2022-2023學(xué)年北京盧溝橋中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析

2022-2023學(xué)年北京盧溝橋中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在等差數(shù)列中，已知，那么（

）A.18

B.8

C.2

D.36參考答案：A略2.設(shè)數(shù)列滿足,且對任意的,點(diǎn)都有,則的前項(xiàng)和為(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：A3.若x，y滿足，則x+2y的最大值為（）A． B．6 C．11 D．10參考答案：C考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃．專題：計(jì)算題；作圖題；不等式的解法及應(yīng)用．分析：由題意作出其平面區(qū)域，令z=x+2y，化為y=﹣x+z，z相當(dāng)于直線y=﹣x+z的縱截距，由幾何意義可得．解答：解：由題意作出其平面區(qū)域，令z=x+2y，化為y=﹣x+z，z相當(dāng)于直線y=﹣x+z的縱截距，聯(lián)立x﹣y+1=0與2x﹣y﹣2=0解得，x=3，y=4；則x+2y的最大值為3+2×4=11，故選C．點(diǎn)評：本題考查了簡單線性規(guī)劃，作圖要細(xì)致認(rèn)真，屬于中檔題．4.如圖，半徑為1的圓切直線于點(diǎn)，射線從出發(fā)繞著點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到，旋轉(zhuǎn)過程中交⊙于點(diǎn)，記為，弓形的面積，那么的大致圖象是

參考答案：A5.（5分）（2015?臨潼區(qū)校級模擬）f（x）是定義在（0，+∞）上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足．對任意正數(shù)a，b，若a＜b，則必有（）A．B．C．D．參考答案：C【考點(diǎn)】：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】：利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后推出結(jié)果．解：設(shè)函數(shù)y=，可得y′=，∵，∴函數(shù)y=在（0，+∞）上是減函數(shù)，對任意正數(shù)a，b，若a＜b，必有：．故選：C．【點(diǎn)評】：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．6.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）

A．

B．C．

D．參考答案：C由題意可知幾何體的形狀是組合體．右側(cè)是放倒的圓柱，底面半徑為1，高為2；左側(cè)是一個(gè)底面半徑為1，高為1的半圓錐．幾何體的表面積為：，故選C．7.已知，為兩條不同的直線，，，為三個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（

）A.若，，則B.若，且，則C.若，，，，則D.若，，，則參考答案：B【分析】根據(jù)線線平行，線線垂直，線面垂直，面面垂直的判定，對選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可.【詳解】對：若，，則，或與是異面直線，或與相交，故錯(cuò)誤；對：若，且，不妨取交線上一點(diǎn)，作平面的垂線為，因?yàn)?，且點(diǎn)，故；同理可得，故與是同一條直線，因?yàn)?，?故選項(xiàng)正確.對：只有當(dāng)與是相交直線時(shí)，若，，，，才會有.故錯(cuò)誤；對：若，，，則與的關(guān)系不確定，故錯(cuò)誤.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查線線平行，面面平行，面面垂直的判定，屬綜合基礎(chǔ)題.8.函數(shù)的定義域是A. B. C. D.參考答案：B略9.設(shè){an}是首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q，則“q＜0”是“對任意的正整數(shù)n，a2n﹣1+a2n＜0”的（）A．充要條件 B．充分而不必要條件C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：C【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】利用必要、充分及充要條件的定義判斷即可．【解答】解：{an}是首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q，若“q＜0”是“對任意的正整數(shù)n，a2n﹣1+a2n＜0”不一定成立，例如：當(dāng)首項(xiàng)為2，q=﹣時(shí)，各項(xiàng)為2，﹣1，，﹣，…，此時(shí)2+（﹣1）=1＞0，+（﹣）=＞0；而“對任意的正整數(shù)n，a2n﹣1+a2n＜0”，前提是“q＜0”，則“q＜0”是“對任意的正整數(shù)n，a2n﹣1+a2n＜0”的必要而不充分條件，故選：C．10.A. B. C. D.參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（5分）△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，若a2﹣c2=2b，且sinB=6cosA?sinC，則b的值為．參考答案：3【考點(diǎn)】：余弦定理；正弦定理．【專題】：解三角形．【分析】：由條件利用正弦定理可得b=6c?cosA，再把余弦定理代入化簡可得b=3×，再把a(bǔ)2﹣c2=2b代入化簡可得b（b﹣3）=0，由此可得b的值．解：△ABC中，∵sinB=6cosA?sinC，∴由正弦定理可得b=6c?cosA=6c?=3×．∵a2﹣c2=2b，∴b=3?，化簡可得b（b﹣3）=0，由此可得b=3，故答案為3．【點(diǎn)評】：本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．12.李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對這四種水果進(jìn)行促銷：一次購買水果的總價(jià)達(dá)到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會得到支付款的80%．①當(dāng)x=10時(shí)，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促銷活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則x的最大值為__________．參考答案：130

