2023年人教版九年級上冊第21章《一元二次方程》單元測試卷 含解析

第第頁2023年人教版九年級上冊第21章《一元二次方程》單元測試卷含解析中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺

2023年人教版九年級上冊第21章《一元二次方程》單元卷

一、選擇題（共30分）

1．下列方程是一元二次方程的是（）

A．B．

C．D．

2．在一元二次方程中，常數(shù)項為（）

A．2B．C．5D．-5

3．用配方法解一元二次方程，此方程可變形為（）

A．B．C．D．

4．若是關(guān)于的一元二次方程的一個實數(shù)根，則的值是（）

A．B．C．D．

5．關(guān)于x的一元二次方程的根的情況是（）

A．有兩個不相等的實數(shù)根B．有兩個相等的實數(shù)根

C．沒有實數(shù)根D．實數(shù)根的個數(shù)由m的值確定

6．用公式法解一元二次方程時，計算的結(jié)果為（）

A．B．C．D．

7．方程的兩個根是等腰三角形的底和腰的長，則這個三角形的周長是（）

A．12B．15C．12或15D．18或9

8．某地區(qū)2023年投入教育經(jīng)費1000萬元，為了發(fā)展教育事業(yè)，該地區(qū)之后每年教育經(jīng)費的年增長率均為，預(yù)計2025年將投入2500萬元，則下列方程正確的是（）

A．B．

C．D．

9．有一人感染了某種病毒，若不及時控制就會傳染其他人，假設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了個人，經(jīng)過兩輪傳染后共有64人感染，則的值是（）

A．8B．7C．6D．5

10．若，是一元二次方程的兩個根，則的值是（）

A．5B．1C．D．

二、填空題（共18分）

11．關(guān)于x的方程是一元二次方程，則的取值范圍為．

12．關(guān)于x的一元二次方程，化為一般形式是．

13．一元二次方程的一個解是，則該方程的另一個解是．

14．若關(guān)于x的方程有兩個相等的實數(shù)根，則的值為．

15．如圖，在長為32米、寬為20米的矩形地面上修筑同樣寬的道路（圖中陰影部分），余下部分種植草坪，要使草坪的面積為540平方米，設(shè)道路的寬米，則可列方程為．

16．某學(xué)校組織籃球比賽，實行單循環(huán)制，共有36場比賽，則參加的隊數(shù)為．

三、解答題（共52分）

17．（6分）將下列方程化為一元二次方程一般形式，并指出二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項：

(1)；

(2)．

18．（6分）解方程：

(1)（用配方法）

(2)（用適當(dāng)?shù)姆椒ǎ?/p>

19．（8分）（1）解方程：；

（2）解方程：．

20．（7分）（1）解方程：．

（2）下面是小米同學(xué)的錯題本的一部分，請你仔細閱讀，幫助她補充完整．

解方程：

解：第一步

第二步

第三步

分析：第________步開始出現(xiàn)錯誤．

按照小米同學(xué)的思路改正：

反思：此方程除了本種解法外，其它解法可以有________．（寫出兩種名稱即可）

21．（8分）已知關(guān)于的方程．

(1)若方程總有兩個實數(shù)根，求的取值范圍；

(2)若兩實數(shù)根滿足，求的值．

22．（8分）2022年冬奧會在北京順利召開，冬奧會吉祥物冰墩墩公仔爆紅．據(jù)統(tǒng)計冰墩墩公仔在某電商平臺3月份的銷售量是10萬件，5月份的銷售量是14.4萬件．

(1)該平臺3月份到5月份的月平均增長率都相同，求月平均增長率是多少？

(2)經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，某一間店鋪冰墩墩公仔的進價為每件60元，若售價為80元，每天能銷售20件，售價每降價1元，每天可多售出5件．為了推廣宣傳，商家決定降價促銷，同時盡量減少庫存，若使銷售該公仔每天獲利700元，則售價應(yīng)降低多少元？

23．（9分）如圖，在長方形中，，，點P從點A開始沿邊向終點B以的速度移動，與此同時，點Q從點B開始沿邊向終點C以的速度移動．如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，當(dāng)點Q運動到點C時，兩點停止運動．設(shè)運動時間為秒．

(1)填空：______，______（用含的代數(shù)式表示）

(2)當(dāng)為何值時，的長度等于？

(3)是否存在，使得五邊形的面積等于？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．

參考答案

1．A

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，逐一判斷即可．

【詳解】∵一元二次方程：等式兩邊都是等式，只含一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是（二次）的方程，

