域可加性)(單調(diào)性)對有界閉區(qū)域D上連續(xù)函數(shù)

f(x,y),

設(shè)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，

若在D上處處有m≤f(x,y)≤M，

（6）定理(中值定理)使為f(x,y)（5）定理(估值定理)則為區(qū)域D的面積，且使則在D上存在一點(diǎn)在D上的必在D上存在一個點(diǎn)積分中值定理說明：平均值.4.二重積分的性質(zhì)解4.二重積分的性質(zhì)故解4.二重積分的性質(zhì)Method1.oxy13如圖所示例3

4.二重積分的性質(zhì)解4.二重積分的性質(zhì)Solution.例5

4.二重積分的性質(zhì)Solution.（積分中值定理）（函數(shù)的連續(xù)性）例6

4.二重積分的性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)小結(jié)（一）概念（二）性質(zhì)六條性質(zhì)（三）幾何意義作業(yè)：P3513（2），4（2）第一節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)思考題

將二重積分定義與定積分定義進(jìn)行比較，找出它們的相同之處與不同之處.

定積分與二重積分都表示某個和式的極限值，且此值只與被積函數(shù)及積分區(qū)域有關(guān)．不同的是定積分的積分區(qū)域?yàn)閰^(qū)間，被積函數(shù)為定義在區(qū)間上的一元函數(shù)，而二重積分的積分區(qū)域?yàn)槠矫鎱^(qū)域，被積函數(shù)為定義在平面區(qū)域上的二元函數(shù)．思考題解答第一節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)練習(xí)題