定積分的應(yīng)用畢業(yè)論文

學(xué)士學(xué)位論文BACHELOR’STHESISPAGE1編號學(xué)士學(xué)位論文定積分的應(yīng)用學(xué)生姓名：學(xué)號：系部：數(shù)學(xué)系專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)年級：指導(dǎo)教師：完成日期：中文摘要定積分是一元函數(shù)積分學(xué)中的另一個基本概念，它是從大量的實際問題中抽象出來的在自然科學(xué)與工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，該論文主要討論從幾何問題物理問題出發(fā)敘述應(yīng)用定積分解決各種問題的優(yōu)越性。關(guān)鍵詞：微元；體積；面積；參數(shù)方程；重心；旋轉(zhuǎn)體；變化率為；22736中文摘要 120910引言 140521.定積分的應(yīng)用 173101.1定積分在幾何方面的應(yīng)用 1304521.1.1微元法 1127391.1.2用定積分求平面圖形的面積 2224641.2極坐標(biāo)下平面圖形的面積 713432.應(yīng)用定積分求旋轉(zhuǎn)體的體積 8302882.1平行截面積已知的立體體積. 8125712.1.1旋轉(zhuǎn)體體積 9153653.定積分在物理上的應(yīng)用 1356183.1重心 1377683.2變力做功 15286903.3電學(xué)上的應(yīng)用 15291424.定積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用 168356總結(jié) 1727926參考文獻(xiàn) 1823961致謝 19PAGE22引言定積分在數(shù)學(xué)，物理上有好多個應(yīng)用比如：求曲邊梯形的面積，旋轉(zhuǎn)體的體積，物體的重心，變力做功，轉(zhuǎn)動慣量等等，為什么把這些問題應(yīng)用定積分來計算？答案是很簡單這些問題都與求和有關(guān)系，但是求和沒那么容易事所以必須用定積分這工具來解決。1.定積分的應(yīng)用定積分在幾何，物理及經(jīng)濟(jì)上有廣泛的應(yīng)用。首先我們介紹以下定積分這個概念。定義：設(shè)是定義在上的一個函數(shù)，是一個確定的實數(shù)。若>0，>0，使得對的任何分割，以及在其上任意選取的點集，只要<，就有<，則稱函數(shù)在區(qū)間上可積或數(shù)稱為在上的定積分，記作下面我們介紹以下定積分若干方面的應(yīng)用。1.1定積分在幾何方面的應(yīng)用我們用什么樣的方法把定積分應(yīng)用在幾何方面的問題？我們引入微元法這一概念。1.1.1微元法以曲邊梯形面積為列，如圖曲邊梯形選取一個變量為積分變量，并確定其變化區(qū)間在區(qū)間上任取一個小區(qū)間并記為。圖1-1以點處的函數(shù)值為高，以為底的矩形面積作為其中稱為面積微元，記為于是面積為1.1.2用定積分求平面圖形的面積直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積。設(shè)函數(shù)在上連續(xù)求由曲線及直線（<)所圍成圖形的面積。分析：在上任取小區(qū)間設(shè)此小區(qū)間上的面積為，它近似于高為底為的小矩形面積，如圖1-2所示，從而的面積微元為以為被積表達(dá)式，在區(qū)間作定積分圖1-2就是所求圖形的面積在這個公式中無論曲線在軸的上方與下方都成立，只要在下方即可。例求由曲線所圍成平面圖形的面積。分析：先對曲線進(jìn)行分析，顯然曲線有無窮多個零點。且。時，我們可以畫出草圖如圖1-3.進(jìn)一步分析可知：時，，時，. 圖1-3所求面積解：由于可得求由曲線及直線所圍成圖形面積在區(qū)間上任取小區(qū)間，設(shè)此小區(qū)間上的面積為，則近似于高為，低為的小矩形面積，從而得面積微元于是所求面積為。例2．