∴A、屬于一元二次方程，符合題意；

B、不是等式方程，不符合題意；

C、含有個未知數(shù)，不是一元二次方程，不符合題意；

D、，當(dāng)時，不是一元二次方程，不符合題意；

故選：A．

【點睛】本題考查一元二次方程的知識，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的定義，學(xué)會識別一元二次方程．

2．B

【分析】直接根據(jù)一元二次方程（，，是常數(shù)且a≠0）的、、分別是二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項進行求解．

【詳解】解：一元二次方程的常數(shù)項為：．

故選：B．

【點睛】本題主要考查了一元二次方程的基本定義，掌握常數(shù)項的定義是解題的關(guān)鍵．

3．A

【分析】先將常數(shù)項移到等號右邊，然后方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，最后整理成完全平方式即可．

【詳解】解：

移項得：，

方程兩邊同時加上得：，

整理得：，

故選：A．

【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程，解題關(guān)鍵是熟練掌握用配方法解一元二次方程．

4．B

【分析】把代入關(guān)于的一元二次方程中推出，然后整體代入所求式子中求解即可．

【詳解】解：∵是關(guān)于的一元二次方程的一個實數(shù)根，

∴，

∴，

∴，

∴，

故選B．

【點睛】本題主要考查了一元二次方程解的定義，熟知一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是解題的關(guān)鍵．

5．A

【分析】先計算判別式的值，再配方得到，從而可判斷方程根的情況．

【詳解】解：，

整理得：，

，

∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，

故選A．

【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程無實數(shù)根．

6．A

【分析】根據(jù)方程的系數(shù)可得出，，的值，再將其代入中即可求出結(jié)論．

【詳解】解：對于一元二次方程，

，，，

，

故選：．

【點睛】本題考查了根的判別式，牢記根的判別式，準(zhǔn)確找到方程中的，，的值是解答本題的關(guān)鍵．

7．B

【分析】先利用因式分解的方程求出一元二次方程的兩個根，然后分別討論兩個根為底邊時能否構(gòu)成三角形，最后求解即可．

【詳解】解：∵，

∴，

解得：，

∵當(dāng)?shù)诪?，腰為時，由于，不符合三角形三邊關(guān)系，

∴等腰三角形的腰為，底為，

∴周長為，

故選B．

【點睛】本題主要考查了解一元二次方程和構(gòu)成三角形的條件，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解．

8．B

【分析】利用該地區(qū)預(yù)計到2025年將投入的教育經(jīng)費金額等于該地區(qū)2023年投入的教育經(jīng)費金額×(1+該地區(qū)每年教育經(jīng)費的年增長率)2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．

【詳解】解：設(shè)該地區(qū)每年教育經(jīng)費的年增長率均為，則2024年的教育經(jīng)費為，

所以2025年的教育經(jīng)費為，

∴．

故選：B．

【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．

9．B

【分析】根據(jù)經(jīng)過兩輪傳染后共有64人感染，可列方程求解即可．

【詳解】由題意得：

，

解得：或（舍去）．

答：每輪傳染中平均一個人傳染了7個人；

故選：B．

【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．

10．C

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出，即可．

【詳解】解：∵，是一元二次方程的兩個根，

∴，，

∴，

故選：C．

【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，若一元二次方程（a、b、c為常數(shù)，）的兩根為，，則，．

11．

【分析】根據(jù)定義可得二次項系數(shù)為零，一次項系數(shù)不等于，解之即可．

【詳解】根據(jù)一元一次方程的定義可得：，

∴，

故答案為：．

【點睛】本題考查了一元二次方程的概念，只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．

12．

【分析】根據(jù)等式的基本性質(zhì)和一元二次方程的一般式進行求解即可．

【詳解】由原式得，．

故答案為：．

【點睛】本題考查等式的性質(zhì)，一元二次方程的基本形式，掌握一元二次方程的一般式是解題的關(guān)鍵．

13．

【分析】采用因式分解法解方程即可求解．

【詳解】

，

即，，

一個解是，則該方程的另一個解是，

故答案為：．

【點睛】本題主要考查了利用因式分解法解一元二次方程的知識，掌握因式分解法是解答本題的關(guān)鍵．

14．9

【分析】由題意知，，解得，然后代入求值即可．

【詳解】解：由題意知，，解得，

∴，

故答案為：9．

【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，代數(shù)式求值．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．

15．

【分析】可借助平移性質(zhì)得到長為、寬為的矩形草坪，然后利用矩形面積公式列方程即可．

【詳解】解：根據(jù)題意，草坪的面積為，

故所列方程為，

故答案為：．

【點睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，讀懂題意，找出圖形中的等量關(guān)系，借助平移性質(zhì)列方程是解答的關(guān)鍵．