15【分析】（1）將購買的草莓和西瓜加錢與120進(jìn)行比較，再根據(jù)促銷規(guī)則可的結(jié)果；（2）根據(jù)、分別探究.【詳解】（1）x=10，顧客一次購買草莓和西瓜各一盒，需要支付（60+80）-10=130元.（2）設(shè)顧客一次購買水果的促銷前總價(jià)為y元，元時(shí)，李明得到的金額為y×80%，符合要求.元時(shí)，有（y-x）×80%≥y×70%成立，即8（y-x）≥7y，x≤，即x≤（）min=15元.所以x的最大值為15.13.

若則＝參考答案：答案：

14.某單位安排5個(gè)人在六天中值班，每天1人，每人至少值班1天，共有

種不同值班方案.（用數(shù)字作答）參考答案：1800

15.已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率，則

．參考答案：

16.如圖，長方體ABCD—A1B1C1D1中，AA1=3，AD=4，AB=5，M、N分別是AB、A1D1的中點(diǎn)，則MN的長為

。

參考答案：答案:

17.若非零向量、,滿足,,則與的夾角為___________;參考答案：120°由題意得,

所以,則、的夾角為,

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y（單位：億元）的折線圖．為了預(yù)測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時(shí)間變量t的兩個(gè)線性回歸模型．根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量t的值依次為1,2,…,17）建立模型①：；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量t的值依次為1,2,…,17）建立模型②：．（1）分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值；（2）你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由．參考答案：解：（1）利用模型①,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為(億元).利用模型②,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為(億元).（2）利用模型②得到的預(yù)測值更可靠.理由如下：（ⅰ）從折線圖可以看出,2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線上下.這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢.2010年相對2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢,利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢,因此利用模型②得到的預(yù)測值更可靠.（ⅱ）從計(jì)算結(jié)果看,相對于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元,由模型①得到的預(yù)測值226.1億元的增幅明顯偏低,而利用模型②得到的預(yù)測值的增幅比較合理.說明利用模型②得到的預(yù)測值更可靠.以上給出了2種理由,考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分.

19.(本小題滿分12分)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為，，.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列{an+bn}的前項(xiàng)和.參考答案：解：（1）由題意得，兩式相減得，所以當(dāng)時(shí)，是以3為公比的等比數(shù)列.因?yàn)?，所以，，對任意正整?shù)成立，是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，所以得.（2），所以，20.已知點(diǎn)P（，1），Q（cosx，sinx），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，函數(shù)f（x）=．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式及f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若A為△ABC的內(nèi)角，f（A）=4，BC=3，求△ABC周長的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的圖象．【分析】（Ⅰ）利用向量的數(shù)量積以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)的解析式，然后求解f（x）的最小正周期；（Ⅱ）利用函數(shù)的解析式求解A，然后利用余弦定理求解即可，得到bc的范圍，然后利用基本不等式求解最值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=?=（，1）?（﹣cosx，1﹣sinx）=﹣cosx﹣sinx+4=﹣2sin（x+）+4，f（x）的最小正周期T=2π；（Ⅱ）∵f（A）=4，∴A=，又∵BC=3，∴9=（b+c）2﹣bc．∵bc≤，∴，∴b+c≤2，當(dāng)且僅當(dāng)b=c取等號，∴三角形周長最大值為3+2．21.如圖，在三棱錐中，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn).（Ⅰ）證明：平面平面；（Ⅱ）求三棱柱的體積.參考答案：（1）由題意，平面，平面，可得，又△為等邊三角形，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，可得，與相交于點(diǎn)，則平面，平面，所以，平面平面．

（2）因?yàn)椤鳛橹苯侨切危?，所以，由?）可知，在直角三角形中， ，，可得，故，所以，三棱柱的體積為．22.已知函數(shù)且a≠0）．（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（2）若函數(shù)f（x）的極小值為，試求a的值．參考答案：（1）；（2）.【分析】（1）由題意可知．，由此能求出曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程．（2）當(dāng)a＜-1時(shí)，求出，解得，不成立；②當(dāng)a=-1時(shí)，≤0在（0，+∞）上恒成立，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減．f（x）無極小值；當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，極小值f（1）=-a-4，由題意可得，求出；當(dāng)a＞0時(shí)，極小值f（1）=-a-4．由此能求出a的值．【詳解】（1）函數(shù)f（x）=（2ax2+4x）lnx-ax2-4x（a∈R，且a≠0）．由題意可知．∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為．（Ⅱ）①當(dāng)a＜-1時(shí)，x變化時(shí)變化情況如下表：x1（1，+∞）-0+0-f（x