求由叁數(shù)方程所圍成圖形的面積，分析：對參數(shù)方程所圍圖形，與直角坐標(biāo)圖形相似，必須討論其所給曲線的幾何特征，爾后確定積分變量被積函數(shù)及積分區(qū)間。解：函數(shù)為周期（針對變量t而言）函數(shù)，因而在直角坐標(biāo)系中只須考慮0≤t≤2范圍內(nèi)的叁數(shù)方程即可，原方程可變形為，0≤t≤2.時，，↗，↗此時，曲線單升，至最右點為。時，↘，↗，曲線至最左點為，↘，↘，曲線至最左點為.，↗，↘，曲線至最低點為，↗，↗，曲線至點，，↘，↗，曲線至點圖象如圖1-4所示 圖1-41.2極坐標(biāo)下平面圖形的面積設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程在上連續(xù)，且，求此曲線與射線所圍成的曲邊扇形的面積如圖1-3所示，在區(qū)間上任取一個小區(qū)間設(shè)此小區(qū)間上曲邊扇形的面積，則近似于半徑為中心角為的扇形面積，從而得到面積微元為可得面積為例1..利用定積分求曲線圍成面積。解：如圖4-18，陰影部分即為所求面積曲線，故所求面積為例2.計算阿基米德螺線上對應(yīng)于從0變到的一段曲線與極軸所圍成圖形的面積。面積微元為于是所求面積為 圖1-5圖1-52.應(yīng)用定積分求旋轉(zhuǎn)體的體積2.1平行截面積已知的立體體積.設(shè)有一立體價于過點圓垂直于軸的兩平面之間如圖所示，求此立體的體積.如圖價于與之間的薄片的體積近似等于地面面積為高為的扁柱體的體積，即體積微元為圖2-1圖2-1于是所求的體積為即對截面積從到求積分。zzbx0aybx0ayxx圖2-2圖2-22.1.1旋轉(zhuǎn)體體積設(shè)及所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)，如圖2-2所示。求所得旋轉(zhuǎn)體的體積，選取為積分變量其變化區(qū)間為過點做垂直于軸的平面，截的旋轉(zhuǎn)體截面是半徑為的圓，其截面積為從而所求旋轉(zhuǎn)體的體積例1.求繞極軸把面積≤≤旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。分析：分析所給面積(≤)確定被積函數(shù)及積分上下限，是圓，觀察曲線：圖2-3,,圖2-3則≤,即曲線在以為半徑的圓內(nèi)，定義域為0≤≤或≤≤0≤≤,≤≤在第一第三象限內(nèi)有定義，由對稱性只求第一象限情況下的體積。，時，取最大值。這樣，我們基本上掌握了極坐標(biāo)系下的曲線的基本形狀。曲線，與的交點在第一象限內(nèi)為所求體積，便是如圖2-3中陰影部分繞極軸旋轉(zhuǎn)而得的立體體積。根據(jù)結(jié)論，我們便有為此，需求不定積分令，則即而令，則上述積分可得可得于是，可得例2設(shè)函數(shù)在上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么曲線及直線所圍曲邊梯形繞直線旋轉(zhuǎn)所成立體體積等于什么？設(shè)為曲線上任意點，曲線在點處的切線為過點作直線的垂線為，即應(yīng)用定積分的元素法，考慮子區(qū)間，設(shè)相應(yīng)于的曲線弧段在直線上的投影長為則當(dāng)子區(qū)圖10-15圖10-15間的長度充分小時，如圖10-15所示，取切線上對應(yīng)于右端點的點到垂線的距離（在此不妨假設(shè)）而點到直線的距離為從而得取積分3.定積分在物理上的應(yīng)用定積分在物理上有好多個應(yīng)用比如：求物體的重心，變力做功，轉(zhuǎn)動慣量等等。