16．9

【分析】設(shè)有個球隊參加比賽，那么第一個隊和其他隊打場球，第二個隊和其他隊打場，以此類推可以知道共打場，然后列出方程求解．

【詳解】解：設(shè)邀請個球隊參加比賽，

依題意得，

即，

，

或（不合題意，舍去）．

故答案為：9．

【點睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，該題和實際生活結(jié)合比較緊密，準(zhǔn)確找到關(guān)鍵描述語，從而根據(jù)等量關(guān)系準(zhǔn)確地列出方程是解決問題的關(guān)鍵．此題還要判斷所求的解是否符合題意，舍去不合題意的解．

17．(1)二次項系數(shù)為3，一次項系數(shù)為，常數(shù)項為2

(2)二次項系數(shù)為，一次項系數(shù)為1，常數(shù)項為

【分析】（1）一元二次方程的一般形式是（a，b，c是常數(shù)且），a，b，c分別是二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項，據(jù)此解答即可；

（2）一元二次方程的一般形式是（a，b，c是常數(shù)且），a，b，c分別是二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項，據(jù)此解答即可．

【詳解】（1）解：∵化為一般形式為，

∴二次項系數(shù)為3，一次項系數(shù)為，常數(shù)項為2；

（2）∵化為一般形式為，

∴二次項系數(shù)為，一次項系數(shù)為1，常數(shù)項為．

【點睛】本題考查了一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常數(shù)且），其中a，b，c分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項．

18．(1)

(2)

【分析】（1）利用配方法解方程即可；

（2）利用因式分解法解方程即可．

【詳解】（1）解：∵

∴，

∴，

∴，

∴，

解得；

（2）解：∵，

∴，

∴或，

解得．

【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．

19．（1），

（2），．

【分析】（1）用公式法或配方法求解即可；

（2）用因式分解法求解即可．

【詳解】解法1：在這里，，．

．

∴．

∴，．

解法2：原方程可變形為．

配方，得．

即：．．

∴．

∴，．

（2）解方程：．

解：原方程可變形為．

∴或．

∴，．

【點睛】本題考查解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的幾種常規(guī)解法：直接開平方法、公式法、配方法、因式分解法是解題的關(guān)鍵，注意：要根據(jù)方程的特點，選擇恰當(dāng)?shù)慕夥?，使運算更簡便．

20．（1），；（2）一，見解析，公式法和因式分解法．

【分析】利用公式法求解二元一次方程，再根據(jù)平方根的性質(zhì)可知第一步開始出現(xiàn)錯誤，按照，可以得出方程的兩個根，除了本題給出的方法還可以用公式法和因式分解法解這個方程．

【詳解】（1）解：，

，

，，，

，

方程有兩個不相等的實數(shù)根，

，

，；

（2）第一步開始出現(xiàn)錯誤．

按照小米同學(xué)的思路改正：

，

，

或，

，，

反思：此方程除了本種解法外，其它解法可以有公式法和因式分解法，

①

整理得：，

，

，；

②，

整理得：，

，

，，

此方程除了本種解法外，其它解法可以有公式法和因式分解法．

【點睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法，直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．

21．(1)

(2)

【分析】（1）由方程求出判別式即可；

（2）由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，用含代數(shù)式表示兩根之和及兩根之積，由此即可求解．

【詳解】（1）解：，

∵方程總有兩個實數(shù)根，

∴，

∴．

（2）解：由，

∵，，

∴原式即為：，整理得，，

∴解得（舍）或．

【點睛】本題考查了一元二次方程的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是將熟練掌握一元二次方程的判別式與根的關(guān)系及兩根之積與兩根之和．

22．(1)

(2)元

【分析】（1）設(shè)月平均增長率是x，利用即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；

（2）設(shè)售價應(yīng)降低y元，則每件的銷售利潤為元，每天的銷售量為件，利用每天銷售該公仔獲得的利潤每件的銷售利潤×日銷售量，即可得出關(guān)于y的一元二次方程，解之即可求出y的值，再結(jié)合要盡量減少庫存，即可得出售價應(yīng)降低20元．

【詳解】（1）設(shè)月平均增長率為x．根據(jù)題意，得

，

解得，（舍去）

答：月平均增長率是是.

（2）售價應(yīng)降低y元．根據(jù)題意，得

，

化簡，得，

解得，．

∵要盡量減少庫存，

∴．

答：售價應(yīng)降低元.

【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．

23．(1)；

(2)當(dāng)或時，的長度等于

(3)不存在；理由見解析

【分析】（1）根據(jù)P、Q兩點的運動速度可得、的長度；

（2）根據(jù)勾股定理可得，代入相應(yīng)數(shù)據(jù)解