3.1重心如果平面上有n個質(zhì)點，它們的質(zhì)量分別為位置分別為那未這一組點的重心的坐標(biāo)，可用下列公式求出：﹙1﹚﹙2﹚我們已經(jīng)知道了求平面薄板的重心坐標(biāo)公式但是用這個公式求出重心沒那么容易，我們解決的是求和問題，可能腦子里出現(xiàn)是否用定積分來計算，我們進(jìn)一步討論以下：設(shè)具有質(zhì)量的平面薄板是由曲線，直線和軸所圍成的曲邊梯形，又設(shè)此平面薄板的面密度為常數(shù)設(shè)把區(qū)間分成n個小區(qū)間，則整個平面被分成n個小窄條取其中處寬為的小狹條,這個窄條的質(zhì)量可近似地看作均勻分布在線段上而在該線段均勻分布的質(zhì)量又可以看作集中于的中點處,于是這個窄條可以用質(zhì)量為的質(zhì)點來近似地代替,而整個圖形就用個質(zhì)因小條的質(zhì)量稱質(zhì)量微元,而點的橫坐標(biāo)是,縱坐標(biāo)是圖3-1圖3-1故質(zhì)點對軸及軸的靜力矩是則平面薄板對軸及軸的靜力矩為又這整個平面薄板的總質(zhì)量等于密度與面積的乘積，而面積，故得整個平面薄板的中心為如平面圖形是及直線所謂成，假設(shè)在區(qū)間內(nèi)則同理可得此平面圖形的中心為3.2變力做功下面我們討論一下變力做功設(shè)某物體在力的作用下沿著軸運動力平行于軸并在軸上不同的點處取不同的值，即力是的函數(shù).我們要求物體在這個變力的作用下，由軸上的一點移動到另一點時變力所做的功圖3-2（圖3-2）由力學(xué)知，物體受恒力產(chǎn)生位移，所做的功為功=力距離（等速）故當(dāng)物體由移動到時，所做的功近似地為（為功微元）在上所做的功就是圖3-23.3電學(xué)上的應(yīng)用我們學(xué)過電流在單位時間所做的功稱為電流的功率，即，由于交流電流隨時間在不斷變化，因而所求的功是一個非均勻分布的量，我們必須用定積分來計算。交流電流在不斷的變化，但是很短的時間隔內(nèi)可以近似地認(rèn)為是不變的，因而在時間內(nèi)對以不變代變，就可求得功局部量的近似值，即功微元在一個周期內(nèi)消耗的功為因此交流電的平均功率的計算公式是：4.定積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用定積分在經(jīng)濟(jì)中也有用處比如設(shè)是經(jīng)濟(jì)量的函數(shù)（生產(chǎn)函數(shù)，成本函數(shù)，總收益函數(shù)等）則導(dǎo)數(shù)成為的邊際函數(shù)或變化率，在經(jīng)濟(jì)管理中，可以利用和分法，根據(jù)邊際函數(shù)，求出總函數(shù)或總函數(shù)在區(qū)間上的改變量（1）如已知其產(chǎn)品總產(chǎn)量的變化率為則從時間到該產(chǎn)品的總產(chǎn)量（2）設(shè)某產(chǎn)品總產(chǎn)量，如已知其產(chǎn)品成本對產(chǎn)量的變化率為，則產(chǎn)量從到總成本為（3）如某商品收益的變化率為已知時則銷售個單位的商品的收益為例1設(shè)某產(chǎn)品生產(chǎn)個單位，總收益的變化率為（≥0）﹙1﹚生產(chǎn)40個單位產(chǎn)品時的總收益。﹙2﹚求從生產(chǎn)40個單位產(chǎn)品到60個單位產(chǎn)品時的總收益。解：（1）生產(chǎn)40個單位產(chǎn)品時的總收益為（單位）（2）從產(chǎn)量增加到60時的總收益為：（單位）總結(jié)我們已經(jīng)參閱了定積分的若干應(yīng)用；主要介紹了把定積分這個工具怎樣應(yīng)用實際問題的方法，也就是求出復(fù)雜圖形的面積，種種立體的體積，，交流電流所做的功，求物體重心；雖然該論文未全面地敘述定積分的應(yīng)用但是基本上能為讀者提供了定積分應(yīng)用的優(yōu)越性。參考文獻(xiàn)[1]/jpkc/2006jjsx/pajes/doc/w[2]高等數(shù)學(xué)-第一冊：物理類/文麗，吳良大編-北京：北京大學(xué)出版社，1999.9重印ISBN7-301-00700-0,471頁～480頁，494～495.504～510.[3]數(shù)學(xué)分析名師導(dǎo)學(xué).上冊/《大學(xué)數(shù)學(xué)名師導(dǎo)學(xué)叢書》編寫組編；北京：中國水利水電出版社。2004-ISBN7-5084-2253-8，332～335,340～343.致謝在喀什師范